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广东省广州市番禺区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八上·番禺期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形
2．（2024八上·番禺期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024八上·番禺期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·番禺期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·番禺期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·番禺期末）航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m，数据0.00000002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·番禺期末）在中，，，则边上的高的长度为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
8．（2024八上·番禺期末）计算（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．（2024八上·番禺期末）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖米，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·番禺期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八上·番禺期末）计算： 　 　．
12．（2024八上·番禺期末）化简分式的结果为　 　．
13．（2024八上·番禺期末）若三角形的两条边长分别是2和5，则这个三角形的第三边长可以是　 　（要求：只需填一个答案即可）．
14．（2024八上·番禺期末）如图，，点D，E分别在，上，，交于点F，只添加一个条件使，添加的条件是：　 　（添加一个即可）．
15．（2024八上·番禺期末）在平面直角坐标系xOy 中，A（1，3），B（3，－1），点P在y轴上，当PA＋PB取得最小值时，点P的坐标为　 　．
16．（2024八上·番禺期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为　 　．
三、解答题：本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
17．（2024八上·番禺期末）计算：．
18．（2024八上·番禺期末）分解因式：．
19．（2024八上·番禺期末）计算：．
20．（2024八上·番禺期末）解方程：．
21．（2024八上·番禺期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据．
22．（2024八上·番禺期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，
证明：∠BAC=∠B+2∠E
23．（2024八上·番禺期末）如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G，求证：G为AB的中点.
24．（2024八上·番禺期末）已知，如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AB=A'B'，BC=B'C'，AD=A'D'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
25．（2024八上·番禺期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
；
；
；
；
…
（1）根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值；
（2）若为基本勾股数组，当时，求x与z的值；
（3）请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：因为三角形具有稳定性，所以四个选项中的图形具有稳定性的是直角三角形．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n
因为一个多边形的内角和等于(n-2)×180
又因为多边形的外角和等于360度（无论是几边形都是360)
所以 根据题意：（n-2)×180=360×2
解之 n-2=4
所以 n=6，选C
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误；
B．，计算正确；
C．与不是同类项，不能合并，原选项计算错误；
D．，原选项计算错误；
故答案为：B．
【分析】本题根据积的乘方运算法则可以计算并判断A选项；合并同类项运算法则可以计算并判断C选项；完全平方公式运算法则可以计算并判断BD选项。最后根据计算结果即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴，解得：．
故答案为：D．
【分析】本题根据分式有意义的条件，即分母不为零，列出不等式计算求解即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是；
故答案为：B．
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹得到：OD=O'D'，OC=O'C'，CD=C'D'，结合全等三角形的判定定理，即可解答．
6．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】把一个绝对值小于1的数写成a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n是负整数，确定n的值时要看原数变为a时小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的高
【解析】【解答】解：如图所示，
∵CD为AB边上的高，
∴，即∠BDC=90°，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题根据条件可以构造出CD为AB边上的高，然后放到直角三角形CDB中，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求出答案。
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】本题利用平方差公式将分子进行分解变形，然后计算发现，此时每一项的分子和分母都一样，即每一项的计算结果都是“1”，最后计算出有2023项即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天挖米，则实际每天挖米，
根据题意得，．
故答案为：．
【分析】设原计划每天挖米，再根据计划开挖一段长48米的隧道所用时间-实际开挖一段长48米的隧道所用时间=2，列方程即可.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故选：D．
【分析】根据等腰三角形分类讨论即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为： ．
【分析】根据整数指数幂的运算法则运算即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；约分；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题先对分子提取公因数a、分母利用完全平方公式分别进行因式分解，然后根据分式的性质化简即可求解．
13．【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为x，根据三角形三边关系可知：，
∴，
∴则这个三角形的第三边长可以是5。
故答案为：5。
【分析】本题根据三角形三边关系，即三角形的任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，即可求出第三边的取值范围，最后在取值范围内选择任意数即可求解．
14．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：添加，理由如下：
在和中，
，
，
故答案为：。
【分析】本题根据条件“ ”，结合图形中的信息∠A=∠A，要使 ，可以利用AAS添加；也可以利用SAS添加AB=AC。
15．【答案】（0，2）
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图所示，
作出点关于点y轴的对称点（-1，3），连接交y轴与点Ｐ，即此时 PA＋PB 最小，
设A'B所在直线的函数为y=kx+b，将（-1，3）、 B（3，－1）代入，得到，
解得，
∴A'B所在直线的函数为y=-x+2，
∴该函数与y轴的交点为
∴点P的坐标为
故答案为：
【分析】本题根据轴对称-最短路线问题，先找到关于y轴的对称点，连接与y轴交于点P，P点即为所求，然后求出A'B所在直线的函数，即可找出P点对应的坐标。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示，
∵，，（，），
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的横坐标为，
∴
故答案为：．
【分析】本题作出辅助线后，结合点的坐标的特点，可以先确定，，，，然后利用AAS证明，即可得出，，最后根据负半轴的特点即可正确写出E点的坐标。
17．【答案】解：
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【分析】本题根据单项式除以单项式的法则，即把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式。据此计算即可．
18．【答案】解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题先提取公因式，然后对余下的多项式利用完全平方公式进行分解，即可获得答案．
19．【答案】解：原式．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】本题首先将原式进行分母通分，然后将分子按照合并同类项原则进行相加求和，最后即可求出答案。
20．【答案】解：方程两边同乘以，得
解得
检验：将代入知，
所以是原方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程.观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，再解一元一次方程可求出方程的解，再进行检验，进而可求出答案．
21．【答案】解：如图，发射塔应修建在P点位置，点即为所求．
作法：连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求．
依据：角平分线上的点到角的两边距离相等，线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据条件“ 发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等 ”可知，P点肯定在AB的垂直平分线上；“ 到两条高速公路和的距离也必须相等 ”，则P点肯定在∠MON的角平分线上；因此先作线段的垂直平分线，再作的角平分线，交点即为P点。
22．【答案】证明：如图所示，
在△BCE中，∠1=∠B+∠E，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠2=∠B+∠E，
在△ACE中，∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，
∴∠BAC=∠B+2∠E．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】首先在△BCE中，利用外角的性质得到∠1=∠B+∠E；然后利用角平分线的性质综合得到∠1=∠2=∠B+∠E；在△ACE中，利用外角的性质得到∠BAC=∠E+∠2，最后把∠2=∠B+∠E代入进行合并计算即可得出答案。
23．【答案】证明：∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
，
∴．
在和中，
∴，
∴（三线合一）
∴为的中点。
【知识点】三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】本题首先结合等腰三角形和等边三角形的性质得出，然后利用SSS证明得出，即可得出，最后根据等腰三角形“三线合一”即可解题．
24．【答案】证明：∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC=B'C'，
∴BD=B'D'，
∵AB=A'B'，AD=A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'（SSS），
∴∠B=∠B'，
∵AB=A'B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题首先根据SSS即可判定△ABD≌△A'B'D'，得出∠B=∠B'，结合条件利用SAS即可判定△ABC≌△A'B'C'．
25．【答案】（1）解：观察数据我们发现：中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，。
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股数；探索数与式的规律；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察所给数据，找出规律中，，最后代入求解即可；
（2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再分四种情况进行逐一讨论计算即可；
（3）当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证．
（1）解：观察数据我们发现：
中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，；
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．
证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
1 / 1广东省广州市番禺区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八上·番禺期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：因为三角形具有稳定性，所以四个选项中的图形具有稳定性的是直角三角形．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
2．（2024八上·番禺期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n
因为一个多边形的内角和等于(n-2)×180
又因为多边形的外角和等于360度（无论是几边形都是360)
所以 根据题意：（n-2)×180=360×2
解之 n-2=4
所以 n=6，选C
3．（2024八上·番禺期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误；
B．，计算正确；
C．与不是同类项，不能合并，原选项计算错误；
D．，原选项计算错误；
故答案为：B．
【分析】本题根据积的乘方运算法则可以计算并判断A选项；合并同类项运算法则可以计算并判断C选项；完全平方公式运算法则可以计算并判断BD选项。最后根据计算结果即可得出答案。
4．（2024八上·番禺期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴，解得：．
故答案为：D．
【分析】本题根据分式有意义的条件，即分母不为零，列出不等式计算求解即可．
5．（2024八上·番禺期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是；
故答案为：B．
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹得到：OD=O'D'，OC=O'C'，CD=C'D'，结合全等三角形的判定定理，即可解答．
6．（2024八上·番禺期末）航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m，数据0.00000002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】把一个绝对值小于1的数写成a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n是负整数，确定n的值时要看原数变为a时小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
7．（2024八上·番禺期末）在中，，，则边上的高的长度为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的高
【解析】【解答】解：如图所示，
∵CD为AB边上的高，
∴，即∠BDC=90°，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题根据条件可以构造出CD为AB边上的高，然后放到直角三角形CDB中，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求出答案。
8．（2024八上·番禺期末）计算（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】本题利用平方差公式将分子进行分解变形，然后计算发现，此时每一项的分子和分母都一样，即每一项的计算结果都是“1”，最后计算出有2023项即可得出答案。
9．（2024八上·番禺期末）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖米，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天挖米，则实际每天挖米，
根据题意得，．
故答案为：．
【分析】设原计划每天挖米，再根据计划开挖一段长48米的隧道所用时间-实际开挖一段长48米的隧道所用时间=2，列方程即可.
10．（2024八上·番禺期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故选：D．
【分析】根据等腰三角形分类讨论即可求出答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八上·番禺期末）计算： 　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为： ．
【分析】根据整数指数幂的运算法则运算即可．
12．（2024八上·番禺期末）化简分式的结果为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；约分；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题先对分子提取公因数a、分母利用完全平方公式分别进行因式分解，然后根据分式的性质化简即可求解．
13．（2024八上·番禺期末）若三角形的两条边长分别是2和5，则这个三角形的第三边长可以是　 　（要求：只需填一个答案即可）．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边为x，根据三角形三边关系可知：，
∴，
∴则这个三角形的第三边长可以是5。
故答案为：5。
【分析】本题根据三角形三边关系，即三角形的任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，即可求出第三边的取值范围，最后在取值范围内选择任意数即可求解．
14．（2024八上·番禺期末）如图，，点D，E分别在，上，，交于点F，只添加一个条件使，添加的条件是：　 　（添加一个即可）．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：添加，理由如下：
在和中，
，
，
故答案为：。
【分析】本题根据条件“ ”，结合图形中的信息∠A=∠A，要使 ，可以利用AAS添加；也可以利用SAS添加AB=AC。
15．（2024八上·番禺期末）在平面直角坐标系xOy 中，A（1，3），B（3，－1），点P在y轴上，当PA＋PB取得最小值时，点P的坐标为　 　．
【答案】（0，2）
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图所示，
作出点关于点y轴的对称点（-1，3），连接交y轴与点Ｐ，即此时 PA＋PB 最小，
设A'B所在直线的函数为y=kx+b，将（-1，3）、 B（3，－1）代入，得到，
解得，
∴A'B所在直线的函数为y=-x+2，
∴该函数与y轴的交点为
∴点P的坐标为
故答案为：
【分析】本题根据轴对称-最短路线问题，先找到关于y轴的对称点，连接与y轴交于点P，P点即为所求，然后求出A'B所在直线的函数，即可找出P点对应的坐标。
16．（2024八上·番禺期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示，
∵，，（，），
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的横坐标为，
∴
故答案为：．
【分析】本题作出辅助线后，结合点的坐标的特点，可以先确定，，，，然后利用AAS证明，即可得出，，最后根据负半轴的特点即可正确写出E点的坐标。
三、解答题：本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
17．（2024八上·番禺期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【分析】本题根据单项式除以单项式的法则，即把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式。据此计算即可．
18．（2024八上·番禺期末）分解因式：．
【答案】解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题先提取公因式，然后对余下的多项式利用完全平方公式进行分解，即可获得答案．
19．（2024八上·番禺期末）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】本题首先将原式进行分母通分，然后将分子按照合并同类项原则进行相加求和，最后即可求出答案。
20．（2024八上·番禺期末）解方程：．
【答案】解：方程两边同乘以，得
解得
检验：将代入知，
所以是原方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程.观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，再解一元一次方程可求出方程的解，再进行检验，进而可求出答案．
21．（2024八上·番禺期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据．
【答案】解：如图，发射塔应修建在P点位置，点即为所求．
作法：连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求．
依据：角平分线上的点到角的两边距离相等，线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据条件“ 发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等 ”可知，P点肯定在AB的垂直平分线上；“ 到两条高速公路和的距离也必须相等 ”，则P点肯定在∠MON的角平分线上；因此先作线段的垂直平分线，再作的角平分线，交点即为P点。
22．（2024八上·番禺期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，
证明：∠BAC=∠B+2∠E
【答案】证明：如图所示，
在△BCE中，∠1=∠B+∠E，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠2=∠B+∠E，
在△ACE中，∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，
∴∠BAC=∠B+2∠E．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】首先在△BCE中，利用外角的性质得到∠1=∠B+∠E；然后利用角平分线的性质综合得到∠1=∠2=∠B+∠E；在△ACE中，利用外角的性质得到∠BAC=∠E+∠2，最后把∠2=∠B+∠E代入进行合并计算即可得出答案。
23．（2024八上·番禺期末）如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G，求证：G为AB的中点.
【答案】证明：∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
，
∴．
在和中，
∴，
∴（三线合一）
∴为的中点。
【知识点】三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】本题首先结合等腰三角形和等边三角形的性质得出，然后利用SSS证明得出，即可得出，最后根据等腰三角形“三线合一”即可解题．
24．（2024八上·番禺期末）已知，如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AB=A'B'，BC=B'C'，AD=A'D'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
【答案】证明：∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC=B'C'，
∴BD=B'D'，
∵AB=A'B'，AD=A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'（SSS），
∴∠B=∠B'，
∵AB=A'B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题首先根据SSS即可判定△ABD≌△A'B'D'，得出∠B=∠B'，结合条件利用SAS即可判定△ABC≌△A'B'C'．
25．（2024八上·番禺期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
；
；
；
；
…
（1）根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值；
（2）若为基本勾股数组，当时，求x与z的值；
（3）请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：观察数据我们发现：中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，。
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股数；探索数与式的规律；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察所给数据，找出规律中，，最后代入求解即可；
（2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再分四种情况进行逐一讨论计算即可；
（3）当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证．
（1）解：观察数据我们发现：
中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，；
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．
证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
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