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广东省广州市天河区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（2025八上·天河期末）中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·天河期末）如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
3．（2025八上·天河期末）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·天河期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·天河期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·天河期末）如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．10
7．（2025八上·天河期末）如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025八上·天河期末）如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是
A． B． C． D．
9．（2025八上·天河期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八上·天河期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（　　）
A．小正方形的边长为
B．大正方形的边长为
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为
二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．）
11．（2025八上·天河期末）点关于x轴对称的点的坐标是　 　.
12．（2025八上·天河期末）我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为　 　．
13．（2025八上·天河期末）如果一个正多边形的内角和是它外角和的两倍，则的值为　 　．
14．（2025八上·天河期末）已知，，则的值为　 　．
15．（2025八上·天河期末）如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为　 　．
三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
16．（2025八上·天河期末）（1）计算：；
（2）因式分解：．
17．（2025八上·天河期末）已知：如图，点E，C在线段上，且，，．求证．
18．（2025八上·天河期末）已知．
（1）化简A；
（2）从的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值．
19．（2025八上·天河期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，求的度数．
20．（2025八上·天河期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
21．（2025八上·天河期末）阅读两则材料，然后根据材料解决问题：
【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
解决以下4个问题：
（1）如图1，在中，，，，写出图中的一对“等角三角形”；
（2）如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”；
（3）在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
22．（2025八上·天河期末）本学期研究完三角形全等的条件后，小天同学和小河同学对全等产生了浓厚的兴趣，两人开始思考：如何判定两个四边形全等呢？
小天认为：既然可以利用“边边边（）”证明两个三角形全等，那么只要满足四组边对应相等，即可证明两个四边形全等．
小河同学立刻提出了反对意见，并举出了一个反例．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）结合给定的四边形（图），用直尺和圆规把小河举出的反例画出来，即画一个满足条件的四边形，与四边形不全等；（保留作图痕迹，可在图中画，也可以另画一个）
（2）沿着小河的思路，你认为至少添加几个角可以判定两个四边形全等？请在横线上添加条件并给予证明；（注：能够完全重合的两个图形称为全等图形，即各边相等，各角相等的两个四边形全等、）
已知：如图，，，，，_____________．
求证：四边形四边形．
（3）根据以上探究，我们知道当图形的某些边和角确定后，图形也就唯一确定下来．在图，分别延长四边形的边和，交点为，若，，分别是的边，，的长，且满足，，，求分式的值．
23．（2025八上·天河期末）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点与点B关于x轴对称，．
（1）求的度数；
（2）如图2，在的延长线上取一点D，使得，求证；
（3）如图3，点D为线段上一动点，连接，在左侧以为边作等边，当点D在线段上运动时，点M随之运动，当取得最小值时，求此时的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有A选项对应的图形是轴对称图形；BCD都不是轴对称图形。
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。四个选项中只有A选项满足轴对称图形条件。
2．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据图中的信息已经条件中的信息可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：B．
【分析】本题条件中“ 大桥上的钢架结构采用三角形的形状 ”以及图中的三角形形状可知，蕴含的数学道理是三角形具有稳定性。
3．【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】此题根据负整数指数幂的计算方法，即a-b=，将a=3、b=-2代入计算即可．
4．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短．
故答案为：B．
【分析】本题根据轴对称的性质，可以找到M点关于l的对称点，也可以找到N点关于l的对称点，然后依据两点之间线段最短连线即可得出结论．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原计算错误；
B． ，原计算正确；
C． ，原计算错误；
D． ，原计算错误；
故答案为：B．
【分析】本题根据同底数幂相除法则可以计算出A选项；积的乘方法则可以计算出B选项；单项式乘以单项式法则可以计算出C选项；完全平方公式可以计算出D选项，最后即可选出答案。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：
∵为的角平分线，于点，
∴，
∴的面积=；
故答案为：A。
【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得，然后以AB为底、DF为高即可列式求出的面积．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 是等边三角形，
，
故答案为：C。
【分析】本题先根据等边三角形的性质可以求出，然后利用直角三角形内角和求出最后利用“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”可得 从而可得答案。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、补充，不能判定；
B、补充，可根据判定；
C、补充，可根据判定；
D、补充，可根据判定．
因此，错误的是B。
故答案为：A．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；而AAA、SSA不能判定两个三角形全等。然后结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可．
9．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】本题根据新定义，可以推出 可以表示单项式-2×2mn=-4mn； 可以表示多项式2n-3m，最后结合单项式乘以多项式法则计算即可．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；多边形的面积
【解析】【解答】解：根据题意，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为，
若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为，
故选项A、C、D正确，选项B错误，
故答案为：B．
【分析】本题观察两个图发现，①图中大正方形的边长等于a减去两个小正方形的边长，②图中大正方形的边长等于b加上两个小正方形的变形，据此可求出大、小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去4个小正方形的面积，即可求出图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积；将图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体的体积，则此时长方体的长是b、宽是b、高是，计算即可得出长方体的体积。最后从选项中选出答案即可。
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A（1，-2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）。
故答案为：（1，2）。
【分析】两点关于x轴对称，两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，故答案为：．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．本题确定a=2.3，然后确定n=-7，即可正确表示。
13．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：，
解得，
故答案为：6．
【分析】本题根据任意正多边形的外角和都为，而多边形的内角和公式为，其中n为正多边形的边数，据此可以列出关于n的方程，解方程求出n即可．
14．【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：12。
【分析】本题根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算，先将 展开，然后代入计算即可。
15．【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，
∵，
∵当与全等，
①当时，
则，
∴；
②当时，
则，
∴
综上，的长为或，
故答案为：或．
【分析】本题根据条件中的与全等，可以分分和两种情况，然后根据全等的性质计算求解即可．
16．【答案】解：（1）原式；
（2）原式．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可；
（2）先提取公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
17．【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题先根据等式的性质得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证．
18．【答案】（1）解：
（2）解：根据题意得：，，，
解得，，，
∵，
∴整数x为0或，
当时，原式；
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先将括号内通分进行计算，然后将的分子分母进行因式分解，最后根据分式混合运算的顺序和运算法则进行化简即可；
（2）结合（1）的计算过程和计算结果，首先根据分式有意义的条件得出x的值，再将x的值代入进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：根据题意支：，，，
解得，，，
又，
∴整数x为0或，
当时，原式；
当时，原式．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）依据线段垂直平分线的作法画出图形，即分别以A、B两点为圆心、大于AB长为半径画弧，交AB两侧于两点，连接这两点并向两侧延伸即可；
（2）由三角形内角和定理求出，由线段垂直平分线的性质可知，由等边对等角得到，然后求出的度数即可．
（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原计划每天收割5公顷的水稻．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题首先假设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷。根据条件“ 某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务 ”，即可用天完成；而“ 实际工作效率比原来提高了 ”，实际用天完成，结果提前2天完成任务，此时即可列方程，然后求解即可．
21．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与，与，与是等角三角形；
（2）证明：∵在中，，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴为的等角分割线。
（3）ACD
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：∵是的等角分割线，
∴，
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
①如图，时，，
∴，
∴；
②如图，时，，
，
∴，
∴；
③时，，
∴，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
④如图，时，
，
⑤如图，时，
，
设，
则，
由题意得，，
方程无解，不符合题意，舍去，
⑥如图，时，
设，则，
∴，
解得，
综上的度数为或或或，
故答案为：ACD．
【分析】（1）结合图中的信息，分别利用垂直的定义、三角形内角和即可得出，最后根据“等角对等边”推出，此时再根据等角三角形的定义即可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可；
（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
（1）解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与，与，与是等角三角形；
（2）证明：∵在中，，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴为的等角分割线；
（3）解：∵是的等角分割线，
∴，
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
①如图，时，，
∴，
∴；
②如图，时，，
，
∴，
∴；
③时，，
∴，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
④如图，时，
，
⑤如图，时，
，
设，
则，
由题意得，，
方程无解，不符合题意，舍去，
⑥如图，时，
设，则，
∴，
解得，
综上的度数为或或或，
故选：ACD．
22．【答案】（1）解：如图所示，
由于四边形是正方形，四边形是菱形，二者的边长相等，但二者不全等；
（2）证明：连接、，
在和中，
，
∴，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴四边形四边形。
（3）解：∵，
∴，即，
同理可得：，，
∴，
即，
∴，
∴．
【知识点】分式的加减法；全等图形的概念；三角形全等及其性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】（2）解：添加，
故答案为：（2）；
【分析】（）因为四边形具有不稳定性，因此可以画出一个正方形和一个菱形，使这两个图形的边长都相等，即可得出答案；
（）添加条件，连接、，即可利用SAS证明，并结合全等三角形的性质即可得出，，；然后利用SSS证明，并得出，，则，由全等四边形的判定即可得出结论；
（）根据条件分别对，，进行倒数计算，则可求出，然后按照分式的加减运算求出，最后进行倒数即可求解；
（1）解：如图所示，
由于四边形是正方形，四边形是菱形，二者的边长相等，但二者不全等；
（2）解：添加（答案不唯一），连接、，
在和中，
，
∴，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴四边形四边形；
（3）解：∵，
∴，即，
同理可得：，，
∴，
即，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵点与点B关于x轴对称，
∴AO=BO=2，AC=BC，
∴AB=AO+BO=4，
∵，
∴=4，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴OC为∠ACB的角平分线，
∴。
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴。
（3）解：如图，连接，过点O作于点J．
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴点M在射线上运动（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点M与J重合时，的值最小，此时．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据点A、B关于x轴对称已经A点的坐标，即可得出AC=BC，且AB=4，再根据条件“”，即可得出是等边三角形，然后根据等边三角形三线合一即可得出OC为∠ACB的角平分线，从而求出答案；
（2）根据等边对等角求出，根据三角形内角和定理可求出，进而求出，然后根据等角对等边即可得证；
（3）利用等边三角形的性质，结合SAS证明，得出，则点M在射线上运动（），根据含的直角三角形的性质求出，当点M与J重合时，的值最小，此时．
（1）解：∵A，B关于x轴对称，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点O作于点J．
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴点M在射线上运动（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点M与J重合时，的值最小，此时．
1 / 1广东省广州市天河区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（2025八上·天河期末）中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有A选项对应的图形是轴对称图形；BCD都不是轴对称图形。
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。四个选项中只有A选项满足轴对称图形条件。
2．（2025八上·天河期末）如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：根据图中的信息已经条件中的信息可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：B．
【分析】本题条件中“ 大桥上的钢架结构采用三角形的形状 ”以及图中的三角形形状可知，蕴含的数学道理是三角形具有稳定性。
3．（2025八上·天河期末）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】此题根据负整数指数幂的计算方法，即a-b=，将a=3、b=-2代入计算即可．
4．（2025八上·天河期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短．
故答案为：B．
【分析】本题根据轴对称的性质，可以找到M点关于l的对称点，也可以找到N点关于l的对称点，然后依据两点之间线段最短连线即可得出结论．
5．（2025八上·天河期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原计算错误；
B． ，原计算正确；
C． ，原计算错误；
D． ，原计算错误；
故答案为：B．
【分析】本题根据同底数幂相除法则可以计算出A选项；积的乘方法则可以计算出B选项；单项式乘以单项式法则可以计算出C选项；完全平方公式可以计算出D选项，最后即可选出答案。
6．（2025八上·天河期末）如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．10
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：
∵为的角平分线，于点，
∴，
∴的面积=；
故答案为：A。
【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得，然后以AB为底、DF为高即可列式求出的面积．
7．（2025八上·天河期末）如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 是等边三角形，
，
故答案为：C。
【分析】本题先根据等边三角形的性质可以求出，然后利用直角三角形内角和求出最后利用“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”可得 从而可得答案。
8．（2025八上·天河期末）如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、补充，不能判定；
B、补充，可根据判定；
C、补充，可根据判定；
D、补充，可根据判定．
因此，错误的是B。
故答案为：A．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；而AAA、SSA不能判定两个三角形全等。然后结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可．
9．（2025八上·天河期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】本题根据新定义，可以推出 可以表示单项式-2×2mn=-4mn； 可以表示多项式2n-3m，最后结合单项式乘以多项式法则计算即可．
10．（2025八上·天河期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（　　）
A．小正方形的边长为
B．大正方形的边长为
C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为
D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；多边形的面积
【解析】【解答】解：根据题意，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为，
若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为，
故选项A、C、D正确，选项B错误，
故答案为：B．
【分析】本题观察两个图发现，①图中大正方形的边长等于a减去两个小正方形的边长，②图中大正方形的边长等于b加上两个小正方形的变形，据此可求出大、小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去4个小正方形的面积，即可求出图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积；将图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体的体积，则此时长方体的长是b、宽是b、高是，计算即可得出长方体的体积。最后从选项中选出答案即可。
二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．）
11．（2025八上·天河期末）点关于x轴对称的点的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A（1，-2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）。
故答案为：（1，2）。
【分析】两点关于x轴对称，两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。
12．（2025八上·天河期末）我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，故答案为：．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．本题确定a=2.3，然后确定n=-7，即可正确表示。
13．（2025八上·天河期末）如果一个正多边形的内角和是它外角和的两倍，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：，
解得，
故答案为：6．
【分析】本题根据任意正多边形的外角和都为，而多边形的内角和公式为，其中n为正多边形的边数，据此可以列出关于n的方程，解方程求出n即可．
14．（2025八上·天河期末）已知，，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：12。
【分析】本题根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算，先将 展开，然后代入计算即可。
15．（2025八上·天河期末）如图，，，．点P在线段上，点Q在线段上．若与全等，则的长为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，
∵，
∵当与全等，
①当时，
则，
∴；
②当时，
则，
∴
综上，的长为或，
故答案为：或．
【分析】本题根据条件中的与全等，可以分分和两种情况，然后根据全等的性质计算求解即可．
三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
16．（2025八上·天河期末）（1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可；
（2）先提取公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
17．（2025八上·天河期末）已知：如图，点E，C在线段上，且，，．求证．
【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题先根据等式的性质得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证．
18．（2025八上·天河期末）已知．
（1）化简A；
（2）从的范围内选取一个合适的整数作为x的值，求A的值．
【答案】（1）解：
（2）解：根据题意得：，，，
解得，，，
∵，
∴整数x为0或，
当时，原式；
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先将括号内通分进行计算，然后将的分子分母进行因式分解，最后根据分式混合运算的顺序和运算法则进行化简即可；
（2）结合（1）的计算过程和计算结果，首先根据分式有意义的条件得出x的值，再将x的值代入进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：根据题意支：，，，
解得，，，
又，
∴整数x为0或，
当时，原式；
当时，原式．
19．（2025八上·天河期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接，求的度数．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）依据线段垂直平分线的作法画出图形，即分别以A、B两点为圆心、大于AB长为半径画弧，交AB两侧于两点，连接这两点并向两侧延伸即可；
（2）由三角形内角和定理求出，由线段垂直平分线的性质可知，由等边对等角得到，然后求出的度数即可．
（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
20．（2025八上·天河期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻．
【答案】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原计划每天收割5公顷的水稻．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题首先假设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷。根据条件“ 某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务 ”，即可用天完成；而“ 实际工作效率比原来提高了 ”，实际用天完成，结果提前2天完成任务，此时即可列方程，然后求解即可．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
21．（2025八上·天河期末）阅读两则材料，然后根据材料解决问题：
【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
解决以下4个问题：
（1）如图1，在中，，，，写出图中的一对“等角三角形”；
（2）如图2，中，，，是的角平分线．求证：为的“等角分割线”；
（3）在中，，是的等角分割线，则的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与，与，与是等角三角形；
（2）证明：∵在中，，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴为的等角分割线。
（3）ACD
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：∵是的等角分割线，
∴，
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
①如图，时，，
∴，
∴；
②如图，时，，
，
∴，
∴；
③时，，
∴，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
④如图，时，
，
⑤如图，时，
，
设，
则，
由题意得，，
方程无解，不符合题意，舍去，
⑥如图，时，
设，则，
∴，
解得，
综上的度数为或或或，
故答案为：ACD．
【分析】（1）结合图中的信息，分别利用垂直的定义、三角形内角和即可得出，最后根据“等角对等边”推出，此时再根据等角三角形的定义即可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可；
（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
（1）解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与，与，与是等角三角形；
（2）证明：∵在中，，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴为的等角分割线；
（3）解：∵是的等角分割线，
∴，
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
①如图，时，，
∴，
∴；
②如图，时，，
，
∴，
∴；
③时，，
∴，，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当是等腰三角形，和是等角三角形时，
④如图，时，
，
⑤如图，时，
，
设，
则，
由题意得，，
方程无解，不符合题意，舍去，
⑥如图，时，
设，则，
∴，
解得，
综上的度数为或或或，
故选：ACD．
22．（2025八上·天河期末）本学期研究完三角形全等的条件后，小天同学和小河同学对全等产生了浓厚的兴趣，两人开始思考：如何判定两个四边形全等呢？
小天认为：既然可以利用“边边边（）”证明两个三角形全等，那么只要满足四组边对应相等，即可证明两个四边形全等．
小河同学立刻提出了反对意见，并举出了一个反例．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）结合给定的四边形（图），用直尺和圆规把小河举出的反例画出来，即画一个满足条件的四边形，与四边形不全等；（保留作图痕迹，可在图中画，也可以另画一个）
（2）沿着小河的思路，你认为至少添加几个角可以判定两个四边形全等？请在横线上添加条件并给予证明；（注：能够完全重合的两个图形称为全等图形，即各边相等，各角相等的两个四边形全等、）
已知：如图，，，，，_____________．
求证：四边形四边形．
（3）根据以上探究，我们知道当图形的某些边和角确定后，图形也就唯一确定下来．在图，分别延长四边形的边和，交点为，若，，分别是的边，，的长，且满足，，，求分式的值．
【答案】（1）解：如图所示，
由于四边形是正方形，四边形是菱形，二者的边长相等，但二者不全等；
（2）证明：连接、，
在和中，
，
∴，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴四边形四边形。
（3）解：∵，
∴，即，
同理可得：，，
∴，
即，
∴，
∴．
【知识点】分式的加减法；全等图形的概念；三角形全等及其性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】（2）解：添加，
故答案为：（2）；
【分析】（）因为四边形具有不稳定性，因此可以画出一个正方形和一个菱形，使这两个图形的边长都相等，即可得出答案；
（）添加条件，连接、，即可利用SAS证明，并结合全等三角形的性质即可得出，，；然后利用SSS证明，并得出，，则，由全等四边形的判定即可得出结论；
（）根据条件分别对，，进行倒数计算，则可求出，然后按照分式的加减运算求出，最后进行倒数即可求解；
（1）解：如图所示，
由于四边形是正方形，四边形是菱形，二者的边长相等，但二者不全等；
（2）解：添加（答案不唯一），连接、，
在和中，
，
∴，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴四边形四边形；
（3）解：∵，
∴，即，
同理可得：，，
∴，
即，
∴，
∴．
23．（2025八上·天河期末）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点与点B关于x轴对称，．
（1）求的度数；
（2）如图2，在的延长线上取一点D，使得，求证；
（3）如图3，点D为线段上一动点，连接，在左侧以为边作等边，当点D在线段上运动时，点M随之运动，当取得最小值时，求此时的长．
【答案】（1）解：∵点与点B关于x轴对称，
∴AO=BO=2，AC=BC，
∴AB=AO+BO=4，
∵，
∴=4，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴OC为∠ACB的角平分线，
∴。
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴。
（3）解：如图，连接，过点O作于点J．
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴点M在射线上运动（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点M与J重合时，的值最小，此时．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据点A、B关于x轴对称已经A点的坐标，即可得出AC=BC，且AB=4，再根据条件“”，即可得出是等边三角形，然后根据等边三角形三线合一即可得出OC为∠ACB的角平分线，从而求出答案；
（2）根据等边对等角求出，根据三角形内角和定理可求出，进而求出，然后根据等角对等边即可得证；
（3）利用等边三角形的性质，结合SAS证明，得出，则点M在射线上运动（），根据含的直角三角形的性质求出，当点M与J重合时，的值最小，此时．
（1）解：∵A，B关于x轴对称，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点O作于点J．
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴点M在射线上运动（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点M与J重合时，的值最小，此时．
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