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广东省佛山市南海区2024-2025学年上学期期末监测八年级数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·南海期末）下面5个数：，，，，其中是有理数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八上·南海期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·南海期末）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·南海期末）你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
5．（2025八上·南海期末）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．（2025八上·南海期末）下列说法正确的是（　　）
A．64的立方根是 B．2是8的平方根
C．1的算术平方根是1 D．的平方根是
7．（2025八上·南海期末）在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在第四象限，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·南海期末）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（　　）厘米．
A． B． C． D．
9．（2025八上·南海期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·南海期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．10 C．6 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八上·南海期末）写出一个大于3且小于4的无理数　 　．
12．（2025八上·南海期末）若点与的连线与轴平行，则点的坐标为　 　．
13．（2025八上·南海期末）函数与的图象如图所示，两图象交点的横坐标为，则二元一次方程组的解是　 　．
14．（2025八上·南海期末）如图，在四边形中，，过点的直线交与点，交的延长线与点，若，则　 　．
15．（2025八上·南海期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是　 　．
三、解答题：本大题共8小题，161 8题每题7分，192 1题每题9分，22题13分，23题14分，共75分．
16．（2025八上·南海期末）计算：.
17．（2025八上·南海期末）如图，在平面直角坐标系中，．
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）求的面积．
18．（2025八上·南海期末）佛山有着“南国陶都”的美誉，佛山陶瓷以其丰富的品种、卓越的品质和不断创新的设计理念，赢得了国内外市场的广泛赞誉．某陶瓷专卖店一天售出和两种规格的瓷砖共100箱，合计240片．已知规格的瓷砖一箱装2片，规格的瓷砖一箱装3片．
（1）该专卖店两种规格的瓷砖各卖了多少箱？
（2）该专卖店规格的瓷砖价格为40元一片，规格的瓷砖价格为35元一片，求该店这天出售两种瓷砖的总销售额是多少元？
19．（2025八上·南海期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村；
方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明
20．（2025八上·南海期末）在脐橙收获季节，某班同学开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的甲、乙两块成龄脐橙园，对两块脐橙园的脐橙品质情况进行调查统计，为脐橙的发展规划提供一些参考．从两块脐橙园采摘的脐橙中各随机选取400个（不计过大和过小的果实），在技术人员指导下，测量每个脐橙的直径，作为样本数据．脐橙直径用（单位：）表示．如表1，将所收集的样本数据进行如下分组，整理样本数据，并绘制甲园样本数据的扇形统计图、乙园样本数据的频数分布直方图如下：
组别
A
B
C
D
数据分组
根据所给信息，回答下列问题：
（1）由统计图可知，甲园样本数据的中位数在___________组；甲园样本数据的众数在___________组，乙园样本数据的众数在___________组．
（2）结合市场情况，认定D组的脐橙为一级，C组为二级，B组和E组为三级，A组为次果（不纳入品质评比）．其中一级品质最优，二级次之，三级最次，你认为哪个园的脐橙品质更优，并说明理由．
21．（2025八上·南海期末）综合与实践
小王最近发现自己使用的手机资费套餐A，每个月都会剩余很多的语音通话未使用，感到非常浪费．于是他上网查询了价格更低的几种套餐，其收费标准如下表所示：
套餐 月费 语音 流量 套外流量
A套餐 99元 400分钟 20GB 3元/GB
B套餐 79元 200分钟 15GB 3元/GB
C套餐 59元 300分钟 10GB 5元/GB
D套餐 39元 200分钟 5GB 5元/GB
（1）小王10月份的语音通话是150分钟，流量为20GB，小王可以考虑更换为___________套餐，则总付费可节省___________元；
（2）通过查询流量的具体使用情况，小王发现自己每个月的流量主要用在听音乐和刷短视频，其中听音乐的流量较固定，因此小王决定购买每个月9元的音乐畅听包（每个月听音乐均免流量），若小王每个月刷短视频等其他流量共计不等，请你通过计算说明，小王应该选择哪种套餐最划算？
22．（2025八上·南海期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，则为的倍补角．
（1）是的5倍补角，，则　 　；
（2）如图1，在平面内，，点在左侧，连接、．
①若是的3倍补角，求；
②在①的条件下，点在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用表示）．
23．（2025八上·南海期末）如图1，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，且．
（1）分别求出两个一次函数的关系式；
（2）如图2，过点作平行于轴的直线，点为直线上一点，点为直线上一点，问能否构成以点为顶点，以为腰的等腰直角三角形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，0是有理数，是无理数．
因此有理数有4个。
故答案为：D．
【分析】有理数包括有限小数和无限循环小数是有理数，无理数即无限不循环小数。本题根据有理数的定义与分类即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、xy=6中，最高次项的次数是2，因此不是二元一次方程组；故A不符合题意；
B、不是整式方程，因此不是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、方程组中的两个方程均为整式方程，且含有2个未知数、最高次项的次数是1，因此是二元一次方程组，故C符合题意；
D、整个方程组含有3个未知数，因此不是二元一次方程组，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】二元一次方程组满足的条件，即方程组中的方程均为整式方程、含有2个未知数、最高次项的次数是1。本题根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数中，
∴图像经过第一、三、四象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数y=kx+b的k＞0，b＜0时，一次函数的图象在一、三、四象限，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】函数的概念；自变量、因变量
【解析】【解答】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故答案为：B．
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量。题中“ 随着温度降低，电池中的化学物质活性降低 ”，即温度数值的变化导致电池中化学物质活性发生变化，因此温度是自变量。
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，原说法错误；
B、，原说法错误；
C、，说法正确；
D、没有平方根，原说法错误．
故答案为：C．
【分析】 如果x3=a，则x是a的立方根。据此可以判断出A选项的正误；如果x2=a，则x是a的平方根，据此可以判断出B选项的正误； 算术平方根指非负数的非负平方根，计算即可判断出C选项；负数在实数范围内没有平方根，因为任何实数的平方都是非负数。据此可以判断出D选项的正误。
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，作图如下，过点作于点，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∵顶点在第四象限，
∴，
故答案为：A ．
【分析】本题首先根据等边三角形的性质得到，，计算得出，然后由勾股定理得到，最后根据第四象限的特点，即可判断出B点的坐标。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长，
在中，，，
∴，
∴勺子的长度至少为．
故答案为：D．
【分析】本题从图上分析可以得出，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长；然后根据勾股定理求出的长，最后计算即可求出答案。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∵为边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题首先放到△ABC中，根据三角形内角和可以先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线可以求出的度数，最后根据对顶角相等即可得出的度数．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，
∴BG：CG=2：1，
设，，
∵六边形的面积为14，
而，
∴
解得，（舍去），
根据图形及勾股定理的验证得到，
而小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，
∴DE=CG=A'F'，AB=BG=A'B'，
而B'F'=B'C'=BC，
∴A'F'2+A'B'2=B'F'2，
∴△A'B'F'是直角三角形，∠B'A'F'=90°，
同理可得△C'D'E'是直角三角形，∠C'D'E'=90°，
∴△BCG≌△EGF≌△B'F'A'≌△E'C'D'（SSS），
∴四边形的面积=四边形的面积+四边形的面积．
故答案为：B．
【分析】本题先利用正方形面积特点，可以先假设出，，然后结合三角形面积计算公式可以先求出；根据图形及勾股定理的验证得到，继而得出△A'B'F'是直角三角形，∠B'A'F'=90°，△C'D'E'是直角三角形，∠C'D'E'=90°，并结合SSS证明得出△BCG≌△EGF≌△B'F'A'≌△E'C'D'，此时即可得出四边形的面积=四边形的面积+四边形的面积，再根据六边形的面积为14，最后代入计算即可。
11．【答案】π（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
12．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点与的连线与轴平行，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等。据此即可求出a的值，然后代入计算即可求出B点坐标。
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 变形为x-y-5=0， 变形为kx-y+b=0，
∵函数与两图象交点的横坐标为，即x=3，
∴，
∴交点坐标为，
故答案为： ．
【分析】本题首先将两个函数变形发现，二元一次方程组的解就是两个函数的交点。然后根据两直线交点的横坐标代入计算可得两直线交点纵坐标，由此即可得到二元一次方程组的解．
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题根据“同位角相等、两直线平行”可以得出，然后根据平行四边形的判定方法即可得出四边形ABCD是平行四边形，最后根据“平行四边形对应角相等”即可得出答案。
15．【答案】539
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设百位数字为a，十位和个位数字组成的两位数是b。则这个三位数是100a+b，
根据题意得：，
解得：，
原来的数为，
故答案为：．
【分析】本题根据条件可以先假设百位数字为a，由十位数字和个位数字组成的两位数为b，此时原三位数是100a+b。然后“将最左边的数字移到最右边”此时得到的三位数是10b+a，结合条件列式100a+b-（10b+a）=144；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列式b-7a=4，由此联立二元一次方程组，求解即可。
16．【答案】解：
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题首先将各项化简为最简二次根式，即，然后合并同类项进行计算即可。
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：作轴，作，如图
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据点关于x轴对称的特点，即横坐标不变、纵坐标互为相反数，首先确定A、B、C三点坐标关于x轴对称的坐标点分别是（1，-2）、（5，-1）、（0，-5），在平面直角坐标系中标出之后，连接A'B'C'即可。
（2）将三角形ABC放到直角三角形BGC中，运用割补法得到，由此即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：作轴，作，
∴，
∴
．
18．【答案】（1）解：设型号瓷砖卖了箱，型号瓷砖卖了箱．
则：，
解得：，
∴型号瓷砖卖了60箱，型号瓷砖卖了40箱．
（2）解：元，
∴该店这天出售两种瓷砖的销售额是9000元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“该陶瓷专卖店一天售出和两种规格的瓷砖共100箱”，可以列方程x+y=100，“合计240片”可列方程2x+3y=240，然后列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）利用“总销售额=销售单价×销售数量”，分别列出规格的瓷砖销售额60×2×40和规格的瓷砖销售额40×3×35，合并计算即可。
（1）解：设型号瓷砖卖了箱，型号瓷砖卖了箱．
则：，
解得：，
答：型号瓷砖卖了60箱，型号瓷砖卖了40箱．
（2）解：元，
答：该店这天出售两种瓷砖的销售额是9000元．
19．【答案】（1）解：是直角三角形．理由如下：
，
，
是直角三角形。
（2）解：的面积，
千米，
方案一：千米，
方案二：千米；
∵4.2千米＜4.44千米，
方案一所修的管道较短．
【知识点】等积变换；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，代入计算即可得出是直角三角形；
（2）根据的面积先求出，然后分别计算出方案一和方案二铺设管道的长度，最后比较即可。
（1）解：是直角三角形．理由如下：
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：的面积，
，
，
，
方案一所修的管道较短．
20．【答案】（1）C组，B组，C组
（2）解：我认为乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．理由：
甲园样本数据中，一级所占百分比为，
乙园样本数据中，一级所占百分比为，
∵，
∴乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：甲园A组脐橙个数为（个），B组脐橙个数为（个），C组脐橙个数为（个），
∵中位数是第200和201个数据的平均数，
而30+140=170，30+140+100=270，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
从图中可以看出，B组占，占比最大，
∴甲园样本数据的众数是B组；
由乙园样本数据的频数分布直方图可知，C组个数有140个，数量最多，
∴乙园样本数据的众数在C组，
故答案为：（1）C组，B组，C组；
【分析】（1）先根据扇形统计图求得甲园A组、B组、C组脐橙个数，再根据中位数的定义可以判断出中位数在C组；再根据B组占比最大可判断出众数是B组；然后由乙园样本数据的频数分布直方图数量最多的组可得乙园样本数据的众数；
（2）分别求得甲乙两园一级所占的百分比，进而比较大小可得答案．
（1）解：根据扇形统计图可得，甲园A组脐橙个数为（个），B组脐橙个数为（个），C组脐橙个数为（个），
∵中位数是第200和201个数据的平均数，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
∵甲园样本数据中，B组占，占比最大，
∴甲园样本数据的众数是B组；
由乙园样本数据的频数分布直方图可知，C组个数有140个，数量最多，
∴乙园样本数据的众数在C组，
故答案为：C组，B组，C组；
（2）解：我认为乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．
理由：甲园样本数据中，一级所占百分比为，
乙园样本数据中，一级所占百分比为，
∵，
∴我认为乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．
21．【答案】（1）B；5
（2）解：A套餐费用：（元），
B套餐的最大费用：（元），
C套餐的最大费用：（元），
D套餐的最大费用：（元），
∵，
∴小王应该选择B种套餐最划算．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】（1）解：B套餐费用：（元），
C套餐费用：（元），
D套餐费用：（元），
∵，
∴小王可以考虑更换为B套餐；（元），
则总付费可节省5元．
故答案为：（1）B；5．
【分析】（1）按照小王10月份的使用情况，结合BCD三种套餐分别求出资费，最后进行比较作差即可；
（2）分别求出其它4种套餐的资费，再进行比较即可．
（1）解：B套餐费用：
（元），
C套餐费用：
（元），
D套餐费用：
（元），
∵，
∴小王可以考虑更换为B套餐；（元），
则总付费可节省5元．
故答案为：B；5．
（2）解：A套餐费用：（元），
B套餐的最大费用：（元），
C套餐的最大费用：（元），
D套餐的最大费用：（元），
∵，
∴小王应该选择B种套餐最划算．
22．【答案】（1）22.5°
（2）解：①如图，过点作直线，
∵
∴
，
，
∵是的3倍补角 ，即，
，
，即；
②如图，
，
，
由①得，
，
，
如图，若点在右侧，则
如图，若点在左侧，连接并延长，
是的外角，
，
同理可得，，
．
综上所述，或．
【知识点】平行公理及推论；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵是的倍补角，，
，
解得，
故答案为：（1）；
【分析】（1）首先根据“是的倍补角”得出，然后根据 即可求出∠M的度数；
（2）①过点作，结合平行线的性质，可以得出，然后结合是的3倍补角即可求出答案；
②分点在右侧或者左侧，画出图形，利用倍角定义建立方程从而得出关于的关系式，即可得解．
（1）解：∵是的倍补角，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①如图，过点作直线，
∵
∴
，
，
由题意得，，
，
即；
②如图，
，
，
由①得，
，
，
如图，若点在右侧，则
如图，若点在左侧，连接并延长，
是的外角，
，
同理可得，，
．
综上所述，或．
23．【答案】（1）解：，
把代入得，，
解得：
把分别代入得：
，
解得
。
（2）解：能构成以点为顶点，以为腰的等腰直角三角形 ，理由如下：
①若为直角，且点在第三象限时，如图1：
过点和点分别做轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点，
是以为腰的等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
将代入得：
②若为直角，且点在第一象限时，如图2：
过点和点分别做轴平行线分别交轴于点和点，同理可证，
将代入得：
③若为直角，如图3，
过点做轴平行线分别交轴和直线于点和点，
同理可证，
设，则
将代入得：
解得
④若为直角，且点在轴和之间时，如图4：
过点和点分别作轴的平行线交轴于点和点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
将代入得：
此时，点在直线的右边，故舍去．
⑤若为直角，且点在轴左边时，如图5：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然，
这与矛盾，故不存在．
⑥若为直角，且点在的右边时，如图6：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点、，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然
这与矛盾，故不存在．
综上：或或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把代入中即可求出a的值；然后利用待定系数法，把分别代入，列出方程组即可求出k和b的值，最后即可确定函数关系式；
（2）分六种情形讨论，即为直角且点在第三象限时、为直角且点在第一象限时、为直角、为直角、为直角且点在轴左边时、为直角且点在的右边时，然后分别进行计算即可。
（1）解：，
把代入得，
，
解得：
把分别代入得：
解得
（2）①若为直角，且点在第三象限时，如图1：
过点和点分别做轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点，
是以为腰的等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
将代入得：
②若为直角，且点在第一象限时，如图2：
过点和点分别做轴平行线分别交轴于点和点，同理可证，
将代入得：
③若为直角，如图3，
过点做轴平行线分别交轴和直线于点和点，
同理可证，
设，则
将代入得：
解得
④若为直角，且点在轴和之间时，如图4：
过点和点分别作轴的平行线交轴于点和点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
将代入得：
此时，点在直线的右边，故舍去．
⑤若为直角，且点在轴左边时，如图5：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然，
这与矛盾，故不存在．
⑥若为直角，且点在的右边时，如图6：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点、，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然
这与矛盾，故不存在．
综上：或或
1 / 1广东省佛山市南海区2024-2025学年上学期期末监测八年级数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·南海期末）下面5个数：，，，，其中是有理数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】有理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，0是有理数，是无理数．
因此有理数有4个。
故答案为：D．
【分析】有理数包括有限小数和无限循环小数是有理数，无理数即无限不循环小数。本题根据有理数的定义与分类即可得出答案。
2．（2025八上·南海期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、xy=6中，最高次项的次数是2，因此不是二元一次方程组；故A不符合题意；
B、不是整式方程，因此不是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、方程组中的两个方程均为整式方程，且含有2个未知数、最高次项的次数是1，因此是二元一次方程组，故C符合题意；
D、整个方程组含有3个未知数，因此不是二元一次方程组，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】二元一次方程组满足的条件，即方程组中的方程均为整式方程、含有2个未知数、最高次项的次数是1。本题根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可．
3．（2025八上·南海期末）在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数中，
∴图像经过第一、三、四象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数y=kx+b的k＞0，b＜0时，一次函数的图象在一、三、四象限，即可求解.
4．（2025八上·南海期末）你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
【答案】B
【知识点】函数的概念；自变量、因变量
【解析】【解答】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故答案为：B．
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量。题中“ 随着温度降低，电池中的化学物质活性降低 ”，即温度数值的变化导致电池中化学物质活性发生变化，因此温度是自变量。
5．（2025八上·南海期末）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
6．（2025八上·南海期末）下列说法正确的是（　　）
A．64的立方根是 B．2是8的平方根
C．1的算术平方根是1 D．的平方根是
【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，原说法错误；
B、，原说法错误；
C、，说法正确；
D、没有平方根，原说法错误．
故答案为：C．
【分析】 如果x3=a，则x是a的立方根。据此可以判断出A选项的正误；如果x2=a，则x是a的平方根，据此可以判断出B选项的正误； 算术平方根指非负数的非负平方根，计算即可判断出C选项；负数在实数范围内没有平方根，因为任何实数的平方都是非负数。据此可以判断出D选项的正误。
7．（2025八上·南海期末）在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在第四象限，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，作图如下，过点作于点，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∵顶点在第四象限，
∴，
故答案为：A ．
【分析】本题首先根据等边三角形的性质得到，，计算得出，然后由勾股定理得到，最后根据第四象限的特点，即可判断出B点的坐标。
8．（2025八上·南海期末）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子以上．如图是某款自带勺子的杯子的简化图，杯身是一个圆柱形杯子的内径是，杯子内侧高度为，则勺子的长度至少为（　　）厘米．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长，
在中，，，
∴，
∴勺子的长度至少为．
故答案为：D．
【分析】本题从图上分析可以得出，当勺子的底端在点时，勺子的长度最长；然后根据勾股定理求出的长，最后计算即可求出答案。
9．（2025八上·南海期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵平分，
∴，
∵为边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题首先放到△ABC中，根据三角形内角和可以先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线可以求出的度数，最后根据对顶角相等即可得出的度数．
10．（2025八上·南海期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．10 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，
∴BG：CG=2：1，
设，，
∵六边形的面积为14，
而，
∴
解得，（舍去），
根据图形及勾股定理的验证得到，
而小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，
∴DE=CG=A'F'，AB=BG=A'B'，
而B'F'=B'C'=BC，
∴A'F'2+A'B'2=B'F'2，
∴△A'B'F'是直角三角形，∠B'A'F'=90°，
同理可得△C'D'E'是直角三角形，∠C'D'E'=90°，
∴△BCG≌△EGF≌△B'F'A'≌△E'C'D'（SSS），
∴四边形的面积=四边形的面积+四边形的面积．
故答案为：B．
【分析】本题先利用正方形面积特点，可以先假设出，，然后结合三角形面积计算公式可以先求出；根据图形及勾股定理的验证得到，继而得出△A'B'F'是直角三角形，∠B'A'F'=90°，△C'D'E'是直角三角形，∠C'D'E'=90°，并结合SSS证明得出△BCG≌△EGF≌△B'F'A'≌△E'C'D'，此时即可得出四边形的面积=四边形的面积+四边形的面积，再根据六边形的面积为14，最后代入计算即可。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八上·南海期末）写出一个大于3且小于4的无理数　 　．
【答案】π（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
12．（2025八上·南海期末）若点与的连线与轴平行，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点与的连线与轴平行，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等。据此即可求出a的值，然后代入计算即可求出B点坐标。
13．（2025八上·南海期末）函数与的图象如图所示，两图象交点的横坐标为，则二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 变形为x-y-5=0， 变形为kx-y+b=0，
∵函数与两图象交点的横坐标为，即x=3，
∴，
∴交点坐标为，
故答案为： ．
【分析】本题首先将两个函数变形发现，二元一次方程组的解就是两个函数的交点。然后根据两直线交点的横坐标代入计算可得两直线交点纵坐标，由此即可得到二元一次方程组的解．
14．（2025八上·南海期末）如图，在四边形中，，过点的直线交与点，交的延长线与点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题根据“同位角相等、两直线平行”可以得出，然后根据平行四边形的判定方法即可得出四边形ABCD是平行四边形，最后根据“平行四边形对应角相等”即可得出答案。
15．（2025八上·南海期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是　 　．
【答案】539
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设百位数字为a，十位和个位数字组成的两位数是b。则这个三位数是100a+b，
根据题意得：，
解得：，
原来的数为，
故答案为：．
【分析】本题根据条件可以先假设百位数字为a，由十位数字和个位数字组成的两位数为b，此时原三位数是100a+b。然后“将最左边的数字移到最右边”此时得到的三位数是10b+a，结合条件列式100a+b-（10b+a）=144；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列式b-7a=4，由此联立二元一次方程组，求解即可。
三、解答题：本大题共8小题，161 8题每题7分，192 1题每题9分，22题13分，23题14分，共75分．
16．（2025八上·南海期末）计算：.
【答案】解：
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题首先将各项化简为最简二次根式，即，然后合并同类项进行计算即可。
17．（2025八上·南海期末）如图，在平面直角坐标系中，．
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：作轴，作，如图
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据点关于x轴对称的特点，即横坐标不变、纵坐标互为相反数，首先确定A、B、C三点坐标关于x轴对称的坐标点分别是（1，-2）、（5，-1）、（0，-5），在平面直角坐标系中标出之后，连接A'B'C'即可。
（2）将三角形ABC放到直角三角形BGC中，运用割补法得到，由此即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：作轴，作，
∴，
∴
．
18．（2025八上·南海期末）佛山有着“南国陶都”的美誉，佛山陶瓷以其丰富的品种、卓越的品质和不断创新的设计理念，赢得了国内外市场的广泛赞誉．某陶瓷专卖店一天售出和两种规格的瓷砖共100箱，合计240片．已知规格的瓷砖一箱装2片，规格的瓷砖一箱装3片．
（1）该专卖店两种规格的瓷砖各卖了多少箱？
（2）该专卖店规格的瓷砖价格为40元一片，规格的瓷砖价格为35元一片，求该店这天出售两种瓷砖的总销售额是多少元？
【答案】（1）解：设型号瓷砖卖了箱，型号瓷砖卖了箱．
则：，
解得：，
∴型号瓷砖卖了60箱，型号瓷砖卖了40箱．
（2）解：元，
∴该店这天出售两种瓷砖的销售额是9000元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“该陶瓷专卖店一天售出和两种规格的瓷砖共100箱”，可以列方程x+y=100，“合计240片”可列方程2x+3y=240，然后列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）利用“总销售额=销售单价×销售数量”，分别列出规格的瓷砖销售额60×2×40和规格的瓷砖销售额40×3×35，合并计算即可。
（1）解：设型号瓷砖卖了箱，型号瓷砖卖了箱．
则：，
解得：，
答：型号瓷砖卖了60箱，型号瓷砖卖了40箱．
（2）解：元，
答：该店这天出售两种瓷砖的销售额是9000元．
19．（2025八上·南海期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村；
方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明
【答案】（1）解：是直角三角形．理由如下：
，
，
是直角三角形。
（2）解：的面积，
千米，
方案一：千米，
方案二：千米；
∵4.2千米＜4.44千米，
方案一所修的管道较短．
【知识点】等积变换；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，代入计算即可得出是直角三角形；
（2）根据的面积先求出，然后分别计算出方案一和方案二铺设管道的长度，最后比较即可。
（1）解：是直角三角形．理由如下：
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：的面积，
，
，
，
方案一所修的管道较短．
20．（2025八上·南海期末）在脐橙收获季节，某班同学开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的甲、乙两块成龄脐橙园，对两块脐橙园的脐橙品质情况进行调查统计，为脐橙的发展规划提供一些参考．从两块脐橙园采摘的脐橙中各随机选取400个（不计过大和过小的果实），在技术人员指导下，测量每个脐橙的直径，作为样本数据．脐橙直径用（单位：）表示．如表1，将所收集的样本数据进行如下分组，整理样本数据，并绘制甲园样本数据的扇形统计图、乙园样本数据的频数分布直方图如下：
组别
A
B
C
D
数据分组
根据所给信息，回答下列问题：
（1）由统计图可知，甲园样本数据的中位数在___________组；甲园样本数据的众数在___________组，乙园样本数据的众数在___________组．
（2）结合市场情况，认定D组的脐橙为一级，C组为二级，B组和E组为三级，A组为次果（不纳入品质评比）．其中一级品质最优，二级次之，三级最次，你认为哪个园的脐橙品质更优，并说明理由．
【答案】（1）C组，B组，C组
（2）解：我认为乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．理由：
甲园样本数据中，一级所占百分比为，
乙园样本数据中，一级所占百分比为，
∵，
∴乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：甲园A组脐橙个数为（个），B组脐橙个数为（个），C组脐橙个数为（个），
∵中位数是第200和201个数据的平均数，
而30+140=170，30+140+100=270，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
从图中可以看出，B组占，占比最大，
∴甲园样本数据的众数是B组；
由乙园样本数据的频数分布直方图可知，C组个数有140个，数量最多，
∴乙园样本数据的众数在C组，
故答案为：（1）C组，B组，C组；
【分析】（1）先根据扇形统计图求得甲园A组、B组、C组脐橙个数，再根据中位数的定义可以判断出中位数在C组；再根据B组占比最大可判断出众数是B组；然后由乙园样本数据的频数分布直方图数量最多的组可得乙园样本数据的众数；
（2）分别求得甲乙两园一级所占的百分比，进而比较大小可得答案．
（1）解：根据扇形统计图可得，甲园A组脐橙个数为（个），B组脐橙个数为（个），C组脐橙个数为（个），
∵中位数是第200和201个数据的平均数，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
∵甲园样本数据中，B组占，占比最大，
∴甲园样本数据的众数是B组；
由乙园样本数据的频数分布直方图可知，C组个数有140个，数量最多，
∴乙园样本数据的众数在C组，
故答案为：C组，B组，C组；
（2）解：我认为乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．
理由：甲园样本数据中，一级所占百分比为，
乙园样本数据中，一级所占百分比为，
∵，
∴我认为乙园的脐橙品质更优，因为乙园的一级果占比比甲园的更多．
21．（2025八上·南海期末）综合与实践
小王最近发现自己使用的手机资费套餐A，每个月都会剩余很多的语音通话未使用，感到非常浪费．于是他上网查询了价格更低的几种套餐，其收费标准如下表所示：
套餐 月费 语音 流量 套外流量
A套餐 99元 400分钟 20GB 3元/GB
B套餐 79元 200分钟 15GB 3元/GB
C套餐 59元 300分钟 10GB 5元/GB
D套餐 39元 200分钟 5GB 5元/GB
（1）小王10月份的语音通话是150分钟，流量为20GB，小王可以考虑更换为___________套餐，则总付费可节省___________元；
（2）通过查询流量的具体使用情况，小王发现自己每个月的流量主要用在听音乐和刷短视频，其中听音乐的流量较固定，因此小王决定购买每个月9元的音乐畅听包（每个月听音乐均免流量），若小王每个月刷短视频等其他流量共计不等，请你通过计算说明，小王应该选择哪种套餐最划算？
【答案】（1）B；5
（2）解：A套餐费用：（元），
B套餐的最大费用：（元），
C套餐的最大费用：（元），
D套餐的最大费用：（元），
∵，
∴小王应该选择B种套餐最划算．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】（1）解：B套餐费用：（元），
C套餐费用：（元），
D套餐费用：（元），
∵，
∴小王可以考虑更换为B套餐；（元），
则总付费可节省5元．
故答案为：（1）B；5．
【分析】（1）按照小王10月份的使用情况，结合BCD三种套餐分别求出资费，最后进行比较作差即可；
（2）分别求出其它4种套餐的资费，再进行比较即可．
（1）解：B套餐费用：
（元），
C套餐费用：
（元），
D套餐费用：
（元），
∵，
∴小王可以考虑更换为B套餐；（元），
则总付费可节省5元．
故答案为：B；5．
（2）解：A套餐费用：（元），
B套餐的最大费用：（元），
C套餐的最大费用：（元），
D套餐的最大费用：（元），
∵，
∴小王应该选择B种套餐最划算．
22．（2025八上·南海期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，则为的倍补角．
（1）是的5倍补角，，则　 　；
（2）如图1，在平面内，，点在左侧，连接、．
①若是的3倍补角，求；
②在①的条件下，点在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用表示）．
【答案】（1）22.5°
（2）解：①如图，过点作直线，
∵
∴
，
，
∵是的3倍补角 ，即，
，
，即；
②如图，
，
，
由①得，
，
，
如图，若点在右侧，则
如图，若点在左侧，连接并延长，
是的外角，
，
同理可得，，
．
综上所述，或．
【知识点】平行公理及推论；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵是的倍补角，，
，
解得，
故答案为：（1）；
【分析】（1）首先根据“是的倍补角”得出，然后根据 即可求出∠M的度数；
（2）①过点作，结合平行线的性质，可以得出，然后结合是的3倍补角即可求出答案；
②分点在右侧或者左侧，画出图形，利用倍角定义建立方程从而得出关于的关系式，即可得解．
（1）解：∵是的倍补角，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①如图，过点作直线，
∵
∴
，
，
由题意得，，
，
即；
②如图，
，
，
由①得，
，
，
如图，若点在右侧，则
如图，若点在左侧，连接并延长，
是的外角，
，
同理可得，，
．
综上所述，或．
23．（2025八上·南海期末）如图1，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，且．
（1）分别求出两个一次函数的关系式；
（2）如图2，过点作平行于轴的直线，点为直线上一点，点为直线上一点，问能否构成以点为顶点，以为腰的等腰直角三角形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：，
把代入得，，
解得：
把分别代入得：
，
解得
。
（2）解：能构成以点为顶点，以为腰的等腰直角三角形 ，理由如下：
①若为直角，且点在第三象限时，如图1：
过点和点分别做轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点，
是以为腰的等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
将代入得：
②若为直角，且点在第一象限时，如图2：
过点和点分别做轴平行线分别交轴于点和点，同理可证，
将代入得：
③若为直角，如图3，
过点做轴平行线分别交轴和直线于点和点，
同理可证，
设，则
将代入得：
解得
④若为直角，且点在轴和之间时，如图4：
过点和点分别作轴的平行线交轴于点和点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
将代入得：
此时，点在直线的右边，故舍去．
⑤若为直角，且点在轴左边时，如图5：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然，
这与矛盾，故不存在．
⑥若为直角，且点在的右边时，如图6：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点、，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然
这与矛盾，故不存在．
综上：或或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把代入中即可求出a的值；然后利用待定系数法，把分别代入，列出方程组即可求出k和b的值，最后即可确定函数关系式；
（2）分六种情形讨论，即为直角且点在第三象限时、为直角且点在第一象限时、为直角、为直角、为直角且点在轴左边时、为直角且点在的右边时，然后分别进行计算即可。
（1）解：，
把代入得，
，
解得：
把分别代入得：
解得
（2）①若为直角，且点在第三象限时，如图1：
过点和点分别做轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点，
是以为腰的等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
将代入得：
②若为直角，且点在第一象限时，如图2：
过点和点分别做轴平行线分别交轴于点和点，同理可证，
将代入得：
③若为直角，如图3，
过点做轴平行线分别交轴和直线于点和点，
同理可证，
设，则
将代入得：
解得
④若为直角，且点在轴和之间时，如图4：
过点和点分别作轴的平行线交轴于点和点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
将代入得：
此时，点在直线的右边，故舍去．
⑤若为直角，且点在轴左边时，如图5：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然，
这与矛盾，故不存在．
⑥若为直角，且点在的右边时，如图6：
过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点、，
若为等腰直角三角形，同理可证，
设点，则有，显然
这与矛盾，故不存在．
综上：或或
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