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　甘肃省兰州市城关区树人中学2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（2025九上·城关期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，故是轴对称图形，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，据此即可判断
2．（2025九上·城关期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
3．（2025九上·城关期末）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流.2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“464万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：464万，
故答案为：A．
【分析】首先把464万改写成4640000，然后再根据大于10的数的科学记数法的规范要求，改写成4.64×106即可。
4．（2025九上·城关期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C
【分析】根据配方法即可求出答案.
5．（2025九上·城关期末）如果二次根式有意义，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意得，x+3＞0，
解得，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+3＞0，解不等式即可。
6．（2025九上·城关期末）一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴图象一定过第二、四象限，
∵b=-1，
∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限，
故答案为：A．
【分析】首先根据一次函数的性质和系数的关系，即可得出k的正负号，进而再根据k的正负号，得出图象经过的象限，进而即可得出答案。
7．（2025九上·城关期末）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
8．（2025九上·城关期末）甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据“ 博物馆有15名工作人员”和“一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”“可得出方程组。
9．（2025九上·城关期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，．若点B的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，，
∴，且相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的性质可得出，且相似比为，根据点的坐标为，可得出点的横坐标为，点的纵坐标为。
10．（2025九上·城关期末）分式方程的解为正数，则m的取值范围(　　)
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
11．（2025九上·城关期末）在中，对角线与交于点O，在延长线上取一点E，连接交于F．已知，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，在中，对角线与交于点O，过O作交于M，
∵在中，，
∴，
∴是的中位线，
，
∵，
，
，
，
，即
．
故答案为：B．
【分析】过O作交于M，由平行四边形的性质可得出，即可得出，可得出是的中位线，又根据，即可得出EM=4，再根据，即可得出，即，进一步即可得出。
12．（2025九上·城关期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：C
【分析】根据抛物线的开口方向可得出a＞0，根据对称轴为x=1，可得出，可得出b＜0，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得出c＜0，故而可得出bc＞0，可得出①不正确；二次函数的图象与轴交于点，可得出9a+3b+c=0，进而根据b=-2a，可得出3a+c=0，进而得出，即②正确；进而根据当x=1时，函数的值最小，即可得出③正确；求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025九上·城关期末）分解因式：2x2﹣8=　 　
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
14．（2025九上·城关期末）如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵左眼A的坐标是，右眼B的坐标，
∴嘴唇C的坐标是 ，即，
∴将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是，
故答案为：．
【分析】首先根据左眼A的坐标是，右眼B的坐标，可得出嘴唇C的坐标是 ，即，进而根据平移规律，可得出向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是。
15．（2025九上·城关期末）将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据表格可得出所有机会均等的结果及所关注的结果，进而根据概率计算公式可得出答案。
16．（2025九上·城关期末）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为　 　．
【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，交于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，
，
，
，
又，
，
，，
，
点在以为直径的圆上运动，
为直径时，有最大值为1，
故答案为：1
【分析】连接，交于，由矩形的性质可得出，，进而根据勾股定理可得出，再根据可得出，，点在以为直径的圆上运动，为直径时，有最大值为1。
三、解答题（本大题共12小题，共72分）
17．（2025九上·城关期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．
18．（2025九上·城关期末）解不等式组：．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别解两个不等式得出它们的解集，然后再求它们解集的公共部分即可。
19．（2025九上·城关期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
把代入得：原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先进行分式的混合运算进行化简，然后再把代入原式进行计算即可。
20．（2025九上·城关期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）交于点A（4，1）与点B（﹣1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图像上，
∴m＝4，即反比例函数的解析式为y＝，
当x＝﹣1时，n＝﹣4，即B（﹣1，﹣4），
∵点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，解得：
∴一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）对于y＝x﹣3，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0）
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝；
（3）由图象可得，当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数的值大于反例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据待定系数法可得出反比例函数的解析式为y＝；一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）首先可求得C（3，0），进而根据割补法可得出S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝；
（3）观察函数图象，根据交点A，B横坐标，可得出当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数的值大于反例函数的值．
21．（2025九上·城关期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质可得出，且，进而结合，由等式的性质可得出AD=EF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是矩形；（2）首先根据菱形的性质可得出，，，根据勾股定理可得出，进而得出，再根据菱形的面积公式可得出，进而即可得出；
22．（2025九上·城关期末）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
【答案】（1）解：由题意可知：，
在中，，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为；
（2）解：如图②，延长交的延长线于点F，
则四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
则，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质即可求出答案.
（2）延长交的延长线于点F，根据正方形性质可得，设，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意可知：，
在中，，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为；
（2）解：如图②，延长交的延长线于点F，
则四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
则，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
23．（2025九上·城关期末）近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，特组织进行了七、八年级全体学生“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，D：85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级组同学的分数分别为：，，，；
八年级组同学的分数分别为：，，，，，，，，．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 88 95
八年级 88 89
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中，哪个年级学生对航天知识的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）87；89；
（2）解：七年级学生对航天知识的了解情况更好，理由：
由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率；
（3）解：由题意可得，
（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图可得：，由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为，
∴，
，
故答案为：87，89，；
【分析】（1）根据条形统计图可得出七年级的中位数在C组，进而根据C组的具体数据，即可得出中位数；根据A，B两组的人数和为8，总人数为20，即可得出，根据众数的定义可得出b的值；
（2）对比两个年级的特征数，即可得出结论；
（3）用样本估计总体，可由样本得出的 优秀率，进而再乘两个年级的学生总数，即可得出 两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
（1）解：由条形统计图可得：，
由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为，
∴，
，
故答案为：87，89，；
（2）解：七年级学生对航天知识的了解情况更好，理由：
由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率；
（3）解：由题意可得，
（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人．
24．（2025九上·城关期末）如图1描绘的是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，一来可以让被子气味宜人，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，可熏香、熏衣、熏被．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，最大高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一批直径10厘米，高8厘米的圆柱体熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面，请通过计算说明熏笼内沿一排最多能放置几个熏炉（每个熏炉底面的一条直径都与重合）？
【答案】（1）解：∵熏笼的跨度为厘米，高度为厘米，
∴可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，根据图象可知抛物线经过原点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令，可得，解得：，
∴高为厘米的水平距离为：厘米，
可放置的熏炉个数为：(个) ，
故熏笼内一排最多能放置个熏炉．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得出抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为：，再根据图象经过原点，即可得出，进而即可得出 抛物线的解析式；
（2）根据所给数据，弄清其含义代入求值，即可求解．
（1）解：∵熏笼的跨度为厘米，高度为厘米，
∴可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，根据图象可知抛物线经过原点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，可得，
解得：，
∴高为厘米的水平距离为：厘米，
可放置的熏炉个数为：(个) ，
故熏笼内一排最多能放置个熏炉．
25．（2025九上·城关期末）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ ……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是　 　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）证明：由作图方法可知：，，，．又，．．即．（3）图③②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
（1）勾股定理的逆定理
（2）证明：由作图方法可知：，，
，．
又，
．
．
即．
（3）①
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
故答案为：勾股定理的逆定理；
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可得出∠DCE=90°；
（2）根据作图可得出，，根据等腰三角形的性质定理可得出，，进而根据三角形内角和定理即可得出．
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
26．（2025九上·城关期末）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）如图1，当点P的坐标为时，求的面积．
（3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入，得
，
解得，
所以函数关系式为；
（2）解：当时，，
∴．
设直线的关系式为，
将代入，得
，
解得，
所以直线的关系式为．
过点P作交于点G，如图所示．
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在点F，使使直角三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线得对称轴为直线．
设，
∴，，．
当时，，
解得，
∴或；
当时，
，
解得，
∴；
当时，
，
解得，
∴．
综上所述，点F的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点，即可得出，解得，即可得出数关系式为；（2）过点P作交于点G，根据割补法可得出可得出的面积；
（3）存在点F，使使直角三角形，设点F的坐标，则，，，分三种情况讨论，由勾股定理可得出点F的坐标为或或或．
（1）将点，代入，得
，
解得，
所以函数关系式为；
（2）当时，，
∴．
设直线的关系式为，
将代入，得
，
解得，
所以直线的关系式为．
过点P作交于点G，如图所示．
∵，
∴，
∴；
（3）存在点F，使使直角三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线得对称轴为直线．
设，
∴，，．
当时，，
解得，
∴或；
当时，
，
解得，
∴；
当时，
，
解得，
∴．
综上所述，点F的坐标为或或或．
27．（2025九上·城关期末）（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】（2）如图2，在中，点D、E、F分别在边、、上，若，那么与有何关系，并加以说理；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点D、F分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知，点G是的中点，连接、，直接写出的最小值．
【答案】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
（3）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，
∵，，
同（2）可得：，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E点在射线上运动，
∵G点与N的关于对称，
∴，
∴，
∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∵点G是的中点，，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
【分析】（1）首先根据同角的余角相等可得出，进而根据AAS可证得，由全等三角形的性质，即可得出；（2）由外角的性质可得出，再根据，即可得出；
（3）①根据，得到：，再根据，即可得解；②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，证明，利用对应边相等，和线段的转化，得到：，进而得到，根据对称得到：，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得解．
28．（2025九上·城关期末）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
【答案】（1）和
（2）
（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，即，
解得：，
n的最小值为；
同理，当过，得到n的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）解：∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，再进行判断即可求出答案.
（2）根据“伴随点”的定义可得点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，则，再根据旋转性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据两点间距离可得，再根据第一象限内点的坐标特征可得，设直线的解析式为：，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，分情况讨论：当在上时，当在上时，将点D'代入解析式求出m值，即可求出答案.
（3）绕点O逆时针旋转得到，其中，根据“伴随点”定义建立方程，解方程可得最小值，同理，当过，得到n的最大值为.
（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）解：∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，即，
解得：，
n的最小值为；
同理，当过，得到n的最大值为．
1 / 1　甘肃省兰州市城关区树人中学2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（2025九上·城关期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·城关期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·城关期末）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流.2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“464万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·城关期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·城关期末）如果二次根式有意义，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·城关期末）一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025九上·城关期末）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·城关期末）甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·城关期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，．若点B的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·城关期末）分式方程的解为正数，则m的取值范围(　　)
A． B．且
C． D．且
11．（2025九上·城关期末）在中，对角线与交于点O，在延长线上取一点E，连接交于F．已知，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
12．（2025九上·城关期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025九上·城关期末）分解因式：2x2﹣8=　 　
14．（2025九上·城关期末）如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是　 　．
15．（2025九上·城关期末）将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是　 　．
16．（2025九上·城关期末）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为　 　．
三、解答题（本大题共12小题，共72分）
17．（2025九上·城关期末）计算：．
18．（2025九上·城关期末）解不等式组：．
19．（2025九上·城关期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2025九上·城关期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）交于点A（4，1）与点B（﹣1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
21．（2025九上·城关期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
22．（2025九上·城关期末）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
23．（2025九上·城关期末）近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，特组织进行了七、八年级全体学生“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，D：85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级组同学的分数分别为：，，，；
八年级组同学的分数分别为：，，，，，，，，．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 88 95
八年级 88 89
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中，哪个年级学生对航天知识的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
24．（2025九上·城关期末）如图1描绘的是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，一来可以让被子气味宜人，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，可熏香、熏衣、熏被．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，最大高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一批直径10厘米，高8厘米的圆柱体熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面，请通过计算说明熏笼内沿一排最多能放置几个熏炉（每个熏炉底面的一条直径都与重合）？
25．（2025九上·城关期末）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ ……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是　 　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
26．（2025九上·城关期末）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）如图1，当点P的坐标为时，求的面积．
（3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2025九上·城关期末）（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】（2）如图2，在中，点D、E、F分别在边、、上，若，那么与有何关系，并加以说理；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点D、F分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知，点G是的中点，连接、，直接写出的最小值．
28．（2025九上·城关期末）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，故是轴对称图形，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，据此即可判断
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：464万，
故答案为：A．
【分析】首先把464万改写成4640000，然后再根据大于10的数的科学记数法的规范要求，改写成4.64×106即可。
4．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C
【分析】根据配方法即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意得，x+3＞0，
解得，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+3＞0，解不等式即可。
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴图象一定过第二、四象限，
∵b=-1，
∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限，
故答案为：A．
【分析】首先根据一次函数的性质和系数的关系，即可得出k的正负号，进而再根据k的正负号，得出图象经过的象限，进而即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，
由题意得，，
故答案为：A．
【分析】设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据“ 博物馆有15名工作人员”和“一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”“可得出方程组。
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，，
∴，且相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的性质可得出，且相似比为，根据点的坐标为，可得出点的横坐标为，点的纵坐标为。
10．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
11．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，在中，对角线与交于点O，过O作交于M，
∵在中，，
∴，
∴是的中位线，
，
∵，
，
，
，
，即
．
故答案为：B．
【分析】过O作交于M，由平行四边形的性质可得出，即可得出，可得出是的中位线，又根据，即可得出EM=4，再根据，即可得出，即，进一步即可得出。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：C
【分析】根据抛物线的开口方向可得出a＞0，根据对称轴为x=1，可得出，可得出b＜0，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得出c＜0，故而可得出bc＞0，可得出①不正确；二次函数的图象与轴交于点，可得出9a+3b+c=0，进而根据b=-2a，可得出3a+c=0，进而得出，即②正确；进而根据当x=1时，函数的值最小，即可得出③正确；求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.
13．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵左眼A的坐标是，右眼B的坐标，
∴嘴唇C的坐标是 ，即，
∴将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是，
故答案为：．
【分析】首先根据左眼A的坐标是，右眼B的坐标，可得出嘴唇C的坐标是 ，即，进而根据平移规律，可得出向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是。
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】根据表格可得出所有机会均等的结果及所关注的结果，进而根据概率计算公式可得出答案。
16．【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，交于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，
，
，
，
又，
，
，，
，
点在以为直径的圆上运动，
为直径时，有最大值为1，
故答案为：1
【分析】连接，交于，由矩形的性质可得出，，进而根据勾股定理可得出，再根据可得出，，点在以为直径的圆上运动，为直径时，有最大值为1。
17．【答案】解：
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．
18．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别解两个不等式得出它们的解集，然后再求它们解集的公共部分即可。
19．【答案】解：
，
把代入得：原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先进行分式的混合运算进行化简，然后再把代入原式进行计算即可。
20．【答案】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图像上，
∴m＝4，即反比例函数的解析式为y＝，
当x＝﹣1时，n＝﹣4，即B（﹣1，﹣4），
∵点A（4，1）与点B（﹣1，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，解得：
∴一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）对于y＝x﹣3，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0）
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝；
（3）由图象可得，当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数的值大于反例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据待定系数法可得出反比例函数的解析式为y＝；一次函数解析式为y＝x﹣3；
（2）首先可求得C（3，0），进而根据割补法可得出S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝；
（3）观察函数图象，根据交点A，B横坐标，可得出当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数的值大于反例函数的值．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质可得出，且，进而结合，由等式的性质可得出AD=EF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是矩形；（2）首先根据菱形的性质可得出，，，根据勾股定理可得出，进而得出，再根据菱形的面积公式可得出，进而即可得出；
22．【答案】（1）解：由题意可知：，
在中，，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为；
（2）解：如图②，延长交的延长线于点F，
则四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
则，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质即可求出答案.
（2）延长交的延长线于点F，根据正方形性质可得，设，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意可知：，
在中，，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为；
（2）解：如图②，延长交的延长线于点F，
则四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，，
则，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
23．【答案】（1）87；89；
（2）解：七年级学生对航天知识的了解情况更好，理由：
由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率；
（3）解：由题意可得，
（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图可得：，由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为，
∴，
，
故答案为：87，89，；
【分析】（1）根据条形统计图可得出七年级的中位数在C组，进而根据C组的具体数据，即可得出中位数；根据A，B两组的人数和为8，总人数为20，即可得出，根据众数的定义可得出b的值；
（2）对比两个年级的特征数，即可得出结论；
（3）用样本估计总体，可由样本得出的 优秀率，进而再乘两个年级的学生总数，即可得出 两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
（1）解：由条形统计图可得：，
由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为，
∴，
，
故答案为：87，89，；
（2）解：七年级学生对航天知识的了解情况更好，理由：
由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率；
（3）解：由题意可得，
（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人．
24．【答案】（1）解：∵熏笼的跨度为厘米，高度为厘米，
∴可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，根据图象可知抛物线经过原点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令，可得，解得：，
∴高为厘米的水平距离为：厘米，
可放置的熏炉个数为：(个) ，
故熏笼内一排最多能放置个熏炉．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得出抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为：，再根据图象经过原点，即可得出，进而即可得出 抛物线的解析式；
（2）根据所给数据，弄清其含义代入求值，即可求解．
（1）解：∵熏笼的跨度为厘米，高度为厘米，
∴可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，根据图象可知抛物线经过原点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，可得，
解得：，
∴高为厘米的水平距离为：厘米，
可放置的熏炉个数为：(个) ，
故熏笼内一排最多能放置个熏炉．
25．【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）证明：由作图方法可知：，，，．又，．．即．（3）图③②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
（1）勾股定理的逆定理
（2）证明：由作图方法可知：，，
，．
又，
．
．
即．
（3）①
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
故答案为：勾股定理的逆定理；
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可得出∠DCE=90°；
（2）根据作图可得出，，根据等腰三角形的性质定理可得出，，进而根据三角形内角和定理即可得出．
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
26．【答案】（1）解：将点，代入，得
，
解得，
所以函数关系式为；
（2）解：当时，，
∴．
设直线的关系式为，
将代入，得
，
解得，
所以直线的关系式为．
过点P作交于点G，如图所示．
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在点F，使使直角三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线得对称轴为直线．
设，
∴，，．
当时，，
解得，
∴或；
当时，
，
解得，
∴；
当时，
，
解得，
∴．
综上所述，点F的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点，即可得出，解得，即可得出数关系式为；（2）过点P作交于点G，根据割补法可得出可得出的面积；
（3）存在点F，使使直角三角形，设点F的坐标，则，，，分三种情况讨论，由勾股定理可得出点F的坐标为或或或．
（1）将点，代入，得
，
解得，
所以函数关系式为；
（2）当时，，
∴．
设直线的关系式为，
将代入，得
，
解得，
所以直线的关系式为．
过点P作交于点G，如图所示．
∵，
∴，
∴；
（3）存在点F，使使直角三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线得对称轴为直线．
设，
∴，，．
当时，，
解得，
∴或；
当时，
，
解得，
∴；
当时，
，
解得，
∴．
综上所述，点F的坐标为或或或．
27．【答案】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
（3）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，
∵，，
同（2）可得：，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E点在射线上运动，
∵G点与N的关于对称，
∴，
∴，
∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∵点G是的中点，，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
【分析】（1）首先根据同角的余角相等可得出，进而根据AAS可证得，由全等三角形的性质，即可得出；（2）由外角的性质可得出，再根据，即可得出；
（3）①根据，得到：，再根据，即可得解；②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，证明，利用对应边相等，和线段的转化，得到：，进而得到，根据对称得到：，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得解．
28．【答案】（1）和
（2）
（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，即，
解得：，
n的最小值为；
同理，当过，得到n的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）解：∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，再进行判断即可求出答案.
（2）根据“伴随点”的定义可得点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，则，再根据旋转性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据两点间距离可得，再根据第一象限内点的坐标特征可得，设直线的解析式为：，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，分情况讨论：当在上时，当在上时，将点D'代入解析式求出m值，即可求出答案.
（3）绕点O逆时针旋转得到，其中，根据“伴随点”定义建立方程，解方程可得最小值，同理，当过，得到n的最大值为.
（1）解：∵，
∴轴，
如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）解：∵，
∴在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”；
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在第一象限，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：，
∴，
当在上时，，解得：；
当在上时，，解得：；
∴当时，点是关于原点O的“伴随点”；
（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，即，
解得：，
n的最小值为；
同理，当过，得到n的最大值为．
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