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广东省惠州一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2025九上·惠州期末）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（　　）
A．4，5，6，7 B．3，4，6，9
C．8，4，4，2 D．5，10，10，15
【答案】C
【知识点】线段的比
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据比例线段的定义：如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）逐项判断即可解答．
2．（2025九上·惠州期末）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
3．（2025九上·惠州期末）在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：①②③的邻边之比分别为：，
∴相似的是②③，
故答案为：B．
【分析】
根据相似多边形的判定：两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形然后分别求出三个矩形的邻边之比，判断即可解答．
4．（2025九上·惠州期末）如图，边长为2的正六边形内接于，则该正六边形的半径为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
由题意得：，
而，
∴为等边三角形，
∴，
∴正六边形的半径为2，
故答案为：B．
【分析】
连接，利用正多边形的性质求出正多边形的中心角为，即可证明为等边三角形，由此即可解答．
5．（2025九上·惠州期末）抛物线与轴交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，
此时，
∴抛物线与轴无交点，
故答案为：A．
【分析】
令，求出即可判断抛物线与轴无交点，解答即可．
6．（2025九上·惠州期末）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
【分析】先根据垂径定理得到长，然后利用勾股定理求出OA长解题．
7．（2025九上·惠州期末）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（-2，y2）、B（-1，y2）位于第三象限，C（1，y3）位于第一象限.
∵-2<-1，
∴y2故答案为：C.
【分析】 根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
8．（2025九上·惠州期末）如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正弦值；圆周角定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：∵与所对的都是，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
则，
故答案为：B．
【分析】
根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据勾股定理得到， 再根据正弦的定义求出的值，解答即可．
9．（2025九上·惠州期末）“立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月增长率为，
由题意得，，
故答案为：D．
【分析】
设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程即可解答．
10．（2025九上·惠州期末）如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则的面积为（　　）
A．8 B．4 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；已知正切值求边长；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：作于D，
设，则，
∵将绕点逆时针旋转后得到，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵点C为斜边的中点，
∴，
∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】
作于D，设，则，根据旋转的性质可判定四边形为矩形， 再根据矩形的性质得到和B的坐标，再根据中点坐标公式得到C的坐标，代入反比例函数表达式即可求得x的值，从而求得、的长，再根据三角形面积公式计算即可解答．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果．
11．（2025九上·惠州期末）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象是关于原点的中心对称图形，经过原点的直线也是关于原点的中心对称图形，
∴它们的两个交点一定关于原点对称，
∴它的另一个交点的坐标是，
故答案为：．
【分析】
根据反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．
12．（2025九上·惠州期末）如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、、及点、、，且，，，则　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列式计算即可解答．
13．（2025九上·惠州期末）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为，
重物上升，
点A转过的弧长为，
滑轮的半径为，
，
解得，
滑轮上点A转过的度数为，
故答案为：．
【分析】
根据题干信息：重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，由半径为，利用弧长公式建立方程，计算即可解答．
14．（2025九上·惠州期末）如图，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣位似；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为，
∵将放大为原来的2倍，得到，点，
∴点，即点，
∵点是抛物线的顶点，
将代入得，，
解得：，
∴抛物线的解析式是
故答案为：．
【分析】
利用位似图形的性质求得点，再由点是抛物线的顶点设解析式为，再利用待定系数法求解即可解答．
15．（2025九上·惠州期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：作，如图所示：
由题意得：
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】
作，由平行线分线段成比例可得，从而得到，计算即可解答.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025九上·惠州期末）计算：
（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
，
或，
或，
所以方程的解为．
（2）解：原式
．

【知识点】因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）方程的左边可因式分解为，然后得到或， 计算即可解答；
（2）先计算正弦、余弦与正切，再计算有理数的乘法与加减法即可解答．
（1）解：，
，
或，
或，
所以方程的解为．
（2）解：原式
．
17．（2025九上·惠州期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示．
（1）求I与R之间的函数表达式；
（2）求时，对应的R的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意可设，
点在函数的图象上，
，
解得，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
，
由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）设函数表达式为，根据待定系数法把点代入计算求出函数解析式即可解答；
（2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数的性质即可解答.
（1）解：根据题意可设，
点在函数的图象上，
，
解得，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）当时，，
，
由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，
18．（2025九上·惠州期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）在图中画出沿轴翻折后的；
（2）以点为位似中心，在网格内作出按放大后的位似图形；
（3）点的坐标　 　；与的周长比是　 　，与的面积比是　 　．
【答案】（1）解：如图，为所求；
（2）解：如图，为所求；
（3）；；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（3）根据坐标与图形可得，
∵位似比为，
∴周长比为，面积比为，即，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题干信息沿轴翻折后得到 ，只需画出关于x轴对称的轴对称图形，即可解答；
（2）根据位似比为2：1，即将放大2倍，连接MA1再延长取相等得到A2，同样作出B2，C2，解答即可；
（3）根据坐标与图形可得点的坐标，由位似比即为相似比，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可解答．
（1）解：如图，为所求；
（2）解：如图，为所求；
（3）解：根据坐标与图形可得，
∵位似比为，
∴周长比为，面积比为，即，
故答案为：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025九上·惠州期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
【答案】解：（1）∵将绕点按逆时针方向旋转度后得到，
，
∵在中，，，
，
是等边三角形，
，则n的值为60；
（2），
，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；余角
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到AC=CD，再利用角度的和差运算得到，即可证明△DAC是等边三角形，从而求得旋转角n的度数，解答即可；
（2）利用角度的和差运算得到，从而得到△DFC是含30°角的直角三角形，即可求得DF，解答即可.
20．（2025九上·惠州期末）【项目式学习】制作“”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力．
（2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少 （、、在一条直线上，、、在一条直线上）
【答案】问题1：由题可得
∴
∴
∴
∴
∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同
问题2：由（1）可得
∵
∴
∴
答：②号“”的高度应为
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】问题1：由平行线的性质得到，即可利用AA判定，根据相似三角形的性质可得，解答即可；
问题2：根据相似三角形的性质得到，将数据代入比例式，计算即可解答．
21．（2025九上·惠州期末）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．
（1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标；
（2）连接A、B、C三点，求的面积．
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把代入得：，解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）解：把代入得，
∴点的坐标为，
把代入得，
∴点D的坐标为，
∴，
∴
（3）
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：（3）根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【分析】
（1）先令y=0得到点，然后把点A的坐标代入抛物线的解析式计算得到，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可解答；
（2）先令得到点的坐标为，再代入一次函数解析式求出点D的坐标，计算得到CD=2，然后根据，利用面积公式计算即可解答；
（3）根据抛物线与直线的交点的横坐标为-1，2，即可观察图像求出不等式的解集，解答即可．
（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）解：把代入得，
∴点的坐标为，
把代入得，
∴点D的坐标为，
∴，
∴．
（3）解：根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴不等式的解集为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025九上·惠州期末）如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且．
【认识图形】
（1）求证：直线是的切线；
【探索关系】
（2）若，探求与的数量关系；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）由（2）可知，，，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；已知正切值求边长；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理得到，进而推出，再根据切线得判定定理，即可解答；
（2）先利用AA证明，再根据相似三角形得性质得到，从而得出，再根据线段的和差运算即可解答；
（3）由（2）可得，根据角平分线的定义得到，结合已知条件代换得到，从而可得，根据直角所对的圆周角是直角再利用勾股定理得出，则，再用AA证明，得出，即可求出的值，解答即可．
23．（2025九上·惠州期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线即，求出，进而求得，从而可判定点在这个反比例函数的图象上，解答即可；
（2）①根据正方形的性质求得，设点的坐标为，建立方程计算得到（负值舍去），从而得，，再利用待定系数法，解方程组即可得到结论；
②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，解答即可．
（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
1 / 1广东省惠州一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2025九上·惠州期末）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（　　）
A．4，5，6，7 B．3，4，6，9
C．8，4，4，2 D．5，10，10，15
2．（2025九上·惠州期末）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·惠州期末）在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似
4．（2025九上·惠州期末）如图，边长为2的正六边形内接于，则该正六边形的半径为（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．（2025九上·惠州期末）抛物线与轴交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2025九上·惠州期末）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
7．（2025九上·惠州期末）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·惠州期末）如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·惠州期末）“立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计透馆人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·惠州期末）如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则的面积为（　　）
A．8 B．4 C．10 D．11
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果．
11．（2025九上·惠州期末）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为　 　．
12．（2025九上·惠州期末）如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、、及点、、，且，，，则　 　．
13．（2025九上·惠州期末）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当重物上升时，滑轮上点A转过的度数为　 　．
14．（2025九上·惠州期末）如图，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是　 　．
15．（2025九上·惠州期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025九上·惠州期末）计算：
（1）解方程：；
（2）计算：．
17．（2025九上·惠州期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示．
（1）求I与R之间的函数表达式；
（2）求时，对应的R的取值范围．
18．（2025九上·惠州期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）在图中画出沿轴翻折后的；
（2）以点为位似中心，在网格内作出按放大后的位似图形；
（3）点的坐标　 　；与的周长比是　 　，与的面积比是　 　．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025九上·惠州期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
20．（2025九上·惠州期末）【项目式学习】制作“”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力．
（2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少 （、、在一条直线上，、、在一条直线上）
21．（2025九上·惠州期末）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．
（1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标；
（2）连接A、B、C三点，求的面积．
（3）直接写出不等式的解集．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025九上·惠州期末）如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且．
【认识图形】
（1）求证：直线是的切线；
【探索关系】
（2）若，探求与的数量关系；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．
23．（2025九上·惠州期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段的比
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据比例线段的定义：如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）逐项判断即可解答．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：①②③的邻边之比分别为：，
∴相似的是②③，
故答案为：B．
【分析】
根据相似多边形的判定：两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形然后分别求出三个矩形的邻边之比，判断即可解答．
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
由题意得：，
而，
∴为等边三角形，
∴，
∴正六边形的半径为2，
故答案为：B．
【分析】
连接，利用正多边形的性质求出正多边形的中心角为，即可证明为等边三角形，由此即可解答．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，
此时，
∴抛物线与轴无交点，
故答案为：A．
【分析】
令，求出即可判断抛物线与轴无交点，解答即可．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
【分析】先根据垂径定理得到长，然后利用勾股定理求出OA长解题．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（-2，y2）、B（-1，y2）位于第三象限，C（1，y3）位于第一象限.
∵-2<-1，
∴y2故答案为：C.
【分析】 根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
8．【答案】B
【知识点】求正弦值；圆周角定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：∵与所对的都是，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
则，
故答案为：B．
【分析】
根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据勾股定理得到， 再根据正弦的定义求出的值，解答即可．
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月增长率为，
由题意得，，
故答案为：D．
【分析】
设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程即可解答．
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；已知正切值求边长；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：作于D，
设，则，
∵将绕点逆时针旋转后得到，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵点C为斜边的中点，
∴，
∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】
作于D，设，则，根据旋转的性质可判定四边形为矩形， 再根据矩形的性质得到和B的坐标，再根据中点坐标公式得到C的坐标，代入反比例函数表达式即可求得x的值，从而求得、的长，再根据三角形面积公式计算即可解答．
11．【答案】
【知识点】点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象是关于原点的中心对称图形，经过原点的直线也是关于原点的中心对称图形，
∴它们的两个交点一定关于原点对称，
∴它的另一个交点的坐标是，
故答案为：．
【分析】
根据反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列式计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为，
重物上升，
点A转过的弧长为，
滑轮的半径为，
，
解得，
滑轮上点A转过的度数为，
故答案为：．
【分析】
根据题干信息：重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，由半径为，利用弧长公式建立方程，计算即可解答．
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣位似；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为，
∵将放大为原来的2倍，得到，点，
∴点，即点，
∵点是抛物线的顶点，
将代入得，，
解得：，
∴抛物线的解析式是
故答案为：．
【分析】
利用位似图形的性质求得点，再由点是抛物线的顶点设解析式为，再利用待定系数法求解即可解答．
15．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：作，如图所示：
由题意得：
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】
作，由平行线分线段成比例可得，从而得到，计算即可解答.
16．【答案】（1）解：，
，
或，
或，
所以方程的解为．
（2）解：原式
．

【知识点】因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）方程的左边可因式分解为，然后得到或， 计算即可解答；
（2）先计算正弦、余弦与正切，再计算有理数的乘法与加减法即可解答．
（1）解：，
，
或，
或，
所以方程的解为．
（2）解：原式
．
17．【答案】（1）解：根据题意可设，
点在函数的图象上，
，
解得，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
，
由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）设函数表达式为，根据待定系数法把点代入计算求出函数解析式即可解答；
（2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数的性质即可解答.
（1）解：根据题意可设，
点在函数的图象上，
，
解得，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）当时，，
，
由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，
18．【答案】（1）解：如图，为所求；
（2）解：如图，为所求；
（3）；；
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（3）根据坐标与图形可得，
∵位似比为，
∴周长比为，面积比为，即，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题干信息沿轴翻折后得到 ，只需画出关于x轴对称的轴对称图形，即可解答；
（2）根据位似比为2：1，即将放大2倍，连接MA1再延长取相等得到A2，同样作出B2，C2，解答即可；
（3）根据坐标与图形可得点的坐标，由位似比即为相似比，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可解答．
（1）解：如图，为所求；
（2）解：如图，为所求；
（3）解：根据坐标与图形可得，
∵位似比为，
∴周长比为，面积比为，即，
故答案为：．
19．【答案】解：（1）∵将绕点按逆时针方向旋转度后得到，
，
∵在中，，，
，
是等边三角形，
，则n的值为60；
（2），
，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；余角
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到AC=CD，再利用角度的和差运算得到，即可证明△DAC是等边三角形，从而求得旋转角n的度数，解答即可；
（2）利用角度的和差运算得到，从而得到△DFC是含30°角的直角三角形，即可求得DF，解答即可.
20．【答案】问题1：由题可得
∴
∴
∴
∴
∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同
问题2：由（1）可得
∵
∴
∴
答：②号“”的高度应为
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】问题1：由平行线的性质得到，即可利用AA判定，根据相似三角形的性质可得，解答即可；
问题2：根据相似三角形的性质得到，将数据代入比例式，计算即可解答．
21．【答案】（1）解：把代入得：，解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）解：把代入得，
∴点的坐标为，
把代入得，
∴点D的坐标为，
∴，
∴
（3）
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：（3）根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【分析】
（1）先令y=0得到点，然后把点A的坐标代入抛物线的解析式计算得到，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可解答；
（2）先令得到点的坐标为，再代入一次函数解析式求出点D的坐标，计算得到CD=2，然后根据，利用面积公式计算即可解答；
（3）根据抛物线与直线的交点的横坐标为-1，2，即可观察图像求出不等式的解集，解答即可．
（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）解：把代入得，
∴点的坐标为，
把代入得，
∴点D的坐标为，
∴，
∴．
（3）解：根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴不等式的解集为．
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）由（2）可知，，，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；已知正切值求边长；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理得到，进而推出，再根据切线得判定定理，即可解答；
（2）先利用AA证明，再根据相似三角形得性质得到，从而得出，再根据线段的和差运算即可解答；
（3）由（2）可得，根据角平分线的定义得到，结合已知条件代换得到，从而可得，根据直角所对的圆周角是直角再利用勾股定理得出，则，再用AA证明，得出，即可求出的值，解答即可．
23．【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线即，求出，进而求得，从而可判定点在这个反比例函数的图象上，解答即可；
（2）①根据正方形的性质求得，设点的坐标为，建立方程计算得到（负值舍去），从而得，，再利用待定系数法，解方程组即可得到结论；
②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，解答即可．
（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
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