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广东省东莞市翰林实验学校人教版2024-2025学年上学期八年级数学期末复习试题
1．（2024八上·东莞期末）下列地铁标志图形中属于轴对称图形的是（　　）
A．青岛地铁 B．北京地铁
C．广州地铁 D．上海地铁
2．（2024八上·东莞期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（　　）.
A． B． C． D．
3．（2024八上·东莞期末）若一个正多边形的一个内角是，则这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024八上·东莞期末）如图，在中，平分，平分，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·东莞期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
6．（2024八上·东莞期末）下列运算中正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
7．（2024八上·东莞期末）要使与的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　）
A． B．0 C． D．3
8．（2024八上·东莞期末）如果把分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．变为原来的2倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
9．（2024八上·东莞期末）分式，的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·东莞期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
11．（2024八上·东莞期末）已知，则　 　．
12．（2024八上·东莞期末）若，，则　 　．
13．（2024八上·东莞期末）已知，则的值为　 　．
14．（2024八上·东莞期末）因式分解：　 　；　 　．
15．（2024八上·东莞期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是　 　．
16．（2024八上·东莞期末）已知的三边长，，均为整数，且和满足，则中c的长为　 　．
17．（2024八上·东莞期末）计算：
（1）．
（2）．
18．（2024八上·东莞期末）先化简再求值：，其中，．
19．（2024八上·东莞期末）如图，点，在上，，，，求证：．
20．（2024八上·东莞期末）如图，，和，和是对应边，点在边上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2024八上·东莞期末）如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）请在坐标系中画出关于y轴对称的图形（A，B，C的对应点分别是D，E，F），并直接写出点D，E，F的坐标；
（2）求四边形的面积．
22．（2024八上·东莞期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
23．（2024八上·东莞期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解方程：；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？
24．（2024八上·东莞期末）某工厂需要在规定时间内生产1400个某种零件，该工厂按一定速度加工5天后，发现按此速度加工下去会延期10天完工，于是又抽调了一批工人投入这种零件的生产，使工作效率提高了50%，结果如期完成加工任务．
（1）求该工厂前5天每天生产多少个这种零件；
（2）求规定时间是多少天．
25．（2024八上·东莞期末）已知中，的平分线交于点，，
（1）如果点是边的中点，，求的长；
（2）如图，若平分，在边上取点，使，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义分别进行识别即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
．
故答案为：B.
【分析】由基本作图可知MN是AC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=6cm，AD=CD，根据三角形周长计算公式及线段和差求出AB+BC=26cm，最后再根据三角形周长计算公式可算出△ABC的周长.
3．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
，
解得，
故选答案为：B．
【分析】设正多边形是n边形，由内角和公式得，解方程即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为：A
【分析】先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义得出，，再根据角之间的关系可得的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、
，不符合题意；
B、
，不符合题意；
C、
，不符合题意；
D、
，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：，
与的乘积中不含x的一次项，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开并合并同类项，再根据“乘积中不含x的一次项”可得，最后求出m的值即可.
8．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 分式中x、y的值都变为原来的2倍，所得分式为，
∴分式的值变为原来的2倍.
故答案为：A
【分析】利用已知条件x、y的值都变为原来的2倍，可将分式转化为，观察可得答案.
9．【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：分式，的最简公分母是．
故答案为：A．
【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍，相同字母的最高次幂的积，即为最简公分母。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7＋×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故答案为：D．
【分析】作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，再结合S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，可得×4×7＋×4×AC＝24，最后求出AC的长即可.
11．【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵am=2，an=8，
∴am-n=am÷an=2÷8=，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的除法的逆运用，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】首先根据平方差公式可得出，进而根据，即可得出．
13．【答案】-4
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
得：，
解得：，
把代入，可得，
解得：，
∴原方程组的解为，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据非负数的性质可得出，解得，进而即可得出。
14．【答案】；
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：①；② ．
【分析】根据因式分解的一般步骤，首先提公因式，然后再利用公式法即可得出结果。
15．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的特征，可直接得出点关于x轴对称的点的坐标是。
16．【答案】4
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，为的三边长，且，，均为整数，
∴，即，
∴中的长为4．
故答案为：4．
【分析】根据非负数的性质可得出，根据三角形三边之间的关系可得出，根据三边均为整数，即可得出c=4。
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据乘方，绝对值，零整数幂，负整数幂的性质进行化简，进而进行加减运算即可；
（2）根据分式的混合运算法则，先把除法改成乘法，把分母是多项式的进行因式分解，进行乘法运算，然后再进行分式的加法运算即可。
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】解：原式
；
，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先进行整式的乘法运算，能运用乘法公式的运用乘法公式，然后再合并同类项即可化简；然后再把a，b的值直接代入原式进行有理数的运算即可。
19．【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：，
，
，
（2）解：，
，
，，，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）由，易得，然后左右两边再同时减去一个公共角：，即可求解；
（2）由，可得，再根据对顶角和三角形内角和定理，易得，由此即可求解．
（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
，
．
21．【答案】（1）解：如图所示：即为所求三角形，由图形可知：，，；
（2） 解：四边形的面积为：
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）首先得出点、、关于轴的对称点、、，再顺次连接，进而得出、、的坐标；（2）根据割补法可得出。
（1）解：如图所示：即为所求三角形，由图形可知：，，；
（2）四边形的面积为：
22．【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得出∠B=60°，进而根据DE∥AB，可得出∠EDC=∠B=60°，进而根据直角三角形的性质可得出∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）根据 DE∥AB，可得出△EDC是等边三角形，可得出ED=DC=2，进而根据∠DEF=90°，∠F=30°，可得出DF=2DE=4．
23．【答案】（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，并进行检验即可得出方程的解；
（2）设原题中“”是，化分式方程为整式方程，根据分式方程无解，可得出x=3，把x=3代入原方程，即可求得a=3.
（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，
方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
24．【答案】解：（1）设该工厂前5天每天生产x个这种零件，
，
解得，x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，
答：该工厂前5天每天生产40个这种零件；
（2）由（1）该工厂前5天每天生产40个这种零件，
﹣10＝25，
答：规定的时间是25天．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设该工厂前5天每天生产x个这种零件，根据按此速度加工下去会延期10天完工， 后来工作效率提高了50%， 结果如期完成 ，即可得出方程，解方程并进行检验，即可得出答案；（2）根据（1）的结果，把x的值代入中，即可得出答案。
25．【答案】（1）解： 点 是边 的中点， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
=2.5cm，
（2）解：如图所示，作 于点 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
， ，
，
，
∵在 中， ，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段的中点；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）首先根据中点定义得出 ，再根据角平分线的定义可得出 ，根据平行线的性质可得出 ，进而得出 ，根据等角对等边即可得出 =2.5cm；
（2）如图所示，作 于点 ，首先根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，进而得出DB=DC，再根据三线合一的性质得出BG=CG=3.5，进而得出GF=1.5，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出DF=2GF=3.
（1）解： 平分 ，
，
，
，
，
，
点 是边 的中点， ，
，
；
（2）解：如图所示，作 于点 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
， ，
，
，
∵在 中， ，
，
．
1 / 1广东省东莞市翰林实验学校人教版2024-2025学年上学期八年级数学期末复习试题
1．（2024八上·东莞期末）下列地铁标志图形中属于轴对称图形的是（　　）
A．青岛地铁 B．北京地铁
C．广州地铁 D．上海地铁
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义分别进行识别即可得出答案。
2．（2024八上·东莞期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
．
故答案为：B.
【分析】由基本作图可知MN是AC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=6cm，AD=CD，根据三角形周长计算公式及线段和差求出AB+BC=26cm，最后再根据三角形周长计算公式可算出△ABC的周长.
3．（2024八上·东莞期末）若一个正多边形的一个内角是，则这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
，
解得，
故选答案为：B．
【分析】设正多边形是n边形，由内角和公式得，解方程即可得出答案。
4．（2024八上·东莞期末）如图，在中，平分，平分，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为：A
【分析】先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义得出，，再根据角之间的关系可得的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求出答案.
5．（2024八上·东莞期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
6．（2024八上·东莞期末）下列运算中正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、
，不符合题意；
B、
，不符合题意；
C、
，不符合题意；
D、
，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐项判断即可。
7．（2024八上·东莞期末）要使与的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　）
A． B．0 C． D．3
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：，
与的乘积中不含x的一次项，
，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开并合并同类项，再根据“乘积中不含x的一次项”可得，最后求出m的值即可.
8．（2024八上·东莞期末）如果把分式中x、y的值都变为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．变为原来的2倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 分式中x、y的值都变为原来的2倍，所得分式为，
∴分式的值变为原来的2倍.
故答案为：A
【分析】利用已知条件x、y的值都变为原来的2倍，可将分式转化为，观察可得答案.
9．（2024八上·东莞期末）分式，的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：分式，的最简公分母是．
故答案为：A．
【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍，相同字母的最高次幂的积，即为最简公分母。
10．（2024八上·东莞期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7＋×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故答案为：D．
【分析】作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，再结合S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，可得×4×7＋×4×AC＝24，最后求出AC的长即可.
11．（2024八上·东莞期末）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵am=2，an=8，
∴am-n=am÷an=2÷8=，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的除法的逆运用，即可得出答案。
12．（2024八上·东莞期末）若，，则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】首先根据平方差公式可得出，进而根据，即可得出．
13．（2024八上·东莞期末）已知，则的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
得：，
解得：，
把代入，可得，
解得：，
∴原方程组的解为，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据非负数的性质可得出，解得，进而即可得出。
14．（2024八上·东莞期末）因式分解：　 　；　 　．
【答案】；
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：①；② ．
【分析】根据因式分解的一般步骤，首先提公因式，然后再利用公式法即可得出结果。
15．（2024八上·东莞期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的特征，可直接得出点关于x轴对称的点的坐标是。
16．（2024八上·东莞期末）已知的三边长，，均为整数，且和满足，则中c的长为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，为的三边长，且，，均为整数，
∴，即，
∴中的长为4．
故答案为：4．
【分析】根据非负数的性质可得出，根据三角形三边之间的关系可得出，根据三边均为整数，即可得出c=4。
17．（2024八上·东莞期末）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据乘方，绝对值，零整数幂，负整数幂的性质进行化简，进而进行加减运算即可；
（2）根据分式的混合运算法则，先把除法改成乘法，把分母是多项式的进行因式分解，进行乘法运算，然后再进行分式的加法运算即可。
（1）解：
．
（2）解：
．
18．（2024八上·东莞期末）先化简再求值：，其中，．
【答案】解：原式
；
，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先进行整式的乘法运算，能运用乘法公式的运用乘法公式，然后再合并同类项即可化简；然后再把a，b的值直接代入原式进行有理数的运算即可。
19．（2024八上·东莞期末）如图，点，在上，，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，即可求出答案.
20．（2024八上·东莞期末）如图，，和，和是对应边，点在边上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
（2）解：，
，
，，，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）由，易得，然后左右两边再同时减去一个公共角：，即可求解；
（2）由，可得，再根据对顶角和三角形内角和定理，易得，由此即可求解．
（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
，
．
21．（2024八上·东莞期末）如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）请在坐标系中画出关于y轴对称的图形（A，B，C的对应点分别是D，E，F），并直接写出点D，E，F的坐标；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求三角形，由图形可知：，，；
（2） 解：四边形的面积为：
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）首先得出点、、关于轴的对称点、、，再顺次连接，进而得出、、的坐标；（2）根据割补法可得出。
（1）解：如图所示：即为所求三角形，由图形可知：，，；
（2）四边形的面积为：
22．（2024八上·东莞期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得出∠B=60°，进而根据DE∥AB，可得出∠EDC=∠B=60°，进而根据直角三角形的性质可得出∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）根据 DE∥AB，可得出△EDC是等边三角形，可得出ED=DC=2，进而根据∠DEF=90°，∠F=30°，可得出DF=2DE=4．
23．（2024八上·东莞期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解方程：；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？
【答案】（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，并进行检验即可得出方程的解；
（2）设原题中“”是，化分式方程为整式方程，根据分式方程无解，可得出x=3，把x=3代入原方程，即可求得a=3.
（1）解：方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
（2）解：设原题中“”是，
方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
答：原题中“”是．
24．（2024八上·东莞期末）某工厂需要在规定时间内生产1400个某种零件，该工厂按一定速度加工5天后，发现按此速度加工下去会延期10天完工，于是又抽调了一批工人投入这种零件的生产，使工作效率提高了50%，结果如期完成加工任务．
（1）求该工厂前5天每天生产多少个这种零件；
（2）求规定时间是多少天．
【答案】解：（1）设该工厂前5天每天生产x个这种零件，
，
解得，x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，
答：该工厂前5天每天生产40个这种零件；
（2）由（1）该工厂前5天每天生产40个这种零件，
﹣10＝25，
答：规定的时间是25天．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设该工厂前5天每天生产x个这种零件，根据按此速度加工下去会延期10天完工， 后来工作效率提高了50%， 结果如期完成 ，即可得出方程，解方程并进行检验，即可得出答案；（2）根据（1）的结果，把x的值代入中，即可得出答案。
25．（2024八上·东莞期末）已知中，的平分线交于点，，
（1）如果点是边的中点，，求的长；
（2）如图，若平分，在边上取点，使，若，，求的长．
【答案】（1）解： 点 是边 的中点， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
=2.5cm，
（2）解：如图所示，作 于点 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
， ，
，
，
∵在 中， ，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段的中点；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）首先根据中点定义得出 ，再根据角平分线的定义可得出 ，根据平行线的性质可得出 ，进而得出 ，根据等角对等边即可得出 =2.5cm；
（2）如图所示，作 于点 ，首先根据角平分线的定义和平行线的性质可得出，进而得出DB=DC，再根据三线合一的性质得出BG=CG=3.5，进而得出GF=1.5，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出DF=2GF=3.
（1）解： 平分 ，
，
，
，
，
，
点 是边 的中点， ，
，
；
（2）解：如图所示，作 于点 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
， ，
，
，
∵在 中， ，
，
．
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