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同步探究学案
课题 17.1 用提公因式法分解因式（第1课时） 单元 第十七章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解因式分解的概念，知道因式分解与整式的乘法是方向相反的变形． 2．理解公因式的概念，会确定公因式，并能用提公因式法对简单的多项式进行分解因式．
重点 理解因式分解的概念，会用提公因式法对简单的多项式进行因式分解．
难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1：在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积． 请你把33与42分解质因数． 解：33=____×____ 42=____×____×____ 问题2：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的．某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分有两种计算方法： pa＋pb＋pc①和p(a＋b＋c)② 我们知道上述两式是相等的． 即：___________ =____________ 这表明多项式pa＋pb＋pc可以写成两个整式的______的形式． 类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助整式乘法，研究因式分解。 探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式： （1）x2＋x＝________；（2）x2－1＝________；（3）x2＋2x＋1＝________． 归纳：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的__________，也叫作把这个多项式_________． 问题：观察下面的演示，你发现因式分解与整式的乘法有什么关系？ （ ） pa＋pb＋pc p(a＋b＋c) （ ） 归纳：可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的________. 判断：下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1） ； （2） ； （3） . 思考：如何对多项式pa＋pb＋pc进行因式分解呢？它的各项有什么特点？ 观察多项式pa＋pb＋pc，它的各项都有一个公共的因式____，我们把因式p叫作这个多项式各项的________． 由pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)可知，pa＋pb＋pc可以分解成两个因式__________的形式，其中一个因式p是各项的________，另一个因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的______． 归纳：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作_________． 提示：利用提公因式法，可以把一些多项式___________． 例1：分解因式． （1）mx2＋my2； （2）3x2－4xy2＋x． 注意：对于（2），将x提出后，括号内的第三项为1． 例2：利用因式分解计算． （1）； （2）； （3） ．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．多项式的各项公因式是 ． 3．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)． 选做题： 4．多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．利用因式分解计算： (1)；(2)．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（ ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 3．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．把分解因式，应提取的公因式是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法．
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分课时教学设计
第一课时《17.1 用提公因式法分解因式（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是因式分解章节的开篇第一课，承接七年级整式乘法的知识基础，是整式乘法的逆向变形，同时为后续学习公式法分解因式、分式运算、一元二次方程解法等内容奠定核心基础．它不仅是“数的分解”（整数分解因数）在“式的运算”中的延伸，更是培养学生逆向思维、转化思想的关键载体，在整个初中代数知识体系中起到承上启下的枢纽作用．
学习者分析 学生已具备七年级整式乘法的知识基础，对“数的分解”有一定认知，具备从具体到抽象、从类比到迁移的初步思维能力，这为理解“因式分解是整式乘法的逆向变形”提供了前提．但学生存在明显认知差异：多数学生能掌握基础单项式公因式的提取，却易在复杂场景出错，如确定含多项式的公因式、处理(b-a)2与(a-b)2的符号转化时易混淆；且常因思维惯性遗漏提取公因式后括号内的常数项1，或对公因式的系数、字母次数确定不完整．此外，学生对“分解因式需分解到不能再分”的标准理解较模糊，需通过针对性练习强化认知，同时需借助具象案例和步骤拆解，降低逆向思维转化的难度．
教学目标 1．理解因式分解的概念，知道因式分解与整式的乘法是方向相反的变形． 2．理解公因式的概念，会确定公因式，并能用提公因式法对简单的多项式进行分解因式．
教学重点 理解因式分解的概念，会用提公因式法对简单的多项式进行因式分解．
教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解因式分解的概念，知道因式分解与整式的乘法是方向相反的变形． 2．理解公因式的概念，会确定公因式，并通用提公因式法对简单的多项式进行分解因式．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题1：在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积． 请你把33与42分解质因数． 解：33=3×11 42=2×3×7 问题2：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的．某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分有两种计算方法： pa＋pb＋pc① 和 p(a＋b＋c)② 我们知道上述两式是相等的． 即：pa＋pb＋pc = p(a＋b＋c) 这表明多项式pa＋pb＋pc可以写成两个整式的乘积的形式． 导言：类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习数的分解及单项式乘多项式的逆过程，为学习因式分解做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：（1）x2＋x＝________；（2）x2－1＝________； （3）x2＋2x＋1＝________． 预设：x(x＋1)，(x＋1)(x－1)，(x＋1)2， 归纳：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 问题：观察下面的演示，你发现因式分解与整式的乘法有什么关系？ 归纳：可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 判断：下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ （1） ； （2） ； （3） . 解：（2)是因式分解，（1）和（3）不是因式分解，因为（1）和（3）右边的式子没有化成了几个整式的乘积的形式. 思考：如何对多项式pa＋pb＋pc进行因式分解呢？它的各项有什么特点？ 演示： 讲解：观察多项式pa＋pb＋pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式． 由pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)可知，pa＋pb＋pc可以分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式p是各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的商． 归纳：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 提示：利用提公因式法，可以把一些多项式分解因式． 例1：分解因式． （1）mx2＋my2；（2）3x2－4xy2＋x． 解：（1）mx2＋my2＝m(x2＋y2)； （2）3x2－4xy2＋x ＝x·3x－x·4y2＋x·1 ＝x(3x－4y2＋1)． 注意：对于（2），将x提出后，括号内的第三项为1． 例2：利用因式分解计算． （1）； （2）； （3） ． 解：（1） = = =3.98 （2） = = = （3） = = = = 810学生活动3： 学生在老师的引导下，小组合作探究，学习因式分解、公因式及提取公因式法，并尝试完成例题，班内交流后，认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和实践的过程中，了解因式分解的概念，加深对因式分解与整式的乘法的关系的理解，初步理解提公因式法分解因式．通过例题，引导学生了解提公因式法分解因式的基本步骤，积累找公因式的经验，知道用提公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：17.1用提公因式法分解因式（第1课时）一、因式分解 二、公因式 三、提公因式法分解因式教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．多项式的各项公因式是 ． 答案：a 3．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 选做题： 4．多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．利用因式分解计算： (1)； (2)． 解：（1） ； （2） ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（ ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 答案：C 3．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 解：（1），左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2），左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3），右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 选做题： 4．把分解因式，应提取的公因式是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类作业】 5．把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 解：小亮的解法是不正确． 正确的解法： ．
教学反思 本节课通过整数分解类比引入因式分解，借助例题分层突破重难点，多数学生能掌握基础公因式提取，但仍存在不足．一是对多项式公因式和符号转化的讲解节奏偏快，部分学生理解不透彻；二是对“提取公因式后漏写1”的易错点，仅靠例题强调，未让学生自主纠错，印象不深刻．后续需放慢复杂公因式教学节奏，增加小组纠错环节，同时设计梯度练习，强化学生对“分解彻底”标准的理解，提升教学针对性．编辑在教学反思中加入对教学目标达成情况的分析推荐一些教学反思的优秀范文如何进一步优化提公因式法分解因式的教学反思？
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第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
（第1课时）
1．理解因式分解的概念，知道因式分解与整式的乘法是方向相反的变形．
2．理解公因式的概念，会确定公因式，并通用提公因式法对简单的多项式进行分解因式．
问题1：在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积．请你把33与42分解质因数．
解：33=3×11
42=2×3×7
问题2：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的．某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分有两种计算方法：
pa＋pb＋pc① 和 p(a＋b＋c)②
我们知道上述两式是相等的．
即： pa＋pb＋pc = p(a＋b＋c)
这表明多项式pa＋pb＋pc可以写成两个整式的乘积的形式．
类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式．
探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：（1）x2＋x＝________；
（2）x2－1＝_____________；
（3）x2＋2x＋1＝________．
x(x＋1)＝x2＋x，
(x＋1)(x－1)＝x2－1，
(x＋1)2＝x2＋2x＋1．
x(x＋1)
(x＋1)(x－1)
(x＋1)2
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式．
把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
p
c
　　观察下面的演示，你发现因式分解与整式的乘法有什么关系？
p
b
pa＋pb＋pc
p(a＋b＋c)
p
p
a
因式分解
p
c
　　观察下面的演示，你发现因式分解与整式的乘法有什么关系？
p
b
pa＋pb＋pc
p(a＋b＋c)
p
p
a
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
pa＋pb＋pc
p(a＋b＋c)
因式分解
整式乘法
判断：下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（2)是因式分解，（1）和（3）不是因式分解，因为（1）和（3）右边的式子没有化成了几个整式的乘积的形式.
思考：如何对多项式pa＋pb＋pc进行因式分解呢？
pa＋pb＋pc
它的各项都有一个公共的因式p
我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式．
pa
pb
pc
p
p
p
p
各项有什么特点？
由pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)可知，
pa＋pb＋pc可以分解成两个因式乘积的形式，
其中一个因式p是各项的公因式，
另一个因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的商．
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
利用提公因式法，可以把一些多项式分解因式．
例1：分解因式．
（1）mx2＋my2； （2）3x2－4xy2＋x．
解：（1）mx2＋my2＝m(x2＋y2)；
（2）3x2－4xy2＋x
＝x·3x－x·4y2＋x·1
＝x(3x－4y2＋1)．
对于（2），将x提出后，括号内的第三项为1．
例2：利用因式分解计算．
（1）；
（2）；
（3） ．
解：（1）
=
=
=3.98
（2）
=
=
=
解：（3）
=
=
=
= 810
例2：利用因式分解计算．
（1）；
（2）；
（3） ．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．多项式的各项公因式是 ．
a
【知识技能类练习】必做题：
3．分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【知识技能类练习】选做题：
4．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
A
【综合拓展类练习】
5．利用因式分解计算：
(1)； (2)．
解：（1）
；
（2）
．
提公因式法分解因式
因式分解
提公因式法
公因式
【知识技能类作业】必做题：
1．下列等式中，从左到右变形属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（ ）
A．3， B．，4 C．20，4 D．20，
C
【知识技能类作业】必做题：
3．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)；
(2)；
(3)．
解：（1），左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解；
（2），左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解；
（3），右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解．
【知识技能类作业】选做题：
4．把分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
B
【综合拓展类作业】
5．把分解因式．小亮的解法是这样的：
解：原式．
他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法．
解：小亮的解法是不正确．
正确的解法：
．

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