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(共36张PPT)
第六单元　圆
第27课时　圆的基本概念及性质
章前复习导图
圆锥的侧面展开图是扇形
阴影部分常转化为扇形
轴对称性
旋转不变性
圆的性质
中心对称性
确定圆
的条件
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
相交
弦：垂径定理
角：圆周角定理及推论；
弦、弧、圆心角的关系
形：三角形的外接圆；
圆内接四边形；
正n边形和圆
相切
性质、判定
三角形的内切圆
※切线长及其定理
相离
弧长、扇形面积的相关计算
圆
弧长与面积的计算
圆锥的侧面展开图及相关计算
阴影部分面积的计算
节前复习导图
圆的基本
概念及性质
与圆相关的
概念和性质
相关概念
性质
圆周角定理
及其推论
定理
推论
常见图形及结论
圆心角、弧、
弦、弦心距
之间的关系
定理
推论
垂径定理
及其推论
垂径定理
推论
结论
确定圆
的条件
三角形
的外接圆
相关概念
性质
概念
性质
圆内接四边形
正多边形
与圆的关系
内角、中心角
外角
边心距
周长、面积
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
与圆相关的概念和性质
1. 相关概念
圆 在平面内，线段绕着它固定的一个端点旋转一周，则另一个端点所形
成的封闭曲线叫做圆
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过 的弦叫做直径
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.小于半圆的弧叫做劣弧；大
于半圆的弧叫做优弧
圆心角 顶点在 的角叫做圆心角
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角
圆心角
圆心
2. 性质
圆的基本性
质 (1)同圆或等圆的直径等于半径的 ；
(2)同圆或等圆的半径 ；
(3)弧的度数等于它所对 的度数
对称性 (1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；
(2)圆是中心对称图形， 是它的对称中心
旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与原来的圆重合
2倍
相等
圆心角
圆心
考点
2
确定圆的条件
圆的确定：同一平面内不在同一直线上的三个点确定一个圆.圆心确定圆的位置，半径
确定圆的大小(定点定长确定圆).
考点
3
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 、所对的弦
、所对弦的弦心距
推论 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所
对的弦相等；
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所
对的优弧和劣弧分别相等
【温馨提示】1.一条弦对应两条弧，一条弧对应无数个圆周角； 2.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中，如果有一组量相等，则它们所
对应的其余各组量也相等 相等
相
等
相等
考点
4
圆周角定理及其推论(4年3考)★重点
定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 推论 1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ； 2.直径(或半圆)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的
弦是 常见图形 及结论
∠APB= ∠AOB 【温馨提示】看到直径，可构造直径所对的圆周角 一半(或)
相等
直角(90°)
直径

考点
5
垂径定理及其推论(2022.7)
[2022课标探索并证明垂径定理调整为要求内容]
垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且 这条弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径 ，并且平分弦所对的弧
结论 1.=；
2.=；
3.AE=BE(AB不是⊙O的直径)；
4.AB⊥CD；
5.CD是⊙O的直径.
若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”
平分
平分
垂直于弦
【温馨提示】
1.圆的两条平行弦所夹的弧相等；
2.半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理OB2=OE2＋BE2，常用于
在圆中求线段长
考点
6
三角形的外接圆
相关概
念 1.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆；
2.圆心(外心)：三角形三条边的 的交点
性质 三角形的外心到三角形 的距离相等
【温馨提示】 1.直角三角形外接圆的半径：R=c(c为斜边长)；2.等边三角形外接圆的半径：
R=a(a为边长) 垂直平分线
三个顶点
考点
7
圆内接四边形(2025.20)
概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形
性质 1.圆内接四边形的对角 ，如图，∠A＋∠BCD=180°，∠B＋
∠D=180°；
2.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如图，
∠DCE=
互补
∠A
考点
8
正多边形与圆的关系(2023.6)
内角 正n边形的每个内角为
R：半径
r：边心距
a：边长
θ：中心角
中心角 θ= 外角 正n边形的每个外角为 边心距 r= 周长 正n边形的周长l=na 面积 正n边形的面积S=nar=lr
安徽真题对点练
圆周角定理及其推论(4年3考)
命题点
1
1. [人教九上习题改编]如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是圆上的点，连
接AC，BC，CD，BD，OC. 已知∠ABC=31°，AC=CD.
(1)∠ACB= °，∠CAB= °；
(2)∠AOC= °；
(3)若的长为4，则的长为 ，∠CBD= °.
90
59
62
4
31
2. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，连接AC，AD.
若∠BAD=27°，则∠BAC= °.
题后反思
若点C，D，B保持不动，点A在优弧BC上移动，
则∠BAC的平分线始终过点D吗？并说明理由.
54
∠BAC的平分线始终过点D.
理由：∵D是的中点，
∴=，
∴∠DAC=∠BAD，
∴点A在优弧BC上移动时，∠DAC和∠BAD一直保持相等，
∴∠BAC的平分线始终过点D.
垂径定理及其推论(2022.7)
命题点
2
3. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，若∠OBC=30°，
OB=6，则AB的长为 (　D　)
A. B. 3
C. 3 D. 6
D
4. (2022安徽7题 沪科九下P31习题改编)已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的
弦，点P在弦AB上.若PA=4，PB=6，则OP=(　D　)
A. B. 4
C. D. 5
D
5. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从
正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图，是⊙O的一部分，D是
的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB. 已知AB=24 cm，碗深
CD=8 cm，则⊙O的半径OA为(　A　)
A. 13 cm B. 16 cm
C. 17 cm D. 26 cm
A
圆内接四边形(2025.20)
命题点
3
6. [北师九下习题改编]如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是
的中点，∠A=40°，连接BD，E为BC延长线上一点，则∠DCE的度数
为 °，∠CBD的度数为 °.
40
20
【解析】解法一：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=40°，
∴∠BCD=180°－40°=140°，
∴∠DCE=180°－∠BCD=40°.
∵C为中点，∴=，∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=(180°－140°)÷2=20°.
解法二：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＋∠BCD=180°.
∵∠DCE＋∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A=40°.
如图，连接AC，
∵C是的中点，
∴=，∴∠CBD=∠A=20°.
7. (2025安徽20题)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O
的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC=180°.
(1)求证：OC∥AD；
解：(1)证明：∵∠DAB＋2∠ABC=180°，∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAB＋∠AOC=180°，
∴AD∥OC；
(2) 若AD=2，BC=2，求AB的长.
(2)解：解法一：如图，连接BD，交OC于点E.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，O是AB的中点.
由(1)得OC∥AD，
∴OC⊥BD，OE是△ABD的中位线，
∴OE=AD=1.
7. (2025安徽20题)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O
的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC=180°.
一题多解法
设半圆O的半径为r，则CE=r－1.
在Rt△OBE和Rt△BCE中，由勾股定理，得OB2－OE2=BC2－CE2，
即r2－12=(2)2－(r－1)2，
解得r1=3，r2=－2(舍去)，
∴AB=2r=6.
(2)若AD=2，BC=2，求AB的长.
解法二：如图，延长BC，AD交于点E，
由(1)得AD∥OC，O为AB的中点，∴OC为△ABE的中位线，
设半圆O的半径为R，则AE=2R，∴DE=2R－2，
∵BC=2，∴BE=4，CE=2，
∵∠B＋∠ADC=180°，∠ADC＋∠EDC=180°，∴∠EDC=∠B，
∵∠E=∠E，∴△EDC∽△EBA，∴=，即=，
解得R1=3，R2=－2(舍去)，∴AB=2R=6.
E
正多边形与圆(2023.6)
命题点
4
8. (2023安徽6题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则
∠BAE－∠COD=(　D　)
A. 60° B. 54° C. 48° D. 36°
　
【解析】由题意得∠BAE==108°，
∠COD==72°，
∴∠BAE－∠COD=108°－72°=36°.
D
9. [人教九上习题改编]如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，
OB，过点O作OG⊥AB于点G，已知⊙O的半径为2.
(1)∠AOB= ，∠ABC= ；
【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB==60°，
∠ABC==120°.
60°
120°
(2)AB= ；
【解析】∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴OA=OB，由(1)知
∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵⊙O的半径为2，，
∴AB=OA=OB=2.
(3)边心距OG= ；
【解析】∵OA=OB，OG⊥AB，∴∠AOG=∠BOG=30°，
∴OG=OB cos∠BOG=2×=.
2

正六边形ABCDEF内接于⊙O，OG⊥AB，⊙O的半径为2.
(4)正六边形ABCDEF的面积为 .
【解析】由(2)得AB=2，△AOB是等边三角形，
∴S△AOB=，
∴正六边形ABCDEF的面积为6×=6.
6
正六边形ABCDEF内接于⊙O，OG⊥AB，⊙O的半径为2.
教材变式练重点
圆基本性质的综合应用(4年4考)
教材原题
例　人教九上P87例4
如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm， ∠ACB的平分线交⊙O 于点
D，连接AD，BD，求BC，AD，BD的长.
解： 如图，连接OD.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中，BC===8 (cm).
∵ CD 平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠BCD，
∴ ∠AOD=∠BOD.
∴ AD=BD.
又∵在Rt△ABD中，AD2＋BD2=AB2，
∴AD=BD=AB=×10=5(cm).
变式题
1. 条件结论互换
(2023安徽20题)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径.
(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD ，求证：CA平分∠BCD；
解：(1)证明：∵OA⊥BD，且OB=OD，
∴AO垂直平分BD，∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ACD=∠ABD，∠ACB=∠ADB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴CA平分∠BCD；
(2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB. 若BD=3，
AE=3，求弦BC的长.
(2)解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，∴CD⊥BC，
∵AE⊥BC，∴AE∥CD，同理得AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形，∴CD=AE，
∵AE=3，∴CD=3，
∴BC===3.
已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径.
2. 增加线段，改变平分角
(2024安徽20题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，
∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA=FE.
(1)求证：CD⊥AB；
解：(1)证明：∵FA=FE，∴∠FAE=∠AEF，
∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，∴∠FAE=∠BCE，
∵∠AEF=∠CEB，∴∠CEB=∠BCE，
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
∴∠CEB＋∠DCE=∠BCE＋∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠CDE=180°－(∠CEB＋∠DCE)=180°－90°=90°，
∴CD⊥AB；
⊙O是△ABC的外接圆，FA=FE.
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长.
(2)解：由(1)知，∠BEC=∠BCE，∴BE=BC，
∵OM=OE=1，AF=EF，FM⊥AB，
∴MA=ME=MO＋OE=2，∴AE=4，
∴OA=OB=AE－OE=3，∴AB=6，
∴BC=BE=OB－OE=2，
∵∠ACB=90°，
∴AC===4，即AC的长为4.
⊙O是△ABC的外接圆，FA=FE.(共21张PPT)
第六单元　圆
第29课时　弧长、扇形面积的相关计算
节前复习导图
弧长和扇
形面积
圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
圆锥的相关计算
阴影部分
面积的计算
规则图形
不规则图形
弧长、扇形
面积的相关计算
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
弧长和扇形面积(2024.5)
圆周长 C= 1.r为圆的半径；
2.n°为弧所对的圆心角的度数；
3.l是扇形的弧长
弧长 l= 圆面积 S= 扇形面积 S扇形= =l r 【满分技法】已知S扇形，r，l，n四个量中的任意两个量，即可求出另外两个量 2πr

πr2

考点
2
圆锥的相关计算
图示
r：底面圆半径
l：圆锥的母线
h：圆锥的高
相关 计算 1.圆锥的侧面展开图是扇形；
2.圆锥的母线l为扇形的 ；
3.圆锥底面圆的周长C为扇形的 ；
4.圆锥的高为h，底面圆半径为r，母线长为l，则r2＋h2=l2；
5.圆锥的底面圆周长：C=2πr；
6.圆锥的底面圆面积：S=πr2；
7.圆锥的侧面积：S=πrl
半径
弧长
考点
3
阴影部分面积的计算
规则图形 公式法
不规则图形 1.直接和差法；2.构造和差法；3.转化法.
注：实质是转化，即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积或
几个规则图形面积的和或差
安徽真题对点练
弧长、扇形面积的计算(2024.5)
命题点
1
1. (2024安徽5题)若扇形AOB的半径为6，∠AOB=120°，则的长为
(　C　)
A. 2π B. 3π
C. 4π D. 6π
C
2. [沪科九下习题改编]一个扇形的半径是3，扇形的圆心角为120°，那么
这个扇形面积是(　B　)
A. 4π B. 3π
C. 2π D. π
B
3. [人教九上习题改编]如图是一段弯形管道，其中，∠O=∠O′=90°，中
心线的两条圆弧半径都为1 m，则图中管道的展直长度是(结果保留
π)(　B　)
A. π m B. (π＋3)m
C. (π＋1)m D. (π＋2)m
B
圆锥的相关计算
命题点
2
4. [沪科九下习题改编]若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角为
120°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是(　C　)
A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 9
C
阴影部分面积的相关计算
命题点
3
一、公式法
方法指导
S阴影=S扇形MEN
5. [人教九上例题改编]如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以点C为圆
心，CB长为半径画弧，交AD于点E，则阴影部分的面积为 .(结果保
留π)

二、和差法
方法指导
直接和差法：
S阴影=S△ABC－S扇形CAD
间接和差法：
S阴影=S扇形EOB＋S△OCE－S扇形COD
6. [沪科九下习题改编]如图所示，AB是半圆O的直径，将直径BA绕点B顺
时针旋转45°得对应线段BC，若AB=2，则图中阴影部分的面积是 .
－
【解析】如图，连接OD，由旋转的性质，得∠OBD=45°，由圆周角性
质可得∠AOD=45°×2=90°，
∵AB=2，∴OB=OD=OA=1，
∴△BOD的面积=OB OD=×1×1=，扇形AOD的面积==，扇形ABC的面积==，∴阴影部分的面积=S扇形ABC－S扇形AOD－S△BOD=－.
7. [人教九上习题改编]
如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，BC=4，∠BCA=30°，E为
AD上一点，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点F，若BF=AB，
则图中阴影部分的面积为 .
2－
【解析】如图，设AC与交于点G，连接AF，
∵∠BAC=90°，BC=4，∠BCA=30°，
∴AB=BC=2，AC==2，∠B=60°，
∵BF=AB，∴△ABF是等边三角形，∴AF=AB=2，∴AE=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，S△ABC=S△ACD=×2×2=2，∴∠CAD=∠ACB=30°，
∴S阴影=S△ACD－S扇形EAG=2－=2－.
三、转化法
方法指导
等积转化法：
S阴影=S扇形COD(CD∥AB)
对称转化法：
S阴影=S扇形ACB－S△ADC(BD=CD)
8. [北师九下习题改编]如图，在正方形ABCD中，AB=1，以
B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE. 则图中阴影
部分的面积为(　D　)
A. ＋ B.
C. ＋ D.
D
【解析】解法一：如图，设AB，DE交于点F，根据题意可知BE=AD.
在正方形ABCD中，∠FAD=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠BEF，
∴△ADF≌△BEF，∴S阴影=S扇形ABE==.
解法二：在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=1，∴BE=1，
∠ABE=90°，BC=CD=1，∴BE＋BC=CE=2，
∴S阴影=S扇形ABE＋S正方形ABCD－S△DCE=＋1×1－×2×1 =.
F
9. 将半径为3的圆形纸片按如图方式折叠，使得折叠后的和都
经过圆心O，则图中阴影部分的面积为 (结果用π表示).
3π
【解析】如解图，过点O作OD⊥AB于点D，
延长OD交⊙O于点E，连接AO，BO，CO，
由折叠的性质，得OD=DE=OE=AO，∴∠OAD=30°，
∴∠AOD=60°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理可得∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，易得S1=S2=S3=S4，
∴S阴影部分=S扇形AOC=S⊙O=π×32=3π.
解图(共25张PPT)
第六单元　圆
第28课时　与圆有关的位置关系
节前复习导图
与圆有关
的位置关系
与圆的
位置关系
点与圆的
位置关系
直线与圆
的位置关系
切线的性
质及判定
概念
性质定理
判定方法
切线长及
切线长定理
切线长
切线长定理
三角形
内切圆
图示
相关概念
性质
角度关系
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系
点在圆外 d＞r 圆的半径为r，点到圆心的距离为d
点在圆上 d r 点在圆内 d＜r =
2. 直线与圆的位置关系(设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d)
位置关系 示意图 d与r的关系 公共点个数
相离 d r 0个
相切 d r 1个
相交 d r 2个
＞
=
＜
考点
2
切线的性质与判定(4年2考)★重点
概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线
叫做圆的切线，这个点叫做切点
性质定理 圆的切线 于经过切点的半径
判定方法 1.定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
3.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
垂直
考点
3
切线长及定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆
的切线长
切线长定理 (*选学) 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ，这个点和
圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA，PB分别切⊙O于点A，
B，则PA= ，∠OPA=
相等
PB
∠OPB(或∠APB)
考点
4
三角形的内切圆
图示
相关概念 1.内切圆：与三角形各边都相切的圆；
2.圆心(内心)：三角形三条 的交点
性质 三角形的内心到三角形 的距离相等
角度关系 ∠AOB=90°＋∠C
角平分线
三条边
【知识拓展】
利用等面积法可得：r=
利用切线长定理可得：r=
安徽真题对点练
与圆有关的位置关系
命题点
1
1. [沪科九下习题改编]在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，O是BC边上的
中点.连接AO，以点O为圆心，r为半径作圆.
(1)若r=3，则点A与⊙O的位置关系是 ，
直线AB与⊙O的位置关系是 ；
(2)若r=4.8，则点A与⊙O的位置关系是 ，
直线AB与⊙O的位置关系是 ；
(3)若r=8，则点A与⊙O的位置关系是 ，
直线AB与⊙O的位置关系是 .
点A在圆外
相离
点A在圆外
相切
点A在圆内
相交
切线的判定与性质(4年2考)
命题点
2
2. [人教九上思考改编]如图，已知⊙O的半径为5，直线AB经过⊙O上一点
P，下列条件不能判定直线AB与⊙O相切的是(　A　)
A. OP=5
B. ∠APO=∠BPO
C. 点O到直线AB的距离是5
D. OP⊥AB
A
3. [沪科九下例题改编]如图，AB是⊙O的直径，AT与⊙O相切于点A，连
接BT，若∠B=40°，则∠ATB的度数为(　B　)
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
B
4. [沪科九下习题改编]如图，PA，PB为⊙O的两条切线，AP=4，
∠APB=60°，连接AB，OP，AB与OP交于点C，则AC的长为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
5. (2025安徽12题)如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在
线段PA上，已知∠P=50°，则∠PAB的大小为 °.
20
【解析】如图，连接OB，
∵PB 与⊙O相切于点B，OB是⊙O的半径，
∴∠OBP=90°.
又∵∠P=50°，∴∠BOP=40°，
∴∠PAB=∠BOP=20°.
6. [人教九上习题改编]如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C
的切线交AB的延长线于点D. 若BC=4，tan∠BCD=，则AC= .
8
【解析】如图，连接OC，
∵CD与⊙O相切，∴∠DCO=90°，∴∠DCB＋∠BCO=90°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠OCA＋∠OCB=90°，∴∠BCD=∠OCA.
∵OC=OA，∴∠A=∠OCA，
∴∠A=∠BCD，∴tan A=tan∠BCD==，∵BC=4，∴AC=8.
7. [沪科九下习题改编]如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接
OA，OB，AB，PO，PO交⊙O于点C，交AB于点D.
(1)若∠OAB=30°，则∠APB的度数是 ；
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.∵∠OAB=30°，∴∠BAP=90°－30°=60°，∴△ABP
为等边三角形，∴∠APB=60°.
60°
(2)若AD=2，CD=2，则⊙O的半径长为 .
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，AP⊥OA，∴∠OAP=90°，
∵OA=OB，∴OP垂直平分AB，∴∠ADO=90°.
在Rt△AOD中，AD=2，OD=OC－CD=OA－2.
由勾股定理，知OA2=OD2＋AD2，即OA2=(OA－2)2＋(2)2，
解得OA=4，即⊙O的半径为4.
4
三角形的内切圆
命题点
4
8. [沪科九下习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
⊙O是△ABC的内接圆，则⊙O的半径为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，∴⊙O的半径为=2.
B
教材变式练重点
切线性质的综合应用(2022.19)
教材原题
例　沪科九下P70习题T7
如图，在△ABC中，∠B=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半
径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，AD=2，AE=1，求CD的长.
解：如图，连接OD，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴AC⊥OD，∠ADO=90°.
设OD=r，则AO=1＋r，
在Rt△ADO中，AO2=AD2＋OD2，(1＋r)2=22＋r2，解得r=，
∴AB=×2＋1=4.
∵∠ABC=90°，BE是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，∴CD=CB，AC2=AB2＋BC2.
设CD=a，则BC=a，AC=2＋a，
∴(2＋a)2=42＋a2，
解得a=3，即CD=3.
变式题
1. 改为单切线，证线段垂直
(2022安徽19(2)题)如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA
的延长线上一点，连接CD，CO. 若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且
∠ACD=∠ACE，求证：CE⊥AB.
证明：∵DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，即∠ACD＋∠OCA=90°.
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC.
又∵∠ACD=∠ACE，
∴∠ACE＋∠OAC=90°，
∴∠AEC=180°－(∠ACE＋∠OAC)=90°.
∴CE⊥AB.
2. 　线段AC改为相交，求证角相等及线段长
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接
CO并延长，交⊙O于点E，连接AE，DE，BD.
(1)求证：∠ACB=∠AED；
(1)证明：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠ACB＋∠BAD=90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ABD＋∠BAD=90°，∴∠ACB=∠ABD，
∵=，∴∠AED=∠ABD，∴∠ACB=∠AED；
(2)若AB=4，cos∠AED=，求OC的长.
(2)解：由(1)得∠ACB=∠ABD=∠AED，
∴cos∠ACB=cos∠ABD=cos∠AED，∴ = = ，
∵AB=4，
∴BD= ，
∴AD===，
∵∠ACB=∠ABD，∠ABC=∠ADB=90°，
∴△ACB∽△ABD，
∴ = ，即 = ，
解得AC=6，
∴BC2=AC2－AB2=36－16=20，
∵OB=AB=2，
∴OC== =2.

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