资源简介

(共22张PPT)
第七单元　图形的变化
第33课时　图形的平移、旋转与位似
节前复习导图
图形的平移
概念
要素
性质
位似图形
概念
性质
概念
要素
性质
图形的旋转
图形的平移、
旋转与位似
作图步骤
作图步骤
作图步骤
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
图形的平移(4年2考)★重点
概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做
平移，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小
要素 平移 和平移距离
性质 1.平移前后的两图形 ；
2.图形上的每一个点都沿同一个方向移动 的距离；
3.对应点的连线平行(或在同一条直线上)且
作图 步骤 1.根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
2.找出原图形的关键点；
3.按平移方向和平移距离平移各关键点，得到各关键点的对应点；
4.按原图形依次连接各对应点，得到平移后的图形
方向
全等
相同
相等
考点
2
图形的旋转(4年3考)★重点
概念 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定角度，得到另一个图形的变换叫
做旋转.这个定点叫做 ，旋转的角度叫做 ，原图形上
一点A旋转后成为点A′，这样的两个点叫做对应点
要素 旋转中心、旋转 和旋转角度
性质 1.旋转前后的图形全等；
2.对应点到旋转中心的距离 ；
3.每一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角
旋转中心
旋转角
方向
相等
作图 步骤 1.根据题意确定旋转中心，旋转方向及旋转角；
2.找出原图形的关键点；
3.将各关键点按旋转方向与旋转角旋转，得到各关键点的对应点；
4.按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形
考点
3
位似图形(2025.16)
概念 一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，
B，…，P分别对应，并且满足下面两点：
(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；
(2)==…==k，那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做

位似中心
性质 1.位似图形的对应边 ，对应角 ，周长之比等于
，面积之比等于 ；
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
3.对应点的连线都经过
成比例
相等
位似
比
位似比的平方
位似中心
作图 步骤 1.利用位似图形将一个图形放大或缩小：
(1)确定位似中心；
(2)确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点；
(3)描出新图形
2.若一个图形与原图形位似，位似中心是原点，则相似比为|k|(k≠0)；
3.位似图形与相似图形的关系：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图
形未必能构成位似图形
安徽真题对点练
图形的平移(4年2考)
命题点
1
1. [沪科八上例题改编]如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE与
AC交于点G，连接AD.
(1)若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠EDF的度数为 °；
(2)四边形ACFD的形状为 ；
(3)判断AD，BC，BF之间的数量关系为 ；
90
平行四边形
BF=BC＋AD
(4)若AB=3，DF=4，CE=2，△DEF的周长为12，则△ABC平移的距离
为 .
【解析】由平移的性质可知，△ABC 的周长=△DEF的周长=12.∵AB=3，
DF=4，∴AC=DF=4，∴BC=12－3－4=5，∴平移的距离BE=BC－CE=5
－2=3.
3
图形的旋转(4年3考)
命题点
2
2. [人教九上习题改编]如图，在△ABC中，∠ABC=45°，将△ABC绕点A
顺时针旋转，得到△ADE，连接CE.
(1)旋转中心为 ，旋转角为 ，若将△ABC绕点
A顺时针旋转180°，则△ADE与△ABC成 ；
(2)∠CAE= ，∠D的度数为 ；
(3)AD= ，DE= ；
(4)△ACE的形状为 ；
点A
∠CAE和∠BAD
中心对称图形
∠BAD
45°
AB
BC
等腰三角形
(5)当∠CAE=45°时，AB与DE的位置关系为 ，DA与BC的位
置关系为 .
【解析】由旋转的性质可知，
∠D=∠ABC=45°，∠BAD=∠CAE=45°，
∴∠D＋∠BAD=90°，∠BAD=∠ABC，
∴AB⊥DE，DA∥BC.
AB⊥DE
DA∥BC
位似图形(2025.16)
命题点
3
3. [人教九下例题改编]如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称.
(1)若BC=5，则B′C′= ；
(2)若∠BAC=85°，则∠B′A′C′= °；
(3)若CO=6，则C′O= ；
(4)若∠BAO=150°，则∠B′A′O= °.
5
85
6
150
网格作图(4年4考)
命题点
4
4. (2025安徽16题)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点).
已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6).
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
解：(1)如解图所示，
点D即为边AB的中点，
点D的坐标为(－2，－1)；
解图
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为
A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1.
解：(2)如解图所示，△A1B1C1即为所求作.
已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)
解图
5. (2024安徽16题)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，
C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4).
(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°
得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
解：(1)如解图，△A1B1C1即为所求作；
解图
(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
(2)40；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E
的坐标.
(3)如解图，格点E即为所求作，
点E的坐标为(3，0)或(4，2)或(5，4)或(6，6).
(答案不唯一，写出一个即可)
A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4)
解图
6. (2023安徽17题)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格
中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
解：(1)如解图，线段A1B1即为所求作；
解图
(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段
A2B2，画出线段A2B2；
(2)如解图，线段A2B2即为所求作；
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB.
(3)如解图，点M，N即为所求作.
解图
7. (2025合肥蜀山区校级三模)如图，在每个小正方形的边长为1个单位长
度的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上，直线l经过小正方
形的边.
(1)画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
解：(1)如解图，△A1B1C1即为所求作；
(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°
得到△A2B2C1，画出△A2B2C1；
(2)如解图，△A2B2C1即为所求作；
(3)仅用无刻度直尺作△ABC高BH.
(3)如解图，线段BH即为所求作.
解图
方法指导
无刻度直尺作图中的常见线段
1. 作三角形的中线、中位线
以中点所在线段为对角线，构造矩形，对角线的交点即为线段的中点，两
边中点的连线即为三角形的中位线.
2. 作线段的垂线
(1)利用网格构造直角三角形，应用勾股定理逆定理；
(2)以设问中的线段为腰或底边构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合
一”；
(3)构造菱形、正方形，利用“对角线互相垂直平分”作图.
3. 作线段的垂直平分线
(1)按照作中点的方法确定中点；
(2)过中点作垂线，参考作线段垂线的方法.
4. 作角平分线
结合确定中线或垂线的方法，利用等腰三角形“三线合一”确定角平分线.(共19张PPT)
第七单元　图形的变化
第31课时　视图与投影
节前复习导图
视图与投影
投影
正投影
平行投影
中心投影
立体图形的
展开与折叠
正方体
展开图的
常见类型及相对面
“一四一”型
“一三二”型
“二二二”型
“三三”型
三视图
概念
画法
常见几何体
的三视图
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
投影
投影
考点
2
三视图(4年4考)★重点
1. 三视图的概念及画法
概念 (1)主视图：在正面内 观察物体得到的视图；
(2)左视图：在侧面内 观察物体得到的视图；
(3)俯视图：在水平面内 观察物体得到的视图
画法 主视图与俯视图要 对正；
主视图与左视图要 平齐；
左视图与俯视图要 相等；
看得见部分的轮廓线画成 ，看不见部分的轮廓线画成
由前往后
由左往右
由上往下
长
高
宽
实线
虚线
2. 常见几何体的三视图
几何体 图形 主视图 左视图 俯视图
正方体
长方体
圆柱
圆锥
几何体 图形 主视图 左视图 俯视图
圆台
正三棱柱
正三棱锥
球体
【温馨提示】
三视图还原几何体的步骤：
(1)想象，根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状；
(2)定形，综合确定几何体(或实物)的形状；
(3)定大小位置，根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系确定轮廓线的位置以
及各个方向的尺寸
考点
3
立体图形的展开与折叠
正方体展开图的常见类型及相对面
(注：相同颜色表示正方体相对的面)
一四一型 巧记：中间四个面，上下各一面
一三二型 巧记：中间三个面，一二隔河见
二二二型 巧记：中间两个面，楼梯天天见
三三型 巧记：中间没有面，三三连一线
【温馨提示】
1.正方体的表面展开图中不能出现“ ”“ ”“ ”图形；
2.若出现“ ”类型，另两面必须在两侧；
3.正方体中相对的面在展开图中无公共边
安徽真题对点练
投影
命题点
1
1. [人教九下思考改编]一个三角板在阳光下的投影不可能是(　D　)
D
三视图(4年4考)
命题点
2
类型一　常见几何体的三视图(4年2考)
2. (2025安徽3题)“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的
“阳马”的主视图为(　A　)
A
3. (2022安徽3题)一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放
置，其俯视图是(　A　)
A
4. (2025安庆模拟)如图所示的几何体的左视图是(　A　)
A
类型二　常见几何体组合体的三视图
5. [人教九下习题改编]一个长方体和一个圆柱体按如图位置叠放，该几何
体的俯视图是(　D　)
D
类型三　三视图还原几何体(4年2考)
6. (2023安徽2题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(　B　)
B
7. (2024安徽3题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是(　D　)
D
立体图形的展开与折叠
命题点
3
8. [北师七上习题改编]下列图形中，不是正方体展开图的是(　D　)
D
9. [北师七上习题改编]如图是某个几何体的展开图，该几何体是(　C　)
A. 四棱柱 B. 圆台
C. 圆柱 D. 圆锥
C(共22张PPT)
第七单元　图形的变化
第30课时　尺规作图
章前复习导图
平面图形
立体图形
全
等
变
换
图形的平移、旋转与位似
图形的对称与折叠
图形的变化
尺规作图
五种基本尺规作图
视图与投影
投影
几何体的三视图
立体图形的展开及还原
图形的对称
图形的折叠
轴对称图形与中心对称图形
轴对称与中心对称
图形的平移
图形的旋转
要素
性质
作图步骤
节前复习导图
尺规作图
五种基本
尺规作图
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作已知角的平分线
作线段的垂直平分线
过一点作已知直线的垂线
过圆外一点作圆的切线
过直线外一点作已知直线的平行线
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
教材知识逐点过
基本尺规作图
考点
类型一　作一条线段等于已知线段
1.作射线OP；
2.以点O为圆心，a为半径作弧交OP于点A，
则OA即为所求作的线段
原理：圆上的点到圆心的距离等于半径
类型二　作一个角等于已知角
1.作射线O′A；
2.在∠α上以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
3.以点O′为圆心，OP(或OQ)长为半径作弧，交O′A于点M；
4.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N；
5.过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求作的角
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
类型三　作已知角的平分线
1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
2.分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点
P；
3.作射线OP，射线OP即为所求作的∠AOB的平分线
　
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
类型四　作线段的垂直平分线
1.分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点
M，N；
2.作直线MN，直线MN即为所求作的垂直平分线
原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
类型五　过一点作已知直线的垂线
情况1　过直线上一点作已知直线的垂线
1.以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
2.分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径向直线l的同侧作弧，
交于点M；
3.过点M，P作直线，直线MP即为所求作的垂线
原理：等腰三角形“三线合一”
情况2　过直线外一点作已知直线的垂线
1.任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧；
2.以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A，B两点；
3.分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，在点M的同侧交于点N；
4.过点P，N作直线，直线PN即为所求作的垂线
　
原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
类型六　过直线外一点作已知直线的平行线(2022课标新增)
1.在直线l上取一点A，作射线AP；
2.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线AP和直线l于点B，C；
3.以点P为圆心，线段AB(或AC)长为半径画弧交射线AP于点D；
4.以点D为圆心，线段BC长为半径画弧交前弧于点E；
5.作直线PE，则直线PE即为所求作的平行线
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等，
两直线平行
类型七 过圆外一点作圆的切线(2022课标新增)
1.连接PO，分别以点P，O为圆心，大于PO的长为半径画弧，两弧交于点M，N；
2.作直线MN，交PO于点A；
3.以点A为圆心，AO(或AP)长为半径画圆，交⊙O于点Q，R；
4.连接PQ，PR，则射线PQ，PR即为所求的切线
原理：直径所对的圆周角是直角
安徽真题对点练
命题点　基本尺规作图
1. [人教八上探究题改编]如图，在 ABCD中，BC=2，∠B=60°，AB＞
BC.
(1)请用尺规作图法，在边AB上找一点E，使得BE=BC；
(不写作法，保留作图痕迹)
解：如解图，点E即为所求(作法不唯一)；
解图
(2)在(1)的条件下，连接CE，则△BCE的面积为 .
【解法提示】如解图，过点E作EM⊥BC于点M，∵BE=BC=2，
∠B=60°，∴EM=BE sin B=BE=，∴S△BCE=BC EM=.

解图
1. [人教八上探究题改编]如图，在 ABCD中，BC=2，∠B=60°，AB＞
BC.
2. [人教八上例题改编]如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=36°.
(1)请用尺规作图法，在边BC上找一点D，使∠BAD=∠B；(不写作法，保
留作图痕迹)
解：如解图，点D即为所求(作法不唯一)；
解图
(2)在(1)的条件下，则∠CAD的度数为 °.
【解法提示】由作图可知∠BAD=∠B=40°，在△ABC中，∠BAC=180°
－∠B－∠C=104°，∴∠CAD=∠BAC－∠BAD=64°.
64
解图
2. [人教八上例题改编]如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=36°.
3. [人教八上例题改编]如图，在△ABC中，∠A=90°.
(1)请用尺规作图法，在边AC上找一点G，使得BG平分∠ABC；(不写作
法，保留作图痕迹)
解：如解图，点G即为所求(作法不唯一)；
解图
(2)在(1)的条件下，若BC=10，AC=8，则AG的长为 .
【解法提示】如解图，过点G作GH⊥BC于点H，
∵BG平分 ∠ABC，GH⊥CB，AG⊥AB，
∴AG=GH，
∵∠A=90°，BC=10，AC=8，∴AB==6，
设AG=x，则GH=x，S△BCG＋S△ABG=S△ABC，即×10x＋×6x=×6×8，
解得x=3.
3
3. [人教八上例题改编]如图，在△ABC中，∠A=90°.
解图
4. [沪科八上习题改编]如图，在△ABC中，△ABC的周长为15.
(1)请用尺规作图法，作边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E；
(不写作法，保留作图痕迹)
解：如解图，DE即为所求作(作法不唯一)；
解图
(2)在(1)的条件下，连接BE，若CD=3，则△ABE的周长为 .
【解法提示】如解图，∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，
BD=CD=3.∵△ABC的周长为15，
∴AB＋BC＋AC=15，即AB＋BD＋DC＋AC=15，
∴AB＋AC=9，
∴△ABE的周长为AB＋BE＋AE=AB＋CE＋AE=AB＋AC=9.
9
4. [沪科八上习题改编]如图，在△ABC中，△ABC的周长为15.
解图
5. [沪科八上习题改编]如图，在 ABCD中，∠DAB=30°.
(1)请用尺规作图法，过点D作AB边上的高DE；(不写作法，保留作图
痕迹)
解：如解图，DE即为所求(作法不唯一)；
解图
(2)在(1)的条件下，AD=4，AB=6，则BE的长为 　.
【解法提示】在Rt△ADE中，
∵∠DAB=30°，∴AE=AD cos A=4×=2，
∴BE=AB－AE=6－2.
6－2

5. [沪科八上习题改编]如图，在 ABCD中，∠DAB=30°.
解图(共29张PPT)
第七单元　图形的变化
第32课时　图形的对称与折叠
节前复习导图
图形的
对称与折叠
轴对称与中心对称
图形
性质
图形的折叠
实质
性质
轴对称图形与中心对称图形
图形
判断步骤
作图方法
图形
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图形
判断步骤 1.找对称轴； 2.图形沿 折叠； 3.对称轴两边图形完全重合 1.找 ；
2.图形绕 旋
转 ；
3.旋转前后的图形完全重合
对称轴
对称中心
对称中心
180°
1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、
正六边形、圆等；
2. 常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；
3. 常见的既是轴对称图形又是中心对称图形的图形：菱形、矩形、正方形、正六边
形、圆等
【温馨提示】
常见对称图形
轴对称 中心对称
图形
性质 1.成轴对称的两个图形 ； 2.成轴对称的两个图形只有一条对称轴； 3.对应点连线被对称轴 1.成中心对称的两个图形 ；
2.成中心对称的两个图形只有一个对
称中心；
3.对应点连线交于对称中心，并且被
对称中心
作图 方法 1.找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点； 2.根据原图形依次连接各对称点即可 全等
垂直平分
全等
平分
考点
2
轴对称与中心对称[2023.17(1)]
考点
3
图形的折叠(2024.14)
实质 折叠问题就是轴对称变换
图形
性质 1.位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；
2.折叠前后的两部分图形 ，对应边、角、线段、周长、面积都
分别 ；
3.折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
全等
相等
安徽真题对点练
轴对称图形与中心对称图形
命题点
1
1. [人教八上习题改编]下列图形中是中心对称的是(　C　)
C
2. [人教八上习题改编]在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个
汉字中，可以看作是轴对称图形的是(　D　)
D
3. [沪科八上习题改编]下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图
形的是(　D　)
D
对称的基本性质[2023.17(1)]
命题点
2
4. [人教八下习题改编]如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，
作点B关于AE的对称点F，连接AF，EF. 解决下列问题：
(1)四边形ABEF中相等的线段有 ；
(2)四边形ABEF中相等的角有
；
(3)全等的图形为△ABE≌ ；
AB=AF，BE=FE
∠BAE=∠FAE，∠ABE=∠AFE，
∠AEB=∠AEF
△AFE
(4)连接BF，AE⊥BF的依据是
.
轴对称图形的对称
轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线
折叠的基本性质(2024.14)
命题点
3
5. [人教八下习题改编]如图，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，连接
AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，解决下列问题：
(1)图中折叠前的部分与折叠后的部分相等的线段AB= ，
BE= ；
(2)图中折叠前的部分与折叠后的部分相等的角∠ABE= ，
∠BAE= ，∠AEB= ；
(3)全等的图形为△ABE≌ ；
AF
FE
∠AFE
∠FAE
∠AEF
△AFE
(4)连接BF交AE于点O，发现折痕AE可看作垂直平分线：AE⊥ ，
BO= ，依据是 ；
(5)折痕可看作角平分线：∠BEA= ，∠BAE= ，依
据：对称线段所在的直线与折痕的夹角相等.
题后反思
通过第4题的对称变换和第5题的折叠变换练习题，
你能发现对称和折叠的关系吗？
解：折叠就是轴对称变换.
BF
FO
折痕垂直平分折叠前后两个对应点的连线
∠FEA
∠FAE
教材变式练重点
图形的折叠(2024.14)
教材原题
例　沪科八下P66习题T2
如图，将AB=10 cm，AD=8 cm的长方形纸片ABCD沿过顶点A的直线AP为
折痕折叠时，点B与边CD上的点Q重合，试分别求出DQ，PQ的长.
解：由折叠的性质可知△ABP≌△AQP，
∴AB=AQ=10，PB=PQ，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，
∵AD=8，
∴在Rt△ADQ中，DQ==6，
∴CQ=DC－DQ=4，
设PQ=x，则PB=PQ=x，
∴CP=BC－BP=8－x，
∴在Rt△PCQ中，x2=42＋(8－x)2，解得x=5，
综上，DQ的长是6 cm，PQ的长是5 cm.
变式题
1. 折叠后产生等腰三角形
如图，将矩形纸片ABCD(AB＜BC)沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE
与AD相交于点F，若∠EDF=44°，则∠DBE的度数是(　C　)
A. 22° B. 22.5° C. 23° D. 23.5°
C
方法指导
当折痕过特殊四边形对角线可利用角平分线(折痕)与平行线
(特殊四边形的对边)的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形性质求解.
2. 折叠后产生直角三角形
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E，F分别为边BC，AD上的
点，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点B的对应点为点B′，点A的对应
点A′恰好落到边CD上，且DA′=2A′C，A′B′交BC于点N，则A′N的长
为 .

【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=∠D=90°，
AD=BC=8，DC=AB=6.
∵DA′=2A′C，∴DA′=DC=4，A′C=DC=2，
由折叠的性质，得∠B′A′F=∠A=90°，AF=A′F，A′B′=AB=6.
设DF=x，则FA=FA′=8－x，在Rt△A′DF中，由勾股定理，得DF2＋DA′2=A′F2，即x2＋42=(8－x)2，解得x=3，即DF=3，∴FA=FA′=8－3=5，
∵∠NA′C＋∠DA′F=90°，∠NA′C＋∠CNA′=90°，∴∠CNA′=∠DA′F.
∵∠C=∠D=90°，∴△A′NC∽△FA′D，
∴=，即=，∴A′N=.
方法指导
图形分析：
在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，将矩形按照如图所示的折痕折叠.
解题思路：
如图，设DF=x，则AF=b－x，BF=DF=x，在Rt△ABF中，利用勾股定理
可得a2＋(b－x)2=x2.
3. 折叠后产生全等、相似三角形
如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直
线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF. 点E，F，D在同一
条直线上，AE=2.
一题多解法
(1)DF= ；
2
【解法提示】解法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
由折叠的性质得，CF=CB，∠CFE=∠B=90°，EF=EB，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE＋∠CDF=∠CDF＋∠FCD=90°，
∴∠ADE=∠FCD，∵∠DAE=∠CFD，
∴△ADE≌△FCD，∴DF=AE=2.
解法二：∵AB∥CD，∴S△ACD=S△DCE，∴S△ACD－S△DCF=S△DCE－
S△DCF，∴S△ADF=S△ECF，由题意知，BC=CF，S△ACD=S△ABC，
S△ECF=S△BCE，∴S△ACD－S△ADF=S△ABC－S△ECF=S△ABC－S△BCE，
∴S△DCF=S△ACE，∴DF CF=AE BC. ∵CF=BC，∴DF=AE=2.
(2)BE= .
【解法提示】
解法一：∵∠AFE=∠CFD=90°，
∴∠AFE=∠DAE=90°，∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，
∴=，∴=，解得EF=－1(负值已舍去)，∴BE=EF=－1.
解法二：设BE=x，∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴=，
∴=，解得x=－1(负值已舍去)，∴BE=－1.
－1
AE=2
4. 如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，
点C的对应点F恰好落在AD上.若sin∠DFE=，则tan∠EBC的值为 　 　.

【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=∠D=90°.
由折叠的性质可知，∠BFE=∠C=90°，∠EBF=∠EBC，EF=EC，
∴∠ABF＋∠AFB=90°，∠AFB＋∠DFE=90°，∴∠DFE=∠ABF，
∴△DFE∽△ABF，∴=.
∵sin∠DFE==，
∴设DE=2a，则EF=3a，∴AB=CD=5a.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得DF=a，
∴===，
∴tan∠EBC=tan∠EBF==.
方法指导
1. 折叠中常出现的全等模型
结论：△ABC≌△AB′C. △AB′F≌△CDF.
2. 折叠中常出现的相似模型
(1)一线三垂直模型
结论：△BEF∽△CFD
(2)“正8字”“斜A字”模型
结论：①“正8字”：△AFE∽△CFD
②“斜A字”：△AFE∽△ABC
5. 折叠产生隐圆问题
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P是直线AB上的一个动点，AE=2，
将△APE沿PE翻折形成△FPE，则FC的最小值是 ，点F到线
段BC的最短距离是 .
2－2
2
【解析】如解图，连接CE，过点E作EG⊥BC于点G，∵AE=EF=2，∴点
F在以点E为圆心，AE为半径的圆上运动，在Rt△CDE中，由勾股定理
得，CE===2，∴FC的最小值为CE－2=2－
2，∵∠DAB=∠ABC=∠BGE=90°，∴四边形ABGE是矩形，
∴EG=AB=4，∴点F到线段BC的最短距离是2.
解图
方法指导
相关专题几何折叠问题见本书P134

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