资源简介

(共26张PPT)
第五单元　四边形
第26课时　正方形
节前复习导图
中点四边形
正方形的
性质与判定
概念与性质
判定
面积计算
平行四边形、
矩形、菱形、
正方形的关系
从边、角的角度看
从对角线的角度看
正方形
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
正方形的性质与判定(4年4考)★重点
1. 正方形的概念与性质
概念 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形
边 四条边 且两组对边分别平行
角 四个角都是直角(或90°)
对角线 对角线 ，每条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形；有 条对称轴，对称中心
是
【知识拓展】正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 相等
相等且互相垂直平分
四
对角线交点
2. 正方形的判定
边 (1)有一个角是 ，且有一组邻边相等的平行四边形是正方
形(定义)；
(2)有一组邻边 的矩形是正方形
角 有一个角是 的菱形是正方形
对角线 (1)对角线 的矩形是正方形；
(2)对角线 的菱形是正方形；
(3)对角线互相 的平行四边形是正方形
3. 正方形面积的计算
公式 S=a2(a表示正方形的边长)
直角(90°)
相等
直角(90°)
互相垂直
相等
垂直且相等
考点
2
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
1. 从边、角的角度看：
2. 从对角线的角度看：
考点
3
中点四边形
原图形 中点四边形的形状 图示
任意四边形 平行四边形
对角线相等的四边形(如矩形) 菱形
对角线垂直的四边形(如菱形) 矩形
对角线垂直且相等的四边形 (如正方形) 正方形
安徽真题对点练
正方形的判定
命题点
1
1. [人教八下例题改编]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O.
(1)若四边形ABCD是菱形，请添加条件 (写
出一个即可)，使四边形ABCD是正方形；
(2)若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件 (写出
一个即可)，使四边形ABCD是正方形；
∠ABC=90°(答案不唯一)
AB=BC(答案不唯一)
(3)若四边形ABCD是平行四边形，请添加条件
(写出一个即可)，使四边形ABCD是正方形.
AC=BD且AC⊥BD(答案
不唯一)
正方形的性质(4年4考)
命题点
2
2. [沪科八下例题改编]
如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=4.
(1)∠BAC= °，∠AOD= °；
(2)BD= ，AO= ，AB= ；
(3)正方形ABCD的周长为 ，面积为 ；
(4)△OBC的面积为 ，点O到BC的距离为 .
45
90
4
2
2
8
8
2

中点四边形
命题点
3
3. [人教八下习题改编]如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边
AB，BC，CD，DA的中点.连接EF，FG，GH，EH，若四边形EFGH为正
方形，则对角线AC，BD应满足的条件是(　C　)
A. AC⊥BD
B. AC=BD
C. AC⊥BD且AC=BD
D. 不确定
C
教材变式练重点
一、正方形的勾股弦图(2024.14)
教材原题
例1　沪科八下P93例7
如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且
AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AA′=BB′=CC′=DD′，
∴A′B=B′C=C′D=D′A，
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′(SAS)，
∴D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠AD′A′=∠BA′B′，
∴四边形A′B′C′D′是菱形.
∵∠A=90°，
∴∠AD′A′＋∠AA′D′=90°，
∴∠BA′B′＋∠AA′D′=90°，
∴∠D′A′B′=180°－(∠BA′B′＋∠AA′D′)=90°，
∴四边形A′B′C′D′是正方形.
变式题
1. 改变点的位置，已知线段关系求面积关系
如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD内部的点，且△AB′B，
△BC′C，△CD′D，△DA′A均为直角三角形.若正方形A′B′C′D′与正方形
ABCD的面积比为1∶n，且有BC′ CC′=B′C′2，则n的值为(　B　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
【解析】设CC′=a，BC′=b，依题意，得B′C′=b－a，
则B′C′2=(b－a)2.∵BC′ CC′=B′C′2，∴ba=(b－a)2，
即S正方形A′B′C′D′=(b－a)2=ab，∴a2＋b2=3ab，
在Rt△ABB′中，由勾股定理，得AB2=a2＋b2=3ab，
∴S正方形ABCD=AB2=3ab，∴S正方形A′B′C′D′∶S正方形ABCD=1∶3，∴n=3.
2. 连接线段，计算线段长
由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如
图所示.连接CF，并延长交AB于点N. 若AB=3，EF=3，则FN的长
为 .
2
【解析】设AE=x，则FB=x，AF=EF＋AE=3＋x，
由勾股定理，AF2＋FB2=AB2，即(3＋x)2＋x2=(3)2，
解得x=3(负值已舍去)，∴AF=6，CG=GF=3，∴∠GCF=∠GFC=∠BFN=45°，∴FN为∠AFB的平分线.
由角平分线性质可知，S△AFN∶S△BFN=AF∶FB=2∶1，∴AN∶NB=2∶1，
∴NB=AB=.由勾股定理，得CN=5，CF=3，∴FN=CN－CF=2.
二、正方形的十字模型(2025.23)
教材原题
例2　沪科八下P104习题T9
如图，在正方形ABCD中，点E，F是边BC，CD上的点，且BE=CF. 那
么，线段AE与BF的夹角有多大？为什么？
解：AE与BF的夹角是90°.
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE=∠CBF.
∵∠BAE＋∠AEB=90°，
∴∠CBF＋∠AEB=90°，
即∠EBG＋∠GEB=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE和BF的夹角是90°.
变式题
1. 结合折叠求线段长
如图，将边长为40的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处.若折
痕FG的长为41，则CE的长为 .
　
9
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°，
AD=CD=AB=CB. 如图，过点F作FP⊥CD于点P，连接DE，则四边形
AFPD是矩形，∴∠DCE=∠FPG=90°，FP=AD. 由翻折知，GF⊥DE，
∴∠PFG=∠CDE. ∵AD=CD=FP，∴△FPG≌△DCE(ASA)，
∴DE=FG=41.在Rt△CDE中，由勾股定理得
CE===9.
2. 增加线段，求角度
如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，且
BE=CF. 连接AE，BF，BF交对角线AC于点G，连接DG. 若∠EAB=α，则
∠DGF的度数为 (用含α式子表示).
90°－2α
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BA=AD=CD=BC，
∠ABC=∠BCD=90°，∠BAC=∠CAD=∠BCA=∠DCA=45°，
易得△ABE≌△BCF(SAS)，△BCG≌△DCG(SAS)，
∴∠EAB=∠FBC=α，∠CBG=∠CDG=α，
∴∠CFB=90°－α，∴∠DGF=∠CFB－∠CDG=90°－2α.
3. 求线段比例关系
如图，已知正方形ABCD，M为边AB的中点.连接
CM，G为线段CM上一点，连接AG，BG并延长，分别与边BC，CD交于
点E，F，且∠AGB=90°.求证：BE2=BC CE.
一题多解法
证法一：∵∠AGB=90°，M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，∠MGB=∠MBG.
又∵∠CGE=∠AGM，
∴∠AGM＋∠MGB=∠CGE＋∠MGB=90°，
∵∠MBG＋∠CBG=90°，
∴∠MGB＋∠CBG=90°，∴∠CGE=∠CBG.
又∵∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴=，即CG2=BC CE，
∵∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF，∴CF=CG.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
又∵∠AGB=90°，
∴∠BAE＋∠ABG=90°.
又∵∠ABG＋∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴BE=CF，∴BE=CG，
∴BE2=BC CE.
如图，已知正方形ABCD，M为边AB的中点.连接
CM，G为线段CM上一点，连接AG，BG并延长，分别与边BC，CD交于
点E，F，且∠AGB=90°.求证：BE2=BC CE.
一题多解法
证法二：∵∠AGB=90°，M是AB的中点，
∴MG=BM，
∴∠MGB=∠MBG=∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG.
同理可知，CF=BE，
∴CG=BE.
∵∠CGF＋∠CGE=90°，∠MBG＋∠GBE=90°，
∴∠CGE=∠EBG，
∴△CEG∽△CGB，
∴CG2=BC CE，
即BE2=BC CE.(共24张PPT)
第五单元　四边形
第23课时　平行四边形与多边形
章前复习导图
互逆
边、角特殊化
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
判定
周长
面积
对称性
边
角
对角线
四边形
多边形
特殊
正多边形
节前复习导图
平行四边形
与多边形
平行四边
形的性质
与判定
概念性质
判定
多边形
多边形的性质
正多边形的性质
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
教材知识逐点过
考点
1
平行四边形的性质与判定(4年5考)★重点
1. 平行四边形的概念与性质(4年5考)
概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“ ”表
示
边 两组对边分别平行且
角 两组对角分别 ；四组邻角分别互补
对角线 两条对角线互相
对称性 是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点
相等
相等
平分
周长 等于两邻边和的2倍
面积 边长×该边上的高
【知识拓展】
平行四边形中的面积关系：
(源于人教八下P51习题)
S1=S2
(源于沪科八下P84习题)
(源于北师八下P158习题)
2. 平行四边形的判定(4年5考)
边 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；
边 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)有一组对边 的四边形是平行四边形
角 两组对角分别 的四边形是平行四边形
对角线 对角线 的四边形是平行四边形
平行且相等
相等
互相平分
考点
2
多边形(4年2考)★重点
1. 多边形的性质
内角和 定理 n(n≥3)边形的内角和为
外角和定理 n(n≥3)边形的外角和为
对角线 过n(n＞3)边形一个顶点可以引 条对角线，n(n＞3)边形共有
条对角线
(n－2) 180°
360°
(n－3)
2. 正多边形的性质
边 正n(n≥3)边形的各边长
角 正n(n≥3)边形的每一个内角相等，都等于 ，每个外角相等，
都等于
对称
性 (1)正多边形都是 对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称
图形；
(2)正n边形有 条对称轴
相等


轴
n
安徽真题对点练
平行四边形的判定(4年5考)
命题点
1
1. [人教八下例题改编]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.
(1)若AB∥DC， ∥ ，则四边形ABCD为平行四边形；
(2)若AO=CO， = ，则四边形ABCD为平行四边形；
(3)若AB=DC， = ，则四边形ABCD为平行四边形；
(4)若∠DAB=∠BCD， = ，
则四边形ABCD为平行四边形.
AD
BC
BO
DO
AD
BC
∠ADC
∠ABC
平行四边形的性质(4年5考)
命题点
2
2. [沪科八下例题改编]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB=5，则CD= ；
(2)若∠BAD=50°，则∠ADC= ，∠BCD= ；
(3)若AB＋BC=18，则 ABCD的周长为 ；
(4)若△AOB的面积为14，则 ABCD的面积为 ；
5
130°
50°
36
56
(5)若 ABCD的周长为32，△COD的周长比△BOC的周长多4，那么BC的
长为 .
6
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，OD=OB，
∵ ABCD的周长是32，
∴AD＋AB＋BC＋CD=2BC＋2CD=32，∴BC＋CD=16，
∵△COD的周长比△BOC的周长多4，
∴CD＋OC＋OD－(BC＋OC＋OB)=CD－BC=4，
∴BC＋4=CD，∴BC＋4＋BC=16，∴BC=6.
题后反思
在三角形重要线段课时就已经学过了中线分割的两个三角形周长的计算，
你还记得两个周长之间的关系吗？
被中线分割的两个三角形的周长之差等于另外两边长的差.
3. (2025安徽8题)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中
点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF=CH，
则下列为定值的是(　C　)
A. 四边形EFGH的周长
B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积
D. 线段FH的长
C
【解析】如解图，连接EG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，AD∥BC，∵E，G分别为边AD，BC的中点，∴AE=CG. 又∵AF=CH，∴△AEF≌△CGH(SAS)，∴EF=GH，同理可证EH=GF，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AE∥BG，且AE=BG，∴四边形ABGE为平行四边形，∴S△EFG=S EFGH=S ABGE=S ABCD，
∴S EFGH=S ABCD，
∴四边形EFGH的面积为定值，
其余选项皆随点F，H的变化而变化，故选C.
解图
4. [沪科八下例题改编]如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，
∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 .
　
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，
∵AB=3，BC=5，
∴DE=AD－AE=BC－AB=5－3=2.
2
5. [人教八下习题改编]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
过点O作直线EF交AD于点E，交BC于点F，已知 ABCD的面积为24，
BF∶FC=2∶1，则阴影部分面积为 .
8
【解析】∵BF∶FC=2∶1，∴S△BFO=S△BCO，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点，∴S△BCO=S△ABC=S ABCD，
∴S△BFO=S ABCD=4，同理可得S△DEO=4，∴S阴影部分=S△BFO＋S△DEO=8.
多边形(4年2考)
命题点
3
6. [人教八上习题改编]如图，已知六边形ABCDEF.
(1)该六边形的内角和为 ，外角和为 ，对角线条数
为 条；
720°
360°
9
(2)该六边形的边数由原来的6增加到n(n＞6，n为正整数)时，
它的内角和增加 .
(n－6)×180°
题后反思
如果一个n(n≥3)边形的边数增加1，那么它的内角和增加多少度？
180°.
7. [沪科八下思考改编]如图，若∠1＋∠2=145°，∠3＋∠4=140°，则
∠5的度数为 .
【解析】∵多边形的外角和为360°，
∴∠5=360°－∠1－∠2－∠3－∠4=75°.
75°
教材变式练重点
平行四边形性质的综合应用(4年5考)
教材原题
例　沪科八下P103习题T5
已知：如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点.EF经过点O分别与
AB，CD交于点F，E. 求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO=CO，
在△COE和△AOF中，
∴△COE≌△AOF，
∴OE=OF.
变式题
1. 增加线段关系，求证线段相等
(2024安徽22题考法)如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点.点
E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF. 连接AE，CF交BD于点G，H. 求
证：OG=OH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，OA=OC，CD=AB.
∵DE=BF，∴EC=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴CF∥AE，
∴∠GAO=∠HCO.
在△AOG与△COH中，
∴△AOG≌△COH，
∴OG=OH.
2. 改变线段等量关系，求四边形面积
如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与CD，AB分别
相交于点E，F，连接AE，CF，若AF=2FB，△BOF的面积为1，求四边
形ABCD的面积.
解：∵AF=2FB，△BOF的面积为1，
∴S△AOB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OC=OA，
∴∠CDB=∠ABD，
在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴S△AOB=S△COD.
同理可得S△AOD=S△BOC，
∵O是对角线AC与BD交点，
∴S ABCD=4S△AOB=4×3=12.(共17张PPT)
第五单元　四边形
第25课时　菱　形
节前复习导图
菱形的性
质与判定
概念与性质
判定
菱形
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
教材知识逐点过
考点　菱形的性质与判定(4年2考)★重点
1. 菱形的概念与性质(2024.22)
概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
边 四条边相等，对边平行
角 对角相等
对角线 (1)对角线 ；
(2)每一条对角线平分一组对角(应用时要证明)
互相垂直平分
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形；有 条对称轴(不含正方
形)，对称轴是 所在的直线，对称中心是
面积 S= (m，n分别为菱形两条对角线的长)
S= (a为菱形的边长，h为该边上的高)
周长 C= (a为菱形的边长)
【温馨提示】 1.菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 2.有一个角为60°的菱形，60°角所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形. 两
对角线
对角线交点
mn
ah
4a
2. 菱形的判定(2022.22)
边 (1)有一组 相等的平行四边形是菱形(定义)；
(2) 条边相等的四边形是菱形
对角线 对角线 的平行四边形是菱形
思路
邻边
四
互相垂直
邻边　
互相垂直　
四
安徽真题对点练
菱形的判定[2022.22(1)]
命题点
1
1. [沪科八下思考改编]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 　
(1)若四边形ABCD为平行四边形.请添加一个条件
，使得四边形ABCD为菱形；
(2)若AB=BC，AD=CD，请添加一个条件 ，使得
四边形ABCD为菱形.
AC⊥BD(答案不唯
一)
AB=AD(答案不唯一)
菱形的性质[2024.22(2)]
命题点
2
2. [人教八下习题改编]如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O.
(1)若∠ABC=80°，则∠BAD= ；∠ABD= ；
∠AOB= ；
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC=40°，∵AD∥BC，
AC⊥BD，∴∠BAD=180°－∠ABC=100°，∠AOB=90°.
100°
40°
90°
(2)若AC=6，BD=8，则
①AO= ；BO= ； AB= ；
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO=AC=3，BO=BD=4，
∴AB===5.
②菱形ABCD的周长为 ；面积为 .
3
4
5
20
24
3. [人教八下习题改编]如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠ABC=120°，
E为对角线AC上一点，连接BE，DE，若∠ADE=15°，则DE的长
为 .
3
【解析】如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AD∥BC，∴∠DAB=180°－∠ABC=60°，
∴△ADB为等边三角形，∴AB=BD=AD=6.
∵∠ADE=15°，∴∠EDB=45°，∠DBE=45°，
∴∠BED=90°，∴△DEB是等腰直角三角形.
∴DE=×6=3.
题后反思
含120°角的菱形，对角线可以将其分为两个等边三角形或两个含120°角
的等腰三角形，在特殊三角形课时我们已经学习了这两个特殊的三角形，
你还记得它们有什么性质吗？
解：含60°角的等腰三角形(等边三角形)三边之比为1∶1∶1；含120°角
的等腰三角形三边之比为1∶1∶.
教材变式练重点
菱形性质的综合应用(4年2考)
教材原题
例　人教八下P61习题T11
如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，求DH的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC=4，BO=DB=3，且AC⊥BD，
∴S△ABD=AO BD=×4×6=12，
在Rt△AOB中，AB===5，
∵DH⊥AB，
∴S△ABD=AB DH=12，
∴DH==.
变式题
1. 增加垂线，求角度
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF. 若
∠B=50°，求∠AEF的度数.
解∵四边形ABCD是菱形，∠B=50°，
∴∠BAD=180°－∠B=130°，AB=AD，∠B=∠D=50°.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴∠BAE=∠DAF=90°－50°=40°，
∴∠EAF=∠BAD－∠BAE－∠DAF=50°，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠AEF===65°.
2. 垂线平移，求四边形周长
如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O
分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，连接EF，FG，
GH，EH，求四边形EFGH的周长.
解：如解图，过点C作CM⊥AB于点M.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，∠B=180°－∠A=60°，
∴CM=sin B BC=×2=.
易知四边形MCGE和四边形EFGH是矩形，
∴EG=FH=CM=.
M
在四边形AEOH中，OE=OH，∠OEA=∠OHA=90°，
∴∠EOH=360°－∠A－2∠OEA=360°－120°－2×90°=60°，
∴△EOH是等边三角形，
∴EH=FG=EG=，
∴EF=GH=== ，
∴四边形EFGH的周长为2×(＋)=3＋.
M(共21张PPT)
第五单元　四边形
第24课时　矩　形
节前复习导图
矩形
矩形的性
质与判定
概念与性质
判定
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
教材知识逐点过
考点　矩形的性质与判定(4年3考)★重点
1. 矩形的概念与性质(4年3考)
概念 有一个角是直角的平行四边形是矩形
边 两组对边分别平行且相等
角 四个角都是
对角线 对角线
直角(90°)
相等且互相平分
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形；有 条对称轴(不含正方形)，其对称轴为两组对边的垂直平分线，对称中心是两条对角线的交点
周长公式 C=2(a＋b)(a，b分别表示矩形的两条边长)
面积公式 S=ab
【知识拓展】矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形 2
2. 矩形的判定(4年3考)
角 (1)有一个角是 的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角
都是 的四边形是矩形
对角线 对角线 的平行四边形是矩形
思路
直角(90°)
直角(90°)
相等
直角(90°)　
相等　
直角(90°)
安徽真题对点练
矩形的判定
命题点
1
1. [沪科八下习题改编]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O.
(1)若四边形ABCD为平行四边形， (请添加
一个条件)，则四边形ABCD是矩形；
(2)若四边形ABCD为一般四边形，且∠ABC=∠BCD=∠BAD= °，
则四边形ABCD是矩形.
∠ABC=90°(答案不唯一)
90
矩形的性质(4年3考)
命题点
2
2. [人教八下习题改编]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是
BD上一点，连接AE，AB=2，BD=4.
(1)AC= ，AD= 　2　，S矩形ABCD= 　4　，C矩形ABCD= ；
(2)∠AOB= °，∠ACB= °，△AOB的形状为 ；
(3)当AE⊥BD时，AE= .
4
2
4
4＋4
60
30
等边三角形

3. 如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，AF交
于点P，连接CE，BF交于点Q，若阴影部分的面积和为15，则四边形
EPFQ的面积为 .
15
【解析】如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BQC，同理可得S△EFP=S△APD，
∵S△APD＋S△BQC=15，
∴S四边形EPFQ=S△EFP＋S△EFQ=S△APD＋S△BQC=15.
4. (2025淮北三模)如图，在矩形ABCD中，点E，G在BC上，连接AE，
DE，DG，AE⊥ED，DE平分∠ADG. 若AB=2，BE=1，则GC的长为 .

【解析】在矩形ABCD中，点E，G在BC上，且AE⊥ED，AB=2，BE=1，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，∠AED=90°，∴∠AEB＋∠BAE=90°，
∠AEB＋∠CED=90°，∴∠BAE=∠CED，
∴△ABE∽△ECD，∴=，即=，∴EC=4，
∵DE平分∠ADG，∴∠ADE=∠GDE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEG，∴∠DEG=∠GDE，∴EG=DG，设GC=x，则EG=DG=4－x，在Rt△DGC中，由勾股定理得DC2＋GC2=DG2，即22＋x2=(4－x)2，解得x=，即GC的长为.
教材变式练重点
矩形性质的综合应用(4年3考)
教材原题
例　沪科八下P89例3
如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，AE∥BC，过点D作EF∥AB分别交AE，BC于点E，F，连接AF，CE. 求证：四边形AECF是矩形.
证明：∵D是AC的中点，
∴DA=DC，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠CFD，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，∴AE=CF，
∵AE∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE∥BC，EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF，
∵AB=AC，
∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形.
变式题
1. 以矩形为背景，改变线段，求线段比值
如图，已知四边形ABCD 是矩形，连接BD，点E在BA的延长线上，
AE=AB，连接EC交AD于点F，交BD于点G，求的值.
解：由题意知四边形ABCD是矩形，AE=AB，
∴DC=AB=AE，DC∥AE，
∴∠DCF=∠AEF，
∵∠DFC=∠AFE，
∴△DCF≌△AEF(AAS)，
∴DF=AF，
∴F是DA的中点.
如图，过点F作DB的平行线，交EB于点H，
∴H为AB的中点.
∴=，
∵GB∥FH，
∴△EFH∽△EGB，
∴==，
∴==.
H
2. 改变线段等量关系，求线段长
如图，已知四边形ABCD是矩形，连接BD，点E在BA的延长线上，
AE=AD，连接EC交BD于点G，交AD于点F，AF=AB. 若AB=1，求
AE的长.
解：由矩形的性质知AE∥CD，DC=AB=1，
∴△AEF∽△DCF，∴=，即AE DF=AF DC，
设AE=AD=a(a＞0)，
∵AF=AB=1，∴DF=a－1，∴a(a－1)=1，化简得a2－a－1=0，
解得a=(负值已舍去)，∴AE的长为.
3. 连接AG，探究线段之间的数量关系
如图，已知四边形ABCD是矩形，连接BD，点E在BA的延长线上，
AE=AD，连接EC交BD于点G，∠AEC=∠ADB，连接AG. 求证：EG－
DG=AG.
证明：解法一：如图，在线段EG上取点P，使得EP=DG，连接AP，
在△AEP与△ADG中，
P
∴△AEP≌△ADG，
∴AP=AG，∠EAP=∠DAG，
由题知∠DAE=90°，
∴∠PAG=∠PAD＋∠DAG=∠PAD＋∠EAP=∠DAE=90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG－DG=EG－EP=PG=AG.
P
如图，已知四边形ABCD是矩形，连接BD，点E在BA的延长线上，
AE=AD，连接EC交BD于点G，∠AEC=∠ADB，连接AG. 求证：EG－
DG=AG.
解法二：如图，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，
易知∠DAE=∠GAQ=90°，
∴∠EAG=90°＋∠DAG=∠DAQ，
由题知∠AEG=∠ADQ，
在△AEG与△ADQ中，
Q
∴△AEG≌△ADQ，
∴EG=DQ，AG=AQ，
∴△AGQ为等腰直角三角形，
∴EG－DG=DQ－DG=QG=AG.
Q
如图，已知四边形ABCD是矩形，连接BD，点E在BA的延长线上，
AE=AD，连接EC交BD于点G，∠AEC=∠ADB，连接AG. 求证：EG－
DG=AG.
解法三：如解图③，在线段EG上取一点M，使得MG=DG，连接ED，
∵∠AEC=∠ADB，
易得∠EGB=90°，
∴BD⊥EC，
∴△DGM为等腰直角三角形，
∴∠MDG=45°，DM=DG，
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴△DAE为等腰直角三角形，
M
∴∠EDA=45°，DE=DA，
∴∠MDG=∠EDA=45°，==，
∴∠EDA－∠ADM=∠MDG－∠ADM，即∠EDM=∠ADG，
∴△EDM∽△ADG，
∴==，
∴EM=AG，
∴EG－DG=EG－MG=EM=AG.
M

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