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(共35张PPT)
第三单元　函　数
第15课时　二次函数性质综合题
1
教材变式练重点
2
分层练习册
教材变式练重点
一、与线段有关的问题(2023.23)
例1 如图①，已知二次函数y=－x2－2x＋3的图象与x
轴相交于A，B两点(A点在B点左侧)，与y轴相交于点C. 点P是直线AC上方
的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，
垂足为点D，交直线AC于点
Q. 设点P的横坐标为m.
一题多设问
例1题图①
(1)点P的坐标为 ，点D的坐标为 ，点Q
的坐标为 ；PD的长为 ，QD的长为 ，PQ的长为 ；
(m，－m2－2m＋3)
(m，0)
(m，m＋3)
－m2－2m＋3
m＋3
－m2－3m
例1题图①
【解法提示】令y=0，得－x2－2x＋3=0，解得x1=－3，x2=1，
∴点A(－3，0)，点B(1，0)；令x=0，得y=3，
∴点C(0，3)；设直线AC的表达式为
y=kx＋b(k≠0)，将点A(－3，0)，点C(0，3)代入y=kx＋b中，得
，解得，
∴直线AC的表达式为y=x＋3.
∵点P的横坐标为m，
∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，
例1题图①
∵PD⊥x轴，
∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，
∵PD⊥x轴，
∴点D横坐标为m，纵坐标为0.PD的长为－m2－2m＋3，
QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m；
例1题图①
(2)点P到对称轴的距离为 ，CQ的长为 ；
(3)如图②，若PQ=DQ，求点P的坐标；
图②
|m＋1|
－m
解：(3)由(1)可知QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m，
∵PQ=DQ，
∴－m2－3m=m＋3，
解得m=－1或m=－3，
∵点P不与点A重合，
∴m的值为－1，
∴P(－1，4)；
(4)如图③，若AQ=2CQ，求点P的坐标；
图③
解：(4)∵PD∥y轴，
∴=，
∵AQ=2CQ，
∴=，
∴=，
∵A(－3，0)，
∴AO=3，
∴AD=2，OD=1，
∴m=－1，此时－m2－2m＋3=4，
∴P(－1，4)；
(5)如图④，过点P作x轴的平行线，交直线AC于M点，求MQ的最大值；
图④
解：(5)由题易得OA=OC=3，∵PM∥x轴，
∴∠PMQ=∠CAO=45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠ADQ=∠QPM=90°，
∴△PMQ为等腰直角三角形，
∴MQ=PQ，
由(1)得PQ=－m2－3m=－(m＋)2＋，－1＜0，－3＜m＜0，
∴PQ的最大值为，
∴MQ的最大值为.
方法指导
1. 求线段长：
(1)与x轴垂直的线段的长：线段两端点的纵坐标相减(上减下)；
(2)与y轴垂直的线段的长：线段两端点的横坐标相减(右减左).
2. 线段数量关系问题：
根据所给线段数量关系列方程求解.
3. 利用二次函数性质求线段最值：
(1)点M是直线y=mx＋n(m≠0)上方的抛物线上的一个动点，求竖直线段MN
长的最大值(如图①)
第一步：设点M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；
第二步：表示线段MN的长，MN=at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化简MN=at2＋bt＋c－mt－n
=at2＋(b－m)t＋c－n，
利用二次函数性质求最值；
图①　
(2)点M是直线y=mx＋n(m≠0)上方的抛物线上的一个动点，求斜线段MP长
的最大值(如图②)
图②　
利用锐角三角函数化斜为直，得MP=MN sin∠MNP，再根据(1)的步骤解
题即可.
(1)如图①，F是抛物线上一点，连接AF，BF，若S△ABF=15，求点F
的坐标；
图①
解：(1)将点A(－1，0)，B(4，0)分别代入
y=ax2－bx－4，
得解得
∴抛物线的函数解析式为y=x2－3x－4.
二、与面积有关的问题(4年1考)
例2 已知抛物线y=ax2－bx－4(a≠0)与x轴交于A
(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.
一题多设问
如解图①，过点F作FN⊥x轴于点N.
∵F是抛物线上一点，
∴设F(n，n2－3n－4)，则N(n，0)，
∴FN=|n2－3n－4|，
∴S△ABF=AB FN=×5×|n2－3n－4|=15，
图①
∟
N
∴|n2－3n－4|=6，
当n2－3n－4=6时，解得n=－2或n=5，
∴F(－2，6)或(5，6)；
当n2－3n－4=－6时，解得n=1或n=2，
∴F(1，－6)或(2，－6).
综上所述，点F的坐标为(－2，6)或(5，6)
或(1，－6)或(2，－6)；
图①
∟
N
(2)如图②，若点P是抛物线上一动点，连接AC，PC，PB，则当点P的横
坐标为1时，求四边形ACPB的面积；
解：(2)如解图②，连接BC，过点P向x轴作垂线，交BC于点E.
图②
E
∵抛物线的函数解析式为y=x2－3x－4，A(－1，0)，
B(4，0)，
∴AB=5，
令x=0，得y=－4，
∴C(0，－4)，
∴设直线BC的函数解析式为y=kx－4(k≠0)，
将点B坐标代入，
得0=4k－4，解得k=1，
∴直线BC的函数解析式为y=x－4.
图②
E
∴PE=3，
∴S四边形ACPB=S△ABC＋S△PBC=AB OC＋(xB－xc) PE
=×5×4＋×4×3=16；
∵点P的横坐标为1，
∴P(1，－6)，E(1，－3)，
(3)如图③，点G是第四象限内抛物线上一点，点G的横坐标为m，连接
AC，AG，BC，BG，AG与BC交于点H，若△BHG与△AHC的面积差为
1，求m的值；
图③
解：(3)∵点G是第四象限内抛物线上的一点，
∴G(m，m2－3m－4)，0＜m＜4.
∵A(－1，0)，B(4，0)，
∴AB=5，
∵S△BHG=S△ABG－S△ABH，S△AHC=S△ABC－S△ABH，
△BHG与△AHC的面积差为1，
①当S△BHG－S△AHC=1时，S△BHG－S△AHC=S△ABG－S△ABH－S△ABC＋
S△ABH=S△ABG－S△ABC=1，
∴×5×(－m2＋3m＋4)－×5×4=1，
解得m=或m=；
图③
②当S△AHC－S△BHG=1时，S△AHC－S△BHG=S△ABC－S△ABH－S△ABG＋
S△ABH=S△ABC－S△ABG=1，
∴×5×4－×5×(－m2＋3m＋4)=1，解得m=或m=(不
合题意，舍去).
综上所述，m的值为或或；
图③
(4)如图④，点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP
交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
解：(4)如解图③，连接BC，PC，过点P作PT∥y轴交BC于点T.
T
∵CQ∥BP，
由(2)知C(0，－4)，直线BC的函数解析式为y=x－4.
设点P的横坐标为p，则P(p，p2－3p－4)，
T(p，p－4)，0＜p＜4，
∴TP=p－4－(p2－3p－4)=－p2＋4p，
∴S△PBQ=S△BCP=TP (xB－xC)=(－p2＋4p)×4=－2(p－2)2＋8，
∵－2＜0，0＜p＜4，
∴当p=2时，S△BCP有最大值，最大值为8.
T
综上所述，△PBQ面积的最大值为8，此时点P的
坐标为(2，－6)；
∵当p=2时，p2－3p－4=－6，
∴P(2，－6).
(5)如图⑤，连接BC，点P是第四象限内抛物线上一点，过点P作PF⊥x轴
交BC于点E，交x轴于点F，过点P作PQ⊥BC于点Q，当S△EPQ=S△EBF
时，求点P的坐标.
图⑤
解：(5)设点P(p，p2－3p－4)，则由(4)知点
E(p，p－4)，0＜p＜4，
∴PE=(p－4)－(p2－3p－4)=－p2＋4p，EF=4－p.
∵PF⊥x轴，PQ⊥BC，
∴∠BFE=∠PQE=90°.
∵∠PEQ=∠BEF，
∴△PEQ∽△BEF.
∵S△EPQ=S△EBF，
∴()2==，
图⑤
∴=.
又∵OB=OC=4，
∴∠OBC=45°，
∴BE=EF，
∴EF=BE，
∴===3，
图⑤
∴=3，解得p=3或p=4(舍去)，
当p=3时，p2－3p－4=－4，
∴点P的坐标为(3，－4).
图⑤
方法指导
1. 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴
AB∥x轴
点A，B在y轴上
S△ABC=AB h=(xB－xA) (yC－yA) S△ABC=AB h=(yA－yB) |xC|
2. 当三角形的三边均不与坐标轴平行
分割法
解题思路 S△ABC=S△BCD＋S△ACD =(xC－xD)(yB－yA) S△ABC=S△ABD＋S△CBD
=(yB－yD)(xC－ xA)
补形法
解题思路 S△ABC=S△ACD－S△BCD =(yD－ yC)(xB－ xA) S△ABC=S△ACD－S△ABD
=(yD－yA)(xC－ xB)
3. 四边形面积的计算
通过分割法或补形法将四边形面积转化为几个三角形或三角形与特殊四边
形面积之间的和或差.
　
S四边形OBAC=S△OAB＋S△OAC
S四边形OBAC=S四边形BODE－S△ADC－S△ABE
4. 求面积最值的一般步骤
(1)用含参数的式子表示出所求图形的面积；
(2) 将该式子配方，结合二次函数性质进行最值求解.
三、与含参推理有关的问题(4年2考)
例3 已知抛物线y=ax2－2ax＋4，其中a≠0.
一题多设问
(1)求该抛物线的对称轴；
解：由题意，∵二次函数为y=ax2－2ax＋4，
∴对称轴是直线x=－=1
(2)当a＜0时，已知点A(d，p)，B(3，q)在抛物线上，且p＞q，求d的取值
范围；
解：(2)∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
由(1)知，该抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B关于对称轴的对称点坐标为(－1，q)，
∵p＞q，
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴－1＜d≤1，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴1≤d＜3，
综上，d的取值范围是－1＜d＜3
抛物线y=ax2－2ax＋4
(3)无论a取任意非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个定
点，其中x1＜x2，求x1＋2x2的值；
解：由题意得，y=ax2－2ax＋4=a(x2－2x)＋4，
∵无论a取任意非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个
定点，
∴令x2－2x=0，即x=0或x=2，则y=4.
又∵x1＜x2，
∴x1=0，x2=2.
∴x1＋2x2=0＋2×2=4
抛物线y=ax2－2ax＋4
(4)已知该抛物线经过点(1，5)，且点E(x3，y3)在该抛物线上，点F(x3＋1，
y3＋k)在抛物线y=－x2＋bx上，求k关于x3的解析式.
解：将点(1，5)代入y=ax2－2ax＋4，得5=a－2a＋4，解得a=－1，
∴抛物线的解析式为y=－x2＋2x＋4，
将E(x3，y3)代入y=－x2＋2x＋4得y3=－＋2x3＋4，
将点F(x3＋1，y3＋k)代入y=－x2＋bx得y3＋k=－(x3＋1)2＋b(x3＋1)，
将y3=－＋2x3＋4代入y3＋k=－(x3＋1)2＋b(x3＋1)可得－＋2x3＋4＋k=
－(x3＋1)2＋b(x3＋1)，化简得k=(b－4)x3＋b－5，
∴k关于x3的解析式为k=(b－4)x3＋b－5.
抛物线y=ax2－2ax＋4(共50张PPT)
第三单元　函　数
第11课时　反比例函数及其应用
节前复习导图
反比例函数
及其应用
反比例函数的图象与性质
解析式
k
图象（草图）
所在象限
增减性
函数值大小比较
图象特征
反比例函数k
的几何意义
k的几何意义
与k的几何意义
有关的面积计算
反比例函数解析式
的确定
待定系数法
利用反比例函数中比例系数k的
几何意义求解
常见反比例
函数关系
行程问题
压强问题
电学问题
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
考点
1
反比例函数的图象与性质(4年4考)★重点
解析式 y=(k是常数，k≠0) k k 0 k 0
图象 (草图)
所在象限 第一、三象限 (x，y同号) 第二、四象限
(x，y异号)
＞
＜
教材知识逐点过
增减性 在每个象限内，y随x的增大而
在每个象限内，y随x的增大而

函数值 大小比较 第一象限y值大于第三象限y值 第二象限y值大于第四象限y值
图象特征 1.图象无限接近于坐标轴，但不与坐标轴相交； 2.关于直线y=±x成轴对称，关于 成中心对称 减
小
增
大
原点
考点
2
反比例函数k的几何意义(2022.13)
k的几何意义 在反比例函数y=(k≠0)的图象上任取一点P(a，b)，过这一点分别作x
轴，y轴的垂线PM，PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积
S=PM PN=|ab|=______
|k|
与k的几何意
义有关的面积
计算 S△AOP=
S△ABP=
S△ABP=
S△APP′=



2|k|
与k的几何意
义有关的面积
计算 S△ABC=
S ABCD=
|k|
|k|
考点
3
反比例函数解析式的确定(4年4考)★重点
1. 待定系数法
(1)设所求反比例函数解析式为y=(k≠0)；
(2)找出图象上的一点P(a，b)；
(3)将点P的坐标代入y=中，得k= ；
(4)确定反比例函数解析式y=.
ab
2. 利用反比例函数中的比例系数k的几何意义求解
若题中已知几何图形的面积时，考虑用k的几何意义求解，由面积得|k|，再结合图象所
在象限判断k的正负，得出k的值，代入解析式即可.
考点
4
常见反比例函数关系
1. 行程问题：速度=；时间=.
2. 压强问题：压强=.
3. 电学问题：电阻=.
安徽真题对点练
反比例函数图象的性质(4年4考)
命题点
1
1. [北师九上习题改编]关于反比例函数y=，下列结论正确的是(　C　)
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D. 若图象经过点(a，a－3)，则a=4
C
2. [沪科九上习题改编]反比例函数y=－的图象一定经过的点是(　A　)
A. (－3，4) B. (1，12)
C. (－2，－6) D. (4，3)
A
3. [人教九下习题改编]一次函数y=kx＋k和反比例函数y=(k≠0)的图象在同
一平面直角坐标系中，则下列图象正确的是(　C　)
C
4. [沪科九上例题改编]已知反比例函数y=的图象与直线y=3x相交于A，B
两点，点B的坐标为(1，m)，则点A的坐标为(　B　)
A. (3，1) B. (－1，－3)
C. (－1，3) D. (1，－3)
B
5. [人教九下习题改编]若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数
y=－的图象上.
(1)若0＜x1＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
(2)若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为 ；
(3)若y3＜y1＜y2＜0，则x1，x2，x3的大小关系为 ；
(4)若y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为 .
y1＜y2＜y3
y2＜y3＜y1
x3＜x1＜x2
x3＜x1＜x2
方法指导
利用反比例函数的增减性比较函数值大小需分情况讨论：在同一个反比例
函数图象中，在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数
值的大小；不在同一分支上的点可以结合不同象限中点的坐标特点来进行
函数值大小的比较.
待定系数法确定反比例函数解析式(4年2考)
命题点
2
6. 已知反比例函数y=(k≠0).
(1)若函数图象经过点A(2，－4)，则反比例函数的解析式为 ；
(2)若函数图象经过点B(2m，1)，C(－1，m－3)，则反比例函数的解析式
为 .
y=
y=
7. (2024安徽6题改编)已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2－x的图象的
一个交点的横坐标为3，则k的值为 .
变式
(2025安徽18(1)题考法)已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2＋ax的图象
的两个交点的横坐标为－1，3，则a= ，k= .
－3
－1
－3
反比例函数k的几何意义(4年2考)
命题点
3
8. 如图，在△ABC中，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，C是
y轴上一点，若△ABC的面积为，则反比例函数解析式为 　y=　.
y=
【解析】如解图，连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴S△ABC=S△AOB=，∴|k|=，
∴|k|=3，
∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=.
9. [人教九下习题改编]如图，点P是反比例函数y=(k≠0，x
＜0)图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是点A关于x轴的对称点，连
接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为 .
18
【解析】解法一：如解图①，连接OP，
∵点B是点A关于x轴的对称点，
∴OA=OB，∴S△AOP=S△POB=S△PAB，
∵S△PAB=18，∴S△AOP=9，
∴|k|=2×9=18，
∵反比例函数的图象在第三象限，
∴k=18.
解法二：如解图②，过点P作PC⊥x轴于点C，设BP交x轴于点D，则
PC=AO=BO，
∵∠CDP=∠ODB，∠PCD=∠BOD，
∴△PCD≌△BOD，
∴S△PAB=S矩形AOCP=18，∴|k|=18，
∵反比例函数的图象在第三象限，
∴k=18.
∟
C
D
10. [沪科九上习题改编]如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，点
B，点C分别在y轴、x轴的正半轴上，若四边形ABCD为菱形，且BD⊥y
轴，则菱形ABCD的面积为 .
10
【解析】如解图，连接AC，AO，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵BD⊥y轴，
∴AC∥y轴，∴S△ABC=S△AOC，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2S△AOC=2×=10.
反比例函数的实际应用
命题点
4
11. [人教九下习题改编]当汽车的功率P(单位：kW)一定时，汽车的行驶速
度v(单位：m/s)与汽车所受阻力F(单位：N)之间成反比例函数
关系，其图象如图所示.当汽车所受阻力低于600 N时，汽车会有安全隐
患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应(　B　)
B
A. 大于30 m/s
B. 不大于30 m/s
C. 小于30 m/s
D. 不小于30 m/s
【解析】设汽车所受阻力F与汽车的行驶速度v之间的函数解析式为
F=(k≠0)，
∵反比例函数图象经过点(20，900)，
∴900=，解得k=18 000，∴F=，
∵汽车所受阻力低于600 N时，汽车会有安全隐患，
∴为保证汽车行驶安全，汽车所受阻力大于等于600 N，即≥600，
解得v≤30，∴汽车的行驶速度应不大于30 m/s.
12. [人教九下习题改编]淇淇家购买了k度电，若使用天数y与每天平均用电度数x满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则k= .
【解析】设反比例函数解析式为y=，
把x=10时，y=20代入y=中，
得20=，∴k=200.
200
例1　沪科九上P61复习题T8
如图，已知反比例函数y1=，y2=在第一象限的图象，过y2上任意一点A，
作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交y1于点D，
交x轴于点E，连接BD，CE，则= 　 　.

教材变式练重点
一、反比例函数与几何图形综合(4年2考)
教材原题
【解析】设点A的坐标为(m，)，
∴B(，)，C(0，)，D(m，)，E(m，0)，
∴AB=m，AC=m，AD=，AE=，
∴==.易得△ABD∽△ACE，
∴==.
1. 结合平行四边形，求k的值
(2022安徽13题)如图， OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴
上，B，C在第一象限，反比例函数y=的图象经过点C，y=(k≠0)的图象
经过点B. 若OC=AC，则k= .
　
3
变式题
【解析】如解图，过点C分别作CD⊥x轴于点D，CF⊥y轴于点F，过点B
作BE⊥x轴于点E，
∴四边形ODCF为矩形，
∴S△COD=S△OCF=.
∵OC=AC，∴S△COD=S△CAD=，∴S△OAC=1.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OC=AB，∴S△ABC=S△OAC=1.
∟
D
∟
F
∟
E
又∵∠CDO=∠BEA=90°，CD=BE，
∴Rt△OCD≌Rt△ABE(HL)，
∴S△ABE=S△COD=，∴S矩形FBEO=2S△ABE＋2S△OAC=3=|k|，
∵反比例函数图象位于第一象限，∴k=3.
∟
D
∟
F
∟
E
2. 结合正方形，计算满足条件的点坐标
(2025滁州三模改编)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的
坐标为(－3，0)，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B与点D，点B的纵坐
标为3.
(1)k的值为 ；
【解析】如解图，分别过点B，D作BG⊥x轴于点G，DF⊥x轴于点F，
∴∠BGA=∠AFD=90°，∴∠BAG＋∠ABG=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAB=90°，
∴∠BAG＋∠DAF=90°，
∴∠ABG=∠DAF.
∴△AGB≌△DFA，∴AG=DF，GB=FA.
－6
∟
G
∟
F
∵点B的纵坐标为3，且B在反比例函数y=上，
∴B(，3)，FA=BG=3.
又∵点A的坐标为(－3，0)，
∴DF=AG=＋3，OF=AF＋3=3＋3=6，
∴点D的坐标(－6，＋3).
∵点D在反比例函数y=上，∴k=－6(＋3).∴k=－6.
∟
G
∟
F
(2)E为该反比例函数图象上的一点，若△AOE的面积等于正方形ABCD的
面积，则点E的坐标为 .
【解析】由(1)得k=－6，∴点B的横坐标为－2，
∴B(－2，3)，
∴反比例函数的解析式为y=－，
∴AG=OA－OG=3－2=1.
∵BG=3，
∴AB===.
(，－)或(－，)
∟
G
∟
F
∴S正方形ABCD=AB2=10.设点E(m，－)，
∴S△AOE=S正方形ABCD=OA |－|==10.
∴m=±.当m=时，－=－，∴点E的坐标为(，－)；
当m=－时，－=，
∴点E的坐标为(－，).
综上所述，点E的坐标为(，－)或(－，).
∟
G
∟
F
二、反比例函数与一次函数综合题(2025.18)
教材原题
例2　沪科九上P49习题T6
如图，一次函数y=ax＋b的图象与反比例函数y=的图象交于M，N两点.
(1)求这两个函数的表达式；
解：(1)∵点N(－1，－4)在反比例函数图象上，
∴k=－1×(－4)=4，∴反比例函数的表达式为y=，
∵点M(2，m)在反比例函数图象上，∴m==2，
将M(2，2)，N(－1，－4)分别代入y=ax＋b中，得
解得
∴一次函数的表达式为y=2x－2；
(2)根据图象，写出使反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
(2)x＜－1或0＜x＜2；
(3)求△OMN的面积.
(3)如解图，设MN交x轴于点D，
∴S△OMN=S△ODM＋S△ODN，
令2x－2=0，得x=1，
∴D(1，0)，
∴OD=1，
∴S△OMN=S△ODM＋S△ODN=×1×2＋×1×4=3.
解图
1. 作坐标轴平行线，求满足条件的函数解析式
(2025芜湖一模改编)如图，一次函数y=mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数
y=(k≠0)的图象交于点A(4，2)，与y轴交于点B，过点B作直线BC平行于x
轴，交反比例函数的图象于点C，连接AC.
变式题
(1)求反比例函数y=的解析式；
解：(1)将点A(4，2)代入反比例函数y=中，
得k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y=；
(2)若△ABC的面积为8，求一次函数y=mx＋n的解析式.
解：(2)∵一次函数y=mx＋n(m≠0)的图象与y轴交于点B，
∴点B的坐标为(0，n)，
∵过点B作直线BC平行于x轴，交反比例函数的图象于点C，
∴yc=n，∴xc=，
如解图，过点A作AD⊥直线CB于点D，则D(4，n)，
∵S△ABC=BC AD=(0－)(2－n)=8，
∴n=－2，
∟
D
∵一次函数y=mx－2的图象与反比例函数y=的图象交于点A(4，2)，
∴将点A(4，2)代入一次函数y=mx－2中，
解得m=1，
∴一次函数的解析式为y=x－2.
∟
D
2. 结合线段问题，求解线段长
(2025安庆二模改编)如图，一次函数y=ax－2(a≠0)与反比例函数y=(k为常
数，k≠0)的图象相交于A(3，1)，B两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
解：(1)将A(3，1)代入一次函数y=ax－2(a≠0)中，得1=3a－2，解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x－2.
将A(3，1)代入反比例函数y=中，得1=，解得k=3，
∴反比例函数的解析式为y=；
(2)M是x轴正半轴上一点，过点M作y轴的平行线，分别交反比例函数、一
次函数的图象于点P，Q，连接AM，若OM=AM，求PQ的长.
解：(2)∵M是x轴正半轴上一点，
∴设点M的坐标为(m，0)(m＞0)，
∴OM=m.
∵点A的坐标为(3，1)，
∴AM2=(3－m)2＋12.
∵OM=AM，
∴OM2=AM2，
∴m2=(3－m)2＋12，
解得m=，
∴点M的坐标为(，0)，∴xp=xQ=.
将xp=，xQ=分别代入y=，y=x－2中，
得yp=，yQ=－，
∴PQ=－(－)=.(共21张PPT)
第三单元　函　数
第13课时　二次函数图象与系数的关系
1
教材变式练重点
2
分层练习册
教材变式练重点
一、二次函数图象与系数a，b，c的关系(2025.9)
教材原题
例1　沪科九上P29习题T16改编
如图，抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴为直线x=1.根据
图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“=”填空.
一题多设问
【基础设问】
(1)a 0，b 0，c 0；
＞
＜
＜
(2)b2－4ac 0；
(3)2a＋b 0，2a－b 0；
(4)a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
(5)4a－2b＋c 0，4a＋2b＋c 0；
(6)9a－3b＋c 0，9a＋3b＋c 0；
【拓展设问】
(7)3a＋c 0；
(8)若m为任意实数，则a＋b m(am＋b).
＞
=
＞
＜
＜
＞
＜
＞
＜
＜
≤
方法指导
1. 根据函数图象判断相关结论：
结论形式 解题思路
2a＋b －与1比较
2a－b －与－1比较
a＋b＋c 令x=1，看纵坐标
a－b＋c 令x=－1，看纵坐标
结论形式 解题思路
4a＋2b＋c 令x=2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x=－2，看纵坐标
9a＋3b＋c 令x=3，看纵坐标
9a－3b＋c 令x=－3，看纵坐标
2. 若只有a，c或b，c关系的式子，可利用对称轴的大小关系与x取某个特
殊值时y的式子联立进行判断，如3a＋c=(a－b＋c)＋(2a＋b)=(a＋b＋c)＋
(2a－b)等；
3. am2＋bm＋c表示x=m时，y的值，结合对称轴为直线x=1，发现m=1时，
y取得最小值，即y=a＋b＋c最小，则a＋b＋c≤am2＋bm＋c.
1. 已知对称轴改为已知与x轴一个交点及另一个交点的范围
(2025安徽9题)已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则
(　C　)
A. abc＜0 B. 2a＋b＜0
C. 2b－c＜0 D. a－b＋c＜0
C
变式题
2. 已知对称轴，判断经过两点直线所在象限
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，则过点
M(c，2a－b)和点N(b2－4ac，a－b＋c)的直线一定不经过(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
3. 无函数图象，根据对应点的函数值大小进行判断
已知二次函数y=ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，且当x=－2
时，y＞0，则(　D　)
A. b＞0，b2－ac≥0 B. b＞0，b2－ac≤0
C. b＜0，b2－ac≤0 D. b＜0，b2－ac≥0
D
二、根据函数的系数判断函数图象(4年2考)
教材原题
例2　沪科九上P49习题T8
函数y=ax2－a与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　D　)
D
【解析】若a＞0，则y=经过第一、三象限，则二次函数y=ax2－a开口向
上，与y轴交于负半轴，B选项不满足；若a＜0，则y=经过第二、四象
限，二次函数y=ax2－a开口向下，与y轴交于正半轴，则A，C选项不满足
条件，D选项满足条件.
1. 反比例函数图象变为一次函数图象
(2025黑白卷)已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y=ax＋b(a≠0)的
图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中，二次
函数y=ax2＋bx＋c和一次函数y=ax＋b的大致图象可能是　(　A　)
A
变式题
【解析】∵二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y=ax＋b(a≠0)的图象在
y轴相交于一点，且纵坐标为1，∴c＞0，b＞0，对于A，B选项，当a＞0
时，－＜0，∴二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象经过第
一、二、三象限，故A选项正确，B选项不正确；对于C，D选项，当a＜0
时，－＞0，∴二次函数图象的对称轴在y轴右侧，一次函数图象经过第
一、二、四象限，故C，D选项都不正确.
方法指导
情形1：题目中未给出任何一个函数的图象
先假设一个函数图象成立，根据函数图象判断系数的正负情况，再代入另
一个函数，根据函数性质判断另一个函数图象是否正确.
2. 题目给出一次函数图象
已知一次函数y=ax＋c的图象如图所示，则二次函数y=ax2＋x＋c的图象可
能为(　D　)
D
【解析】由题图得a＞0，c＜－1，且a＋c=－1，
∴二次函数y=ax2＋x＋c的图象的开口向上，对称轴为直线x=－＜0，
∴对称轴在y轴的左边，与y轴的交点(0，c)在负半轴上，
当x=1时，y=a＋1＋c=0，
∴二次函数y=ax2＋x＋c的图象过点(1，0)，
综上所述，D选项符合题意.
方法指导
情形2：题目中给出一个(两个)函数的图象
根据函数图象及函数图象上的点(交点)得出函数解析式中未知系数的值或
取值范围，进而可判断出所求函数的大致图象.
3. 已知两个函数图象，判断新函数图象
(2023安徽9题)已知反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=
－x＋b的图象如图所示，则函数y=x2－bx＋k－1的图象可能为(　A　)
A
【解析】由图象，得反比例函数图象经过点(1，b－1)，
∴k=b－1，
∵b－1＞1，∴b＞2，
∴k－1=b－2＞0.
在函数y=x2－bx＋k－1中，当x=0时，
y=k－1＞0，B，C选项错误；
当x=1时，
y=1－b＋k－1=1－(k＋1)＋k－1=－1＜0，
D选项错误，故A选项符合题意.
方法指导
情形3：题目给出两个函数图象，判断新函数的图象
第1步：将复合函数或方程用已知的单一函数表示；
第2步：结合函数图象的交点判断系数正负：复合函数y=0时，观察函数图
象与x轴的交点的横坐标；y1－y2=0时，观察函数y1与y2图象交点的横坐
标；y1＋y2=0时，观察函数y1与y2关于x轴对称的函数图象交点的横坐标；
第3步：根据系数正负判断所求函数图象.(共25张PPT)
第三单元　函　数
第12课时　二次函数的图象与性质
节前复习导图
二次函数的
图象与性质
二次函数与
方程的关系
与x轴交点坐标
的确定
与x轴交点个数的判断
二次函数的
图象与性质
概念
解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
图象（草图）
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
考点
1
二次函数的图象与性质(4年7考)★重点
概念 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数.特别地，当a≠0，b=c=0
时，y=ax2是二次函数的特殊形式 解析式 y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 开口方向 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下
图象 (草图)
教材知识逐点过
对称轴 1.直接利用公式x= 求解；
2.配方法转化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则对称轴为直线 (实质是
已知顶点坐标)；
3.若已知图象上两点A(x1，y)，B(x2，y)，则可利用x=求对称轴
(实质是A，B两点关于对称轴对称)
顶点坐标 1.顶点坐标为 ；
2.运用配方法将一般式转化为顶点式求解；
3.将对称轴直线x=x0代入函数解析式求对应的y0
－
x=h
(－，)
增减性 a＞0，在对称轴左侧，y随 x的增
大而 ；在对称轴右侧，
y随x的增大而 a＜0，在对称轴左侧，y随 x的增大
而 ；在对称轴右侧，y随 x
的增大而
　
最值 a＞0，y有最 值，当
x= 时，y的最小值
为 a＜0，y有最大值，当x=
时，y的最大值为
【温馨提示】取最值时，要考虑自变量x的取值范围，分情况讨论，如取值范围包含
顶点最值的取值，取值范围不包含顶点最值的取值 减小
增大
增大
减小
小
－

－

考点
2
二次函数与方程的关系
与x轴交点
坐标的确定 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的解
与x轴交点
个数的判断 1.二次函数的图象与x轴有两个交点 方程ax2＋bx＋c=0有两个
的实数根 b2－4ac＞0；
2.二次函数的图象与x轴有且只有一个交点 方程ax2＋bx＋c=0有两个
相等的实数根 b2－4ac 0；
3.二次函数的图象与x轴没有交点 方程ax2＋bx＋c=0 实数根
b2－4ac＜0
不相
等
=
无
安徽真题对点练
二次函数的基本图象与性质(4年7考)
命题点
1
1. 已知二次函数y=x2－2x－3，根据要求回答下列问题.
一题多设问
(1)该二次函数的图象开口向 (填“上”或“下”)；
(2)该二次函数图象的对称轴为直线 ，
在对称轴左侧，y随x的增大而 ，顶点坐标为 ；
(3)该二次函数有最 值(填“大”或“小”)，其最值为 ；
(4)当－3≤x≤0时，y的最大值为 ，最小值为 .
上
x=1
减小
(1，－4)
小
－4
12
－3
一题多设问
2. [人教九上习题改编]当函数y=(x－1)2－2的函数值y随着x的增大而减小
时，x的取值范围是　(　B　)
A. x＞0 B. x＜1
C. x＞1 D. x为任意实数
【解析】∵抛物线的对称轴是直线x=1，且开口向上，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小.
B
3. [人教九上习题改编]若点(0，y1)，(－1，y2)，(－2，y3)都在二次函数y=
－2x2的图象上，则　(　D　)
A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y1＞y2＞y3
【解析】∵二次函数的解析式为y=－2x2，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∵－2＜－1＜0，∴y1＞y2＞y3.
D
4. [沪科九上习题改编]若二次函数y=－x2＋2mx＋1取最大值时x=2，则m的
值为(　D　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
【解析】∵二次函数y=－x2＋2mx＋1取最大值时x=2，
∴对称轴为直线x=－=2，∴m=2.
D
5. 已知二次函数y=a(x－2)2＋b的图象经过A(m，c)，B(n，c)两点，则m＋
n的值为(　C　)
A. 0 B. 2
C. 4 D. c
【解析】∵二次函数y=a(x－2)2＋b图象的对称轴为直线x=2，且经过
A(m，c)，B(n，c)两点，∴A(m，c)，B(n，c)两点关于直线x=2对称，
∴=2，∴m＋n=4.
C
二次函数与方程的关系
命题点
2
6. 如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于(－1，0)，(3，0)两点.
(1)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根为 ；
(2)若抛物线与直线y=5交于(－2，5)，(4，5)两点，则关于x的一元二次方
程ax2＋bx＋c=5的解为 ；
x1=－1，x2=3
x1=－2，x2=4
(3)若抛物线与直线y=kx＋b(k≠0)交于(－2，5)，(3，0)两点，则关于x的一
元二次方程ax2＋bx＋c=kx＋3的解为 .
x1=－2，x2=3
教材变式练重点
一、二次函数的对称性(4年1考)
教材原题
例1　沪科九上P26习题T1(3)
如果点(a，b)在抛物线y=－x2上，那么下列各点中一定在该抛物线上的是
(　B　)
A. (－a，－b) B. (－a，b)
C. (a，－b) D. (b，a)
B
1. 已知两对称点，求对称轴
(2025安徽23题考法)已知抛物线y=－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两
点，则该抛物线的对称轴为直线 ，n的值为 .
【解析】∵抛物线y=－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴=1，∴b=2，
∴y=－x2＋2x＋4，将点(－2，n)代入，得n=－4.
x=1
－4
变式题
2. 结合线段长，求满足条件的点坐标
(2022安徽23(1)题考法)已知抛物线的对称轴为直线x=1，点A与点B均在抛
物线上，且两点的纵坐标相等(点A在点B的左侧)，若AB=4，求点A与点B
的横坐标.
解：抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4，点A在点B的左侧，
∴点A的横坐标为1－2=－1，点B的横坐标为1＋2=3.
方法指导
1. 抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线.
(1)y=ax2(a≠0)图象关于y轴对称；
(2)y=a(x－h)2＋k(a≠0)图象关于直线x=h对称；
(3)y=ax2＋bx＋c(a≠0)图象关于直线x=－对称；
(4)y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)图象关于直线x=对称.
2. 抛物线上纵坐标相同的两点必关于抛物线的对称轴对称，可根据对称轴
与其中一点坐标求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标.
二、二次函数的增减性(4年1考)
教材原题
例2　沪科九上P27习题T8改编
已知抛物线y=－x2－4x＋5.
(1)若抛物线经过(1，y1)和(3，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或“=”)；
(2)若抛物线经过(－6，y1)和(－1，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或
“=”)；
(3)若抛物线经过(－4，y1)，(－3，y2)和(2，y3)三点，则y1，y2，y3的大小
关系为 (用“＜”连接).
＞
＜
y3＜y1＜y2.
方法指导
抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)上的任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：d
相等，y值相等；a＞0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a＜0时，d
越大，y值越小，d越小，y值越大.
1. 利用增减性求字母取值范围
已知抛物线y=x2＋4x＋1经过(－1，y1)和(m，y2)两点，且y1＜y2，求m的取
值范围.
解：∵二次函数y=x2＋4x＋1图象的对称轴为直线x=－2，
∴点(－1，y1)关于对称轴对称的点为(－3，y1)，
∵函数图象开口向上，
∴当x＜－2时，y随x的增大而减小，当x＞－2时，y随x的增大而增大，
∵y1＜y2，
∴m＜－3或m＞－1.
变式题
三、二次函数最值问题(4年2考)
教材原题
例3　沪科九上P27习题T6(2)改编
如图，已知抛物线y=－x2＋2x＋2.
(1)当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是 ；
(2)当2≤x≤4时，函数值y的最小值是 ；
(3)当－2≤x≤3时，函数值y的最小值是 ，最大值是 .
2
－6
－6
3
1. 已知自变量范围内最值，求参数值
(2025合肥包河区模拟题考法)已知抛物线y=－x2＋2x＋3，当m≤x≤m＋2
时，函数值y的最大值为3，求m的值.
变式题
解：∵抛物线开口向下，对称轴直线x=1，
∴当x=1时，有最大值，最大值为4.
∵m≤x≤m＋2时，抛物线有最大值为3，
∴x的取值范围一定在抛物线对称轴的左边或右边，
①当m≥1时，抛物线在x=m处取得最大值，
即－m2＋2m＋3=3，解得m=0(舍去)或m=2；
②当m＋2≤1时，即m≤－1，抛物线在x=m＋2处取得最大值，
即－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3=3，解得m=0(舍去)或m=－2，
综上所述，m的值为2或－2.(共29张PPT)
第三单元　函　数
第9课时　平面直角坐标系与函数
章前复习导图
函数的应用
解决问题
应用
研究函数的一般路径
平面直角坐标系与函数
坐标系中点的坐标特征
点变化的坐标特征
一次函数
反比例函数
二次函数
函数解析式
图象
性质
图象平移
与方程(组)、不等式的关系
①增减性；②对称性；③最值
建模思想
数形结合思想
函 数
平面直角坐标系中的距离
节前复习导图
平面直角坐标
系与函数
平面直角
坐标系中点
的坐标特征
各象限内
坐标轴上
各象限角平分线上
垂直于坐标轴的直线上
点的对称
点的平移
平面直角
坐标系中
的距离
点到坐标轴及原点的距离
点到垂直于坐标轴的直线的距离
垂直于坐标轴的
直线上两点的距离
函数的相关概念
函数及其图像
函数自变量取值范围的确定
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
考点
1
平面直角坐标系中点的坐标特征(2022.23涉及)
各象限内 ①(－，＋)　②(＋，－)
坐标轴上 x轴上点的 坐标为0；
y轴上点的 坐标为0；
原点的坐标为
注：坐标轴上的点不属于任何象限
纵
横
(0，0)
教材知识逐点过
(－，＋)
(＋，－)
各象限角平
分线上 1.第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标 ；
2.第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为
垂直于坐标
轴的直线上 1.垂直于y轴的直线上点的 坐标相等；
2.垂直于x轴的直线上点的 坐标相等
点的对称 1.P(a，b)P1(a，－b)；
2.P(a，b)P2 ；
3.P(a，b)P3
相等
相反数
纵
横
(－a，b)
(－a，－b)
点的平移(m
＞0，n＞0) 1.点P(a，b) P1 ；
2.点P(a，b)P2(a＋m，b)；
3.点P(a，b) P3 ；
4.点P(a，b) P4(a，b－n)
口诀：左减右加，上加下减
(a－m，b)
(a，b＋n)
考点
2
平面直角坐标系中的距离(2023.23涉及)
点到坐标轴及 原点的距离 1.点P(a，b)到x轴的距离是 ；
2.点P(a，b)到y轴的距离是 ；
3.点P(a，b)到原点的距离是
点到垂直于坐标轴
的直线的距离 已知点P(a，b)，则
1.到直线x=m的距离是 ；
2.到直线y=n的距离是
|b|
|a|

|a－m|
|b－n|
垂直于坐标轴的直
线上两点间距离 已知点P(a，b)，Q(c，d)，则
1.若PQ⊥y轴 b=d，PQ=|a－c|；
2.若PQ⊥x轴 a=c，PQ=|b－d|
【知识拓展】P(a1，b1)，Q(a2，b2)为平面直角坐标系中两点.线段PQ的中点坐标为
(，)；P，Q两点间距离为PQ= 考点
3
函数的相关概念(4年2考)★重点
1. 函数及其图象
概念 1.函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在它
允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y
是x的函数，其中x是自变量；
2.函数值：若y是x的函数，当x=a时，y=b，则b叫作当自变量x取a时的函
数值；
3.在一个变化过程中，我们称发生变化的量为变量，有些量的数值是始终
不变的，我们称之为常量
表示方法 1. 解析式法；2. 列表法；3. 图象法
画函数图
象的步骤 1. 列表：列出自变量与函数的一些对应值；
2. 描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3. 连线：按照自变量的大小顺序，把所描出的各点用 连
接起来
平滑的曲线
2. 函数自变量取值范围的确定
解析式的形式 自变量的取值范围
含有分式 使 的实数(如y=，x≠0)
含有二次根式 使 的实数(如y=，x≥0)
含有分式与二次
根式 使 的实数(如y=，x＞0或
y=，x≥－a且x≠0)
分母不为0
被开方数大于等于0
分母不为0且被开方数大于等于0
安徽真题对点练
平面直角坐标系中点的坐标特征(4年2考)
命题点
1
1. [沪科八上习题改编]在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).
(1)若点A在x轴上，则a的值为 ；
(2)若点A在第一象限，则a的取值范围是 ；
(3)若点B的坐标为(5，－1)，且直线AB∥y轴，则点A的坐标为 ；
－
－＜a＜2
(5，－
8)
(4)若点A在第二、四象限的角平分线上，则点A到直线x=1的距离
为 　 　，点A与点(3，－2)之间的距离为 　 　；
(5)若点A到x轴的距离是到y轴距离的4倍，则a的值为 .


1或9
已知点A(2－a，3a＋1)
2. [人教七下习题改编]在平面直角坐标系中，已知点A(2，3).
(1)点A关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标
为 ，关于原点对称的点的坐标为 ；
(2)点A关于直线x=3对称的点的坐标为 ，
点A关于直线y= 对称的点的坐标为(2，－1)；
(2，－3)
(－2，3)
(－2，－3)
(4，3)
1
(3)点A先向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的点B的坐
标为 ，连接AB，则线段AB的中点坐标为 ；
(4)连接OA，线段OA绕原点O顺时针旋转90°，点A对应的点A1的坐标
为 ，线段OA绕原点顺时针旋转180°，点A对应的点A2的坐
标为 .
(－3，5)
(－，4)
(3，－2)
(－2，－3)
已知点A(2，3)
函数自变量的取值范围
命题点
2
3. [人教八下习题改编]回答下列问题：
(1)函数y=中，自变量x的取值范围为 ；
(2)函数y=中，自变量x的取值范围为 ；
(3)函数y=中，自变量x的取值范围为 .
x≠4
x≤5
x≤3且x≠－1
分析判断函数图象(4年2考)
命题点
3
4. (2022安徽5题)甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所
示，按平均速度计算，走得最快的是(　A　)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
A
【解析】∵30分钟甲比乙步行的路程多，
50分钟丁比丙步行的路程多，
∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，
∵步行3千米时，甲比丁用的时间少，
∴甲的平均速度＞丁的平均速度，∴走的最快的是甲.
5. 设物体浸入水中的体积为V，水的密度为ρ，
则该物体排开水的质量m=ρ V，如图，分别将甲、乙两个长方体铁块(甲的
体积＞乙的体积，甲、乙高度相同)按照同样的速度匀速浸入装满水的烧
杯中，则从铁块底面接触水开始一段时间里，两个铁块各自排开水的质量
m随时间t变化的图象是(　C　)
新考法
跨物理学科
C
【解析】∵甲的体积＞乙的体积，水的密度相同，
∴由该物体的排开水的质量m=ρ V可知，甲的总排开水的质量＞乙的
总排开水的质量，故B，D选项错误，当时间t为0时，显然铁块还未浸入水中，此时物体在水中的体积为0，即v=0，
∴两个铁块的排开水的质量均为0，故C选项符合题意.
6. (2025铜陵三模)已知四边形ABCD是菱形，点P从A出发沿边
A→D→C→B运动，点Q同时从A出发沿边A→B→C运动，两点相遇时，运
动停止(点P的速度大于点Q的速度)，△APQ的面积y与点Q运动的路程x之
间的函数关系的图象如图所示，根据图象，下列结论错误的是　(　D　)
A. 菱形的边长是6
B. 点P的速度是点Q的2倍
C. 菱形的高是4
D. a=7.5，b=12
D
【解析】如解图①，由题图可知，当0＜x＜3时，点Q在AB上，点P在AD
上，当AQ=3时，P与D重合.
∴菱形的高DH==4，.故C选项的结论正确，不符合题意；
∵当3＜x≤6时，y与x之间是一次函数的关系，且y随x的增大而增大，
∴点Q在AB上，点P在DC上，
此时，△APQ的边AQ的高不变，
如解图②.
当6＜x≤a时，y与x之间是一次函数的关系，且y随x的增大而减小，
∴点P，Q都在BC上，如解图③.
综上所述，菱形的边长为6，点P到达点C时，
点Q正好到达点B，即点P的速度是点Q的2倍，
∴选项A，B的结论正确，不符合题意；
b=×6×4=12，当x=a时，点P，Q相遇，
∴a＋2a=6×4，解得a=8，
∴选项D是错误的，符合题意；
教材变式练重点
分析几何图形动态问题判断函数图象(4年2考)
教材原题
例　北师九下P60习题T15
如图(单位：m)，等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移
动，直到AB与CD重合.设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2.
　
(1)写出y与x的关系式；
解：(1)∵三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，
且直角边都是2x，
∴y=2x2；
(2)当x=2，3.5时，y分别是多少？
解：(2)在y=2x2中，
当x=2时，y=8；
当x=3.5时，y=24.5；
如图(单位：m)，等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移
动，直到AB与CD重合.设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2.
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
解：(3)正方形面积的一半为10×10×=50，
在y=2x2中，
∵当y=50时，2x2=50，
∴x2=25，x=5秒(负值舍去).
∴移动了5秒.
1. 改变三角形形状，并判断图象
(2024安徽10考法)如图，边长为2的等边△ABC的边BC与边长为2的正方形
C′DEF的边C′F在同一水平线上，点C与点C′重合，现将△ABC沿着BF方
向移动，直到点C与点F重合时停止移动，设点C移动的距离为x，△ABC
与正方形C′DEF的重叠的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为　
(　D　)
D
变式题
【解析】如解图①，过点A作AG⊥BC于点G，AC交DC′于点H，
∟
G
∵等边△ABC的边长为2，
∴BG=CG=1，AG=，
∵C′C=x，当0≤x≤1时，易得△AGC∽△HC′C，
∴=，即=，解得HC′=x，
∴△ABC与正方形C′DEF的重叠的面积为HC′ C′C，
即y=x2；
如解图②，当1＜x≤2时，AB与DC′交于点H，
∵C′C=x，∴BC′=2－x，易得△ABG∽△HBC′，
∴=，即=，
∴HC′=(2－x)=2－x，
∴△ABC与正方形C′DEF的重叠的面积为S△ABC－S△HBC′，
即y=BC AG－BC′ HC′=×2×－×(2－x)×
(2－x)=－x2＋2x－，
综上所述，y随x变化的函数图象大致为D选项所示.(共28张PPT)
第三单元　函　数
第16课时　二次函数的实际应用
1
教材变式练重点
2
分层练习册
教材变式练重点
一、销售利润问题
教材原题
例1　沪科九上P42习题T3
一种商品每件售价为10元，一周可卖出50件，市场调查表明：这种商品如
果每件涨价1元，每周要少卖5件，已知该商品进价每件为8元，问每件商
品涨价多少元，才能使每周得到的利润最多？
解：设每件商品售价为x元，根据题意，得y=(x－8)[50－5(x－10)]=－5x2
＋140x－800，
∴y与x之间的函数关系式为y=－5x2＋140x－800=－5(x－14)2＋180，
∵－5＜0，
∴当x=14时，y有最大值，最大值为180，
此时x－10=4.
答：每件商品涨价4元时，使每周得到的利润最多.
方法指导
销售利润问题常见解题方法：
(1)注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量；
(2)根据题意找函数关系“总利润=(售价－成本)×销售量”，列出函数
关系式；
(3)涉及求最值时通过配方法将函数关系式化为顶点式，再根据函数增减
性求得最大值；
(4)若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最大值，最后
在确定销售单价时注意找准基础量.
1. 文字型转化为图象型，并求字母的值
某特产水果连锁店销售枇杷，其进价为20元/千克，销售一段时间后发
现：该枇杷的日销售量y(千克)与售价x(元/千克)的函数图象如图所示.
变式题
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)；
解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx＋b(k，b为常数，k≠0)，
根据题意得解得
∴y关于x的函数解析式为y=－2x＋160；
进价为20元/千克
(2)当该枇杷的售价为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为
多少元？
(2)设该枇杷的售价为x元/千克时，日销售利润为w元，
根据题意得w=(－2x＋160)(x－20)=－2x2＋200x－3 200=－2(x－50)2＋
1 800，
∵－2＜0，
∴当x=50时，w有最大值，最大值为1 800元，
答：当该枇杷的售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润为
1 800元；
进价为20元/千克
(3)由于某种原因，该枇杷进价提高了m元/千克(m＞0)，物价局规定该枇
杷的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售
价仍然满足(1)中的函数关系.若日销售最大利润是1 280元，请求出m的值.
解：(3)根据题意得
w=(x－20－m)(－2x＋160)=－2x2＋(200＋2m)x－3 200－160m，
∴对称轴为直线x==50＋m，
∵m＞0，∴50＋m＞40，
∴当x＜40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w有最大值为1 280，
进价为20元/千克
代入得－2×402＋(200＋2 m)×40－3 200－160m=1 280，
解得m=4.
例2　沪科九上P38习题T1
如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为8
m，另一边AB为2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y
轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的
距离为6 m.
二、抛物线型问题(2022.23)
教材原题
(1)求抛物线对应的函数解析式；
解：(1)根据题意，A(－4，2)，D(4，2)，E(0，6).
设抛物线对应的函数解析式为y=ax2＋6(a≠0)，把A(－4，2)或D(4，2)代入
得16a＋6=2，
解得a=－，
∴抛物线对应的函数解析式为y=－x2＋6；
矩形的一边BC为8m，另一边AB为2 m，顶点E到坐标原点O的距离为6 m
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的车高为4.3 m，宽为2.4 m，
问这辆货运车能否在一侧行道内通过该隧道？
解：(2)根据题意，把x=±2.4代入解析式，得y=4.56
∵4.56＞4.3，
∴货运车能通过.
矩形的一边BC为8m，另一边AB为2 m，顶点E到坐标原点O的距离为6 m
方法指导
抛物线型问题解题方法：
针对此类问题，若题中已知坐标系，结合题干，进行数据提炼，通过待定
系数法求抛物线解析式；若题中未告知坐标系，则需根据信息建立合适的
坐标系再求解.在结合到具体要求时，将题中数据转化为抛物线上点的坐
标进行求解.
1. 改为抛物线蔬菜大棚，并进行方案对比
某农户修建蔬菜大棚，其形状可近似看作抛物线，AD为垂直于地面的保
温墙，以AD所在直线为y轴，地面AB为x轴建立平面直角坐标系，现要在
大棚内点E处焊接内部加固钢材EF，EG，且EF∥AB，EG∥AD，并为大
棚安装供暖设备，设计部门按照要求给出两种安装方案，并将这两种方案
中大棚的平面示意图放入平面直角坐标系中，如图所示.
变式题
方案一：如图①，在加固钢材上方安装矩形供暖设备HIJK，其中点H，I
在抛物线上，HK=1米；
图①
图②
方案二：如图②，在加固钢材右侧安装矩形供暖设备LMNR和RPQG，其
中LM=1米，RG=1.1米.
(1)求抛物线对应的函数解析式；
解：(1)由题意，得B(10，0)，C(4，3.6)，
∴可设抛物线对应的函数解析式为y=a(x－4)2＋3.6(a≠0)，
将点B(10，0)代入，得a(10－4)2＋3.6=0，解得a=－，
∴抛物线对应的函数解析式为y=－(x－4)2＋3.6=－x2＋x＋2；
已知大棚的跨径AB=10米，顶端C点到保温墙AD的距离为4米，到地面AB
的距离为3.6米.
(2)当点E到保温墙AD的距离为7.5米时，这两种设计方案中哪种供暖设备
所占面积更大？并说明理由.
解：(2)方案一中供暖设备所占面积更大，理由如下：
由题可得点E的横坐标为7.5，
将x=7.5=代入y=－x2＋x＋2中，得y=－×()2＋×＋2=，
∴E(，).
已知大棚的跨径AB=10米，顶端C点到保温墙AD的距离为4米，到地面AB
的距离为3.6米.
方案一：∵四边形HIJK是矩形，
∴HK=IJ=1，
∴点H，I的纵坐标均为.
将y=代入y=－x2＋x＋2中，得=－x2＋x＋2，
解得x1=，x2=，
∴H(，)，I(，)，
∴HI=3，
∴S矩形HIJK=3×1=3(平方米)；
方案二：由题意，得点M的横坐标为8.5，点P的纵坐标为1.1，
将x=8.5=代入y=－x2＋x＋2中，得y=－×()2＋×＋2=，
∴M(，).
将y=1.1=代入y=－x2＋x＋2中，得=－x2＋x＋2，
解得x1=9，x2=－1(不符合题意，舍去)，∴P(9，1.1)，∴MN=，
∴S矩形LMNR＋S矩形RPQG=1×＋(9－7.5)×1.1=2.125(平方米).
∵3＞2.125，
∴方案一中供暖设备所占面积更大.
三、几何图形面积问题
教材原题
例3　人教九上P57习题T7
如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18
m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
例3题图
解：设矩形的宽为x m，面积为S m2，根据题意得：
S=x(30－2x)
=－2x2＋30x
=－2(x－7.5)2＋112.5，
∵30－2x≤18，2x＜30，
∴6≤x＜15，∴当x=7.5时，S最大，最大值为112.5，
30－2x=30－15=15，
∴当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，矩形菜园的面积最大，最大面积为
112.5 m2.
方法指导
矩形面积问题的解题方法：
针对此类问题，设矩形面积为S，一边长为x，结合题意用含x的代数式表
示出另一边的长，利用矩形面积公式S矩形=长×宽，即可得出S与x之间的
函数关系式，化为顶点式结合自变量的取值范围，即可求得面积最大值
1. 改变图形结构，组合图形最值
某渔场用300 m长的围网围成一个“L”型区域，如图，它是由两个全等的
矩形ABCD和DEFG组成(其中CD边与DG边的一部分重合，重合部分不用
围网)设CD=x m.
变式题
(1)用含有x的式子表示AD；
解：(1)设AD=y，则BC=AD=DG=EF=y，
∴4y－x＋3x=300，
∴y=，
∴AD==75－x；
(2)求围成的“L”型区域的最大面积.
(2)设“L”型区域面积为S m2，
则S=2CD AD=2x (75－x)=－(x－75)2＋5 625，
∵75－x＞0，x＞0，
∴0＜x＜150.
∵－1＜0，
∴当x=75时，S有最大值，最大值为5 625，
答：围成的“L”型区域的最大面积为5 625 m2.(共16张PPT)
第三单元　函　数
第14课时　二次函数的解析式的确定(含图象变化)
节前复习导图
二次函数的
解析式的确定（含图象变化）
二次函数的
解析式及其
确定
三种形式
方法
二次函数
图象的平移
平移前的解析式
平移方向
平移后的解析式
口诀
二次函数图象的对称
关于x轴对称
关于y轴对称
解析式设法
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
考点
1
二次函数的解析式及其确定(4年4考)★重点
教材知识逐点过
三种形式 1.一般式：y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
2.顶点式：y=a(x－h)2 ＋k(a为常数，a≠0，(h，k)为顶点坐标)；
3.交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a为常数，a≠0，x1，x2为抛物线与x轴交点
的横坐标)
方法 待定系数法
解析式设法 (1)抛物线过原点，可设为y=ax2＋bx；
(2)已知顶点坐标为(h，k)时，可设为顶点式y=a(x－h)2＋k；
(3)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，或已知对称轴
及与x轴的一个交点(x1，0)，可设为交点式y=a(x－x1)(x－x2)
考点
2
二次函数图象的平移
平移前的解析式 平移方式m＞0 平移后的解析式 口诀
y=a(x－h)2＋k (a≠0) 向左平移m个单位长度 y=a(x－h＋m)2＋k 左右平移：给x左
加右减
向右平移m个单位长度 y=a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位长度 y=a(x－h)2＋k＋m 上下平移：给等号
右边整体上加下减
向下平移m个单位长度 y=a(x－h)2＋k－m 【温馨提示】 二次函数图象的平移，其实质是图象上点的整体平移(一般研究顶点坐标)，平移过程
中a保持不变，因此可先求出其顶点，根据顶点坐标的平移求得函数解析式 考点
3
二次函数图象的对称
变换类型 变换前后图象 (虚线表示翻折前图象) 已知顶点式y=a(x－h)2
＋k变换后的解析式 已知一般式y=ax2＋bx
＋c变换后的解析式
关于x轴对
称 y=－a(x－h)2－k y=－ax2－bx－c
关于y轴对
称 y=a(x＋h)2＋k y=ax2－bx＋c
安徽真题对点练
二次函数解析式的确定(4年4考)
命题点
1
1. 根据不同条件，求下列抛物线的解析式.
一题多设问
(1)已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，x与y的几
组对应值如下表所示，求二次函数的解析式；
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
解：由表格可知c=3，则二次函数解
析式为y=ax2＋bx＋3，
将(－2，－5)，(2，3)分别代入，
解得
∴二次函数的解析式为y=－x2＋2x＋3；
得
(2)已知二次函数y=－x2＋bx＋4的图象的对称轴为直线x=－1，求二次函数
的解析式；
解：∵二次函数y=－x2＋bx＋4的图象的对称轴为直线x=－1，
∴－=－=－1，
∴b=－2，
∴二次函数的解析式为y=－x2－2x＋4
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
(3)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，2)，且该抛物线经过点(0，6)，
求二次函数的解析式；
解：∵二次函数的顶点坐标为(－1，2)，
∴设二次函数的解析式为y=a(x＋1)2＋2，
∵该抛物线经过点(0，6)，
∴代入得6=a＋2，解得a=4，
∴二次函数的解析式为y=4(x＋1)2＋2
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
(4)[2022安徽23(1)题考法]如图，已知抛物线的顶点为C(0，6)，与x轴分别
交于点A，B，且AB=12，求二次函数的解析式；
解：∵二次函数的顶点坐标为(0，6)，
∴设二次函数的解析式为y=ax2＋6，
∵AB=12，
∴A(－6，0)，
将点A(－6，0)代入y=ax2＋6，
解得a=－，∴二次函数的解析式为y=－x2＋6；
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
(5)一次函数y=kx＋4与二次函数y=ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，
另一个交点是该二次函数图象的顶点，求一次函数及二次函数的解析式；
解：由题意得k＋4=2，
解得k=－2，∴一次函数的解析式为y=－2x＋4.
又∵二次函数图象的顶点为(0，c)，
且该顶点是另一个交点，代入y=－2x＋4，得c=4，
把(1，2)代入二次函数解析式，得a＋c=2，解得a=－2，
∴二次函数的解析式为y=－2x2＋4；
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
(6)[2023安徽23(1)题考法]已知二次函数y=ax2＋bx(a≠0)的图象经过点(3，
3)，对称轴为直线x=2，求二次函数的解析式；
解：由题意得
解得
∴二次函数的解析式为y=－x2＋4x
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
(7)[2024安徽23(1)题考法]已知二次函数y=－x2＋bx(b为常数)的顶点横坐标
比二次函数y=－x2＋2x顶点横坐标大1，求二次函数的解析式.
解：∵抛物线y=－x2＋bx的顶点横坐标为，
抛物线y=－x2＋2x的顶点横坐标为1，
∴－1=1，解得b=4，
∴二次函数的解析式为y=－x2＋4x.
x … －2 0 2 …
y … －5 3 3 …
二次函数的图象变换
命题点
2
2. 已知抛物线y=－x2＋4x－3.
(1)将抛物线的解析式化为顶点式为 ；
(2)将抛物线y=－x2＋4x－3向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式
为 ；
(3)将抛物线y=－x2＋4x－3向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式
为 ；
(4)将抛物线y=－x2＋4x－3向左平移m(m＞0)个单位长度，使得平移后的
抛物线经过原点，则m的值为 .
y=－(x－2)2＋1
y=－x2＋4x＋1
y=－x2＋8x－15
3或1
3. [人教九上习题改编]已知抛物线C：y=(x＋2)2－1.
(1)若抛物线C1与抛物线C关于x轴对称，则抛物线C1的函数解析式为
；
(2)若抛物线C2与抛物线C关于原点中心对称，则抛物线C2的函数解析式
为 .
y=－(x＋2)2＋1
y=－(x－2)2＋1(共35张PPT)
第三单元　函　数
第10课时　一次函数及其应用
节前复习导图
正比例函数
的图象与性质
解析式
增减性
图象（草图）
经过的象限
一次函数的
图象与性质
解析式
增减性
与y轴的交点位置
大致图像
经过象限
与x轴交点
与y轴交点
一次函数
图象的平移
平移前解析式
平移方式
平移后解析式
规律
一次函数解
析式的确定
方法
步骤
直线y=kx+b(k≠0)
与坐标轴围成
的三角形面积
一条直线与坐标轴
两条直线与x轴
两条直线与y轴
一次函数
与一次方程(组)
、一元一次不
等式的关系
一个一次函数与方
程、不等式的关系
两个一次函数与方程组、不等式的关系
一次函数及其应用
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
解析式 y=kx(k为常数，且k≠0)，图象是经过原点(0，0)的一条直线 增减性 k＞0，从左向右呈 趋
势，y随x的增大而 k＜0，从左向右呈 趋势，y
随x的增大而
图象 (草图)
经过的象限
【温馨提示】 1.正比例函数的图象是经过原点的直线，且图象关于原点成中心对称； 2.对于正比例函数y=kx(k≠0)，当自变量x每增加1时，函数y的值增加k 上升
增大
下降
减小
一、三
二、四
考点
1
正比例函数的图象与性质
教材知识逐点过
考点
2
一次函数的图象与性质(4年7考)★重点
解析式 y=kx＋b(k，b为常数，k≠0) 增减性 k＞0，图象从左往右呈上升趋势，即“/”，y随x的增大而 k＜0，图象从左往右呈下降趋势，即“\”，y随x的增大而
与y轴的交点位置 b＞0 交点在y轴 半轴上； b＜0 交点在y轴负半轴上 增大
减小
正
大致图象
经过象限 一、二、 三 一、二、 四
与x轴交点 令 =0，求对应的x值，交点坐标为 与y轴交点 令 =0，求对应的y值，交点坐标为 一、三、四
二、三、四
y
(－，0)
x
(0，b)
知识拓展
两直线平行 两直线垂直
k1=k2 k1 k2=－1
两直线相交 两直线关于l1，l2均对称 两直线关于y轴对称
两直线关于x轴对称
k1＋k2=0 k1=－k2，b1=b2 k1=－k2，b1=－b2
考点
3
一次函数解析式的确定(2025.17)
方法 待定系数法
步骤 一设：设出一次函数解析式y=kx＋b(k≠0)；
二列：找出在一次函数图象上的两点，代入函数解析式，得到关于k，
b的二元一次方程组；
三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值；
四还原：将所求待定系数k，b的值代入所设的函数解析式中
考点
4
一次函数图象的平移
平移前解析式 平移方式(m＞0) 平移后解析式 规律
y=kx＋b(k≠0) 向左平移m个单位长度 y=k(x＋m)＋b 左右平移给x左
加右减
向右平移m个单位长度 y=k(x－m)＋b 向上平移m个单位长度 y=kx＋b＋m 上下平移给等
号右边整体上
加下减
向下平移m个单位长度 y=kx＋b－m 考点
5
直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴围成的三角形面积(2025.17)
位置 图象(草图) 面积
一条直线与坐标轴 S△AOB=AO BO=|xA| |yB|
两条直线与x轴 S△ABC=BC AD=|xC－xB| |yA|
两条直线与y轴 S△ABC=BC AD=|yB－yC| |xA|
考点
6
一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系
1. 一个一次函数与方程、不等式的关系
解一元一次方程ax＋b=0(a≠0)→
在一次函数y=ax＋b中，当y=0时，求x的值
(一次函数图象与x轴交点的横坐标x的值为 )
解不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)→在一次函数y=ax＋b中，当y
＞0或y＜0时，求x的取值范围
(当y＞0时，直线在x轴上方，x的取值范围为x＞m；
当y＜0时，直线在x轴下方，x的取值范围为 )
m
x＜m
2. 两个一次函数与方程组、不等式的关系
解方程组(a1≠a2)→两个一次函数图象的交点坐标
为(m，n)
解不等式a1x＋b1＞a2x＋b2(a1≠a2)或a1x＋b1＜a2x＋b2(a1≠a2)→
当y1＞y2或y1＜y2时，求x的取值范围(以交点为界限，直线l1位于
直线l2上方时，y1＞y2，此时x＞m；
直线l1位于直线l2下方时，y1＜y2，此时 )
x＜m
安徽真题对点练
一次函数的图象与性质(4年6考)
命题点
1
1. 在探究一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象与性质的过程
中，x与y的几组对应值列表如下：
一题多设问
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －3 －1 1 3 5 …
根据表中所提供的数据，完成下列习题：
(1)用描点法在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象；
描点并画出函数的图象如解图；
(2)该一次函数的解析式为 ；
(3)该一次函数的图象经过 象限，y随x的增大而 ；
(填“增大”或“减小”)
y=2x＋1
一、二、三
增大
(4)该一次函数图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标
为 ；
(5)若点M(－3，y1)，N(2，y2)为该函数图象上
的两点，则y1，y2的大小关系为 (用
“＜”连接).
(－，0)
(0，1)
y1＜y2
2. 若正比例函数的图象经过点(－2，2)，则这个函数图象必经过点(　D　)
A. (1，2) B. (－1，－2)
C. (2，－1) D. (2，－2)
D
3. (2025安徽7题)已知一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随
x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是(　D　)
A. (－2，2) B. (2，1) C. (－1，3) D. (3，4)
D
4. (2022安徽9题)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax＋a2与y=a2x＋a
的图象可能是(　D　)
D
5. [2025安徽18(2)题考法]如图，若直线y=x＋b与x轴交于点A，与y轴正半
轴交于点B，若点A的横坐标为－4，则△OAB的面积为 .
【解析】∵直线的解析式为y=x＋b，将A(－4，0)代入，可得b=2，
∴y=x＋2，则B(0，2)，∴S△OAB=×4×2=4.
4
一次函数的平移
命题点
2
6. 已知一次函数y=2x－1.
一题多设问
(1)将该函数图象向上平移3个单位长度，得到的函数解析式为 ；
【解析】将一次函数向上平移3个单位长度，所得函数解析式为
y=2x－1＋3=2x＋2.
y=2x＋2
(2)将该函数图象向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为 ；
【解析】将一次函数向左平移2个单位长度，所得函数解析式为
y=2(x＋2)－1=2x＋3.
y=2x＋3
6. 已知一次函数y=2x－1.
一题多设问
(3)将该函数图象平移后经过点A(2，0)，则平移后的函数解析式为
.
【解析】令一次函数y=2x－1中的y=0，得x=，
∴该一次函数与x轴的交点为(，0)，
∵平移后的函数图象经过点A(2，0)，
∴原一次函数向右平移了个单位长度，
∴平移后的函数解析式为y=2(x－)－1=2x－4.
y=2x－4
7. 请写出一个不经过第四象限的一次函数的解析式 .
【解析】∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴k＞0，b≥0，∴k可以为1，b可以为2，
∴满足题意的一次函数的解析式为y=x＋2(答案不唯一).
y=x＋2(答案不唯一)
一次函数与方程、不等式的关系
命题点
3
8. 在平面直角坐标系中，函数y=－x＋2与y=mx＋n(m，n为常数，m≠0)的
图象如图所示，结合函数图象，回答下列问题.
(1)关于x的方程mx＋n=0的解为 ，关于x的不等式mx＋n＞0的解
集为 ；
(2)不等式mx＋n＞－x＋2的解集为 ；
x=－3
x＞－3
x＞－1
(3)关于x，y的方程组的解为 　 　.
【解析】二元一次方程组可转化为观察图象可
得函数y=－x＋2和y=mx＋n交点的横坐标为－1，将x=－1代人y=－x＋2，
得y=3，∴这两个函数图象的交点坐标为(－1，3)，∴关于x，y的方程组的
解为

一次函数的实际应用
命题点
4
9. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.一般情况
下，人的指距d和身高h满足一次函数关系.测得指距为20 cm的人身高是
160 cm，指距为23 cm的人身高是187 cm.那么可预测指距为21 cm的人身
高是(　B　)
A. 168 cm B. 169 cm
C. 171 cm D. 172 cm
B
【解析】设该一次函数的解析式为h=kd＋b(k≠0)，
将(20，160)，(23，187)代入，得解得
∴h=9d－20.
当d=21时，h=9×21－20=169，即指距为21 cm的人身高是169 cm.
10. 爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，她发现壁厚均
匀的圆柱形容器的总高度为50 cm，里面装有一定量的水，未放小球前测
得水面高度为20 cm，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，经过观
察发现，每放入一个小球，水面的高度增加2 cm，则容器中水面高度
y(cm)与放入容器中的小球个数x(个)之间的函数解析式为 ，
要保证容器中的水不要溢出，x的取值范围为 .
y=2x＋20
0≤x≤15
【解析】∵每放入一个小球，水面的高度增加2 cm，
∴放入x个小球水面高度增加2x cm，再加上水面的原始高度20 cm，
则y与x之间的函数解析式为y=2x＋20，
∵要保证容器中的水不要溢出，
∴2x＋20≤50，解得x≤15，
∴x的取值范围为0≤x≤15.
11. 周末，小刚跟随家人去草莓采摘园摘草莓，已知草莓园有红颜草莓和
奶油草莓两种类型，进园不收取费用，所摘奶油草莓的费用y(元)与奶油草
莓质量x(kg)的函数关系如图所示，已知红颜草莓的价格为55元/kg.
(1)求y关于x的函数解析式；
解：(1)当0≤x≤2时，设y关于x的函数解析式为y=k1x(k1为常数，且k1≠0)，
将坐标(2，120)代入y=k1x中，得2k1=120，
解得k1=60，
∴y关于x的函数解析式为y=60x(0≤x≤2)；
当x＞2时，设y关于x的函数解析式为y=k2x＋b(k2，b均为常数，且k2≠0)，
将(2，120)和(6，300)分别代入y=k2x＋b中，
得解得
∴y关于x的函数解析式为y=45x＋30(x＞2).
综上所述，y关于x的函数解析式为y=
(2)小刚家打算一共采摘10 kg草莓，其中采摘的奶油草莓质量x满足4＜
x≤8，怎样分配两种草莓才能使购买总费用最少？最少总费用是多少？
(2)∵小刚家打算一共采摘10 kg草莓，其中采摘的奶油草莓质量为x kg，
则采摘红颜草莓的质量为(10－x)kg，设购买总费用为W元，
∵采摘的奶油草莓质量x满足4＜x≤8，
∴购买总费用W=45x＋30＋55(10－x)=－10x＋580，
∵－10＜0，
∴W随x的增大而减小，
答：采摘8 kg奶油草莓、2 kg红颜草莓才能使购买总费用最少，最少总费
用是500元.
∵4＜x≤8，
∴当x=8时，W值最小，W最小=－10×8＋580=500，
此时采摘红颜草莓的数量为10－8=2(kg).

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