资源简介

(共22张PPT)
第四单元　三角形
第20课时　全等三角形
节前复习导图
全等三角形
全等三角形
的概念与性质
概念
性质
全等三角形的判定
SSS(边边边)
SAS(边角边)
ASA(角边角)
AAS(角角边)
HL(斜边、直角边)
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
考点
1
全等三角形的概念与性质(4年8考)★重点
概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质 1.全等三角形的对应边 ，对应角 ；
2.两个全等三角形的周长 ，面积 ；
3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都
相等
相等
相等
相等
相等
教材知识逐点过点
考点
2
全等三角形的判定(4年7考)★重点
符号表示 图形 判定定理
SSS(边边边) 三边分别相等的两个三角形全等(基本
事实)
SAS(边角边)
(基本事实)
ASA(角边角)
(基本事实)
AAS(角角边)

两边及其夹角分别相等的两个三角形
全等
两角及其夹边分别相等的两个三角形
全等
两角分别相等且其中一组等角的对边
相等的两个三角形全等
符号表示 图形 判定定理
HL(斜边、直角边)

斜边和一条直角边分别相等的两个直
角三角形全等
【温馨提示】
全等三角形的判定思路：
(1)已知两边对应相等
(2)已知一边和一角对应相等
(3)已知两角对应相等
安徽真题对点练
命题点　全等三角形的判定与性质(4年8考)
1. [人教八上习题改编]如图，点B，C，D在同一直线上，若
△ABC≌△CDE，DE=2，BD=8.
(1)AB= ；
【解析】∵△ABC≌△CDE，
∴BC=DE=2，AB=CD，
∵BD=8，
∴CD=BD－BC=6，∴AB=6.
6
(2)若CE=2，△CDE的面积为3，则△ABC的周长为__________ ，面
积为 ；
知，CD=6，DE=2，∴C△CDE=CD＋CE＋DE=8＋2，
∵△ABC≌△CDE，∴C△ABC=C△CDE=8＋2，S△ABC=S△CDE=3.
8＋2
3
【解析】由(1)知，CD=6，DE=2，
∴C△CDE=CD＋CE＋DE=8＋2，
∵△ABC≌△CDE，
∴C△ABC=C△CDE=8＋2，S△ABC=S△CDE=3.
△ABC≌△CDE，DE=2，BD=8
(3)若∠B=45°，则∠D= °，∠ACE= °.
【解析】∵△ABC≌△CDE，∴∠D=∠B=45°，∠ECD=∠A，
∵B，C，D在同一直线上，∴∠ACB＋∠ACE＋∠ECD=180°，
∵∠B＋∠A＋∠ACB=180°，∴∠ACE=∠B=45°.
45
45
△ABC≌△CDE，DE=2，BD=8
2. [沪科八上习题改编]如图，已知△ABC和△DEF.
(1)若∠A=∠D，∠B=∠E，请添加一个条件 (写
出一个即可)，使△ABC≌△DEF；
(2)若AB=DE，BF=CE，请添加一个条件 (写出一
个即可)，使△ABC≌△DEF；
(3)若∠ACB=∠DFE，AC=DF，请添加一个条件
(写出一个即可)，使△ABC≌△DEF.
BC=EF(答案不唯一)
AC=DF(答案不唯一)
∠A=∠D(答案不唯一)
答题规范
得分要点
教材变式练重点
全等三角形的常见类型(4年8考)
模型一　平移型
1. [沪科八上例题改编]如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF，求证：∠B=∠E.
证明：∵AD=CF，
∴AD＋DC=CF＋DC，∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠B=∠E.
按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等
利用全等三角形性质得出结论
【模型分析】
图示
解题思路 (1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等；
(2)找等角：利用平行线性质找对应角相等.
模型二　轴对称型(4年3考)
2. [沪科八上习题改编]如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，
∠B=∠D=90°.求证：△ABC≌△ADC.
证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(AAS).
【模型分析】
特点 有公共边 有公共顶点
图示
解题 思路 (1)找等边：利用公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得到对应边相等； (2)找等角：利用公共角、对顶角、垂直、等腰等条件得到等角. 模型三　中心对称型(2024.22)
3. [北师七下习题改编]如图，在四边形ABCD中，AB=CD，DE⊥AC，
BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=BF. 求证：AE=CF.
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠CED=∠BFA=90°，
在Rt△AFB和Rt△CED中，
∴Rt△AFB≌Rt△CED(HL)，∴AF=CE，
∴AF－EF=CE－EF，∴AE=CF.
【模型分析】
特点 共顶点 不共顶点
图示
解题思路 (1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等； (2)找等角：利用对顶角相等或平行线性质找对应角相等. 其他模型(4年2考)
4. (手拉手模型)[人教九上习题改编]如图，在等腰△ABC和等腰△ADE
中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE，求证：BD=CE.
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC＋∠DAC=∠DAE＋∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.
【方法链接】本题涉及手拉手模型见本书P118
5. (一线三等角模型)[北师八下习题改编]如图，在等边△ABC中，D，E，
F分别是边BC，AC，AB上的点，连接DF，DE，且∠FDE=60°，若
BC=6，CE=BD=2，求BF的长.
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BFD＋∠FDB=120°，
∵∠FDE=60°，
∴∠CDE＋∠FDB=120°，
∴∠BFD=∠CDE.
在△FBD与△DCE中，
∴△FBD≌△DCE(AAS)，
∴BF=CD=BC－BD=4.
【方法链接】本题涉及一线三等角模型见本书P117
6. (对角互补模型)[北师九上习题改编]如图，在等腰Rt△ABC中，
∠C=90°，D是AB的中点，E是线段CA上的一个动点，过点D作DF⊥DE
交BC于点F. 请判断线段DE，DF的数量关系，并说明理由.
解：DE=DF，理由如下：
如解图，连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ADC和△BDC是等腰直角三角形，即AD=CD=BD，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADC－∠EDC=∠EDF－∠EDC，即∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴DE=DF.
【方法链接】本题涉及对角互补模型见本书P120(共32张PPT)
第四单元　三角形
第22课时　解直角三角形及其应用
节前复习导图
解直角三角
形及其应用
锐角三角
函数
正弦
余弦
正切
特殊角的
三角函数值
sinα
cosα
tanα
解直角三角
形的实际应用
仰角、俯角
坡度、坡角
方向角
图示
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
考点
1
锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则有：
∠A的正弦：sin A== 　 　；
∠A的余弦：cos A== 　 　；
∠A的正切：tan A==.


教材知识逐点过点
考点
2
特殊角的三角函数值
30° 45° 60°
sin α ____ cos α ____ tan α

1
考点
3
解直角三角形的实际应用(4年4考)★重点
图示
仰角、俯角 如图①，图中仰角是 ，俯角是
坡度、坡角 如图②，坡角为 ，坡度(坡比)i=tan α=
方向角 如图③，A点位于O点的 方向，B点位于O点的
方向，C点位于O点的 方向
∠1
∠2
∠α

北偏东30°
南偏
东60°
北偏西45°(或西北)
安徽真题对点练
解直角三角形
命题点
1
1. [沪科九上习题改编]在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5.
(1)sin A= ；
(2)cos A= ；
(3)tan A= .



2. [沪科九上习题改编]如图，在△ABC中，∠B=30°，∠BAC=105°，
AC=.求BC的长.
解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∟
M
∵∠B=30°，AM⊥BC，
∴∠BAM=90°－∠B=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠MAC=∠BAC－∠BAM=105°－60°=45°=∠C，
在Rt△AMC中，sin C=，
∴AM=AC sin 45°=1，
同理可得，CM=1，
在Rt△ABM中，tan B=，
解图
∟
M
∴BM==，
∴BC=BM＋MC=＋1.
解直角三角形及其应用(4年4考)
命题点
2
3. 如图，从点C观察到点D的仰角是(　B　)
A. ∠DAB B. ∠DCE
C. ∠DCA D. ∠ADC
【解析】∵在视线与水平线所成的锐角中，视线
在水平线上方的角叫做仰角，
∴从点C观测点D的仰角为∠DCE.
B
4. [人教九下习题改编]如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观
测到小岛A在它北偏东61°方向上，观测到小岛B在它南偏东20°方向
上，则∠AOB的度数是 °.
【解析】∵OA是表示北偏东61°方向的一条射线，OB是表示南偏东20°方向的一条射线，∴∠AOB=180°－61°－20°=99°.
99
教材变式练重点
解直角三角形实际应用的常见类型(4年4考)
教材原题
例　北师九下P26习题T16
甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m.自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为
30°，请问乙楼有多高？
解：如解图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∟
E
A
C
B
D
由题意得，∠CAE=30°，AE=BD=30 m，
在Rt△ACE中，CE=AE tan∠CAE=10m，
∴乙楼的高度=ED＋CE=AB＋CE=(40＋10)m，
故乙楼高(40＋10)m.
∟
E
A
C
B
D
解图
角度一 解两个直角三角形，在内部做高(背靠背型)
1. (2025安徽17题)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬
挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线
段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为
23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已知AB=13.20 m，
求AD的长(精确到0.1 m).
参考数据：sin 23.8°≈0.40，cos 23.8°≈0.91，
tan 23.8°≈0.44，sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，
tan 36.9°≈0.75.
变式题
解：如解图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意知，四边形ABCE为矩形，
∴CE=AB=13.20 m，
在Rt△ACE中，tan∠CAE=，
∴AE==≈=30.0(m)，
在Rt△ADE中，cos∠DAE=，
∴AD==≈=37.5(m)，
∴AD的长为37.5 m.
∟
E
解图
2. (2022安徽20题)如图，为了测量河对岸 A，B两点间的距离，数学兴趣
小组在河岸南侧选定观测点 C，测得 A，B均在 C的北偏东 37°方向上，
沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西
53°方向上.求 A，B两点间的距离.
参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.
解：如解图，由题意可知CE∥AD，∠ECA=37°，∠ADB=53°，
∴∠A=∠ECA=37°，∠ABD=180°－∠A－∠ADB=90°，
在Rt△CBD中，CD=90米，∠BDC=90°－∠ADB=37°，
∴BD=CD cos 37°≈90×0.8=72(米)，
在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=72，
∴AB=≈=96(米)，
答：A，B两点间的距离约为96米.
解图
方法指导
基础 模型 通过在三角形内部作高CD，构造出
两个直角三角形求解，其中公共边
CD是解题的关键
模型 演变 　 角度二 解两个直角三角形，在外部做高(母子型)
3. (2023安徽19题)如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直
上升到A点时，测得A到R点的距离为40 m，R点的俯角为24.2°，无人机
继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上
升高度AB(精确到0.1 m).
参考数据：sin 24.2°≈0.41，cos 24.2°≈0.91，
tan 24.2°≈0.45，sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，
tan 36.9°≈0.75.
解：由题意可知，∠ORB=36.9°，∠ORA=24.2°，
在Rt△AOR中，AR=40 m，∠ORA=24.2°，
∴OA=sin∠ORA AR=sin 24.2°×40≈16.4(m)，
OR=cos∠ORA AR=cos 24.2°×40≈36.4(m)，
在Rt△BOR中，OB=tan∠ORB OR=tan 36.9°×36.4≈27.3(m)，
∴AB=OB－OA=27.3－16.4=10.9(m)，
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9 m.
新考法　跨物理学科4. (2024安徽19题)科技社团选择学校游泳池进行一次
光的折射实验.如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已
知BE与水平线的夹角α=36.9°，点B到水面的距离BC=1.20 m，点A处水
深为1.20 m，到池壁的水平距离AD=2.50 m.点B，C，D在同一条竖直线
上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求的值
(精确到0.1).
参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，
tan 36.9°≈0.75.
解：如解图，过点E作EH⊥AD，垂足为H.
解图
∟
H
由题意可知，∠CEB=α=36.9°，EH=1.20 m，
DH=CE=≈=1.60(m)，
∴AH=AD－DH=2.50－1.60=0.90(m)，
在Rt△AEH中，
AE===1.50(m)，
∴sin γ===0.60，
由题意可知，∠CEB=α=36.9°，EH=1.20 m，
DH=CE=≈=1.60(m)，
∴AH=AD－DH=2.50－1.60=0.90(m)，
在Rt△AEH中，
AE===1.50(m)，
∴sin γ===0.60，
又∵sin β=sin∠CBE==cos∠CEB=cos α≈0.80，
解图
∟
H
∴==≈1.3.
又∵sin β=sin∠CBE==cos∠CEB=cos α≈0.80，
解图
∟
H
方法指导
基础 模型 通过在三角形外部作高BC，构造出
两个直角三角形求解，其中公共边
BC是解题的关键
模型 演变 角度三 解两个直角三角形，含公共边(拥抱型)
5. (人教九下习题改编)振风塔，坐落于安徽省安庆市迎江寺内，有“以振
文风”之意.学完锐角三角函数知识后，某校数学社团的王华和张亮决定用
自己所学到的知识测量振风塔AB的高度，如图，CD是振风塔附近不远处
的某建筑物，他们在建筑物CD的底端D处测得振风塔顶端B的仰角为
60°，在建筑物CD顶端C处测得振风塔底端A的俯角为28°，已知建筑物
CD的高为18.7米，AB⊥AD，CD⊥AD，求振风塔AB
的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin28°≈0.47，
cos28°≈0.88，tan 28°≈0.53，≈1.73)
解：由题意得CD=18.7米，∠BDA=60°，∠CAD=28°，
在Rt△CAD中，tan∠CAD=，
∴AD==，
在Rt△ABD中，tan∠BDA=，
∴AB=AD tan 60°= tan 60°≈61(米).
答：振风塔AB的高度约为61米.
6. 体育场是学校进行体育教学、运动训练、大型体育竞赛活动的专用
场所.如图①是某校体育场看台，图②是其侧面部分示意图，该校“综
合与实践”小组的同学想要测量体育场看台的遮阳棚的长度，设计了
如下测量方案：
测量仪器：皮尺、测角仪等.
测量步骤：第一步：利用皮尺测量得到看台AB的长度为15米，与水平地
面AP平行的平台BC的长度为2米；
第二步：确定遮阳棚上端点E处正下方一点F，且点F在水平地面AP上，
用皮尺测量得到AF的长度为2.3米；
第三步：用测角仪测得看台AB与水平地面AP的夹角为35°，挡风墙CD与
平台BC垂直，在挡风墙CD的点D处测得点E的仰角为26°.
请根据以上测得的数据求出遮阳棚DE的长度(结果精确到0.1米.参考数
据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90).
解：如解图，过点D作DG⊥EF于点G，过点B作BH⊥AP于点H，延长HB
交DG于点M，则∠BHA=∠DGE=90°，
由题意，得AB=15米，∠A=35°，
在Rt△AHB中，AH=AB cos 35°≈15×0.82=12.3(米)，
∴FH=AH－AF=10(米)，
易得四边形GFHM，四边形MBCD为矩形，
∴GM=FH=10米，MD=BC=2米，
∴GD=GM＋MD=12(米)，
∟
G
∟
H
M
解图
答：遮阳棚DE的长度约为13.3米.
在Rt△EGD中，DE==≈≈13.3(米)，
∟
G
∟
H
M
解图
方法指导
基础 模型 有公共边时利用公共边建立等量关系求
解，没有公共边时分别解两个直角三角形
模型 演变(共18张PPT)
第四单元　三角形
第18课时　一般三角形及其性质
节前复习导图
一般三角形
及其性质
三角形
的相关概念
三角形
的性质
三边关系
内角和定理
内外角关系
三角形中
的重要线段
高线
角平分线
中线
中位线
垂直平分线
三角形
的分类
按角分
按边分
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
考点
1
三角形的相关概念
三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做
三角形.我们把顶点为A，B，C的三角形记作△ABC，读作“三角形
ABC”.
教材知识逐点过
考点
2
三角形的分类
1. 按边分
三角形
2. 按角分
三角形
考点
3
三角形的性质
三边关系 1.三角形两边之和 第三边，三角形两边之差 第三边
(若一个三角形的三边边长分别为a，b，c，则|a－b|＜c＜a＋b；
2.三角形具有稳定性
内角和定理 三角形三个内角的和等于
内外角关系 1.三角形的外角和等于360°；
2.三角形的外角 与它不相邻的两个内角的和；
3.三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角
大于
小于
180°
等于
大于
考点
4
三角形中的重要线段(4年12考，除2023.13单独考查，其余均为涉及考查) ★重点
重要线段 图形 字母表示及重要结论
高线 (AD为底边BC上的高线) 1.∠ADB=∠ADC=90°；
2.S△ABC=BC AD；
3.垂心：三角形三条高所在直线的交点
角平 分线 (AD为∠BAC的平分线) 1.∠BAD=∠DAC=∠BAC；
2.内心：三角形三条角平分线的交点，内
心到三角形三边的距离
相等
中线 (AD，CE为中线) 1.BD=DC=BC；
2.S△ABD=S△ADC=S△ABC；
3.AO=2OD；
4.重心：三角形三条中线的交点
中位线 (DE为△ABC的中位线) 1.AD=DB，AE=EC；
2.DE∥BC，且DE=BC；
3.△ADE与△ABC的相似比为1∶2，面积
比为1∶4
【拓展】 垂直平分线 (DE为边BC的垂直平分线) 1.DE⊥BC，且BE=CE，BD=CD；
2.外心：三角形的三条边的中垂线的交
点，外心到三角形三个顶点的距离相等
安徽真题对点练
三角形的性质
命题点
1
1. [人教八上内文改编]空调安装在墙上时，一般都会用三角形支架进行固
定，这种固定方法应用的几何原理是 .
2. [沪科八上习题改编]若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个等腰
三角形，则a的值为 .
三角形具有稳定性
5
3. [沪科八上习题改编]在△ABC中，∠A=60°，∠B－∠C=20°，则
∠C= °.
4. 如图，AB∥CD，∠2=2∠D，若∠1=40°，则∠2的度数为 .
50
80°
三角形中的重要线段(4年12考，除2023.13单独考查，其余均为涉及考查)
命题点
2
5. [沪科八上习题改编]如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，
AC的中点，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为(　B　)
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
【解析】∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
AB＋BC＋AC=20，
∴DE＋EF＋DF=(AC＋AB＋BC)=×20=10，
∴△DEF的周长为10.
B
6. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，
AF是中线，则下列说法中错误的是(　C　)
A. BF=CF B. ∠C＋∠CAD=90°
C. ∠BAF=∠CAF D. S△ABC=2S△ABF
C
7. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，CE⊥AB于点
E，AD⊥BC于点D，则的值为_____ ___.

【解析】∵AB=8，BC=6，AB，BC边上的高分别为CE，AD，
∴S△ABC=AB CE=BC AD，
∴×8CE=×6AD，
∴=.
题后反思
△ABD与△ACD的面积比与BD和CD的长度之比有什么关系，这是为
什么？
解：S△ABD∶S△ACD=BD∶CD，原因是两个三角形可以看作是不等底但等
高(AD)的三角形.
8. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD，E
是线段AD的中点，连接BE，CE，若S△ABE=2，则S△ABC的值为 .
8
【解析】∵在△ABC中，D是边BC的中点，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵E是线段AD的中点，
∴S△BED=S△ABE=S△ABD，S△CED=S△ACE=S△ACD，
∴S△ABC=4S△ABE=8.
△ABD与△ACD的周长的差，跟△ABC的边长有什么关系？
解：△ABD与△ACD的周长的差，是边AB与AC的差.
题后反思
9. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B=∠DAC，CE⊥AD，若
AE=DE=2，AC=6，则BC的长为 .
【解析】∵AE=DE=2，CE⊥AD，∴AD=4，CE是AD的垂直平分线，
∴CD=AC=6，∴∠CDA=∠DAC，∴2∠B=∠DAC=∠CDA，
∵∠CDA=∠B＋∠DAB，
∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=4，
∴BC=DB＋DC=4＋6=10.
10(共31张PPT)
第四单元　三角形
第17课时　线段、角、相交线与平行线(含命题)
章前复习导图
解决问题
三角形
全等、相似三角形
锐角三角函数
特殊
几何初步、相交线与平行线
线段和直线
角及角平分线
相交线
命题
等腰三角形
直角三角形
全等、相似三角形的性质
全等、相似三角形的判定
实际应用
性质
面积
判定
角
边角关系
边
重要线段(角平分线、中线、高线、中位线
垂直平分线)
三角形
等边三角形
平行线
节前复习导图
线段、角、
相交线与平
行线(含命题)
线段
和直线
两个基本事实
两点间的距离
线段的中点
线段的和与差
角及角
平分线
角的分类及换算
余角、补角、
角平分线
相交线
三线八角
垂线
平行线的
判定及性质
平行公理及推论
平行线的判定与性质
平行线之间的距离
命题
命题
真命题
假命题
互逆命题
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
分层练习册
考点
1
线段和直线
两个基 本事实 1.直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线)；
2.线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短(两点之间，线段最短)
两点间 的距离 连接两点的线段的长度
教材知识逐点过
线段的 中点 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，则AM=
线段的 和与差 如图，点B是线段AC上一点，则有：
AB=AC BC；
BC=AC AB；
AC=AB BC
BM
－
－
＋
考点
2
角及角平分线(2022.6)
1. 角的分类及换算
角的分类 按大小分，周角(360°)＞平角(180°)＞钝角＞直角(90°)＞锐角
角的换算 1°=60′，1′=60″，角的度、分、秒是60进制的，如1°15′= ′，
30°－15°20′=
75
14°40′
2. 余角、补角、角平分线
余角 (1)概念：如果两个角的和等于 ，那么我们就称这两个角互为余
角，简称互余；
(2)性质：同角(或等角)的余角
补角 (2022.6) (1)概念：如果两个角的和等于 ，那么我们就称这两个角互为补
角，简称互补；
(2)性质：同角(或等角)的补角
90°
相等
180°
相等
角平分
线 (1)概念：如果一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这
个角的平分线；
(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离 ；
(3)逆定理：在角的内部到角两边的距离 的点在角平分线上
相等
相等
考点
3
相交线(4年4考)★重点
1. 三线八角
对顶角 ∠1与 ，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与 ；
性质：对顶角_______
邻补角 ∠1与∠2、∠4，∠3与∠2、∠4，∠5与∠6、∠8，∠7与∠6、∠8；
性质：互为邻补角的两个角之和等于
同旁内角 ∠2与∠5，∠3与
同位角 ∠1与 ，∠2与∠6，∠4与 ，∠3与
内错角 ∠2与 ，∠3与∠5
∠3
∠8
相等
180°
∠8
∠5
∠8
∠7
∠8
2. 垂线(4年4考)
垂线段 过直线外一点作已知直线的垂线，该点与垂足之间的线段
点到直线的
距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
垂线的性质 (6年3考) (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短
线段垂直平
分线 (1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
(2)逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
垂线段
考点
4
平行线的判定及性质
平行公理及推论 1.公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线(基本事实)；
2.推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
【知识拓展】在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
平行线的判定与性质 1.同位角 两直线平行；
2.内错角 两直线平行；
3.同旁内角 两直线平行
相等
相等
互补
平行线之
间的距离 1.概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
2.性质：(1)夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
(2)平行线间的距离处处相等
考点
5
命题
命题 判断一件事情的语句叫做命题，命题有题设和结论两部分
真命题 如果题设成立时，结论一定成立，这样的命题叫做真命题
假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
互逆命题 (2019.12) 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题，
“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题
安徽真题对点练
线段和直线
命题点
1
1. [人教七上习题改编]请写出两个将基本事实应用于生活的例子.
(1)“两点确定一条直线”：
；
(2)“两点之间，线段最短”：
.
跳高比赛中，只需两个支点就能固定横杆(答
案不唯一)
把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路
程(答案不唯一)
2. [沪科七上习题改编]如图，C，D是线段AB上不同的两点，且C是AD的
中点.
(1)AB=AD＋ ；
(2)若DC=2，则AD的长为 ；
(3)若BD=4，BC=10，则AB= .
BD
4
16
角及角平分线(2022.6)
命题点
2
3. [沪科七上习题改编]已知∠A=48°，则∠A的余角为 .
4. [人教七上习题改编]如图，OA是∠BOC的平分线，∠BOD=2∠COD，
若∠BOD=90°，则∠AOD的度数为 .
42°
22.5°
5. [人教七上习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC
交AC于点D. 若CD=，AB=2，则△ABD的面积是____.

【解析】如解图，作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=，
∴DE=CD=，
∵AB=2，
∴△ABD的面积是×2×=.
解图
相交线(4年4考)
命题点
3
6. 如图，P是直线l上方一点，点A，B，C，D都在直线l上，PC⊥l于点C，
下列线段最短的是(　C　)
A. PA B. PB
C. PC D. PD
C
7. [人教七下习题改编]如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80°，
∠2=30°，则∠AOE的度数为　(　B　)
A. 30° B. 50°
C. 60° D. 80°
B
8. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，若
△ABC的周长为26，CE=6，则△ABD的周长为 .
【解析】∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，CE=6，
∴BC=2CE=12，BD=CD，∵△ABC的周长为26，∴12＋AB＋AC=26，
∴AB＋AC=14，∴△ABD的周长为AB＋AD＋BD=AB＋AD＋CD=AB＋
AC=14.
14
平行线的判定及性质(2022.6)
命题点
4
9. [人教七下习题改编]如图，在四边形ABCD中，延长BC至点E.
(1)若∠B=∠DCE，则 ∥ ，依据为：
；
(2)若∠D=∠DCE，则 ∥ ，依
据为： ；
AB
CD(或CD，AB)
同位角
相等，两直线平行
AD
BC(CE/BE)[或BC(CE/BE)，AD]
内错角相等，两直线平行
(3)若∠B＋∠A=180°，则 ∥
，依据为： .
AD
BC(CE/BE)[或BC(CE/BE)，
AD]
同旁内角互补，两直线平行
10. [人教七下习题改编]如图，AB∥CD，点E在AB上，连接CE并延长到
点F，若∠AEF=135°，则∠ECD的度数为(　B　)
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
【解析】∵∠AEF=135°，∴∠CEB=135°，
∵AB∥CD，∴∠CEB＋∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°－135°=45°.
B
11. [沪科七下习题改编]如图，AB∥CD，直线l分别与直线AB，CD相交于
点E，F，EG平分∠FEB交CD于点G. 若∠CFE=50°，则∠FGE的度数为
(　B　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【解析】∵AB∥CD，∴∠FEB=∠CFE=50°，
∵EG平分∠FEB，∴∠GEB=∠FEB=25°，
∵AB∥CD，∴∠FGE=∠GEB=25°.
B
12. (2022安徽6题)两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则
∠2=(　C　)
A. α－90° B. α－45°
C. 180°－α D. 270°－α
C
【解析】解法一：如解图①，作辅助线，由四边形内角和及矩形性质，易
得∠2＋∠5=180°，
∵∠5＋∠4=180°，∴∠2=∠4，
由平行易得∠3=∠4=180°－α，
∴∠2=∠4=180°－α；
解图①
解法二：如解图②，根据矩形的性质知，∠2＋∠4=90°，∠3＋∠4=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1＋∠3=180°，
∴∠1＋∠2=180°，
∴∠2=180°－α.
解图②
13. [人教七下习题改编]如图，一束光线AB先
后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，若∠DCN=55°，
则∠ABM的度数为(　D　)
D
A. 70° B. 60° C. 55° D. 35°
新考法
跨物理学科
【解析】∵∠DCN=55°，∠DCN=∠OCB，∴∠OCB=55°，
∴∠BCD=180°－∠DCN－∠OCB=180°－55°－55°=70°.
∵CD∥AB，
∴∠ABC=180°－∠BCD=110°.
∵∠ABM=∠OBC，∠ABM＋∠OBC＋∠ABC=180°，
∴∠ABM=(180°－∠ABC)=35°.
命题
命题点
5
14. [沪科八上习题改编]下列命题为假命题的是　(　B　)
A. 对顶角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【解析】A. 对顶角相等，是真命题，不符合题意；B. 两条平行线被第三
条直线所截，同位角相等，故本选项是假命题，符合题意；C. 垂线段最
短，是真命题，不符合题意；D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一
条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意.故选B.
B(共52张PPT)
第四单元　三角形
第21课时　相似三角形
节前复习导图
相似三角形
比例线段
及性质
比例线段
比例的性质
黄金分割
平行线分线
段成比例
相似多边形及其性质
概念
性质
相似三角形的性质与判定
性质
判定方法
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
考点
1
比例线段及性质
1. 比例线段
比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比 另外两条线段的比，即
=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段
比例中项 如果a∶b=b∶c或=或 ，那么b叫做a和c的比例中项
等于
b2=ac
教材知识逐点过点
2. 比例的性质
性质1 (基本性质) 如果=，那么 =bc(b，d≠0)(反之也成立)
性质2 (合比性质) 如果=，那么 =________ (b，d≠0)
性质3 (等比性质) 如果==…=，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么
=_____ __-
ad


3. 黄金分割
概念 如图，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且=，那么就说线
段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，AP与AB的比
叫做黄金比，即=≈0.618，≈0.382
4. 平行线分线段成比例
基本 事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).
如图①，当l3∥l4∥l5时，有=，=等
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应
线段成比例.
如图②，当DE∥BC时，有=____，=_____ 等；
如图③，当DE∥BC时，有==______ 　 　



考点
2
相似多边形及其性质
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的对应角 ，对应边
，则这两个多边形叫做相似多边形
性质 1.相似多边形的对应角 ，对应边 ；
2.相似多边形的对应边的比、周长比等于 ，面积比等于

相等
成比
例
相等
成比例
相似比
相
似比的平方
考点
3
相似三角形的性质与判定(4年6考)★重点
性质 1.相似三角形的对应角 ，对应边 ；
2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等
于 ；
3.相似三角形周长之比等于 ，面积之比等于

相等
成比例
相似比
相似比
相似比的平
方
判定方法 1.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的
三角形与原三角形相似；
2.两角分别相等的两个三角形相似；
3.两边对应成比例且 相等的两个三角形相似；
4.三边对应成比例的两个三角形相似
夹角
【温馨提示】相似三角形的判定思路：
(1)有平行截线——用平行线的性质，找等角；
(2)有一对等角，找
(3)有两组边对应成比例，找
安徽真题对点练
比例线段及性质
命题点
1
1. [人教九下探究题改编]已知=，则= 　 　.
2. [沪科九上习题改编]如图，已知直线a∥b∥c，OA=2OB，OC=2OA，
OE=1，则OD= .

4
3. [人教九上阅读与思考改编]如图，若点C是线段AB的黄金分割点(AC＞
BC)，AB=4 cm，则AC的长为 cm.
(2－2)
相似多边形
命题点
2
4. [人教九下例题改编]如图，六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，若
AB∶A1B1=3∶5，∠A=130°.
(1)∠A1的度数为 ；
(2)若EF=5，则E1F1= ；
(3)六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的周长比为 ，面积比
为 .
130°

3∶5
9∶25
相似三角形的性质与判定(4年6考)
命题点
3
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有
(　C　)
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 5对
C
6. 如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC=3∶4，若AB的长度为6，则DE
的长度为(　B　)
A. 4.5 B. 8
C. 12 D. 13.5
B
7. 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶1，则下列结论错误的是
(　B　)
A. AB是A′B′的3倍
B. ∠A是∠A′的3倍
C. 周长之比为3∶1
D. 面积之比为9∶1
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶1，∴AB∶A′B′=3∶1，
∠A=∠A′，A选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意；∴周长之
比为3∶1，面积之比为9∶1，∴C，D选项均正确，不符合题意.
B
教材变式练重点
相似三角形的常见类型(4年6考)
类型一　A字型(4年2考)
1. [北师九上习题改编]如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，
∠DBC=∠A. 若AC=4，cos A=，则BD的长度为(　C　)
A. B. C. D. 4
C
【解析】∵在Rt△ABC中，AC=4，cos A==，∴AB=5，
∴BC===3，
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△DBC∽△BAC，
∴=，即=，
∴BD=×5=.
【解析】如解图，过点D作DH∥EG交AB于点H，
∵∠ACB=90°EF⊥AC，EG⊥EF，
∴EF∥DC，∴==，
∵EF=EG，
∴CD=DH，易得DH∥EG∥AC，
∴=，设CD=DH=x，则=，
解得x=4，∴CD=4.
H
解图
2. [沪科九上习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，
BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交
AB于点G，若EF=EG，则CD的长为(　B　)
A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5
B
3. [沪科九上习题改编]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥AB交BC
于点E，若AB=9，BC=6，则的值为(　A　)
A. B. C. D.
A
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD，∠DBC=∠BDE，∴BE=DE，
∵DE∥AB，∴=，
∵BC=6，∴BE=DE=6－CE，
∵AB=9，∴=，
∴CE=，∴==.
方法指导
特点 正A字型 斜A字型
图示
模型特点 有一组公共角，还有另外一组等角 解题思路 (1)正A字型：找同侧的一组等角； (2)斜A字型：找异侧的一组等角 4. [沪科九上习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB
上的高，BC=5，BD=3，则AD的长为 .

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴CD===4，
∵∠BCD＋∠ACD=90°，∠B＋∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，又∵∠BCA=∠CDB=90°，
∴△BCD∽△BAC，∴=，
∴BC2=BD BA，∴AB=，
∴AD=AB－BD=－3=.
方法指导
射影定理(直角三角形内斜A字模型的特殊情况)图形中的6条线段，已知其
中的任意两条，则其他的4条均可以求出.
方法指导
射影定理
基本结论 结论：△ABC∽△DBA∽△DAC
1.△DBA∽△DAC AD2=BD CD；
2.△DBA∽△ABC AB2=BD BC；
3.△DAC∽△ABC AC2=CD CB
答题规范
得分要点
5. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且满足=，O为BD上一点，过点O作OE⊥BC，垂足为E，若OE=2，AB=6，求△OBC的面积.
解：如解图，过D点作DF∥BA交
BC于点F，则△DFC∽△ABC，
F
∵=，∴ ，
∵AB=6，∴DF=AB=4.
根据平行线的性质可得出两角对应相等，进而相似三角形
由相似三角形的性质可以得出，相似三角形对应边成比例
答题规范
得分要点
∵DF∥BA，∴∠ABD=∠BDF，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠FBD，
∴∠FBD=∠BDF，∴BF=DF=4，
∵BC=BF＋CF=3BF=12，
∴S△OBC=BC×OE=×12×2=12.
F
等腰三角形等角对等边
方法指导
特点 正8字型 斜8字型
图示
模型特点 有一组对顶角，还有另外一组等角，形似数字“8” 解题思路 (1)正8字型：找一组内错角，或对顶角的两边对应成比例； (2)斜8字型：找同侧的一组等角，或对顶角的两边对应
成比例 类型二　8字型
6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC边上，EC=2AD，连接
BD，AE相交于点F，若=，则=(　B　)
A. B. C. D.
B
【解析】∵AD∥BC，∴∠FAD=∠FEB，∠FDA=∠FBE，
∴△FAD∽△FEB，∴==，设BE=5x，则AD=4x，
∴EC=2AD=8x，∴===.
7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接DE交BC的延长线
于点F，已知∠A=∠F，CE=2DE，BF=8，AB=6，则AD的长为(　C　)
A. 2 B. C. 2.8 D. 3
C
【解析】∵∠CEF=∠DEA，∠A=∠F，
∴△CEF∽△DEA，∴===2，
∵∠A=∠F，∠B=∠B，∴△BFD∽△BAC，∴=，
∵BF=8，AB=6，∴=，设AD=x，则CF=2x，
∴BD=AB－AD=6－x，BC=BF－CF=8－2x，
∴=，∴x=2.8，∴AD=2.8.
8. (2023安徽8题)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点
F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G. 若AF=2，
FB=1，则MG=(　B　)
A. 2 B. C. ＋1 D.
B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴==，
∵CD∥AG，∴∠DCE=∠GAE，
∵∠CED=∠AEG，∴△DCE∽△GAE，∴==，∴AG=2CD，
∴AG=2AB，∴B为AG的中点，∴MB为△DAG的中位线，
∵AB=AF＋FB=3=CD，
∴AG=2CD=6，在Rt△ADG中，DG==3，
∴MG=DG=.
类型三　其他类型
9. (一线三等角模型)如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，D是AB的中点，E，F分别为边BC，AC上一点，且BE=1，若∠FDE=135°，求DF的长.
解法一：截取等边构造135°“一线三等角”型相似三角形，如解图①，在
AB上取两点G，H，连接FH，EG，使得BG=BE，HF=AF，
H
G
∴△BEG和△AFH为等腰直角三角形，
∴∠FHD=∠FDE=∠DGE=135°，
∴∠HFD＋∠HDF=∠HDF＋∠GDE=45°，
一题多解法
即∠HFD=∠GDE，
∴△FHD∽△DGE，
又∵D为AB的中点，BG=BE=1，
∴DG=BD－BG=1，EG=BG=，
∴==，
H
G
解图①
设FH=a，则AH=DH=a，
即2a=2，解得a=，
在Rt△DBE中，DE=，
∵==，
∴DF=.
解法二：截取等角构造45°“一线三等角”型相似三角形，如解图②，在
AC上取一点G(靠近点C处)，连接DG，EG，使得
∠DGE=∠A=∠C=45°，
∵∠A=∠C=∠DGE=45°，
∴∠AGD＋∠ADG=135°，∠AGD＋∠CGE=135°，
∴∠ADG=∠CGE，
9. (一线三等角模型)如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，D是AB的中点，E，F分别为边BC，AC上一点，且BE=1，若∠FDE=135°，求DF的长.
一题多解法
G
∴△ADG∽△CGE，∠AGD=∠CEG，
∴=，即=，
G
解得CG=或3，
∵点G靠近点C处，
∴CG=，
过点G作GH⊥BC于点H，
∟
H
解图②
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴CH=GH=1，
∴HE=BC－BE－CH=4－1－1=2，
∴GE==，
∵DE==，
∴GE=DE，
G
∟
H
解图②
又∵∠DGE=45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠GDE=45°，GD=GE=，
∴∠GDF=∠FDE－∠GDE=90°，
∴△GDF是直角三角形，
∴tan∠AGD==，
∵tan∠CEG==，
∴=，解得DF=.
G
∟
H
解图②
解法三：延长FD构造斜“A字”型相似三角形，如解图③，延长FD交CB的
延长线于点G，过点G作GH⊥DE于点H，
∵∠FDE=135°，
∴∠EDG=45°，
∴∠C=∠EDG=45°，
∵∠CGF=∠DGE，
∴△CGF∽△DGE，
9. (一线三等角模型)如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，D是AB的中点，E，F分别为边BC，AC上一点，且BE=1，若∠FDE=135°，求DF的长.
一题多解法
G
∟
H
在Rt△BDE中，tan∠BED===2，DE===，
在Rt△EGH中，tan∠GEH==tan∠BED=2，
设EH=x，则易得GH=DH=2x，
∴DE=3x=，则x=，
∴EH=，GH=，
在Rt△EGH中，EG===，
G
∟
H
解图③
∴BG=EG－BE=－1=，
∴CG=BC＋BG=4＋=，
在Rt△BDG中，DG===，
∵△CGF∽△DGE，
∴=，即=，解得GF=，
G
∟
H
解图③
∴DF=GF－DG=－=.
解法四：作垂直、取中点，构造“中心对称”型全等三角形，如解图④，过
点F作FH⊥DE交ED的延长线于点H，连接AH，取DE的中点G，连接
BG，
∵FH⊥DE，
∴∠FHD=90°，
又∵∠FAD=45°，
9. (一线三等角模型)如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，D是AB的中点，E，F分别为边BC，AC上一点，且BE=1，若∠FDE=135°，求DF的长.
一题多解法
∟
H
G
∴A，F，D三点共圆(依据：同弧所对的圆周角是圆心角的一半)，
易得H为圆心，
∴AH=HD，∠ADH=∠DAH，
∵在Rt△BDE中，G为斜边DE的中点，
∴DG=BG，∠BDG=∠DBG，
又∵∠ADH=∠BDG，
∴∠ADH=∠DAH=∠BDG=∠DBG，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴△ADH≌△BDG，
∴DH=DG，
∟
H
G
解图④
∵G为DE的中点，
∴DG=DE==，
∴DH=，
∵∠FDE=135°，
∴∠FDH=180°－∠FDE=45°，
∵FH⊥HD，
∴△FHD是等腰直角三角形，
∴DF=DH=.
∟
H
G
解图④
【方法链接】本题涉及一线三等角模型见本书P117
10. (手拉手模型)在等腰△ABC中，AB=AC，顶角度数为α，D是△ABC内
一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段ED，连接CE，
BE，AD.
(1)如图①，当α=60°时，
①与△ACD全等的三角形是 ；
△BCE
(1)如图①，当α=60°时，
②线段BE与AD的数量关系为 ；
【解法提示】∵将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段ED，
∴∠CDE=60°，DC=DE，
∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD.
BE=AD
(2)如图②，当α=90°时，(1)中的结论还成立吗，并说明理由.
解：不成立，
理由：∵将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段ED，
∴DC=DE，∠CDE=∠BAC=90°，
∵AB=AC，∴△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，BC=AC，∠ACB=∠DCE=45°，
∴==，∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，
∴ = = ，∴BE= AD.
【方法链接】本题涉及手拉手模型见本书P118(共39张PPT)
第四单元　三角形
第19课时　特殊三角形
节前复习导图
特殊三角形
等腰三角形
的性质及判定
等腰三角形
等边三角形
直角三角形的性质及判定
直角三角形
等腰直角
三角形
1
教材知识逐点过
2
安徽真题对点练
3
教材变式练重点
4
分层练习册
考点
1
等腰三角形的性质及判定(4年4考)★重点
教材知识逐点过点
1. 等腰三角形(4年2考)
概念 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形
性质 (1)两腰相等，两底角 (简写成“等边对等角”)；
(2)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简写成“三
线合一”)；
(3)是轴对称图形，有 条对称轴(不包括等边三角形)
相等
1
判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形；
(2)有两角相等的三角形是等腰三角形
面积 S=ah(其中a是底边长，h是底边上的高)
【回归教材】经典图形　黄金三角形 (人教八下P64数学活动拓展 沪科九上P74阅读与欣赏)一个内角为36°的等腰三角形
是黄金三角形，当顶角为36°时，它的底和腰之 比为，当底角为36°时，它的腰和底之比 为. 2. 等边三角形(4年2考)
概念 三条边都相等的三角形叫作等边三角形
性质 (1)三边相等；
(2)三个角都相等且每一个角都等于 ；
(3)是轴对称图形，有 条对称轴
60°
3
判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
面积 S=ah= 　a2(其中 a为三角形边长，h为任意边上的高)
中心 等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的
中心
60°
概念 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
性质 (1)两锐角之和等于________；
(2)斜边上的中线等于 ；
(3)30°角所对的直角边等于 ；
(4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2
＋b2=c2；
(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角
边所对的角等于30°(应用时需先证明)
考点
2
直角三角形的性质及判定(4年6考)★重点
1. 直角三角形(4年4考)
90°
斜边的一半
斜边的一半
判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；
(3)勾股定理逆定理：若a2 ＋b2=c2，则以a，b，c为三边的三角形是直
角三角形；
(4)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(应用时需
先证明)
面积 S=ab=______ __(其中a，b是两条直角边，c为斜边，h为斜边上的高)
ch
2. 等腰直角三角形(4年2考)
性质 (1)具有直角三角形的所有性质；
(2)两直角边 ；
(3)两锐角相等且均等于
判定 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形；
(2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形；
(4)两边相等的直角三角形是等腰直角三角形
面积 公式 S=ch=a2=_________________ ___________(a为直角边长，c为斜边长，h为斜边
上的高)
相等
45°
c2(答案不唯一)
安徽真题对点练
等腰三角形的判定与性质(4年4考)
命题点
1
1. [沪科八上例题改编]在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，则∠B的度
数是(　C　)
A. 108° B. 72°
C. 36° D. 24°
C
2. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，若
BD=5，则BC=(　A　)
A. 10 B. 12
C. 5 D. 6
A
3. 若一个等边三角形的周长是6，则该等边三角形的面积是(　B　)
A. 6 B.
C. 2 D. 3
【解析】如解图，∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，
∴D为BC的中点，
∵等边三角形周长为6，
∴AB=BC=2，∴BD=1，
∴AD==，∴S△ABC=BC AD=×2×=.
B
解图
4. (2025安徽6题)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点
为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE=，则AC的长是(　B　)
A. 4 B. 6
C. 2 D. 3
B
证明：∵AB=AC，E是BC的中点，
∴∠B=∠C，AE⊥BC.
∵D是AC的中点，
∴DE=AD=CD，∴△ADE是等腰三角形，
∵∠BAC=120°，
∴∠EAD=∠BAE=60°，∴△ADE是等边三角形.
题后反思
若E是BC中点，连接AE. 你能证明△ADE是等边三角形吗？
能.
5. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D是BC
边上一动点(不与点B，C重合)，当△ABD是等腰三角形时，∠BAD的度数
为 .
36°或72°
【解析】∵AB=AC，∴∠C=∠B=36°，当△ABD为等腰三角形时，
分三种情况讨论：①当AB=AD时，∠ADB=∠B=36°，即点D与点C重合，不符合题意；
②当AB=BD时，∠BAD=∠BDA==72°；
③当BD=AD时，∠BAD=∠B=36°.
综上所述，∠BAD的度数为36°或72°.
6. [沪科八上习题改编]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，
AD=4，△AED的周长为11，那么AB的长是 .
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD.
∵ED∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，∴C△AED=AE＋ED＋AD=AB＋AD=11，
∵AD=4，∴AB=7.
7
直角三角形的判定与性质(4年6考)
命题点
2
7. [人教八上例题改编]在△ABC中，∠A＋∠B=∠C，则△ABC的形状是
(　B　)
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 不确定
B
8. [人教八下习题改编]下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(　A　)
A. a=6，b=7，c=8 B. a=，b=1，c=
C. a=4，b=5，c= D. a∶b∶c=3∶4∶5
【解析】a2＋b2=62＋72=85，c2=64，a2＋b2≠c2，故A选项符合题意；
12＋()2=()2，故B选项不符合题意；
42＋52=()2，故C选项不符合题意；
设a，b，c分别为3x，4x，5x，(3x)2＋(4x)2=(5x)2，故D选项不符合题意.
A
9. [沪科八上习题改编]如图，在△ABC中，AD和AE分别是边BC上的中线
和高，已知AD=3，AC=2，∠BAC=90°，则AE= .
【解析】∵AD=3，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴BC=2AD=6，
∵AC=2，∴AB===4，
∵AE⊥BC，
∴S△ABC==，∴=，解得AE=.

10. (2023安徽13题)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋
数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出一个完整的证
明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD
是锐角△ABC的高，则BD=(BC＋).当AB=7，BC=6，AC=5时，
CD= .
1
【解析】将AB=7，BC=6，AC=5代入公式中，
得BD=×(6＋)=5，
∴CD=BC－BD=6－5=1.
11. [北师七下习题改编]如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分
∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为 .
4
【解析】如解图，延长AD，BC交于点F，
∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，
∴AD=FD，
∵∠FAC＋∠AED=90°，∠CBE＋∠CEB=90°，∠AED=∠BEC，∴∠FAC=∠CBE，
又∵∠FCA=∠ECB=90°，AC=BC，
∴△AFC≌△BEC，∴AF=BE，∴BE=2AD=4，
∴S△ABE=AD BE=4.
解图
12. [北师九下习题改编]在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点Q在
直线BC上，且AQ=2，则线段BQ的长为 .
【解析】分两种情况：①如解图①，点Q在线段BC的延长线上，
∵∠ACB=90°，∴∠ACQ=180°－90°=90°，∵AC=1，AQ=2，
∴QC==，∵BC=1，∴BQ=QC＋BC=＋1；
＋1或－1
解图
解图
②如解图②，点Q在线段CB的延长线上，
∵∠ACB=90°，AC=1，AQ=2，∴QC==，
∵BC=1，∴BQ=QC－BC=－1.综上，线段BQ的长为＋1或－1.
13. [沪科八上习题改编]如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BC，AC边上
的高AD，BE交于点H，F，G分别是BH，AC的中点.连接DF，DG，FG，
求证：△DFG是等腰直角三角形.
证明：∵AD，BE分别是BC和AC边上的高，
∴AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠BDH=∠BEC=90°，
∴∠CAD＋∠C=∠CBE＋∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，∴BD=AD，
在△BDH与△ADC中，

∴△BDH≌△ADC(ASA)；
∴BH=AC，∠HBD=∠CAD，
∵F，G分别是BH和AC的中点，
∴DF=BF=BH，DG=AG=AC，
∴DF=DG，∠FBD=∠FDB，∠GAD=∠GDA，
∴∠FDB=∠GDA，
∵∠FDB＋∠FDH=90°，
∴∠GDA＋∠FDH=90°，即∠FDG=90°，
∴GD⊥DF，
∴△DFG是等腰直角三角形.
教材变式练重点
特殊三角形的相关计算(4年10考)
教材原题
例　沪科八上P136习题T1
已知：如图，D是△ABC的边BC上的一点，且AB=BD=AD=DC，求∠B，
∠C，∠BAC，∠CAD的度数.
解：∵AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠B=∠ADB=∠BAD=60°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠ADB=∠C＋∠CAD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠BAC=∠BAD＋∠CAD=90°.
1. 改变线段位置求线段长
(2024安徽7题)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，
且CD=AB，则BD的长是　(　B　)
A. － B. －
C. 2－2 D. 2－
B
变式题
【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E，
∵在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB=AC=2，
∴CE=BE=AE=AB=，
∵CD=AB=2，∠CED=90°，
∴在Rt△CED中，DE==，
∴BD=DE－BE=－.
解图
∟
E
题后反思
能计算出∠BCD的度数吗？
解：能.
如解图，过点C作CM⊥AB于点M，取CD边的中点E，连接ME，
∟
M
E
在Rt△CMD中，E为CD的中点，
∴CE=EM=ED=CD.
易知CM=AM=BM=AB，AB=CD，
∴CM=ME=CE，
∴△CME为等边三角形，
又∵∠MCB=45°，
∴∠MCE=60°.
∴∠BCD=15°.
∟
M
E
2. 增加垂直关系，求线段长
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点D在AB的延长线上，连接CD，且
CD=AB. 过B点作BE⊥CD于点E，若BE=1，求AD的长.
解：如解图，在CE上取一点F，使EF=ED，
F
∵BE⊥CD，
∴BF=BD，
由题后反思知，∠BCD=15°，
∵∠ABC=45°，
∴∠D=∠ABC－∠BCD=30°，
∴∠EFB=∠D=30°，
∴∠FBC=∠EFB－∠BCD=15°，
∴∠FCB=∠FBC，
∴FC=FB.
∵BE⊥CD，BE=1，
F
∴BF=BD=2，EF=ED=，
∴CF=BF=2，
∴AB=CD=CF＋EF＋ED=2＋2，
∴AD=AB＋BD=4＋2.
3. 增加线段AE中点F，求证线段数量关系
如图，在等边△ABC中，AE是△ABC边BC上的中线，点D在AB的延长线
上，且BD=BE，若F为AE中点，连接CD，CF，求证：CD=2CF.
证明：如解图，延长CF到点N，使得FN=CF，
N
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，AC=BC，
∴∠CBD=120°，
∵F为AE中点，
∴FE=FA，
在△CFE和△NFA中，

N
∴△CFE≌△NFA，
∴CE=AN，∠FCE=∠N，
∴CE∥AN，
∴∠CAN=180°－∠ACB=120°，
∴∠CBD=∠CAN，
∵AE是△ABC的中线，
∴CE=BE，
∵BE=BD，
∴CE=BD，
∴AN=BD，
在△CAN和△CBD中，
N

∴△CAN≌△CBD，
∴CD=CN，
∴CD=2CF.

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