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2025-2026学年河北省邯郸市九校联考高三上学期 11月期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 3 < 1}， = { |√ ≤ 1}，则( )
A. ∩ = { | < 0} B. ∪ =
C. ∪ = { | ≤ 1} D. ∩ =
2.设 ∈ ，若复数(1 + 2 )( )在复平面内对应的点位于实轴上，则 =( )
1 1
A. B. C. 2 D. 3
3 2
3.若(2 3
√
)6的展开式中 10的系数比 2的系数小300，则实数 =( )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2 2 1
4.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，左焦点为 .若△ 的面积 3
为4√ 2，则△ 的周长为( )
A. 5 + √ 13 B. 5 + √ 17 C. 7 + √ 13 D. 7 + √ 17
5.已知函数 ( ) = 2 + + 3，且 ( 2) < (2 + 3)，则实数 的取值范围是( )
A. ( 3,1) B. ( 1,3) C. ( 3, 1) D. (1,3)
6.已知圆 ： 2 + 2 2 + 2 = 0的圆心为 ，直线 与圆 交于 ， 两点，记∠ = ，若| | =
2√ 10
，则sin(2 + ) =( )
5 4
√ 10 √ 10 √ 2 √ 2
A. B. C. D.
10 10 10 10
7.一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸
一球，不放回，摸到红球就结束摸球， 表示摸球次数，则 的数学期望 ( ) =( )
7 8 9 10
A. B. C. D.
4 3 4 3
8.8、水平放置在地面上的正四棱台 1 1 1 1的容器的体积为 ，
9
两个底面边长分别为 和3 ，侧棱长为2 ，当容器中装入体积为 的水
16
时，水面与四条侧棱分别交于点 2， 2， 2， 2，如图，则平面 2 2与
平面 所成二面角的正弦值为( )
4 √ 10 2√ 13 3√ 13
A. B. C. D.
5 5 13 13
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为 1， 2，…，

( > 4, ∈ )，且这组数
据的平均数与中位数相等，则( )
A. 2， 3，…， 1的中位数等于 1， 2，…， 的中位数
B. 2， 3，…， 1的平均数等于 1， 2，…， 的平均数
C. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差
D. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差

10.已知函数 ( ) = tan(2 + )的最小正周期为 ，点( , 0)是曲线 = ( )的一个对称中心，则( )
3

A. = B. ( ) = √ 3
2

C. | |的最小值为 D. 当 0 = √ 3时， ( 0) = √ 3 6
11.已知函数 ( ) = 有小于0的极小值，其中 ， 都是实数，则( )
A. > 0 B. ( ) > 0
1
C. ( ) + > 0 D. ( )在(1,2)内有2个零点
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
√ 6
12.若0 < < ， = sin ，则sin =______．
6 2 2
2 2
13.已知 1， 2是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，点 在 上， 1 ⊥ 2，
√ 10
sin∠ 1 2 = ，则 的离心率为______． 10
2
14.在平行四边形 中，∠ = ， 是 的中点， 是 上靠近 的三等分点， 交 于点 ，若
3

4
= ，则 =______．
9
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

在△ 中，内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， = ．
+
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 是正方形， = 2， 1 = 4， ， 分别是 1 ， 1
的中点．
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(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)

已知数列{ }的前 项和为 ， +1
+2
= +1 ， 1 = 1， > 1时， > 1． +1
(1)求数列{ }的通项公式；
7
(2)若数列{ }是等差数列， 1 = 13， 4 = ，数列{ }的前 项和为 ，求 取得最大值时正整数 的27
值．
18.(本小题17分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 (2, 0)在 上，| | = 3．
(1)求 的方程；
(2)设 (2,0)，直线 过焦点 ，与 交于 ， 两点，直线 ， 分别交 于另两点 ， ．
①求△ 的面积的最小值；
②试判断直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 ， ∈ ， = 2.71828 是自然对数的底数．
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)讨论函数 = ( ) + 的零点的个数；
2 + 2
(3)若函数 ( )恰有两个极值点 1， 2，证明：0 < < 且
1 2 < ln ．
√ 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
√ 6
12.
3
√ 10
13.
2
2
14.2或
5
15.

(1)由 = ，得 2 + 2 2 = ，
+
2
+ 2 2 1
根据余弦定理有 = = = ，
2 2 2

因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3

(2)由(1)可知： = ，又 + + = ，
3
2
所以 = ，
3
2 1 √ 3
所以 = sin( ) = = sin( )，
3 2 2 3
2
因为 ∈ (0, )，
3

所以 ∈ ( , )，
3 3 3
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√ 3 √ 3
所以sin( ) ∈ ( , )，
3 2 2
√ 3 √ 3
因此 的取值范围为( , )．
2 2
16.
(1)证明：建立如图所示空间直角坐标系：
则 1(0,0,4)， (2,2,0)， (1,1,2)， 1(2,2,4)， (0,2,0)， (1,2,2)， (2,0,0)，
所以 = (0,1,0)，
易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
又 = 0，且 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)由(1)知： 1 = (0,2, 4)， 1 = (2,0, 4)，
设平面 1 1的一个法向量为 = ( , , )，
1 = 0 2 4 = 0则{ ，即{ ，
= 0 2 4 = 01
1
令 = 1，得 = 1， = ，
2
1
则 = (1,1, )，
2
设直线 与平面 1 所成的角为 ，
| | 1 2
所以 = |cos , | = =
| | | | 3
= ．
1× 3
2
17.
+1+2 (1) ∵ = +1， +1 = + +1， +1
+ ∴ +1
+2
= +1，
+1
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+ +2 1+ +2
∵ 1 =
1 2
1 = 1，∴ =
2 2 = 2 2 = 3， 1+1 1 2
+ +2 4+ +2
∴ = 2 3 3 3 32 1 + 2 = 4， = = = 9， 2+1 2 5 3 3
猜想 = 3
1，即{ }是首项是1，公比是3的等比数列，
1 3 3 1
验证：若 = 3 1 ，则 = = ， 1 3 2
+2 3 +1+3 2
左边为： +1 = × = 3， +1 2 3 +1
3
右边为： +1 =
1
= 3，
3
左右相等且满足 > 1时， > 1，故通项公式成立．
∴数列{ }的通项公式为： = 3
1
；
7
(2) ∵数列{ }是等差数列， 1 = 13，
4 1
4 = ， 1 = 1， 4 = 3 = 27，设公差为 ， 27
7
∴ 4 4 1 1 = × 27 1 × 13 = 3 = 6，解得 = 2， 27
∴ = 1 1 + ( 1) = 13 + ( 1) × ( 2) = 15 2 ，
15 2 15 2
∴ = = ， 1 3
∵ = 1 + 2 + 3 + + ， = 1 + ，
又∵ 3 1 ≥ 1 > 0， ∈ ，∴当1 ≤ ≤ 7时， > 0，当 ≥ 8时， < 0，
∴ 8 = 7 + 8，∵ 8 < 0，∴ 7 > 8，
∵ 7 = 6 + 7， 7 > 0，∴ 7 > 6，
∴ 7为 的最大值，即 取得最大值时正整数 为7．
18.

(1)抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的准线方程为 = ，
2

因为点 (2, 0)在 上且| | = 3，所以2 ( ) = 3，解得 = 2， 2
所以抛物线的方程为 2 = 4 ；
(2)①由(1)知 (1,0)，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线只有一个交点，不符合题意，
设直线 的方程为 = + 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
联立{ ，得 22 4 4 = 0， = 16
2 + 16 > 0，
= 4
因此 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，
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1 1
又 (2,0)，所以 2△ = | || | = × 1 × √ ( + ) 4 2 1 2 2 1 2 1 2
1
= √ 16 2 + 16 = 2√ 2 + 1，
2
故当 = 0时，△ 的面积最小，且最小值为2；
②由题意直线 也不与 轴重合，设 ( 3, 3)、 ( 4, 4)，
= + 2
设直线 的方程为 = + 2，联立{ 22 ，得 4 8 = 0， = 4
8 8
则 = 16 2 + 32 > 0，因此 1 + 3 = 4 ， 1 3 = 8，则 3 = ，同理可得 = 4 ， 1 2
3 4 3 4
所以 = = 2 23 4 3 4
4 4
4 4 1
= = = 1 2 =
+ 8 83 4 2( 1+ 2) 2
，
1 2
因此直线 的方程为 = 2 ( 3) + 3，
由对称性知，定点在 轴上，
2 8 1 8 16 16
令 = 0得， = 2 3 + 3 = 2 3 +
3 = 2 + ( )2 = +
4 21 4 1 1 1
4( 1+ 2) 16 = + = 4 + 4( 2
4 +4
2 + 2) = 4 + 4
1 2
2
= 4，
1 1 1 1 1
所以直线 过定点(4,0)．
19.
(1)当 = 1时， ( ) = 2 ， ′( ) = 2 1，
(0) = 1， ′(0) = 0，
故曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = 1．
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(2) = ( ) + = 2，
2
令 2 = 0，即 = ，

2 (2 )
设 ( ) = ，则 ′( ) = ，
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (0,2)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ (2,+∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
4
则极大值 (2) = 2，极小值 (0) = 0，
且由指数函数与幂函数增长速度可得，当 趋于 ∞时， ( )趋于+∞，
当 趋于+∞时， ( )趋于0，则作出 ( )图像如下：
则当 < 0时，没有零点；
当 = 0时，有1个零点；
4
当0 < < 2时，有3个零点；
4
当 = 时，有2个零点；
2
4
当 > 2时，有1个零点．
(3)证明： ′( ) = 2 1，要使 ( )由两个极值点，
则 ′( )至少有两个零点，
当 = 0时， ′( ) = 2 1只有1个零点，不符合题意；
2 +1
当 ≠ 0时， ′( ) = 2 1 = ( )，

2 +1
令 ( ) = ，

1 2
则 ′( ) =

，
1
当 ∈ ( ∞, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
2
1
当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
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1 2
则极大值 ( ) = ，
2 √
且由指数函数与幂函数增长速度可得，当 趋于 ∞时， ( )趋于 ∞，
当 趋于+∞时， ( )趋于0，则作出 ( )图像如下：
2
由图像可得，当且仅当0 < < 时， ( )与 = 有两个交点，
√
设其横坐标从左到右分别为 1， 2，则 ′( )有两个零点 1， 2，
且当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∈ ( 1, 2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∈ ( 2, +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
则 ( )极大值点为 1，极小值点为 2符合题意，
2 1+1 2 2+1 2( 2 由题意 = = = 1
) 2(
= 2
1) ，
1 2 2 1 1( 2 1 1)
2
令 = 2 1 > 0，则 = ， 1( 1)
2 2
则 1 = ， = 1 = ln ，
( 1) 1 ( 1)

1+ 2 2 2 2 2 = 1 + = ln + = ln = ln ， 2 2 ( 1) 2 ( 1)
( 2 2)
设 ( ) = 2 ，
则 ′( ) = + 2 ≥ 2√ 2 = 0，

则 ( )单调递增，则 ( ) > (0) = 0，
2

即 < 1 2 2 > 0，所以 2
，
( 2)
2 2
所以ln < ln ，
( 2 2)
1+ 即 2
2
< ln 成立．
2
第 9 页，共 9 页

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