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第十七章 因式分解
章末复习
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　1．举例说明因式分解与整式的乘法之间的关系．
　　2．因式分解的方法有哪几种？举例说明如何运用所学的方法分解因式．
3．分解因式时应注意什么？
　　例 1　用提公因式法将下列各式分解因式：
　 （1）4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；
　 （2）－a2b3c＋2ab2c3－ab2c；
　 （3）5x(x－2y)3－20y(2y－x)3．
考点一　运用提公因式法分解因式
　　解：（1）4x2y3＋8x2y2z－12xy2z＝4xy2 (xy＋2xz－3z)；
　 （2）－a2b3c＋2ab2c3－ab2c＝－ab2c (ab－2c2＋1)；
　 （3）5x(x－2y)3－20y(2y－x)3
　　　＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3
＝5(x－2y)3(x＋4y)．
　　1．利用因式分解简化运算：
　 （1）2 021＋2 0212－2 021×2 022；
　 （2）56.2×1 999－462×199.9．
　　解：（1）2 021＋2 0212－2 021×2 022
　 ＝2 021×(1＋2 021－2 022)＝0；
　 （2）56.2×1 999－462×199.9
＝562×199.9－462×199.9
＝199.9×(562－462)
＝19 990.
考点一　运用提公因式法分解因式
运用提公因式法分解因式的技巧
　 （1）如果多项式的第一项系数为负，那么一般提出“－”号，同时多项式中的各项都变号；　
（2）如果多项式中某些项的系数为小数（或分数），那么一般要提取小数（或分数），使多项式的各项的系数为整数；
　 （3）当一个式子的公因式是多项式时，可以把该多项式看作一个整体，提取公因式时比较简便；
（4）可以用整式的乘法验证因式分解的结果是否正确．
考点一　运用提公因式法分解因式
　　例 2　分解因式：
　 （1）x4－16y4；
　（2）a2(a－b)＋b2(b－a)．　
考点二　运用平方差公式分解因式
　　解：（1） x4－16y4
＝(x2)2－(4y2)2
＝(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)；
　　 （2） a2(a－b)＋b2(b－a)
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b) (a2－b2)
＝(a－b)(a－b)(a＋b)
＝(a－b)2(a＋b)．
　　2．设a＝192×918，b＝8882302，c＝1 05327472，试比较a，b，c 的大小．
　　解： a＝192×918＝361×918，
　 b＝8882302＝(888－30)×(888＋30)＝858×918，
c＝1 05327472＝(1 053＋747)×(1 053－747)＝1 800×306＝
600×918．
因为 361＜600＜858，
所以 a＜c＜b．
考点二　运用平方差公式分解因式
　　3．计算： ．
　　解：
　
考点二　运用平方差公式分解因式
．
利用平方差公式分解因式、简化运算　　
对于这种连续运算的问题，直接计算不太实际，应利用几组比较小的数进行分析、对比，找出运算的规律，这样可以简化计算过程．例如，本题就是利用平方差公式起到简化运算的作用的．
考点二　运用平方差公式分解因式
考点三　运用完全平方公式分解因式
　　解：（1） (x－y)2－8(x2－y2)＋16(x＋y)2
　　　　　　 ＝(x－y)2－8(x－y)(x＋y)＋16(x＋y)2
　　　 ＝［(x－y)－4(x＋y)］2
＝(x－y－4x－4y)2
＝(3x＋5y)2；
　　例 3　分解因式：
　 （1）(x－y)2－8(x2－y2)＋16(x＋y)2；
　（2）x3(x＋y)－2x2(x＋y)2＋x(x＋y)3．
　　解：（2） x3(x＋y)－2x2(x＋y)2＋x(x＋y)3
　　　　　　＝x(x＋y)［x2－2x(x＋y)＋(x＋y)2］
　　　 ＝x(x＋y)［x－(x＋y)］2
＝xy2(x＋y)．
考点三　运用完全平方公式分解因式
　　例 3　分解因式：
　 （1）(x－y)2－8(x2－y2)＋16(x＋y)2；
　（2）x3(x＋y)－2x2(x＋y)2＋x(x＋y)3．
　　4．利用因式分解简化运算：
　 （1） 2042＋204×192＋962；
　 （2） 40×3.52＋80×3.5×1.5＋40×1.52．
　　解：（1）2042＋204×192＋962
　　　　　 ＝2042＋2×204×96＋962
＝(204＋96)2
　　 ＝3002
＝90 000；
考点三　运用完全平方公式分解因式
　　解：（2）40×3.52＋80×3.5×1.5＋40×1.52
＝40×(3.52＋2×3.5×1.5＋1.52)
＝40×(3.5＋1.5)2
　　 ＝40×25
＝1 000． 　　　　　　　　
考点三　运用完全平方公式分解因式
　　4．利用因式分解简化运算：
　 （1） 2042＋204×192＋962；
　 （2） 40×3.52＋80×3.5×1.5＋40×1.52．
　　5．若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，求这个三角形的形状．
　　解：因为 a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，
　　两边都乘 2，得 2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，
所以(a2－2ab＋b2) ＋(b2－2bc＋c2) ＋(c2－2ac＋a2)＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2 ＋(c－a)2＝0．
　　根据非负数的性质，得(a－b)2＝0，(b－c)2＝0，(c－a)2＝0，
　　所以 a＝b＝c，所以这个三角形是等边三角形．
考点三　运用完全平方公式分解因式
　　利用完全平方公式分解因式，判断三角形的形状
　　当题目中有平方项且要求判断三角形的形状时，往往需要先借助公式法将式子分组进行因式分解，再应用非负数的性质求出三边长或三边之间的关系，从而得到三角形的形状．
考点三　运用完全平方公式分解因式
ax＋ay＋az＝a(x＋y＋z)
完全平方公式
x2±2xy＋y2＝(x±y)2
平方差公式
x2－y2＝(x＋y) (x－y)
提公因式法
公式法
因式分解

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