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章末复习
第十六章 整式的乘法
请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
1．举例说明同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算．
2．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或除以）单项式．多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
3．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？
例1 计算 a·a5－(2a3)2 的结果为（　　）．
A．a6－2a5 B．－a6
C．a6－4a5 D．－3a6
分析：先分别计算同底数幂的乘法和积的乘方，再计算减法．
考点一 幂的运算
D
解析：a·a5－(2a3)2
＝a6－4a6
＝－3a6．
1．幂的运算法则：
（1）am·an＝am＋n（m，n都是正整数）；
（2）(am)n＝amn（m，n都是正整数）；
（4）am÷an＝am－n（a≠0，m，n都是正整数，m＞n）．
（3）(ab)n＝anbn（n是正整数）；
2．使用法则时，要明确法则和具体内容．
考点一 幂的运算
进行幂的运算的“三点注意事项”
（1）在进行同底数幂的乘法运算时，注意指数是相加而不是相乘．
（2）在进行幂的乘方或积的乘方运算时，当底数是负数、指数是奇数时，注意符号为负．
（3）在进行加法运算时，不是同类项的不能合并．
考点一 幂的运算
1．下列计算不正确的是（　　）．
A．2a3÷a＝2a2 B．(－a3)2＝a6
C．a4·a3＝a7 D．a2·a4＝a8
D
考点一 幂的运算
2．计算：0.252 023×(－4)2 023－8100×0.5301．
解：原式＝[0.25 ×(－4)]2 023－(23)100 ×0.5300×0.5
＝－1－(2×0.5)300×0.5
＝－1－0.5
＝－1.5．
考点一 幂的运算
3． （1）已知 am＝4，an＝8，求 a3m－2n 的值；
（2）已知 4m＋3×8m＋1÷24m＋7＝16，求 m 的值．
解：（1）∵am＝4，an＝8，
∴a3m＝43＝64，a2n＝82＝64，
∴a3m－2n＝a3m÷a2n＝64÷64＝1；
（2）由题意得 22(m＋3)×23(m＋1)÷24m＋7＝24，
∴2(m＋3)＋3(m＋1)－(4m＋7)＝4，
解得 m＝2．
考点一 幂的运算
例2 先化简，再求值：(a＋b)(a－b)－b(a－b)，其中 a＝－2，b＝1．
解：(a＋b)(a－b)－b(a－b)
＝a2－b2－ab＋b2
＝a2－ab．
当a＝－2，b＝1时，原式＝(－2)2－(－2)×1＝6．
考点二 整式的运算
分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，合并得到最简结果，再把 a 和 b 的值代入计算即可．
整式的运算包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式以及多项式除以单项式，其中单项式乘单项式是整式的运算的基础，必须熟练掌握它的运算法则．整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的．
考点二 整式的运算
C
4．若(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，则 m＋n 的值为（　　）．
A．－5 B．－2 C．－7 D．3
解析：∵(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，
∴x2＋(n＋3)x＋3n＝x2＋mx－15，
∴ 解得
∴m＋n＝－7．
故选C．
考点二 整式的运算
5．计算：
（1）(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)；
（2）x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；
（3）(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；
解：（1）原式＝－12x7y9；
（2）原式＝－x3＋6x；
（3）原式＝2a3b2＋10a3b3；
考点二 整式的运算
5．计算：
（4）(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；
（5）[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷(x2y)．
解：（4）原式＝4x2＋17xy－10y2；
（5）原式＝2xy－2．
考点二 整式的运算
　　6．如图，现有一块长为（3a＋b）m、
宽为（a＋2b）m的长方形地块，规划将
阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长
为 a m 的正方形．
　　（1）求绿化的面积（用含 a，b 的式子表示）；
解：（1）长方形的面积＝(3a＋b)(a＋2b)＝(3a2＋7ab＋2b2)m2，
预留部分的面积＝a2 m2，
∴绿化的面积＝3a2＋7ab＋2b2－a2＝(2a2＋7ab＋2b2)m2 ．
考点二 整式的运算
（3a＋b）m
（a＋2b）m
a m
　　6．如图，现有一块长为（3a＋b）m、
宽为（a＋2b）m的长方形地块，规划将
阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长
为 a m 的正方形．
　　（2）若 a＝3，b＝1，绿化成本为 50 元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
解：（2）当a＝3，b＝1时，
绿化的面积＝2×9＋7×3×1＋2＝41（m2），41×50＝2 050（元），
∴完成绿化共需要2 050元．
考点二 整式的运算
（3a＋b）m
（a＋2b）m
a m
例3 先化简，再求值：
（1）(x－2y)(x＋2y)－(x－2y)2，其中 x＝3，y＝－1；
解：（1）(x－2y)(x＋2y)－(x－2y)2
＝x2－4y2－(x2－4xy＋4y2)
＝x2－4y2－x2＋4xy－4y2
＝4xy－8y2．
当 x＝3，y＝－1 时，
原式＝4×3×(－1)－8×(－1)2＝－20．
考点三 乘法公式
例3 先化简，再求值：
（2）(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m2＋m－2＝0．
解：（2）(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)
＝4m2－1－(m2－2m＋1)＋(8m3)÷(－8m)
＝4m2－1－m2＋2m－1－m2
＝2m2＋2m－2＝2(m2＋m)－2．
∵m2＋m－2＝0，∴m2＋m＝2．
当m2＋m＝2时，原式＝2×2－2＝2．
考点三 乘法公式
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度．
考点三 乘法公式
7． 用简便方法计算：
（1）2 0252－2 024×2 026；（2）19.92＋19.9×0.2＋0.12．
解：（1）2 0252－2 024×2 026
＝2 0252－(2 025－1)×(2 025＋1)
＝2 0252－2 0252＋1
＝1；
（2）19.92＋19.9×0.2＋0.12
＝(19.9＋0.1)2
＝202
＝400．
考点三 乘法公式
8．（1）已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求 xy 和 x2＋y2 的值；
（2）若 a2＋b2＝15，(a－b)2＝3，求 ab 和(a＋b)2 的值．
解：（1）∵(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，
∴x2＋2xy＋y2＝25， ①
x2－2xy＋y2＝9． ②
①＋②，得2(x2＋y2)＝34，
∴x2＋y2＝17，
∴17＋2xy＝25，
∴xy＝4．
考点三 乘法公式
8．（1）已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求 xy 和 x2＋y2 的值；
（2）若 a2＋b2＝15，(a－b)2＝3，求 ab 和(a＋b)2 的值．
解：（2）∵(a－b)2＝3，∴a2－2ab＋b2＝3．
∵a2＋b2＝15，∴15－2ab＝3，
∴2ab＝12，∴ab＝6．
∴a2＋2ab＋b2＝15＋12，
∴(a＋b)2＝27．
考点三 乘法公式
整式的除法
整式的乘法
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
乘法公式
特殊形式
互逆运算
幂的运算性质
am·an＝am＋n
(am)n＝amn
(ab)n＝anbn
am÷an＝am－n

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