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第15章 轴对称
章末复习
　　1．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？
　　2．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
　　3．对于成轴对称的两个图形，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　4．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于 x 轴或 y 轴对称，那么对称点的坐标有什么关系？请举例说明．
　　5．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
考点一　轴对称图形的识别
　　例1　下列各图中，不是轴对称图形的是（　　）．
　　A． B．
　　C． D．
A
考点一　轴对称图形的识别
　　根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么就能确定这个图形是轴对称图形；否则，这个图形就不是轴对称图形．
判断一个图形是不是轴对称图形的方法
考点二　轴对称的性质
　　例2　如图，△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称，已知 AB＝15，DE＝5，∠D＝70°．求∠B 的度数及 BC，AD 的长度．
　　解：∵△ABC 和△ADE 关于直线 l 对称，
　　∴ AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D．
　　又∵AB＝15，DE＝5，∠D＝70°，
　　 ∴∠B＝70°，BC＝5，AD＝15．
A
B
C
D
E
l
考点二　轴对称的性质
　　成轴对称的两个图形是全等图形，
它们的对应边相等，对应角相等．
考点二　轴对称的性质
　　1．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，将点 D 分别以 AB，AC 所在直线为对称轴，画出对称点 E，F，并连接 AE，AF．根据图中标示的角度，∠EAF 的度数为（　　）．
　　A．113° 　　　B．124°
　　C．129° 　　　D．134°
D
A
B
C
D
E
F
62°
51°
　　解析：连接AD，如图．
考点二　轴对称的性质
　　∵点 D 分别以 AB，AC 为对称轴，画出对称点E，F，
　　∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD．
　　∵∠B＝62°，∠C＝51°，
　　∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC
＝180°－62°－51°
＝67°，
　　∴∠EAF＝2∠BAC＝134°．
A
B
C
D
E
F
62°
51°
A
B
C
D
E
F
考点三　线段的垂直平分线的性质与判定
　　例3　如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 上一点，BD＝BC，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E，CD 交 BE 于点 F．
求证：BE 垂直平分 CD．
　　证明：∵BD＝BC，
　　∴点 B 在线段 CD 的垂直平分线上．
　　又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
　　∴∠EDB＝∠ACB＝90°．
A
B
C
D
E
F
考点三　线段的垂直平分线的性质与判定
　　在 Rt△EBC 与 Rt△EBD 中
　　∴Rt△EBC ≌ Rt△EBD（HL）．
　　∴EC＝DE．
　　∴点 E 在线段 CD 的垂直平分线上．
　　∵两点确定一条直线，
　　∴BE 垂直平分 CD．
考点三　线段的垂直平分线的性质与判定
　　（1）存在两点：直线上有两个不同的点．
　　（2）两对距离相等：两点到线段两个端点的距离分别相等．根据两点确定一条直线，推导出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线．
证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件
考点三　线段的垂直平分线的性质与判定
　　2．如图，△ABC 中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE，FG 分别为 AB，AC 的垂直平分线，E，G 分别为垂足．
　　（1）求∠DAF 的度数；
　　（2）若△DAF 的周长为10，求 BC 的长．
E
A
B
C
D
F
G
E
A
B
C
D
F
G
考点三　线段的垂直平分线的性质与判定
　　解：（1）∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB
＝180°－30°－50°＝100°．
　　∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，
　　∴∠DAB＝∠ABC＝30°.
　　∵FG是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，
　　∴∠FAC＝∠ACB＝50°.
　　∴∠DAF＝∠BAC－(∠DAB＋∠FAC)＝20°.
考点三　线段的垂直平分线的性质与判定
E
A
B
C
D
F
G
　　解：（2）∵△DAF的周长为10，
　　∴AD＋DF＋FA＝10 ．
　　∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋FA＝10．
考点四　轴对称的相关作图
　　例4　如图，作已知图形关于直线 l 对称的图形．
l
l
D′
考点四　轴对称的相关作图
　　例4　如图，作已知图形关于直线 l 对称的图形．
l
A′
B′
C′
　　作法：（1）如图，取点 A，B，C，D，O，分别作出点 A，B，C，D关于直线 l 的对称点 A′，B′，C′，D′；
　　（2）顺次连接 OA′，A′B′，B′O，OD′，OC′，C′D′，即可得原图形关于直线 l 对称的图形．
A
B
C
D
O
A
B
C
考点四　轴对称的相关作图
　　例4　如图，作已知图形关于直线 l 对称的图形．
（2）连接A′B′，B′C′，C′A′，△A′B′C′即为所求．
　　作法：（1）如图，取点 A，B，C，分别作出点 A，B，C关于直线 l 的对称点 A′，B′，C′；
A′
B′
C′
l
考点四　轴对称的相关作图
　　同一个图形，因对称轴不同会得到不同的对称图形，所以画图时要先确定对称轴，再根据对称轴画出对称图形．
画轴对称图形，对称轴位置很关键
考点五　关于坐标轴对称的点的坐标特征
　　例5　已知点 A（a＋2，b－1）与 B（b＋3，a－2）关于 x 轴对称，求点 P（a，b）的坐标．
　　解：∵点 A（a＋2，b－1）与 B（b＋3，a－2）关于 x 轴对称，
　　∴a＋2＝b＋3，b－1＝－(a－2)．
　　解得 a＝2，b＝1．
　　∴点 P 的坐标为（2，1）.
考点五　关于坐标轴对称的点的坐标特征
关于坐标轴对称的点的坐标特征
　　（1）关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
　　（2）关于 y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同．
考点六　等腰三角形
　　例6　如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上一点，DE∥AB，交 AC 于点 E，连接 DE，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F．
求证：点 F 为线段 CD 的中点．
E
A
B
C
D
F
　　证明：∵AB＝AC，
　　∴∠B＝∠C（等边对等角）．
　　∵DE∥AB，
　　∴∠EDC＝∠B．
E
A
B
C
D
F
　　∴∠EDC＝∠C ．
　　∴ED＝EC（等角对等边）．
　　∵EF⊥BC，
　　∴点 F 为线段 CD 的中点（三线合一）．
考点六　等腰三角形
　　性质1：等边对等角，它是证明两角相等的常用方法．
　　性质2：三线合一，它可以证明两条线段相等，两个角相等，还可以证明两条线段之间的垂直关系．
等腰三角形性质的应用
考点六　等腰三角形
　　3．如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是BC 延长线上的一点，且 CE＝CD，DM⊥BC，垂足为 M，求证：点 M 是 BE 的中点．
D
A
B
E
C
M
　　证明：如图，连接 BD．
考点六　等腰三角形
　　∴∠DBC＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°，∠ACB＝60°．
　　∵在等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，
D
C
M
　　∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E．
　　∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，
　　∴∠E＝30°．
　　∴∠DBC＝∠E＝30°．
　　∴BD＝ED，△BDE 为等腰三角形．
　　又∵DM⊥BC，
　　∴点 M 是 BE 的中点．
考点六　等腰三角形
A
B
E
考点七　最短路径问题
　　例7　如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，AD＝5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF＋EF 的最小值为__________．
B
E
D
A
C
F
B
E
D
F
　　例7　如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，AD＝5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF＋EF 的最小值为__________．
B
E
D
A
C
F
　　解析：∵点 B 和点 C 关于直线 AD 对称，
　　∴BF＝CF，
　　若 BF＋EF 最小，只需 CF＋EF 最小．
　　由两点之间，线段最短可知：
　　线段 CE 的长即为 BF＋EF 的最小值．
考点七　最短路径问题
B
E
D
A
C
F
　　∵点D，E是等边△ABC中BC，AB的中点，
　　∴△ADB≌△CEA．
　　∴CE＝AD＝5．
　　即 BF＋EF 的最小值为5．
　　例7　如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，AD＝5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF＋EF 的最小值为__________．
考点七　最短路径问题
5
　　（1）如果两点在直线的异侧，那么直接连接两点交直线于一点，该点就是要求的点；
　　（2）如果两点在直线的同侧，那么先作一点关于直线的对称点，再连接对称点和另一点交直线于一点，该点就是要求的点．
“一线＋两点”型最短距离求解方法
考点七　最短路径问题
M
N
A
O
A″
A′
　　例8　如图，点 A 是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各求作一点 B，C，组成 △ABC，使 △ABC 周长最小．
　　作法：（1）分别作点 A 关于角两边的对称点 A′，A″；
　　（2）连接 A′A″与角的两边分别交于点 B，点 C，连接 AB，AC得到的△ABC 周长最小．
考点七　最短路径问题
B
C
　　（1）分别作这点关于两线的对称点；
　　（2）连接两对称点交两线于两点，交点即为所求．
求“两线＋一点”型最短距离中的点
考点七　最短路径问题
作轴对称图形的对称轴
轴对称
等腰三角形
画轴对称图形
关于坐标轴对称的点的坐标关系
生活中的轴对称
等边三角形

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