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《因数和倍数》知识清单
一、 本单元主要知识点
因数和倍数的定义
在像 8÷2=4 这样的算式中，我们就可以说，8 是 2 的倍数，2 是 8 的因数。因数和倍数是相互依存的，既不能说谁是倍数，也不能说谁是因数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
2、3、5 的倍数特征
个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数，叫做偶数，不是 2 的倍数的数就叫做
奇数。
一个数各个数位数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。个位上是 0、5 的数是 5 的倍数。
能同时被2，3，5整除的最小的两位数是30，最大的两位数是90；最小的三位数是120，最大的三位数是990。
奇数和偶数的结合规律：
1.奇数和偶数的加减：
奇数+偶数=奇数
奇数+奇数=偶数
偶数+偶数=偶数
（同类为偶，异类为奇）
2.奇数和偶数的乘法：
奇数×奇数=奇数
奇数×偶数=偶数
偶数×偶数=偶数
（有偶为偶，无偶为奇）
质数与合数
一个数只有 1 和它本身两个因数，这个数叫作质数（也叫作素数）。比如：2、3、5、
7、11。最小的质数是 2。
一个数除了 1 和它本身还有别的因数，这个数叫作合数。比如：4、10、12、24。最小的合数是 4。
1 既不是质数也不是合数。
除了2以外，所有的质数都是奇数，但不是所有的奇数都是质数。2是唯一的偶质数。
50 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。
公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最
大公因数。32 和 24 的最大公因数是 8，记作：（32，24）=8。
公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最
小公倍数。4 和 6 的最小公倍数是 12，记作：[4,6]=12。
互质的两个数最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积；存在倍数关系的两个数最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数。
求最大公因数和最小公倍数的方法有列举法、短除法、扩倍法 两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
二、常见题型
考查因数和倍数
例：6 的最大因数和最小倍数的乘积是多少？
解析：一个数的最大因数和最小倍数都是数本身，所以乘积是 6×6=36。
考查 2、3、5 的倍数特征
例：要使四位数 21□5 是 3 的倍数，□中可以填哪些数？
解析：3 的倍数的各个数位之和是 3 的倍数，2+1+5=8，因为 8+1=9，8+4=12，8+7=15
都是 3 的倍数，所以□中可以填 1、4、7。
考查最大公因数和最小公倍数
例 1：a 是 b 的 3 倍（a、b 是非零自然数），a 和 b 的最小公倍数是多少？
解析：a 和 b 成倍数关系，最小公倍数是较大的那个数 a。
例 2：A=2×3×5，B=2×2×3，A 和 B 的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？解析：最大公因数是找两个数共同的质因数的乘积。最小公倍数，是找两个数的因
数中，所有质因数的最多个数的乘积。所以最大公因数是 2×3=6，最小公倍数是 2×2
×3×5=60。也可以按照 A=30，B=12 来列举、短除或扩倍。
例 3：两个数的最大公因数是 5，最小公倍数是 120，其中一个数是 15，另一个数是多少？
解析：两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。所以另一个数是 5×120÷15=40。
质数与合数
例：两个不同质数的积是 15，它们的和是多少？解析：15=3×5，所以和是 3＋5=8。

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