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第一单元 长方体和正方体
一、本单元主要知识点
长方体和正方体的特征
棱长和：12 条棱的长度之和
长方体：（长＋宽＋高）×4 正方体：棱长×12正方体和长方体的关系：正方体是特殊的长方体
表面积：6 个面的面积之和
长方体：（长×宽＋长×高+宽×高）×2 正方体：棱长×棱长×6面积单位（进率：100）：cm2、dm2 、m2 ........
体积：物体所占空间的大小
长方体：长×宽×高（V=abh） / 底面积×高（V=Sh）
正方体：棱长×棱长×棱长（V=a3）/ 底面积×高（V=Sh）体积单位(进率：1000)：cm3 dm3 m3
1 dm3=1000 cm3 1m3=1000 dm3 1m3=1000000 cm3
容积：容器所能容纳的物体的体积液体的体积通常用 L 和 mL 表示
1L=1 dm3 1mL=1 cm3 1L=1000 mL
正方体的展开图及相对面
二、常见题型
求棱长之和
例：一个礼盒（如下图），像这样用红色丝带捆扎起来，至少需要多长的丝带？（打结处需 30 厘米）（图中单位：厘米）
解析：捆扎的丝带可以看成是 4 个长，4 个宽，4 个高，即把它转化成长方体的棱长（85+60+35）×4=720 厘米，加上打结处，总共是 720+30=750 厘米。
求表面积
例 1：如图，用纸板做一个长方体纸盒，已经在纸板上画出了这个长方体纸盒两个相邻的面，做这样规格的长方体纸盒需要纸板（ ）平方厘米。（接头处忽略不计）
解析：至少由两个面就可以确定出一个长方体，这个长方体的长是 10 厘米，宽是 6
厘米，高是 4 厘米。根据表面积公式得出 （10×4+10×6＋4×6）×2=248 平方厘米。例 2：一间教室的长是 8 米，宽是 6 米，高是 4 米（其中门窗所占面积是 22.8 平方
米）。现在要粉刷教室的天花板和墙壁，每平方米用涂料 300 克。粉刷这间教室一共要用涂料多少千克？
解析：根据表面积公式，去掉地板和门窗，其余的面积是 8×6+8×4×2+6×4×2-
22.8=137.2 平方米，因为每平方米用涂料 300 克，所以总共需要 137.2×300=41160 克
=41.16 千克。
表面积变式题
例 1：有一块长方体的木料，长是 1.2 米，宽是 0.5 米，厚是 0.2 米，把它截成两
块长是 0.6 米的木料（如下图），表面积增加了多少平方米？
解析：截成两块，增加了 2 个面，一个面的面积是 0.5×0.2=0.01 平方米，故表面
积增加 0.01×2=0.02 平方米。
例 2：有三个大小相等的正方体，将它们拼成下图形状，表面积比原来减少了 16 平方厘米，求所拼长方体的表面积。
解析：法一：三个正方体拼在一起，减少了 4 个面，且每个面都是正方形，这 4 个
面的面积是 16 平方厘米，所以一个正方形的面积是 16÷4=4 平方厘米，故一个正方体
的棱长是 2 厘米。所拼长方体的长是 6 厘米，宽是 2 厘米，高是 2 厘米。根据表面积公式（6×2+6×2+2×2）×4=56 平方厘米。法二：所拼的长方体前面有 3 个正方形，左面 1 个正方形，上面 3 个正方形，所以总共是（3+1+3）×2=14 个正方形，每个正方形的
面积是 4 平方米，所以长方体的表面积是 14×4=56 平方厘米。
求体积
例 1：小刚用一块橡皮泥正好捏成了一个棱长为 4 厘米的正方体。
这个正方体的体积是多少立方厘米？
把它捏成一个长方体，长是 8 厘米，宽是 2 厘米，高是多少厘米？解析：（1）根据正方体的体积公式：4×4×4=64 立方厘米。
（2）捏成长方体后，体积不发生变化，所以长方体的体积也是 64 立方厘米，所以长方体的高=体积÷长÷宽=64÷8÷2=4 厘米。
例 2：一个长方体的容器内盛有一些水，从里面量容器长 15 厘米，宽 10 厘米，把一块石头放入水中后，情况如下所示。这块石头的体积是多少立方厘米？
解析：放入石头后，水面上升 5-1=4 厘米，所以石头的体积是 15×10×4=600 立方厘米。
体积变式题
例 1：有甲、乙两个长方体的水箱（如下图，图中单位：厘米）。把甲箱中装满水，再把水全部倒入乙箱。乙箱中水深多少厘米？
解析：甲水箱装满，可以装 18×5×30=2700 立方厘米，把水倒入乙箱，水的体积没有发生变化。故水深是水的体积÷底面积=2700÷（45×5）=12 厘米。
例 2：一块长方体木料长 18 分米，有两个相对的面是正方体，木工师傅将这块木料平均截成了三个小长方体，表面积增加了 36 平方分米。原来这块长方体木料的体积是多少立方分米？
解析：有两个面是正方形的长方体是特殊的长方体，截成的三个小长方体也是特殊的长方体。截成 3 个小长方体，增加了 4 个截面，且每个面都是正方形，一个正方
形的面积是 36÷4=9 平方分米。大长方体的长是 18 分米，根据体积=底面积×高得出
18×9=162 平方分米。
容积
例 1：在一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形的四角各剪去一个边长为 5 厘米的正方形，做成一个无盖纸盒。纸盒的容积是多少立方厘米？（材料厚度忽略不计）
解析：长方体的长是 40-5-5=30 厘米，宽是 20-5-5=10 厘米，高是 5 厘米，容积
为 30×10×5=1500 立方厘米。
例 2：下图中的长方体盒子里最多能装下（ ）个这样的小正方体？
解析：从第一层来看，一行可以放 3 个，可以放 4 行，所以一层可以放 3×4=12
个，从高来看，可以放 3 层，故能装下 12×3=36 个。
单位换算
解析：小化大，用除法，除进率，数变小。大化小，用乘法，乘进率，数变大。根据体积单位的进率得出：
7600 3 =7.6 3 270mL= 270 3
3.5 L=3500 mL 4500 mL= 4500 3 =4.5 3 =4.5 L
相对面及展开图
解析：展开图同一行的隔一个就是相对面，所以“游”和“快”相对，“戏”与 “乐”相对，剩下的“数”与“学”相对。正方体展开图三种情况：141 型，3 只小鸭腿不齐，23 变，故第一个不满足 141 型。
正方体表面涂色的规律
例：有一个棱长 10 分米的正方体，它的六个面都涂有黄色，把它切成棱长 1 分米的小正方体，3 面，2 面，1 面涂黄色和没有涂黄色的小正方体。各有多少个？
解析：3 面涂色的在顶点处，故有 8 个；2 面涂色在棱的中间位置，1 条棱上有 10- 2=8 个，故 12 条棱共有 12×8=86 个；3 面涂色在面的中间位置，一个面上有（10-2）
×（10-2）=64 个，故 6 个面共有 64×6=384 个；1 面涂色的在正方体的中间位置，呈现一个正方体的形状，正方体的棱长是 10-2=8 分米，所以共有 8×8×8=512 个。
立体图形的表面积和体积
例：右面的图形是由棱长 1 厘米的正方体堆成的，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？
解析：右图是由 7 个棱长 1 厘米的正方体堆成的，所以体积是 7 立方厘米。把右上角缺口处的三个面分别向前、向右、向上平移，会得到一个完整的大正方体，此时的表面积是 2×2×6=24 平方厘米。
例 2：用棱长为 1 厘米的正方体摆成如图所示的立体图形，它的表面积是（ ）厘米 2
解析：从前面来看有 6 个面，从后面来看有 6 个面，从左面来看有 4+1=5 个面，从
右面来看有 4+1=5 个面，从上面来看有 6 个面，从下面来看有 6 个面，所以总共有
6+6+5+5+6+6=34 个面，故表面积是 34 平方厘米。

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