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浙江省杭州市滨江区滨兰实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025九上·滨江月考）天气预报称，明天全市的降水概率为90%。下列说法中正确的是(　　)
A．明天全市将有90%的地方会下雨
B．明天全市将有90%的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大
D．明天全市一定会下雨
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解： 概率为90% 说明事件发生的可能性较大.
故答案为： C.
【分析】由概率的性质概率接近1，说明事件发生的可能性较大.
2．（2025九上·滨江月考）二次函数 的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为(　　)
A．(1， 3) B．(0， 1) C．(0， - 3) D．(2， 1)
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图像知函数与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，得对称轴为直线x=，
即顶点横坐标为2，故顶点坐标为(2，1).
故答案为： D.
【分析】图图形知二次函数与x轴的交点坐标，根据对称性知对称轴即顶点横坐标，由此得顶点坐标.
3．（2025九上·滨江月考）设⊙O的半径为4，圆心O的坐标为(0，0)，点P 的坐标是 (3，4)，则点P与圆的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上
C．点P 在⊙O内 D．点P在⊙O内或⊙O上
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=，故点P在 ⊙O 外.
故答案为： A.
【分析】计算点P到圆心的距离，即知点与圆的位置关系.
4．（2025九上·滨江月考）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm，则截面圆中弦AB的长为(　　) cm.
A． B．6 C．8 D．8.4
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD=5cm，CD=2cm
∴OC=OD-CD=5-2=3cm
∴AB=
故答案为：C .
【分析】易得OC=3cm，由垂径定理和勾股定理即得AB的长.
5．（2025九上·滨江月考） 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 若∠D=60°， 则∠B的度数是(　　)
A．115° B．120° C．125° D．130°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于 ⊙O
∴∠D+∠B=180°
∴∠B=180°-∠D=180°-60°=120°
故答案为：B .
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B的值.
6．（2025九上·滨江月考）平移二次函数的图象. 向右平移3个单位，向下平移2个单位。则平移后二次函数的解析式为(　　)
A．y= (x-2)2-3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数向右平移3个单位向下平移2个单位得.
故答案为： C.
【分析】根据二次函数的平移变换的规则"左加右减""上加下减"进行判断即可.
7．（2025九上·滨江月考）如图，在△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转后得到△ACE，此时点 C 恰好落在 BD 边上.若∠E=24°，则∠BAC=（　　）
A．24° B．48° C．66° D．72°
【答案】B
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∠BAD=90°，
得AC= AB， ∠D=∠E =24°，
得∠ACB =∠B=90°-∠D=66°，
得∠BAC= 180°-2×66°= 48°.
故答案为：B.
【分析】由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∠BAD=90°， 得AC = AB， ∠D =∠E = 24°， 得∠ACB=66°， 得∠BAC的度数.
8．（2025九上·滨江月考）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值2，有最小值－2.5 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值－2.5 D．有最大值2，无最小值
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）
观察图像可知：当x=1时，y有最大值为2
当x=4时，y有最小值为-2.5
故答案为：A
【分析】直接利用二次函数图象，就可得出函数的最值。
9．（2025九上·滨江月考）已知二次函数 的图象如图所示，有下面2个结论：①abc>0；②a+b≥m(ma+b) ，m是任意实数；下列说法正确的是 (　　)
A．①②都正确 B．①②都不正确
C．①正确②错误 D．①错误②正确
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由函数图象知，抛物线开口向下，故a<0；对称轴在y轴右侧，故b>0；
与y轴的交点在正半轴，故c>0，故abc<0，故①正确；
抛物线的对称轴为直线x=1，即当x=1时，y取最大值a+b+c，
当x=m时，y=am2+bm+c，
a+b+c≥am2+bm+c，即有a+b≥am2+bm
故a+b≥m(ma+b)，故②正确；
故答案为： A.
【分析】由开口方向、对称轴、与y轴的交点分别判断a、b、c的符号，即可判断；由x=1时ymax=a+b+c，当x=m时有a+b+c≥am2+bm+c即得a+b≥m(ma+b).
10．（2025九上·滨江月考）已知抛物线 (c为常数) 经过点(p， m)， (q， m)， (-4， c)， 当2≤q-p<10时，m的取值范围是(　　)
A．c-21≤mC．c-12【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 抛物线经过点(-4，c)得-16-4b+c=c，b=-4，故抛物线解析式为；
抛物线的对称轴为直线x=，当x>-2时，y随x的增大而减小，当x<-2时，y随x的增大而增大；
又点(p， m)， (q， m)，纵坐标相同在抛物线上，故，即p+q=-4，得p=-4-q；
由2≤q-p<10得 2≤q-(-4-q)<10，即有-1≤q<3
当-1≤q<3时，q=-1时，y取最大值-1+4+c=3+c，q=3时，y取最小值-21+c
故 c-21故答案为：D .
【分析】将点(-4，c)代入抛物线解析式得b的值，得对称轴，同时(p， m)， (q， m)，纵坐标相同得即有p=-4-q代入2≤q-p<10得-1≤q<3，可得m的最大值与最小值，即得其范围.
11．（2025九上·滨江月考）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
12．（2025九上·滨江月考）已知二次函数 当x≤2时，y随x的增大而减小 则m的范围是 　 　
【答案】m≤4
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=，抛物线开口向上，当x<时，y随x的增大而减小，故≤2，得m≤4.
故答案为： m≤4.
【分析】由二次函数对称轴为直线x=，当≤2时满足题意，即得 m≤4.
13．（2025九上·滨江月考） 2025年农业主导品种主推技术发布，浙江的水稻品种“浙稻21号”.为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：
种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500
发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435
发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974
根据上面数据，估计这种种子在该实验条件下发芽的概率是　 　.(结果精确到0.01)
【答案】0.97
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据知当种子数的增加，发芽频率慢慢接近0.97，故在实验条件下的概率为0.97.
故答案为： 0.97.
【分析】直接观察表格中种子数量不断增加时频率的频率趋势，即知概率.
14．（2025九上·滨江月考） 如图， 所在圆的半径R为30， 弓形的高h为15. 则的长=　 　.
【答案】20
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长及其计算
【解析】【解答】解：∵CD=CE-DE=30-15=15，
∴CD=CB，
∴∠CBD=30°
∴∠DCB=60°
∴∠ACB=2∠DCB=120°
∴=
故答案为： 20.
【分析】由CD为BC的一半可得特殊角∠DBC=30°，从而得到圆心角∠ACB=120°，即可求出弧长.
15．（2025九上·滨江月考）若二次函数 的图象经过 4 (-3， y1)， B(4， y2)， A(1， y3)，三点， 则y1， y2， y3的大小关系是 　 　.
【答案】y1>y2>y3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由(a>0)得开口向上，对称轴为直线x=1，当x>1时，y随x的增大而增大
点A(-3，y1)关于直线x=1对称的点为E(5，y1)
而5>4>1，故y1>y2>y3.
故答案为： y1>y2>y3.
【分析】由二次函数解析式知开口方向和对称轴，求出点A关于对称轴对称的点E，进而可比较y的大小 .
16．（2025九上·滨江月考） 如图， △ABC是⊙O的内接三角形， AC=5， CB=7， AB=8，则⊙O的半径=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示，
设AD=m，则BD=8-m，由勾股定理得CD2=，
即有25-m2=64-(8-m)2，解得m=，即有AC=2AD，故∠ACD=30°，∠CAD=60°
连接CO并延长交 ⊙O 于点E，连接BE
∵CE为直径
∴∠CBE=90°
∵∠E=∠A=60°
∴sin∠E=，即有
得CE=，故半径为.
故答案为： .
【分析】作CD⊥AB于点D，设AD=m，由勾股定理得25-m2=64-(8-m)2得m的值，即知∠A=60°，连接CO并延长交于点E，在△BCE中，in∠E=，BC=7，即得CE的长，即得半径.
17．（2025九上·滨江月考）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为A(1，4)，且边点B(0，3)。
（1）求二次函数的表达式；
（2）求出该函数与x轴的交点坐标
【答案】（1）解：由已知，函数的顶点为(1，4)，设二次函数表达式为
将(0，3)代入得a+4=3，解得a=-1，故二次函数的表达式为
（2）解：对二次函数，令y=0，则有
解得：x1=3，x2=-1，
故函数与x轴的交点坐标为(2，0)和(-1，0).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设顶点式，再将(0，3)代入可得a的值，即得抛物线表达式；
(2)令y=0得，求解方程即得函数与x轴的交点坐标.
18．（2025九上·滨江月考）滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐A，B，C三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘：
（1）求小明乘A 车间概率。
（2）请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大.
【答案】（1）解：小明可能乘A、B、C三辆车3种可能，故乘A车的概率P=；
（2）解：树状图如下所示
根据树状图知小明与小刚乘车情况共有9种，同车的情况有3种，故两人乘同车的概率为、P=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)小明乘车有3种可能，故乘A车的概率为；
(2)画出树状图，共有9种情况，同车的情况有3种，相比即得概率.
19．（2025九上·滨江月考）数学课上，老师提出：仅用用无刻度的直尺作图.
（1） 如图， 点A、B、C在⊙O上，
①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.
（2） 在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点 D. 画出 的平分线.
【答案】（1）解：①在劣弧上任取一点D，连接DA、DC，∠ADC与∠B互补；
②连接AO并延长交 ⊙O 于点E，连接EC，∠EAC+∠E=90°，∠E=∠B，得∠EAC+∠B=90°，∠EAC即为所求；
（2）解：延长OD交 ⊙O 于点F，连接AF即为∠BAC的平分线；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】(1)①根据圆内接四边形对角互补，在劣弧的任意找一点即满足题意；
②连接AO构造直径，同时构造与∠E互余的角度，∠B=∠E，即知∠EAC即为所求；
(2)延长OD知点F为弧的中点，连接AF即为∠BAC的平分线.
20．（2025九上·滨江月考） 如图， 在△ABC中， AB=AC， 以AB为直径的半圆分别交AC， BC边于点D， E，连接BD， AE.
（1）求证：点E是的中点；
（2） 当BC=12， 且AD： CD=1： 2时， 求⊙O的半径
【答案】（1）证明：∵AB为直径
∴∠AEB=90°
∴AE⊥BC
∵AB=AC
∴∠CAE=∠BAE
∴=
∴点E为的中点
（2）解：∵∠CAE=∠BAE，∠C=∠C
∴△CAE~△CBD
∴
设AD=m，则CD=2m，CE=6，
于是，解得m=2
AC=3m=6
AB=AC=6，故半径为3.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)由AB为直径知∠AEB=90°，又AB=AC，得AE平分∠BAC，即有∠CAE=∠BAE，由此得E为中点；
(2)易知△CAE~△CBD得，设AD=m，则CD=2m，得，求解方程即得m的值，即可得AC的长，AB=AC即可得半径.
21．（2025九上·滨江月考）学校为丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动(要求每人必须参加且只参加一类活动)：A.音乐社团；B.体育社团；C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团.该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 　 　名学生，补全条形统计图：
（2）扇形统计图中圆心角α=　 　度；
（3）现从 “文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.
【答案】（1）200
（2）54°
（3）解：画出随机选取两名参加比赛的树状图如下所示：
选取两人的情况共有12种，甲乙同时选中的情况有2种，故甲乙选中的概率P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由统计图知B体育社团有50人，占总体的比例为25%，故总人数为50÷25%=200人；
(2)C美术社团的人数为200-30-50-70-20=30人，圆心角为
【分析】(1)根据统计图中B的数量和占总人数的比例，两者相除即为总人数；
(2)根据总人数求出C中人数，求出C所占比例，即可得对应的圆心角；
(3)借助树状图知总共有12种情况，甲乙选中的情况有2种相比即为概率.
22．（2025九上·滨江月考）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.
（1）试求出每日的销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间的函数关系式.
（2）当每瓶售价定为多少元时，每天销售的利润p(元)最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意，以12元为基准，则商品降价为12-x，销量y=400+40=400+80(12-x)，即y=-80x+1360；
（2）解：每件利润为x-9，故总利润P=(x-9)(-80x+1360)=-80x2+2080x-12240
当x=时，利润P取最大值，
将x=13代入得P=27040
即当定价为13元时，利润取最大值，最大值为27040元.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)以12元为基准可得降价为(12-x），由题意求出销量y的表达式；
(2)先求出单件利润为x-9，即可求出总利润P=-80x2+2080x-12240，由二次函数的性质知当x=13时利用取最大值，将x=13代入即可求出最大利润.
23．（2025九上·滨江月考）在平面直角坐标系中，设二次函数. (m是常数).
（1）若函数图象经过点(0，3)，求该函数图象的顶点坐标.
（2） 若点A(-1， y1)， B (-m+2， y2) 在该函数图象上， 且y1＜y2，求m的取值范围.
（3） 若函数图象经过点(-1， p)，(1， q)， 求证：pq≤12.
【答案】（1）解：将(0，3)代入得-m+2=3，解得m=-1，
于是二次函数的解析式为，
，y=1-2+3=2，故抛物线的顶点坐标为(1，2)
（2）解： 二次函数. 的开口向上，且对称轴为直线x=-m，
当-m>-1，即m<1时，如下图左所示，当y1即-m-(-1)<-m+2-(-m)，得m>-1，
故-1当-m<-1时，即m>1，如上右图，当y1-1即可，即m<3
故1综上所述，-1（3）解：将点(-1，p)和(1，q)代入函数得
整理得
故≤12
即pq≤12.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(0，3)代入函数得m=-1，即得解析式为，同时可得顶点坐标；
(2)求出对称轴为直线x=-m，点B在对称轴右侧，利用草图，分类讨论点A在左侧与右侧的情况，分别求出m的取值范围；
(3)分别将两点代入函数解析式得，得，即可证明结论.
24．（2025九上·滨江月考）如图1， 正方形ABCD 内接于⊙O， 点P 在劣弧AB上， 连接DP交AC于点Q.
（1） 如图1， 若P 是的中点， 求证： PC=PD；
（2） 如图2， 若QP=QO， 求 的值；
（3） 如图3， 连结 PA， PB， 探究PA， PB， PD之间等量关系.
【答案】（1）解：证明：∵ABCD为正方形
∴AD=BC
∴
∵P为的中点
∴
∴
∴
∴PC=PD
（2）解：连接PA，DO
∵∠DPA=∠DCA，∠AQP=∠DQC
∴△AQP~△DQC
∴
设半径为r，QO=x，则CQ=r+x，PQ=OQ=x，QA=r-x
由勾股定理得DQ2=
由此得，解得x=
（3）解：过点A作AG⊥AP交PD于点G，
∵ABCD为正方形
∴∠BAD=90°
∵∠BAG+∠DAG=90°，∠BAP+∠BAG=90°
∴∠DAG=∠BAP
又∵AB=AD，∠ABP=∠ADG
∴△ABP≌△ADG(ASA)
∴DG=PB，AG=AP
∴PG=PA
∵PD=PG+DG
∴PD=PB+PA
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AB为正方形知，P为 的中点，即得可，即有PC=PD；
(2)连接PQ、OD，易证△AQP~△DQC，设OQ=x则由勾股定理得DQ2=，代入相似比例中可得，由此得x=，由此可得 的值；
(3)过点A作AG⊥AP交PD于点G，易证△ABP≌△ADG，得DG=PB，PG=PA，即得PD=PB+PA.
1 / 1浙江省杭州市滨江区滨兰实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025九上·滨江月考）天气预报称，明天全市的降水概率为90%。下列说法中正确的是(　　)
A．明天全市将有90%的地方会下雨
B．明天全市将有90%的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大
D．明天全市一定会下雨
2．（2025九上·滨江月考）二次函数 的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为(　　)
A．(1， 3) B．(0， 1) C．(0， - 3) D．(2， 1)
3．（2025九上·滨江月考）设⊙O的半径为4，圆心O的坐标为(0，0)，点P 的坐标是 (3，4)，则点P与圆的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上
C．点P 在⊙O内 D．点P在⊙O内或⊙O上
4．（2025九上·滨江月考）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm，则截面圆中弦AB的长为(　　) cm.
A． B．6 C．8 D．8.4
5．（2025九上·滨江月考） 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 若∠D=60°， 则∠B的度数是(　　)
A．115° B．120° C．125° D．130°
6．（2025九上·滨江月考）平移二次函数的图象. 向右平移3个单位，向下平移2个单位。则平移后二次函数的解析式为(　　)
A．y= (x-2)2-3 B． C． D．
7．（2025九上·滨江月考）如图，在△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转后得到△ACE，此时点 C 恰好落在 BD 边上.若∠E=24°，则∠BAC=（　　）
A．24° B．48° C．66° D．72°
8．（2025九上·滨江月考）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值2，有最小值－2.5 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值－2.5 D．有最大值2，无最小值
9．（2025九上·滨江月考）已知二次函数 的图象如图所示，有下面2个结论：①abc>0；②a+b≥m(ma+b) ，m是任意实数；下列说法正确的是 (　　)
A．①②都正确 B．①②都不正确
C．①正确②错误 D．①错误②正确
10．（2025九上·滨江月考）已知抛物线 (c为常数) 经过点(p， m)， (q， m)， (-4， c)， 当2≤q-p<10时，m的取值范围是(　　)
A．c-21≤mC．c-1211．（2025九上·滨江月考）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是　 　．
12．（2025九上·滨江月考）已知二次函数 当x≤2时，y随x的增大而减小 则m的范围是 　 　
13．（2025九上·滨江月考） 2025年农业主导品种主推技术发布，浙江的水稻品种“浙稻21号”.为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：
种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500
发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435
发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974
根据上面数据，估计这种种子在该实验条件下发芽的概率是　 　.(结果精确到0.01)
14．（2025九上·滨江月考） 如图， 所在圆的半径R为30， 弓形的高h为15. 则的长=　 　.
15．（2025九上·滨江月考）若二次函数 的图象经过 4 (-3， y1)， B(4， y2)， A(1， y3)，三点， 则y1， y2， y3的大小关系是 　 　.
16．（2025九上·滨江月考） 如图， △ABC是⊙O的内接三角形， AC=5， CB=7， AB=8，则⊙O的半径=　 　.
17．（2025九上·滨江月考）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为A(1，4)，且边点B(0，3)。
（1）求二次函数的表达式；
（2）求出该函数与x轴的交点坐标
18．（2025九上·滨江月考）滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐A，B，C三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘：
（1）求小明乘A 车间概率。
（2）请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大.
19．（2025九上·滨江月考）数学课上，老师提出：仅用用无刻度的直尺作图.
（1） 如图， 点A、B、C在⊙O上，
①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.
（2） 在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点 D. 画出 的平分线.
20．（2025九上·滨江月考） 如图， 在△ABC中， AB=AC， 以AB为直径的半圆分别交AC， BC边于点D， E，连接BD， AE.
（1）求证：点E是的中点；
（2） 当BC=12， 且AD： CD=1： 2时， 求⊙O的半径
21．（2025九上·滨江月考）学校为丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动(要求每人必须参加且只参加一类活动)：A.音乐社团；B.体育社团；C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团.该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 　 　名学生，补全条形统计图：
（2）扇形统计图中圆心角α=　 　度；
（3）现从 “文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.
22．（2025九上·滨江月考）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.
（1）试求出每日的销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间的函数关系式.
（2）当每瓶售价定为多少元时，每天销售的利润p(元)最大 最大利润是多少
23．（2025九上·滨江月考）在平面直角坐标系中，设二次函数. (m是常数).
（1）若函数图象经过点(0，3)，求该函数图象的顶点坐标.
（2） 若点A(-1， y1)， B (-m+2， y2) 在该函数图象上， 且y1＜y2，求m的取值范围.
（3） 若函数图象经过点(-1， p)，(1， q)， 求证：pq≤12.
24．（2025九上·滨江月考）如图1， 正方形ABCD 内接于⊙O， 点P 在劣弧AB上， 连接DP交AC于点Q.
（1） 如图1， 若P 是的中点， 求证： PC=PD；
（2） 如图2， 若QP=QO， 求 的值；
（3） 如图3， 连结 PA， PB， 探究PA， PB， PD之间等量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解： 概率为90% 说明事件发生的可能性较大.
故答案为： C.
【分析】由概率的性质概率接近1，说明事件发生的可能性较大.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图像知函数与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，得对称轴为直线x=，
即顶点横坐标为2，故顶点坐标为(2，1).
故答案为： D.
【分析】图图形知二次函数与x轴的交点坐标，根据对称性知对称轴即顶点横坐标，由此得顶点坐标.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=，故点P在 ⊙O 外.
故答案为： A.
【分析】计算点P到圆心的距离，即知点与圆的位置关系.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD=5cm，CD=2cm
∴OC=OD-CD=5-2=3cm
∴AB=
故答案为：C .
【分析】易得OC=3cm，由垂径定理和勾股定理即得AB的长.
5．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于 ⊙O
∴∠D+∠B=180°
∴∠B=180°-∠D=180°-60°=120°
故答案为：B .
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B的值.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数向右平移3个单位向下平移2个单位得.
故答案为： C.
【分析】根据二次函数的平移变换的规则"左加右减""上加下减"进行判断即可.
7．【答案】B
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∠BAD=90°，
得AC= AB， ∠D=∠E =24°，
得∠ACB =∠B=90°-∠D=66°，
得∠BAC= 180°-2×66°= 48°.
故答案为：B.
【分析】由△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∠BAD=90°， 得AC = AB， ∠D =∠E = 24°， 得∠ACB=66°， 得∠BAC的度数.
8．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象（0≤x≤4）
观察图像可知：当x=1时，y有最大值为2
当x=4时，y有最小值为-2.5
故答案为：A
【分析】直接利用二次函数图象，就可得出函数的最值。
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由函数图象知，抛物线开口向下，故a<0；对称轴在y轴右侧，故b>0；
与y轴的交点在正半轴，故c>0，故abc<0，故①正确；
抛物线的对称轴为直线x=1，即当x=1时，y取最大值a+b+c，
当x=m时，y=am2+bm+c，
a+b+c≥am2+bm+c，即有a+b≥am2+bm
故a+b≥m(ma+b)，故②正确；
故答案为： A.
【分析】由开口方向、对称轴、与y轴的交点分别判断a、b、c的符号，即可判断；由x=1时ymax=a+b+c，当x=m时有a+b+c≥am2+bm+c即得a+b≥m(ma+b).
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 抛物线经过点(-4，c)得-16-4b+c=c，b=-4，故抛物线解析式为；
抛物线的对称轴为直线x=，当x>-2时，y随x的增大而减小，当x<-2时，y随x的增大而增大；
又点(p， m)， (q， m)，纵坐标相同在抛物线上，故，即p+q=-4，得p=-4-q；
由2≤q-p<10得 2≤q-(-4-q)<10，即有-1≤q<3
当-1≤q<3时，q=-1时，y取最大值-1+4+c=3+c，q=3时，y取最小值-21+c
故 c-21故答案为：D .
【分析】将点(-4，c)代入抛物线解析式得b的值，得对称轴，同时(p， m)， (q， m)，纵坐标相同得即有p=-4-q代入2≤q-p<10得-1≤q<3，可得m的最大值与最小值，即得其范围.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
12．【答案】m≤4
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=，抛物线开口向上，当x<时，y随x的增大而减小，故≤2，得m≤4.
故答案为： m≤4.
【分析】由二次函数对称轴为直线x=，当≤2时满足题意，即得 m≤4.
13．【答案】0.97
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据知当种子数的增加，发芽频率慢慢接近0.97，故在实验条件下的概率为0.97.
故答案为： 0.97.
【分析】直接观察表格中种子数量不断增加时频率的频率趋势，即知概率.
14．【答案】20
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长及其计算
【解析】【解答】解：∵CD=CE-DE=30-15=15，
∴CD=CB，
∴∠CBD=30°
∴∠DCB=60°
∴∠ACB=2∠DCB=120°
∴=
故答案为： 20.
【分析】由CD为BC的一半可得特殊角∠DBC=30°，从而得到圆心角∠ACB=120°，即可求出弧长.
15．【答案】y1>y2>y3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由(a>0)得开口向上，对称轴为直线x=1，当x>1时，y随x的增大而增大
点A(-3，y1)关于直线x=1对称的点为E(5，y1)
而5>4>1，故y1>y2>y3.
故答案为： y1>y2>y3.
【分析】由二次函数解析式知开口方向和对称轴，求出点A关于对称轴对称的点E，进而可比较y的大小 .
16．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示，
设AD=m，则BD=8-m，由勾股定理得CD2=，
即有25-m2=64-(8-m)2，解得m=，即有AC=2AD，故∠ACD=30°，∠CAD=60°
连接CO并延长交 ⊙O 于点E，连接BE
∵CE为直径
∴∠CBE=90°
∵∠E=∠A=60°
∴sin∠E=，即有
得CE=，故半径为.
故答案为： .
【分析】作CD⊥AB于点D，设AD=m，由勾股定理得25-m2=64-(8-m)2得m的值，即知∠A=60°，连接CO并延长交于点E，在△BCE中，in∠E=，BC=7，即得CE的长，即得半径.
17．【答案】（1）解：由已知，函数的顶点为(1，4)，设二次函数表达式为
将(0，3)代入得a+4=3，解得a=-1，故二次函数的表达式为
（2）解：对二次函数，令y=0，则有
解得：x1=3，x2=-1，
故函数与x轴的交点坐标为(2，0)和(-1，0).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设顶点式，再将(0，3)代入可得a的值，即得抛物线表达式；
(2)令y=0得，求解方程即得函数与x轴的交点坐标.
18．【答案】（1）解：小明可能乘A、B、C三辆车3种可能，故乘A车的概率P=；
（2）解：树状图如下所示
根据树状图知小明与小刚乘车情况共有9种，同车的情况有3种，故两人乘同车的概率为、P=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)小明乘车有3种可能，故乘A车的概率为；
(2)画出树状图，共有9种情况，同车的情况有3种，相比即得概率.
19．【答案】（1）解：①在劣弧上任取一点D，连接DA、DC，∠ADC与∠B互补；
②连接AO并延长交 ⊙O 于点E，连接EC，∠EAC+∠E=90°，∠E=∠B，得∠EAC+∠B=90°，∠EAC即为所求；
（2）解：延长OD交 ⊙O 于点F，连接AF即为∠BAC的平分线；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】(1)①根据圆内接四边形对角互补，在劣弧的任意找一点即满足题意；
②连接AO构造直径，同时构造与∠E互余的角度，∠B=∠E，即知∠EAC即为所求；
(2)延长OD知点F为弧的中点，连接AF即为∠BAC的平分线.
20．【答案】（1）证明：∵AB为直径
∴∠AEB=90°
∴AE⊥BC
∵AB=AC
∴∠CAE=∠BAE
∴=
∴点E为的中点
（2）解：∵∠CAE=∠BAE，∠C=∠C
∴△CAE~△CBD
∴
设AD=m，则CD=2m，CE=6，
于是，解得m=2
AC=3m=6
AB=AC=6，故半径为3.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)由AB为直径知∠AEB=90°，又AB=AC，得AE平分∠BAC，即有∠CAE=∠BAE，由此得E为中点；
(2)易知△CAE~△CBD得，设AD=m，则CD=2m，得，求解方程即得m的值，即可得AC的长，AB=AC即可得半径.
21．【答案】（1）200
（2）54°
（3）解：画出随机选取两名参加比赛的树状图如下所示：
选取两人的情况共有12种，甲乙同时选中的情况有2种，故甲乙选中的概率P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；简单事件概率的计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由统计图知B体育社团有50人，占总体的比例为25%，故总人数为50÷25%=200人；
(2)C美术社团的人数为200-30-50-70-20=30人，圆心角为
【分析】(1)根据统计图中B的数量和占总人数的比例，两者相除即为总人数；
(2)根据总人数求出C中人数，求出C所占比例，即可得对应的圆心角；
(3)借助树状图知总共有12种情况，甲乙选中的情况有2种相比即为概率.
22．【答案】（1）解：由题意，以12元为基准，则商品降价为12-x，销量y=400+40=400+80(12-x)，即y=-80x+1360；
（2）解：每件利润为x-9，故总利润P=(x-9)(-80x+1360)=-80x2+2080x-12240
当x=时，利润P取最大值，
将x=13代入得P=27040
即当定价为13元时，利润取最大值，最大值为27040元.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)以12元为基准可得降价为(12-x），由题意求出销量y的表达式；
(2)先求出单件利润为x-9，即可求出总利润P=-80x2+2080x-12240，由二次函数的性质知当x=13时利用取最大值，将x=13代入即可求出最大利润.
23．【答案】（1）解：将(0，3)代入得-m+2=3，解得m=-1，
于是二次函数的解析式为，
，y=1-2+3=2，故抛物线的顶点坐标为(1，2)
（2）解： 二次函数. 的开口向上，且对称轴为直线x=-m，
当-m>-1，即m<1时，如下图左所示，当y1即-m-(-1)<-m+2-(-m)，得m>-1，
故-1当-m<-1时，即m>1，如上右图，当y1-1即可，即m<3
故1综上所述，-1（3）解：将点(-1，p)和(1，q)代入函数得
整理得
故≤12
即pq≤12.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(0，3)代入函数得m=-1，即得解析式为，同时可得顶点坐标；
(2)求出对称轴为直线x=-m，点B在对称轴右侧，利用草图，分类讨论点A在左侧与右侧的情况，分别求出m的取值范围；
(3)分别将两点代入函数解析式得，得，即可证明结论.
24．【答案】（1）解：证明：∵ABCD为正方形
∴AD=BC
∴
∵P为的中点
∴
∴
∴
∴PC=PD
（2）解：连接PA，DO
∵∠DPA=∠DCA，∠AQP=∠DQC
∴△AQP~△DQC
∴
设半径为r，QO=x，则CQ=r+x，PQ=OQ=x，QA=r-x
由勾股定理得DQ2=
由此得，解得x=
（3）解：过点A作AG⊥AP交PD于点G，
∵ABCD为正方形
∴∠BAD=90°
∵∠BAG+∠DAG=90°，∠BAP+∠BAG=90°
∴∠DAG=∠BAP
又∵AB=AD，∠ABP=∠ADG
∴△ABP≌△ADG(ASA)
∴DG=PB，AG=AP
∴PG=PA
∵PD=PG+DG
∴PD=PB+PA
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AB为正方形知，P为 的中点，即得可，即有PC=PD；
(2)连接PQ、OD，易证△AQP~△DQC，设OQ=x则由勾股定理得DQ2=，代入相似比例中可得，由此得x=，由此可得 的值；
(3)过点A作AG⊥AP交PD于点G，易证△ABP≌△ADG，得DG=PB，PG=PA，即得PD=PB+PA.
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