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人教版2025—2026学年九年级上册数学12月份第二次月考模拟测试
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列事件为随机事件的是( )
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．负数大于正数
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．通常加热到时，水沸腾
3．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，则的度数为( )
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠0
5．如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
6．如图，小红要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图绕点逆时针旋转得到，点恰好落在斜边上，的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝1，与x轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在中，，，，将绕所在直线旋转一周．所得几何体的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．关于x的方程的一根为1，则另一根为 ．
12．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘2次，当转盘停止转动时，指针2次都落在灰色区域的概率是 ．
13．若a是一元二次方程的一根，则的值为 ．
14．如图，正方形的外接圆的半径为4，则它的内切圆的半径为 ．
15．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到，若，则的值为 ．
16．如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ．
第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学12月份第二次月考模拟测试
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
(1) (2)
18．如图，的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为、、．
(1)画出绕着点O顺时针旋转得到的；
(2)写出点的坐标．
19．临近期末考试，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：.享受美食，.交流谈心，.体育锻炼，.欣赏艺术.
（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是 ．
（2）同时采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率.
20．已知关于x的方程x2+ax+16=0，
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值
（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根
21．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，与相交于点E．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
22．如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
23．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
24．如图，为等边的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与A、C重合），连结．
(1)若，求的大小．
(2)求证：．
(3)试探索：四边形的面积S与的长x之间的函数关系，并求出函数解析式．
25．已知抛物线与轴交于坐标原点和点．
(1)已知该抛物线的顶点的纵坐标与点的横坐标相同，设过点的直线与抛物线的另一个交点为．求点和点的坐标；
(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若该抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围；
(3)若直线与该抛物线交于两点（点在点左侧），连接．设直线为，直线为；令，求与的函数关系式．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D D B B C D B
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．75
16．4
三、解答题
17．【解】（1）解：由题可得：，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
18．【解】（1）解：如图，即为所求；

（2）由的位置可得坐标为：；
19．【解】（1）随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式有4种等可能结果，他选择“享受美食”的只有1种结果，∴他选择“享受美食”的概率是．
故答案为．
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的结果数为7，∴他们中至少有一人选择“欣赏艺术”的概率为．
20．【解】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根，
∴a2－4×1×16=0，
解得a=8或﹣8；
（2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2，
∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；
此时方程为x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8；
∴a=﹣10，方程的另一个根为8．
21．【解】（1）证明：连接OD；
∵与BC相切于点D
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线；
（2）解：∵
∴在中；
∵，
，
设圆的半径为r，
∴
解得，
∴圆的半径为3
∴．
22．【解】（1）证明：是的直径，
，
点是弧的中点，
，
，
，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）证明：，
，
，
，
．
（3）解：作于点，
，平分，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
23．【解】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：W＝；
（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，W有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．
24．【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在线段上取点P，使，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作于点E，连接，则，，
∵为等边的外接圆，则点O在上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在劣弧上运动，
∴，即，
如图，把绕点B顺时针旋转得到，则，，，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴点D，C，H三点共线，是等边三角形，
过点H作于点G，则，
∴，
∴，
即四边形的面积S与的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为．
25．【解】（1）解：把代入，
解得，
∴，
∴，
令，
解得，
∴，
∵顶点的纵坐标与点的横坐标相同，
∴，
∴，
∴，
∴点；
把代入，
∴，
∴，
∵
∴，．
故．
（2）解：如图，
①当时，
∵抛物线与轴交于坐标原点和点，且点且线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴在第一象限内，，,点C的横坐标等于纵坐标，
∴，
∴上的点除原点外，都在抛物线的内部，即线段与抛物线交于点，
∴当时，该抛物线与线段只有一个交点；
②当时，根据题意，在第一象限内，点C的横坐标等于纵坐标，，过点作轴交抛物线于点，且的解析式为，
第一种情况，当点直线线段下方处时，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
∵线段与抛物线交于点，
∴，
∴当时，该抛物线与线段只有一个交点；
第二种情况，当点直线线段上方处时，且点的横坐标为，
∴，
把点代入抛物线得，，
解得，，线段与抛物线交于点，
∴当时，该抛物线与线段只有一个交点；
综上所述，故a的取值范围是或或．
（3）解：∵，不妨设，，
∵，直线为，直线为；
∴，，
解得，，
∵，
∴，
∵直线与抛物线交于两点（点在点左侧），
∴m，n是方程即的两个根，
∴，
∴，
故与的函数关系式为．
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