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2025年秋人教新版七上数学情境课堂教学课件
第四章 整式的加减
4.2 整式的加法与减法
第1课时 同类项与合并同类项
1.理解合并同类项的概念，会判断两个项是否是同类项.
2.掌握合并同类项的法则，熟练应用合并同类项法则合并同类项，并利用法则化简多项式及求多项式的值.
汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛海底隧道入口，行驶的平均速度为96 km/h，另一段为海底隧道，行驶的平均速度为72 km/h. 如果汽车通过海底隧道需要a h，那么从香港口岸到东人工岛的海底隧道入口所需时间为1.25a h，香港口岸到西人工岛的全长 (单位：km) 是多少？
香港口岸
东人工岛
西人工岛
海底隧道
72a
96×1.25a
+
72a +96×1.25a
=72a +120a
如何计算72a+120a呢？下面我们类比数的运算，
讨论整式的加法运算！
香港口岸到西人工岛的全长 (单位：km)为：
探究1
(1)运用运算律计算：
72×2+120×2=______；
72×(-2)+120×(-2)=______.
根据分配律可得：
72×2+120×2=(72+120)×2=192×2=384
72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×(-2)=192×(-2)=-384
384
-384
(2)根据分配律完成下面的运算，并说明其中的道理：
72a+120a=______.
点拨：多项式是72a与120a两项的和，并且字母a代表的是一个乘数，因此根据分配律也有：72a+120a=(72+120)a=192a.
192a
填空：
(1) 72a - 120a = ( )a;
(2) 3m2 + 2m2 = ( )m2;
(3) 3xy2 - 4xy2 = ( )xy2.
探究2
-48
5
-
上述运算有什么共同特点，你能得出什么规律？
观察以上多项式发现：
(1)中多项式的项：都含有相同的字母a，并且a的指数都是1；
(2)中多项式的项：都含有相同的字母m，并且m的指数都是2；
(3)中多项式的项：都含有字母x，y，并且x的指数都是1，y的指数都是2.
利用分配律可得：72a - 120a =(72-120) a=-48 a; (1)
3m2 + 2m2 =(3+2)m2= 5m2; (2)
3xy2 - 4xy2 = (3-4)xy2=- xy2. (3)
像72a与-120a，3m2与2m2，3xy2与-4xy2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项. 几个常数项也是同类项.
归纳总结
例1 下列各组单项式：①y与y2 ；②-a2b3与2b3a2 ；③2xy2与-5yx2；
④-2019与0，是同类项的有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
C
判断同类项时，有“两个无关”：
①与系数无关；
②与字母的排列顺序无关，如3mn与-nm是同类项.
方法总结
变式 若 和 是同类项，则2m－n＝________.
解：因为 和 是同类项，
所以m=3，n=3，
所以2m-n=2×3-3=6-3=3.
3
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并. 例如，
4x2＋2x＋7＋3x-8x2-2
=4x2-8x2＋2x＋3x+7-2 (交换律)
=(4x2-8x2)+(2x＋3x)+(7-2) (结合律)
=(4-8)x2＋(2+3)x+(7-2) (分配律)
=-4x2+5x＋5.
点拨：通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列.
探究3
合并同类项的法则：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.
2 ab -6 ab = -4 ab
系数相加 2+（-6）
字母连同指数不变
归纳总结
例2 合并下列各式的同类项：
(1)xy2- xy2；
(2)4a2 + 3b2 +2ab-4a2 -4b2.
解： xy2- xy2
= (1- )xy2
= xy2.
解：4a2 + 3b2 +2ab-4a2 -4b2
= (4a2-4a2) + ( 3b2 -4b2) + 2ab
= (4-4)a2 + (3-4)b2 + 2ab
=-b2 + 2ab.
不能合并的项在每一步运算中都要写出，以防漏掉.
若两个同类项的系数互为相反数，
则合并这两个同类项的结果为0.
合并同类项的一般步骤：
一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同的标记；
二移：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合；
三合：利用合并同类项法则，合并同类项；
四排：合并后的结果按某一个字母的降幂(或升幂)排列.
方法总结
例3 (1)求多项式 2x2-5x+x2+4x-3x2 -2 的值，其中x=；
解：(1) 方法一 直接代值计算：
当 x = 时，原式= - 2= .
方法二 先化简，再求值：
2x2-5x+x2+4x-3x2 -2
= (2+1-3) x2 + (-5+4) x-2
= -x-2.
点拨：在求多项式的值时，先将多项式中的同类项合并，化到最简，再求值，这样做更简便！
(2)求多项式 3a+abc- c2-3a+ c2 的值，其中 a= ，b=2，c=-3.
解： 3a+abc - c2 - 3a + c2
当a= ，b=2，c= -3时，原式= ×2×(-3)=1.
= (3-3) a +abc+ c2
= abc
尝试用直接代入数值的方法计算，你觉得哪种方法更简单？
例4 (1)水库水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2 cm；第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？
解：把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正. 则
第一天水位的变化量是-2a cm，第二天水位的变化量是0.5a cm.
两天水位的总变化量是
-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a.
这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm.
(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg. 上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋. 进货后这个商店有大米多少千克？
解：把进货的数量记为正，售出的数量记为负.
进货后这个商店共有大米 (单位：kg)
5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x.
进货后这个商店有大米6x千克.
1.合并下列各式的同类项：
（1）-a-a-2a=________；
（2）-xy-5xy+6yx=______；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_________；
（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+4ab2+7=__________．
-4a
0
ab2-a2b
8a2b+3
(2)如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m= ，n= .
2.(1)在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
2
2
6xy
(3)若单项式 am-1b2 与 a2bn 的和仍是单项式，则 nm 的值是____.
8
3.先化简，再求值：
(1)8m2+5m2+3n-4m2-10n，其中m=2，n=-1.
解：8m2+5m2+3n-4m2-10n
=8m +5m -4m2+(3n-10n)
=9m2-7n,
当m=2，n=-1时，原式=9×4-7×(-1)=36+7=43.
(2)2x2-5x+x2+4x-3x2-2，其中x=2.
解：2x2-5x+x2+4x-3x2-2
=(2x +x -3x2)+(-5x+4x)-2
= -x-2，
当x=2时，原式=-2-2= -4.
4. 某人购置了一套一室一厅的住宅，总面积为3xy m2，其中卧室是长为x m，宽为y m的长方形，客厅的面积为厨房的 ，厨房的面积是卧室的 ，还有一个卫生间.
（1）用x、y表示他的卫生间的面积；
解：（1）卧室面积为xy，厨房面积为
客厅面积为
所以卫生间面积为
4. 某人购置了一套一室一厅的住宅，总面积为3xy m2，其中卧室是长为x m，宽为y m的长方形，客厅的面积为厨房的 ，厨房的面积是卧室的 ，还有一个卫生间.
（2）若x=5，y=3，求他的卫生间的面积.
（2）当x=5，y=3时，
卫生间的面积= ×5×3=5 (m2).
同类项
合并同类项
两相同
法则
一找、二移、三合、四排
（1）字母相同；
（2）相同字母的指数相同.
（1）系数相加；
（2）字母连同它的指数不变.
步骤
Thanks!
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