资源简介

第 5章 三角函数
2026版
目录
第 1讲 任意角 1 第 6讲 辅助角公式和三角函数的综合应用 63
1. 角的概念 1 1. 基础知识 63
2. 弧度制 4 2. 例题讲解 63
3. 弧长和面积公式 5 3. 综合应用 一题十问 64
第 2讲 三角函数的定义同角的三角函数关系8 4. 三角函数的解答题 67
1. 三角函数的定义 8 5. 综合问题 恒等变换 70
2. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符 6. 综合问题 函数与方程 70
号 10
3. 同角的三角函数关系 11
第 3讲 三角恒等变换 16
基础知识 16
1. 知识点一　两角和与差的余弦公式
16
2. 知识点二　两角和与差的正弦公式
16
3. 知识点三 两角和与差的正切公式 16
4. 知识点 4 二倍角公式 16
例题讲解 16
1. 公式的直接应用 17
2. 给值求值 18
3. 给值求角 21
4. 两角和与差的正切公式的综合应用
23
5. 化简与证明 24
课后练习 25
第 4讲 三角函数的图象与性质 29
1. 三角函数的定义域 30
2. 三角函数的值域 (最值) 32
3. 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 36
4. 三角函数的单调性 41
5. 根据单调性求ω的范围 43
第 5讲 y=Asin(ωx+ φ)的图像与性质 48
基础知识 48
1. 函数 y= Asin(ωx+ φ)的图象的画
法 48
例题讲解 48
1. 五点法画图 48
2. 优化后的五点法作图 51
3. 图像的平移和伸缩变化过程 52
4. 平移量的计算 55
5. 解析式的求法 57
第1讲 任意角
1.角的概念
知识点
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O
是角的顶点，射线OA，OB分别是角 α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型 定义
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角.
例题1.下列说法正确的是 ( )
A. 终边相同的角相等 B. 相等的角终边相同
C. 小于 90°的角是锐角 D. 第一象限的角是正角
【答案】B
【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于 90°
的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误，故选：B.
例题2.时钟走了 3小时 20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．
【答案】 -100° -1200°
【详解】因为时针每小时转 30°，分针每小时转 360°，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转
过的角度数为-3 13 × 30° =-100°，分针转过的角度数为-3
1
3 × 360° =-1200°．
例题3.象限角
① α是第一象限角可表示为 {α 2kπ<α<2kπ+ π2 ，k∈Z ；
② α是第二象限角可表示为 α 2kπ+ π2 <α<2kπ+π，k∈Z ；
③ α是第三象限角可表示为 α 2kπ+π<α<2kπ+ 32 π，k∈Z ；
④ α是第四象限角可表示为 α 2kπ+ 32 π<α<2kπ+2π，k∈Z 或 {α 2kπ-
π
2 <α<2kπ，k∈Z ．
例题4.非象限角
如果角的终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限．
①终边在 x轴非负半轴上的角的集合可记作 {α|α=2kπ，k∈Z} ；
②终边在 x轴非正半轴上的角的集合可记作 α|α=2kπ+π，k∈Z ；
1
③终边在 y轴非负半轴上的角的集合可记作 α α=2kπ+ π 2 ，k∈Z ；
④终边在 y轴非正半轴上的角的集合可记作 α α=2kπ+ 32 π，k∈Z ；
⑤终边在 x轴上的角的集合可记作 {α|α=kπ，k∈Z} ；
⑥终边在 y轴上的角的集合可记作 α α=kπ+ π 2 ，k∈Z ；
⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 α α= kπ2 ，k∈Z ．
例题5.终边相同的角：
所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 , 连 同 角 α 在 内 , 可 构 成 一 个 集 合 S =
{β|β=α+2kπ,k∈Z}或{β|β=α+k·360°,k∈Z} .
例题6.如图所示，写出顶点在原点，始边重合于 x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解　如题图 (1)所示，以OB为终边的角有 330°角，可看成是-30°，
∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：
S1={x|x= 75° +k·360°，k∈ Z}，S2={x|x=-30° +k·360°，k∈ Z}．
∴终边落在阴影部分的角的集合为 {θ|k·360° -30° ≤ θ≤ k·360° +75°，k∈ Z}．
如题图 (2)所示，以OB为终边的角有 225°角，可看成是-135°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为 {θ| -135° +k·360° ≤ θ≤ 135° +k·360°，k∈ Z}．
例题7.确定nα α及 n 所在的象限
α
已知 α是第二象限角，求角 2 所在的象限．
解　　方法一　∵ α是第二象限角，∴ k·360° +90° < α< k·360° +180° (k∈ Z)．
∴ k2 ·360° +45° <
α k
2 < 2 ·360° +90° (k∈ Z)．
当 k为偶数时，令 k= 2n(n∈ Z)，得n·360° +45° < α α2 当 k为奇数时，令 k= 2n+ 1(n∈ Z)，得n·360° +225° < α2 α
2 是第三象限角．
∴ α2 为第一或第三象限角．
方法二　如图，
先将各象限分成 2等份，再从 x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，
则标有二的区域即为 α2 的终边所在的区域，故
α
2 为第一或第三象限角．
延伸探究
2
1．在本例条件下，求角 2α的终边的位置．
解　∵ α是第二象限角，∴ k·360° +90° < α< k·360° +180° (k∈ Z)．∴ k·720° +180° < 2α< k·720°
+360° (k∈ Z)．∴角 2α的终边在第三或第四象限或在 y轴的非正半轴上．
2．若本例条件中角 α α变为第三象限角，求角 2 是第几象限角．
解　如图所示，
先将各象限分成 2等份，再从 x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，
则标有三的区域即为角 α2 的终边所在的区域，故角
α
2 为第二或第四象限角．
变式1 下列说法正确的是 (　　)
A. 锐角是第一象限角 B. 第二象限角是钝角
C. 第一象限角是锐角 D. 第四象限角是负角
答案　A
解析　由于锐角范围是 0° < α< 90°，显然是第一象限角；-200°是第二象限角，但不是钝角；380°是
第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角．
变式2 下列各角中，与 1850° 角终边相同的角是 ( )
A. 40° B. 50° C. 320° D. - 400°
【答案】B
【详解】对选项A，1850° -40° = 1810° = 5× 360° +10°，故A错误.对选项B，因为 1850° -50° = 1800°
= 5× 360°，故B正确.对选项C，1850° -320° = 1530° = 4× 360° +90°，故C错误.对选项D，1850°
- -400° = 2250° = 6× 360° +90°，故D错误.
变式3 若角 α的终边在直线 y=-x上，则角 α的取值集合为 ()
A. α α=2kπ- π4 ,k∈Z B. α α=2kπ+
3π
4 ,k∈Z
C. α α=kπ- 3π4 ,k∈Z
π
D. α α=kπ- 4 ,k∈Z
答案：D
解：
α α=2kπ+ 3π 4 ,k∈Z ∪ α α=2kπ-
π
4 ,k∈Z
，由图知，角 α的取值集合为: = α α= 2k+1 π- π4 ,k∈Z
π
∪ α α=2kπ- ,k∈Z 4
= α α=kπ- π 4 ,k∈Z
3
故选：D.
变式4 已知角 α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界)，那么角 α的集合是_____．
答案　 {α|k·360° +45° < α< k·360° +150°，k∈ Z}
解析　观察图形可知，角 α的集合是 {α|k·360° +45° < α< k·360° +150°，k∈ Z}．
变式5 终边与坐标轴重合的角 α的集合是 (　　)
A. {α|α= k·360°，k∈ Z} B. {α|α= k·180° +90°，k∈ Z}
C. {α|α= k·180°，k∈ Z} D. {α|α= k·90°，k∈ Z}
答案　D
解析　终边在坐标轴上的角大小为 90°或 90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为 {α|α
= k·90°，k∈ Z}．故选D.
2.弧度制
知识点
(1)角度制和弧度制
1
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1度的角等于周角的 360
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号 rad表示，读作弧
弧度制
度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为 r的圆的圆心角 α所对弧的长为 l，那么，角 α的弧度数的绝对值是 |α| = lr .
(3)角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360° = 2π rad 2π rad= 360°
180° = π rad π rad= 180°
1° = π180 rad≈ 0.017 45 rad 1 rad=
180
π ° ≈ 57.30°
例题1.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0 π π π π π 2π 3π 5π 3π弧度 180 6 4 3 2 3 4 6 π 2 2π
例题2.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2) - 300°；(3)2；(4) - 2π9 .
解　 (1)72° = 72× π = 2π180 5 ；(2) - 300° =-300×
π =- 5π180 3 ；
4
(3)2= 2× 180 ° = 360π π °；(4) -
2π
9 =-
2π
9 ×
180
π ° =-40°.
变式1 已知 α= 15° π，β= 10 ，γ= 1，θ= 105°，φ=
7π
12 ，试比较 α，β，γ，θ，φ的大小．
解　 α< β< γ< θ= φ.
变式2 若 α=-2 rad，则 α的终边在 (　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案　C
变式3
3.弧长和面积公式
知识点
设扇形的半径为R，弧长为 l，α为其圆心角，则：
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l= απR l= αR180°
S= απR
2
扇形的面积 S= 1 lR= 1 αR2
360° 2 2
例题1.已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解　设扇形圆心角的弧度数为 θ(0< θ< 2π)，弧长为 l cm，半径为R cm，
l+2R=10，①依题意有 12 lR=4.②
①代入②得R2- 5R+ 4= 0，解之得R1= 1，R2= 4.
当R= 1时，l= 8，此时，θ= 8 rad> 2π rad舍去．
当R= 4时，l= 2，此时，θ= 2 14 = 2 (rad)．
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 12 rad.
延伸探究
1．已知一扇形的圆心角是 72°，半径为 20，求扇形的面积．
解　设扇形弧长为 l，因为圆心角 72° = 72× π180 =
2π
5 rad，
所以扇形弧长 l= |α|·r= 2π5 × 20= 8π，
于是，扇形的面积S= 1 l·r= 12 2 × 8π× 20= 80π.
2．已知一扇形的周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解　设扇形圆心角的弧度数为 θ(0< θ< 2π)，弧长为 l，半径为 r，面积为S，
则 l+ 2r= 4，所以 l= 4- 2r 21+π 所以S= 1 l·r= 1 × (4- 2r) × r=-r2+ 2r=- (r- 1)22 2 + 1，
所以当 r= 1时，S最大，且Smax= 1，
因此，θ= l = 4-2×1r 1 = 2(rad)．
5
变式1 已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60°，求扇形的弧长和面积．
解　已知扇形的圆心角 α= 60° = π3 ，半径 r= 10 cm，
则弧长 l= α·r= π × 10= 10π3 3 (cm)，
于是面积S= 12 lr=
1 × 10π2 3 × 10=
50π
3 (cm
2)．
变式2 周长为 9，圆心角为 1 rad的扇形面积为________．
答案 9　 2
2r+ l=9， r=3，解析　由题意可知 所以 所以S=
1
2 lr=
9 .
l=r， l=3， 2
变式3 在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是_____弧度，扇形面积是______．
答案　 32 　 48
解析 |α| = l = 12 3 1　 r 8 = 2 ，S= 2 l·r=
1
2 × 12× 8= 48.
变式4 2π 2π已知一扇形的弧长为 9 ，面积为 9 ，则其半径 r=____，圆心角为______．
答案　 2　 π9
解析　设圆心角度数为 α，因为扇形的弧长为 2π9 ，面积为
2π = 1 × 2π9 2 9 × r，
解得 r= 2，由于扇形的弧长为 2π9 = rα= 2α，解得 α=
π
9 .
变式5 π扇形圆心角为 3 ，半径为 a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．
答案　 2 ∶ 3
解析　如图，设内切圆半径为 r，
则 r= a ，所以S = π· a
2 πa2 1 π πa2 S
3 圆 3 = ，S 29 扇= 2 a · 3 =
圆 2
6 ，所以 S = .扇 3
变式6 (多选)已知扇形的半径为 r，弧长为 l.若其周长的数值为面积的数值的 2倍，则下列说法正确
的是 ( )
A. 该扇形面积的最小值为 8 B. 当扇形周长最小时，其圆心角为 2
C. r+ 2l的最小值为 9 D. 1 + 4 12 2 的最小值为r l 2
【答案】BCD
【分析】由题意，知 2r+ l= rl，则 r= l- , l>2 ，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选l 2
项D利用二次函数可解.
【详解】由题意，知 2r+ l= rl，则 r= l- , l>2 ，l 2
2
所以扇形面积S= 1 rl= 1 l
2 1 l-2 +4 l-2 +4
2 2 l- = 2 2 l-2
6
= 1 4 12 l-2 +

- +4 ≥ 2 × 2 l-2
4
l-2 +4 =
1
2 × 4+4 = 4，l 2
当且仅当 l- 2= 4- ，即 l= 4时，等号成立，选项A错误；l 2
2 l-2 2+4 l-2 +4
扇形周长为 2r+ l= 2l + = l =
l- l2 l-2 l-2
= 4 l-2 + l- + 4≥ 2 l-22
4
l-2 = 4+ 4= 8，
当且仅当 l- 2= 4- ，即 l= 4时，等号成立，l 2
此时，圆心角为 lr =
4
2 = 2，选项B正确；
l 2 l-2 2 +5 l-2 +2r+ 2l= + 2l= = 2 l-2 + 2- - - + 5≥ 2 2 l-2
2
l-2 + 5= 4+ 5=l 2 l 2 l 2
9，
当且仅当 2 2 l-2 = - ，即 l= 3时，等号成立，选项C正确；l 2
2
1 + 4 =
l-2 + 4 = 8 - 4
2
2 2 2 2 2 + 1= 8 1 - 1r l l l l l l 4 +
1
2 ,
当 1 = 14 时，上式取得最小值为
1
2 ，选项D正确.l
变式7 扇形周长为 10，当其面积最大时，其内切圆的半径 r为 ( )
A. 5- 1 5sin1 5sin1 5sin1 B. 2+2sin1 C. 1+sin1 D. 5+ 1+sin1
【答案】B
【详解】设扇形的半径为R，圆心角为 θ θ>0 ，则弧长 l= θR，
故 2R+ θR= 10，则R= 10
2+ ，θ
故扇形面积为S= 1 θR2= 1 θ 100 = 502 2 2+θ 2
，
θ+ 4θ +4
由基本不等式得 θ+ 4 ≥ 2 θ 4θ = 4，当且仅当 θ=
4 ，即 θ= 2时，等号成立，
θ θ
故S= 50 50 25 10 54 ≤ = ，此时R= = ，θ+ θ +4
4+4 4 2+θ 2
由对称性可知∠BOD= 1，
设内切圆的圆心为P，因为DO= 52 ，故OP=
5
2 - r，
过点P作PE⊥OB于点E，
则PE= r，在Rt△OEP中，sin∠BOD= PE ，即 r5 = sin1，解得 r=
5sin1
OP -r 2+2sin1
.
2
7
第2讲 三角函数的定义同角的三角函数关系
1.三角函数的定义
知识点
1．任意角三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中，设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
① y叫做 α的正弦，记作 sinα，即 sinα= y；
② x叫做 α的余弦，记作 cosα，即 cosα= x；
y y
③ x 叫做 α的正切，记作 tanα，即 tan α= x (x≠ 0)．
对于确定的角 α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐
标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
(2) y y设角 α终边上任意一点的坐标为 (x，y)，它与原点的距离为 r，则 sin α= xr ，cos α= r ，tan α= x .
例题1. (1)已知角 α 3的终边与单位圆的交点为P 5 ，y (y< 0)，则 tan α= .
答案 - 4　 3
解析 3　因为点P 5 ，y (y< 0)在单位圆上，则
9 2
25 + y = 1，
所以 y=- 45 ，所以 tan α=-
4
3 .
(2)已知角 α的终边落在射线 y= 2x(x≥ 0)上，求 sin α，cos α的值．
解　设射线 y= 2x(x≥ 0)上任一点P(x0，y0)，则 |OP| = r= x2 20+y0，∵ y0= 2x0，∴ r= 5x0，∴ sin
α= y0 = 2 5 xr 5 ，cos α=
0 5
r = 5 .
延伸探究
1 3．若将本例 (1)中条件“α的终边与单位圆的交点为P 5 ，y (y< 0)”改为“α的终边经过点P(-3，
-4)”，求角 α的正弦、余弦和正切值．
解　由已知可得 |OP| = (-3)2+(-4)2= 5.
如图所示，设角 α的终边与单位圆交于点P0(x，y)．
8
分别过点P，P0作 x轴的垂线PM，P0M0，
则 |MP| = 4，|M0P0| =-y，|OM | = 3，|OM0| =-x，△OMP∽△OM0P0，
= = y =- |M0P0| = -|MP| =- 4 = = x =- |OM0| = -|OM |于是，sin α y 31 |OP0| |OP| 5
；cos α x 1 |OP0| |
=- ；
OP| 5
y
tan α= = sinα = 4x cosα 3 .
2．若将本例 (2)中条件“α的终边落在射线 y= 2x(x≥ 0)上”，换为“α的终边落在直线 y= 2x上”，
其结论又如何呢？
解　 (1)若 α的终边在第一象限内，设点P(a , 2a) (a> 0)是其终边上任意一点，
因为 r= |OP| = a2+4a2= 5a
所以 sin α= y = 2a = 2 5r 5 ，cos α=
x
r =
a = 5 .
5a 5a 5
(2)若 α的终边在第三象限内，设点P(a , 2a) (a< 0)是其终边上任意一点，
因为 r= |OP| = a2+4a2=- 5a(a< 0)，
所以 sin α= y = 2ar =-
2 5
5 ，cos α=
x
r =
a =- 5 .
- 5a - 5a 5
变式1 　已知角 α的终边过点P(-3a , 4a) (a≠ 0)，则 2sin α+ cos α= .
答案　 1或-1
解析　因为 r= (-3a)2+(4a)2= 5|a|，
y
①若 a> 0，则 r= 5a，角 α在第二象限． sin α= 4a 4 x -3a 3r = 5a = 5 ，cos α= r = 5a =- 5 ，
所以 2sin α+ cos α= 8 - 35 5 = 1.
②若 a< 0，则 r=-5a，角 α在第四象限，sin α= 4a =- 4 ，cos α= -3a-5a 5 -5a =
3
5 .
所以 2sin α+ cos α=- 85 +
3
5 =-1.
变式2 已知角 α的终边经过点 (-4 , 3)，则 cos α等于 (　　)
A. 45 B.
3
5 C. -
3
5 D. -
4
5
答案　D
解析　因为角 α的终边经过点 (-4 , 3)，所以 x=-4，y= 3，r= 5，所以 cos α= x =- 4r 5 .
变式3 如果角 α的终边过点P(2sin 30°，-2cos 30°)，则 cos α的值等于 (　　)
A. 12 B. -
1
2 C. -
3 3
2 D. 2
答案　A
解析　 2sin 30° = 1，-2cos 30° =- 3，∴ r= 2，∴ cos α= 12 .
变式4 若点P(3，y)是角 α 3终边上的一点，且满足 y< 0，cos α= 5 ，则 tan α等于 (　　)
A. - 3 3 4 44 B. 4 C. 3 D. - 3
答案　D
解析 ∵ cos α= 3　 = 3 ，∴ 325 +y
2= 5，∴ y2= 16，∵ y< 0，∴ y=-4，∴ tan α=- 4 .
32+y2 3
9
变式5 已知角 θ的顶点为坐标原点，始边为 x轴的非负半轴，若P(4，y)是角 θ终边上一点，且 sin θ
=- 2 55 ，则 y= .
答案　-8
解析　因为 sin θ= y =- 2 55 ，所以 y< 0，且 y
2= 64，所以 y=-8.
42+y2
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
知识点
1．图示：
2．口诀“：一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
例题1.若 sin θ·cos θ> 0，则 θ在 (　　)
A. 第一或第四象限 B. 第一或第三象限 C. 第一或第二象限 D. 第二或第四象限
答案　B
解析　因为 sin θ·cos θ> 0，所以 sin θ< 0，cos θ< 0或 sin θ> 0，cos θ> 0，所以 θ在第一象限或
第三象限．
例题2.判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中 α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(-105°)；(3)sin 3·cos 4·tan - 23π4 .
解　 (1) ∵ α是第二象限角．∴ sin α> 0，cos α< 0，∴ sin α·cos α< 0.
(2) ∵ 285°是第四象限角，∴ sin 285° < 0，∵-105°是第三象限角，∴ cos(-105°)< 0，∴ sin 285°·cos(
-105°)> 0.
(3) ∵ π2 < 3< π，π< 4<
3π
2 ，∴ sin 3> 0，cos 4< 0.∵-
23π
4 =-6π+
π
4 ，∴ tan -
23π
4 > 0，∴
sin 3·cos 4·tan - 23π4 < 0.
变式1 已知 cos θ·tan θ< 0，那角 θ是 (　　)
A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角
C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
答案　C
∵ · < ∴ cosθ<0 cosθ>0解析　 cos θ tan θ 0， 或tanθ>0 tanθ<0.
cosθ<0 cosθ>0由 > 得角 θ为第三象限角．由 < 得角 θ为第四象限角．tanθ 0， tanθ 0，
∴角 θ为第三或第四象限角．
|sinα|
变式2 α cosα当 为第二象限角时，sinα - | | 的值是 (　　)cosα
A. 1 B. 0 C. 2 D. - 2
10
答案　C
解析 ∵ |sinα|α为第二象限角，∴ sin α> 0，cos α< 0.∴ - cosα = sinα - cosα　 sinα | = 2.cosα| sinα -cosα
变式3 如果点P(sin θ+ cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角 θ所在的象限是 (　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案　C
∵ ∴ sinθ+cosθ<0，解析　 P点位于第二象限， 则有 sin θ< 0且 cos θ< 0，∴角 θ位于第三象sinθ·cosθ>0，
限．
3.同角的三角函数关系
知识点
对于任意角 α，有 sin2α+ cos2α= 1，下面用三角函数的定义证明：
设角 α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得 sin α= y，cos α= x.
∴ sin2α+ cos2α= x2+ y2= |OP|2= 1.
(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α+ cos2α= 1.
②商数关系：tan α= sinαcosα α≠kπ+
π
2 ，k∈Z .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
① sin2α+ cos2α= 1的变形公式 sin2α= 1- cos2α；cos2α= 1- sin2α.
② tan α= sinαcosα 的变形公式 sin α= cos αtan α；cos α=
sinα
tanα .
例题1.化简 sin2α+ cos4α+ sin2αcos2α的结果是 (　　)
A. 14 B.
1
2 C. 1 D.
3
2
答案　C
解析　原式= sin2α+ cos2α(cos2α+ sin2α) = sin2α+ cos2α= 1.
变式1 2若 α是三角形的内角，且 sin α+ cos α= 3 ，则此三角形是 (　　)
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
答案　A
解析　将 sin α+ cos α= 23 两边平方，得 1+ 2sin αcos α=
4
9 ，即 2sin α·cos α=-
5
9 .又 α是三角
形的内角，所以 sin α> 0，cos α< 0，所以 α为钝角．
变式2 若 θ是△ABC 1的一个内角，且 sin θcos θ=- 8 ，则 sin θ- cos θ的值为 (　　)
A. - 3 32 B. 2 C. -
5
2 D.
5
2
答案　D
解析　由题意知 θ∈ π2 ，π ，所以 sin θ- cos θ> 0，sin θ- cos θ= (sinθ-cosθ)
2=
1-2sinθcosθ= 52 ，故选D.
11
类型一　利用同角三角函数的关系式求值
命题角度 1　已知角 α的某一三角函数值及 α所在象限，求角 α的其余三角函数值
例题2. sin α=- 5若 13 ，且 α为第四象限角，则 tan α的值为 (　　)
A. 12 125 B. - 5 C.
5
12 D. -
5
12
答案　D
解析　∵ sin α=- 513 ，且 α为第四象限角，∴ cos α=
12 ，∴ tan α= sinα13 cosα =-
5
12 ，故选D.
变式1 已知 tan α= 43 ，且 α是第三象限角，求 sin α，cos α的值.
解　由 tan α= sinα 4cosα = 3 ，得 sin α=
4
3 cos α.①
又 sin2α+ cos2α= 1，②
由①②得 169 cos
2α+ cos2α= 1，即 cos2α= 925 .
又 α是第三象限角，
∴ cos α=- 35 ，sin α=
4
3 cos α=-
4
5 .
命题角度 2　已知角 α的某一三角函数值，未给出 α所在象限，求角 α的其余三角函数值
例题3.已知 cos α=- 817 ，求 sin α，tan α的值.
解　∵ cos α=- 817 < 0，且 cos α≠-1，∴ α是第二或第三象限角.
15
2
(1)当 α是第二象限角时，则 sin α= 1-cos2α= 1- - 8 = 15 ，tan α= sinα = 17 1517 17 cosα 8 =- 8 .- 17
(2)当 α是第三象限角时，则 sin α=- 1-cos2α=- 15 1517 ，tan α= 8 .
变式1 5已知 cos α=- 13 ，求 13sin α+ 5tan α的值.
解　方法一　∵ cos α=- 513 < 0，∴ α是第二或第三象限角.
(1)若 α是第二象限角，
12
2
则 sin α= 1-cos2α= 1- - 5 = 12 ，tan α= sinα = 13 =- 1213 13 cosα - 5 5
，
13
故 13sin α+ 5tan α= 13× 1213 + 5× -
12
5 = 0.
(2)若 α是第三象限角，
12
2 -
则 sin α=- 1-cos2α=- 1- - 513 =-
12 ，tan α= sinα 13 1213 cosα = - 5
= 5 ，
13
故 13sin α+ 5tan α= 13× - 1213 + 5×
12
5 = 0.
综上可知，13sin α+ 5tan α= 0.
方法二　∵ tan α= sinαcosα ，
∴ 13sin α+ 5tan α= 13sin α 1+ 5 113 · cosα = 13sin α 1+
5 13
13 × - 5 = 0.
12
类型二　利用同角三角函数关系化简
例题4.已知 α是第三象限角，化简： 1+sinα - 1-sinα1-sinα 1+sinα .
解　原式= (1+sinα)(1+sinα) - (1-sinα)(1-sinα)(1+sinα)(1-sinα) (1+sinα)(1-sinα)
(1+sinα)2 (1-sinα)2= - = 1+sinα - 1-sinα
1- .sin2α 1-sin2α |cosα| |cosα|
∵ α是第三象限角，∴ cos α< 0.
∴原式= 1+sinα - 1-sinα-cosα -cosα =-2tan α(注意象限、符号).
变式1 化简：
(1) cos36°- 1-cos
236°
；(2) 1 - 1+sinα
1-2sin36°cos36° cos2α 1+tan2α 1-sinα
(α为第二象限角).
2
解　 (1)原式= cos36°- sin 36°
sin236°+cos236°-2sin36°cos36°
= cos36°-sin36° = cos36°-sin36° cos36°-sin36°
(cos36°-sin36°)2 |
= = 1.
cos36°-sin36°| cos36°-sin36°
(2) ∵ α是第二象限角，∴ cos α< 0，
则原式= 1 - (1+sinα)
2
= 1 cos
2α
- 2 2 2 + 2 -
1+sinα
sin22 + α 1 sin α cos α cos α sin α |cosα|cos α 1
cos2α
= -cosα + 1+sinα = -1+1+sinα = sinα2 = tan α.cos α cosα cosα cosα
类型三　利用同角三角函数关系证明
5. tanαsinα tanα+sinα例题 求证：tanα-sinα = tanαsinα .
证明　∵右边= tan
2α-sin2α = tan
2α-tan2αcos2α
(tanα-sinα)tanαsinα (tanα-sinα)tanαsinα
= tan
2α(1-cos2α) 2= tan αsin
2α = tanαsinα( =左边，tanα-sinα)tanαsinα (tanα-sinα)tanαsinα tanα-sinα
∴原等式成立.
变式1 cosx 1+sinx求证：1-sinx = cosx .
证明　方法一　 (比较法--作差)
cosx 1+sinx cos2x-(1-sin2 2 2∵ - = x) cos x-cos x cosx 1+sinx1-sinx cosx (1-sinx) =cosx (1-sinx) = 0，∴ = .cosx 1-sinx cosx
方法二　 (比较法--作商)
cosx
∵ 左 = 1-sinx = cosx·cosx cos
2x cos2x cosx 1+sinx
右 1+sinx (1+sinx)( - = = = 1.∴1 sinx) 1-sin2x cos2x 1-sinx
= cosx .
cosx
方法三　 (综合法)
∵ (1- sin x) (1+ sin x) = 1- sin2x= cos2x= cos x·cos x，∴ cosx 1+sinx1-sinx = cosx .
类型四　齐次式求值问题
例题6.已知 tan α= 2，求下列代数式的值.
(1) 4sinα-2cosα 1 2 1 1 25cosα+3sinα ；(2) 4 sin α+ 3 sin αcos α+ 2 cos α.
13
解　 (1)原式= 4tanα-2 65+3tanα = 11 .
1
4 sin
2α+ 13 sinαcosα+
1 cos2α 1 tan22 4 α+
1 1 1 1 1
(2)原式= = 3
tanα+ 2 = 4
×4+ 3 ×2+ 2 = 13 .
sin2α+cos2α tan2α+1 5 30
变式1 已知 tan α= 3，求下列各式的值：
(1) 4sinα-cosα
2
(2) sin α-2sinα·cosα-cos
2α (3) 3 sin2α+ 1 23sinα+5cosα ； 2 ； cos α.(4) sin
4α- cos4α
4cos α-3sin2α 4 2
解 (1)原式= 4tanα-1 4×3-1 11　 3tanα+5 = 3×3+5 = 14 .
(2)原式= tan
2α-2tanα-1 = 3
2-2×3-1 =- 22 2 23 .4-3tan α 4-3×3
3 sin2α+ 1 cos2α 3 tan2α+ 1 3 ×32+ 1
(3)原式= 4 2 = 4 2 = 4 2 = 29
sin2
.
α+cos2α tan2α+1 32+1 40
sin2α-cos2α
2 2 2
(4)原式= sin2α-cos2α sin2α+cos2α = sin2α- cos2α= sin α-cos α = cos α =
sin2α+cos2α sin2α+cos2α
cos2α
tan2α-1 8
tan2
=
α+1 9
三、sin θ± cos θ型求值问题
例题7.已知 sin θ+ cos θ= 15 ，θ∈ (0，π)，求：(1)tan θ；(2)sin θ- cos θ.
解　 (1)由 sin θ+ cos θ= 15 ，
得 cos θ= 15 - sin θ.
2
又 sin2θ+ cos2θ= 1，代入得 sin2θ+ 15 -sinθ = 1，
整理得 sin2θ- 15 sin θ-
12
25 = 0，
即 sinθ+ 35 sinθ-
4
5 = 0，
解得 sin θ=- 35 或 sin θ=
4
5 .
又 θ∈ (0，π)，所以 sin θ> 0，故 sin θ= 45 .
所以 cos θ= 15 - sin θ=
1 - 45 5 =-
3
5 ，
故 tan θ= sinθ =- 4 .
cosθ 3
(2)方法一　由 (1)可知，sin θ- cos θ= 4 3 75 - - 5 = 5 .
方法二　因为 θ∈ (0，π)，所以 sin θ> 0，
又 sin θ+ cos θ= 15 ，两边平方，
整理得 sin θcos θ=- 1225 < 0，所以 cos θ< 0.
又 (sin θ- cos θ)2= 1- 2sin θcos θ= 1+ 24 = 4925 25 ，
∴ sin θ- cos θ= 75 .
反思感悟　 (1)sin θ+ cos θ，sin θcos θ，sin θ- cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两
个，即“知一求二”．
14
(2)求 sin θ+ cos θ或 sin θ- cos θ的值，要注意判断它们的符号．
变式1 　若 sin θ- cos θ= 2，则 tan θ+ 1 = .
tanθ
答案　-2
解析　由已知得 (sin θ- cos θ)2= 2，∴ sin θcos θ=- 12 .∴ tan θ+
1 = sinθ + cosθ =
tanθ cosθ sinθ
1 =-2.
sinθcosθ
变式2 已知 sin θ+ cos θ= 43 0<θ<
π
4 ，则 sin θ- cos θ等于 (　　)
A. 23 B. -
2 C. 13 3 D. -
1
3
答案　B
解析　由 (sin θ+ cos θ)2= 1+ 2sin θcos θ= 169 ，得 2sin θcos θ=
7
9 ，则 (sin θ- cos θ)
2= 1-
2sin θcos θ= 29 ，由 0< θ<
π
4 ，知 sin θ- cos θ< 0，所以 sin θ- cos θ=-
2
3 .
例题8.若 cosα+ 2sinα=- 5，则 tanα= (　 　)
A. 12 B. 2 C. -
1
2 D. - 2
变式1 已知 2sinθ- cosθ= 1，且 θ∈ 0, π2 ，则 sinα= ，cosα=
变式2 1+sinα = 1 cosα已知 cosα 2 ，则 sinα-1 =　 　
15
第3讲 三角恒等变换
基础知识
1.知识点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α-β) cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α+β) cos(α+ β) = cos αcos β- sin αsin β α，β∈R
2.知识点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α+β) sin(α+ β) = sin αcos β+ cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α-β) sin(α- β) = sin αcos β- cos αsin β α，β∈R
3.知识点三 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
( + ) = tanα+tanβ两角和的正切 tan α β - T α，β，α+ β≠ kπ+
π (k∈ Z)
1 tanαtanβ (α+β) 2
两角差的正切 tan( - ) =
tanα-tanβ
α β + T(α-β) α，β，α- β≠ kπ+
π (k∈ Z)
1 tanαtanβ 2
4.知识点 4 二倍角公式
例题讲解
16
1.公式的直接应用
例题1.计算下列各式的值．
(1)cos 13π12 ；(2)sin 460°sin(-160°) + cos 560°cos(-280°)
1
；(3) 2 cos 105° +
3
2 sin 105°.
解　 (1)cos 13π12 = cos π+
π
12 =-cos
π =-cos 3π - 2π12 12 12 =-cos
π - π4 6 =
- cos π4 cos
π
6 +sin
π
4 sin
π
6 =-
2
2 ×
3 + 22 2 ×
1
2 =-
6+ 2
4 .
(2)原式=-sin 100° sin 160° +cos 200°cos 280° =-sin 100°sin 20° -cos 20°cos 80° =- (cos
80°cos 20° +sin 80°sin 20°) =-cos 60° =- 12 .
(3) 12 cos 105° +
3
2 sin 105° = cos 60°cos 105° +sin 60°sin 105° = cos(60° -105°) = cos(-45°) =
2
2 .
变式1 化简下列各式：
(1)cos(θ+ 21°)cos(θ- 24°) + sin(θ+ 21°)sin(θ- 24°)；
(2) - sin 167°·sin 223° +sin 257°·sin 313°.
解：(1)原式= cos[θ+ 21° - (θ- 24°)]= cos 45° = 22 .
(2)原式=-sin(180° -13°)sin(180° +43°) + sin(180° +77°)·sin(360° -47°)
= sin 13°sin 43° +sin 77°sin 47° = sin 13°sin 43° +cos 13°cos 43° = cos(13° -43°) = cos(-30°) =
3
2 .
2. (1)cos 105° (2) sin47°-sin17°cos30°例题 计算： ； .
cos17°
解　 (1)cos 105° = cos(60° +45°) = cos 60°cos 45° -sin 60°sin 45° = 1 × 22 2 -
3 2
2 × 2
= 2- 64 .
( ) sin47°-sin17°cos30° = sin(17°+30°)-sin17°cos30°2
cos17° cos17°
= sin17°cos30°+cos17°sin30°-sin17°cos30° = cos17°sin30° 1
cos17° cos17° = sin 30° = 2 .
变式1 计算：(1)sin 14°cos 16° +sin 76°cos 74°；
(2)sin(54° -x)cos(36° +x) + cos(54° -x)sin(36° +x)．
解　 (1)原式= sin 14°cos 16° +sin(90° -14°)cos(90° -16°)
= sin 14°cos 16° +cos 14°sin 16°
= sin(14° +16°) = sin 30° = 12 .
(2)原式= sin[(54° -x) + (36° +x)]= sin 90° = 1.
3. (1)tan(-75°) (2) tan74°+tan76°例题 计算： ； - ° ° ；(3)tan 23° +tan 37° + 3tan 23°tan 37°.1 tan74 tan76
1+ 3
解 (1) ∵ tan 75° = tan(45° +30°) = tan45°+tan30° 3 3+ 3 12+6 3
1-tan45°tan30° = = = = 2+ 3，1- 3 3- 3 63
∴ tan(-75°) =-tan 75° =-2- 3 .
17
(2)原式= tan(74° +76°) = tan 150° =- 33 .
(3) ∵ tan 60° = 3= tan23°+tan37° ，
1-tan23°tan37°
∴ tan 23° +tan 37° = 3- 3tan 23°tan 37°，
∴ tan 23° +tan 37° + 3tan 23°tan 37° = 3 .
4. (1) 1-tan15°例题 求值： + ° ；(2)tan 10° +tan 35° +tan 10°tan 35°.1 tan15
解: (1) 1-tan15° = tan45°-tan15°+ ° + ° ° = tan(45° -15°) = tan 30° =
3
1 tan15 1 tan15 tan45 3
.
( ) tanα+tanβ2 由 tan(α+ β) =
1- 的变形tanαtanβ
tan α+ tan β= tan(α+ β) (1- tan αtan β)得
tan 10° +tan 35° = tan 45° (1- tan 10°tan 35°) = 1- tan 10°tan 35°，
所以 tan 10° +tan 35° +tan 10°tan 35° = 1.
1-tan2 π
例题5.求下列各式的值：(1)2cos2 25π12 - 1 (2)
8
； π ；(3)cos 20°cos 40°cos 80°.tan 8
解　 (1)原式= cos 25π6 = cos 4π+
π
6 = cos
π
6 =
3
2 .
2 1-tan2 π
(2)原式= 8π = 2×
1 = 2× 1 = 2.
2tan 8 2tan
π π
8 tan 4
1-tan2 π8
(3)原式= 2sin20°cos20°cos40°cos80° = 2sin40°cos40°cos80°
2sin20° 4sin20°
= 2sin80°cos80° = sin160° = sin20° 1° = .8sin20 8sin20° 8sin20° 8
变式1 求下列各式的值：(1)sin π6 cos
π
6 ；(2)cos
2 π
8 - sin
2 π
8 ；(3)
2tan15° .
1-tan215°
解：(1)原式= 1 π π 1 π 32 × 2sin 6 cos 6 = 2 sin 3 = 4 .
(2)原式= cos π 24 = 2 .
(3)原式= tan 30° = 33 .
2.给值求值
π 4 16
例题1.已知 α，β∈ 0，2 ，且 sin α= 5 ，cos(α+ β) =- 65 ，求 cos β的值．
解　因为 α，β∈ 0，π2 ，所以 0< α+ β< π，
由 cos(α+ β) =- 1665 ，得 sin(α+ β) =
63
65 ，
又 sin α= 45 ，所以 cos α=
3
5 ，
所以 cos β= cos[(α+ β) - α]= cos(α+ β)cos α+ sin(α+ β)sin α= - 1665 ×
3 + 63 45 65 × 5 =
18
204
325 .
延伸探究
π π
若把本例中的“α，β∈ 0，2 ”改为“α，β∈ 2 ，π ”，求 cos β的值．
解　因为 α，β∈ π2 ，π ，所以 π< α+ β< 2π，
由 cos(α+ β) =- 1665 ，得 sin(α+ β) =-
63
65 ，
又 sin α= 45 ，所以 cos α=-
3
5 ，
所以 cos β= cos[(α+ β) - α]= cos(α+ β)cos α+ sin(α+ β)sin α
= - 1665 × -
3
5 + -
63 4 204
65 × 5 =- 325 .
变式1 (1) 3 3已知 cos α= 5 ，α∈ 2 π，2π ，则 cos α-
π
3 = .
答案　 3-4 310
解析　因为 cos α= 3 3 45 ，α∈ 2 π，2π ，所以 sin α=- 5 ，
所以 cos α- π = cos αcos π + sin αsin π = 3 × 1 + - 4 × 3 = 3-4 33 3 3 5 2 5 2 10
(2)α，β为锐角，cos(α+ β) = 1213 ，cos(2α+ β) =
3
5 ，求 cos α的值．
解　因为 α，β为锐角，所以 0< α+ β< π.
又因为 cos(α+ β) = 1213 ，
所以 0< α+ β< π2 ，所以 0< 2α+ β< π.
又因为 cos(2α+ β) = 35 ，
所以 0< 2α+ β< π2 ，
所以 sin(α+ β) = 5 413 ，sin(2α+ β) = 5 ，
所以 cos α= cos[(2α+ β) - (α+ β)]= cos(2α+ β)·cos(α+ β) + sin(2α+ β)·sin(α+ β)
= 3 × 12 + 4 × 5 = 565 13 5 13 65 .
π 3 12 3
例题2.已知 2 < β< α< 4 π，cos(α- β) = 13 ，sin(α+ β) =- 5 ，求 cos 2α的值．
解 π 3　∵ 2 < β< α< 4 π，∴-
3 π<-β<- π .∴ 0< α- β< π ，π< α+ β< 34 2 4 2 π.
2
∴ sin(α- β) = 1-cos2(α-β) = 1- 1213 =
5
13 ，
2
cos(α+ β) =- 1-sin2(α+β) =- 1- - 35 =-
4
5 .
∴ cos 2α= cos[(α- β) + (α+ β)]= cos(α- β)cos(α+ β) - sin(α- β)sin(α+ β)
= 12 4 5 3 33 3313 × - 5 - 13 × - 5 =- 65 ，即 cos 2α=- 65 .
延伸探究
1．若本例的条件不变，求 sin 2α的值．
解　由本例解析知
sin 2α= sin[(α- β) + (α+ β)]= sin(α- β)cos(α+ β) + cos(α- β)sin(α+ β)
19
= 513 × -
4
5 +
12
13 × -
3 56
5 =- 65 .
2 π 3π 5．若本例条件变为：2 < β< α< 4 ，sin(α- β) = 13 ，sin(α+ β) =-
5
13 ，求 sin 2β的值．
解　因为 π2 < β< α<
3π π 3
4 ，所以 0< α- β< 4 ，π< α+ β< 2 π.所以 cos(α- β) =
12
13 ，
cos(α+ β) =- 1213 ，
所以 sin 2β= sin[(α+ β) - (α- β)]= sin(α+ β)cos(α- β) - cos(α+ β)sin(α- β)
= - 5 12 1213 × 13 - - 13 ×
5
13 = 0.
反思感悟　给值 (式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式
把“所求角”变成“已知角”．
变式1 已知 sin(α+ β) = 12 ，sin(α- β) =
1 tanα
3 ，求 的值．tanβ
解 1 1　∵ sin(α+ β) = 2 ，∴ sin αcos β+ cos αsin β= 2 .①
∵ sin(α- β) = 13 ，∴ sin αcos β- cos αsin β=
1
3 .②
由①，②解得 sin αcos β= 512 ，cos αsin β=
1
12 ，
5
∴ tanα = sinαcosβ = 12 = 5.
tanβ cosαsinβ 1
12
例题3.已知 cos α+ π4 =
3 π
5 ，2 ≤ α<
3π
2 ，求 cos 2α+
π
4 的值．
解 ∵ π ≤ α< 3π ，∴ 3π ≤ α+ π　 2 2 4 4 <
7π
4 .
∵ cos α+ π4 > 0，∴
3π
2 < α+
π
4 <
7π
4 .
2
∴ sin α+ π4 =- 1-cos2 α+
π
4 =- 1-
3
5 =-
4
5 .
∴ cos 2α= sin 2α+ π2 = 2sin α+
π
4 cos α+
π 4 3
4 = 2× - 5 × 5 =-
24
25 ，
2
sin 2α=-cos 2α+ π2 = 1- 2cos2 α+
π = 1- 2× 3 74 5 = 25 .
∴ cos 2α+ π = 2 cos 2α- 2 sin 2α= 2 × - 24 - 74 2 2 2 25 25 =-
31 2
50 .
延伸探究
1 cos2α．若本例条件不变，求 的值．
sin π4 +α
解 原式= cos
2α-sin2α
　 π π = 2 (cos α- sin α) = 2cos α+
π = 6 .
sin 4 cosα+cos 4 sinα
4 5
2．若本例条件变为：若 x∈ π 0，2 ，sin x-
π 3 π
6 = 5 ，求 sin 2x+ 6 的值．
解 由 sin x- π = 3 ，得 sin xcos π - cos xsin π 3　 6 5 6 6 = 5 ，
两边平方，得 1 sin22 x+
1
4 -
3
4 sin 2x=
9
25 ，
20
∴ 1 · 1-cos2x + 1 3 9 3 1 72 2 4 - 4 sin 2x= 25 ，即 sin 2x· 2 + cos 2x· 2 = 25 ，
∴ sin 2x+ π6 =
7
25 .
反思感悟　解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
① sin 2x= cos π2 -2x = cos 2
π
4 -x = 2cos2
π
4 -x - 1= 1- 2sin2
π
4 -x ；
② cos 2x= sin π -2x = sin 2 π -x = 2sin π2 4 4 -x cos
π
4 -x .
变式1 π 5 π cos2x已知 sin 4 -x = 13 ，0< x< 4 ，求 π 的值．cos 4 +x
sin π +2x 2sin π +x cos π +x
解:原式= 2 4 4 π
cos π
= π = 2sin +x .
4 +x cos 4 +x
4
∵ sin π -x = cos π +x = 5 ，且 0< x< π ，∴ π + x∈ π ，π4 4 13 4 4 4 2 ，
∴ sin π4 +x = 1-cos2
π +x = 124 13 ，
∴原式= 2× 1213 =
24
13 .
3.给值求角
例题1.已知 α，β 2 5 10均为锐角，且 cos α= 5 ，cos β= 10 ，求 α- β的值．
解 ∵ α，β均为锐角，∴ sin α= 5 ，sin β= 3 10　 5 10 .
∴ cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β= 2 5 10 5 3 10 25 × 10 + 5 × 10 = 2 .
又 sin α< sin β，∴ 0< α< β< π2 ，
∴- π2 < α- β< 0.
故 α- β=- π4 .
变式1 已知 cos α= 1 13 π7 ，cos(α- β) = 14 ，且 0< β< α< 2 ，求 β的值．
2
解　由 cos α= 17 ，0< α<
π
2 ，得 sin α= 1-cos
2α= 1- 17 =
4 3
7 .
由 0< β< α< π2 ，得 0< α- β<
π
2 .
又∵ cos(α- β) = 1314 ，
2
∴ sin(α- β) = 1-cos2(α-β) = 1- 1314 =
3 3
14 .
∵ β= α- (α- β)
21
∴ cos β= cos[α- (α- β)]= cos αcos(α- β) + sin αsin(α- β) = 1 × 13 4 3 3 3 17 14 + 7 × 14 = 2 .
∵ 0< β< π2 ，∴ β=
π
3 .
1 5 3
例题2.已知 cos α= 7 ，sin(α+ β) = 14 ，0< α<
π
2 ，0< β<
π
2 ，求角 β的值．
解　因为 0< α< π2 ，cos α=
1
7 ，所以 sin α=
4 3
7 .
又因为 0< β< π2 ，所以 0< α+ β< π.
因为 sin(α+ β) = 5 314 < sin α，所以 cos(α+ β) =-
11
14 ，
所以 sin β= sin[(α+ β) - α]= sin(α+ β)cos α- cos(α+ β)sin α
= 5 3 × 114 7 - -
11
14 ×
4 3
7 =
3
2 .
又因为 0< β< π2 ，所以 β=
π
3 .
延伸探究
若把本例中的“0< β< π π2”改为“ 2 < β< π”，求角 β的值．
解　因为 0< α< π 12 ，cos α= 7 ，所以 sin α=
4 3
7 .
又因为 π < β< π，所以 π < α+ β< 3π2 2 2 .
因为 sin(α+ β) = 5 314 ，所以 cos(α+ β) =-
11
14 ，
所以 sin β= sin[(α+ β) - α]= sin(α+ β)cos α- cos(α+ β)sin α= 5 3 × 114 7 - -
11
14 ×
4 3
7 =
3
2 .
又因为 π2 < β< π，所以 β=
2π
3 .
反思感悟　解决给值 (式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围
来确定，当所求角范围是 (0，π)或 (π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是 π ，3π π π2 2 或 - 2 ，2 时，
选取求正弦值．
变式1 已知 α，β 5均为锐角，且 sin α= 5 ，cos β=
10
10 ，求 α- β的值．
解　因为 α，β均为锐角，且 sin α= 55 ，cos β=
10
10 ，
所以 cos α= 2 55 ，sin β=
3 10
10 .
所以 sin(α- β) = sin αcos β- cos αsin β= 5 × 10 - 2 5 3 10 25 10 5 × 10 =- 2 .
又因为 α，β均为锐角，
所以- π2 < α- β<
π
2 .故 α- β=-
π
4 .
例题3. 1 1已知 tan(α- β) = 2 ，tan β=- 7 ，α，β∈ (0，π)，求 2α- β的值．
解　∵ tan β=- 17 ，tan(α- β) =
1
2 ，
22
1 1
∴ = [( - )+ ]= tan(α-β)+tanβtan α tan α β β 2
- 7 1
1-tan(α- ) = = ，β tanβ 1- 12 × -
1 37
1 + 1
tan(2α- β) = tan[(α- β) + α]= tan(α-β)+tanα 2 3
1- = = 1.tan(α-β)tanα 1- 13 ×
1
2
∵ tan α= 13 > 0，tan β=-
1
7 < 0，
∴ α∈ 0，π2 ，β∈
π
2 ，π ，∴ α- β∈ (-π，0)．
又∵ tan(α- β) = 12 > 0，
∴ α- β∈ -π，- π2 ，2α- β= α+ (α- β) ∈ (-π，0)．
而 tan(2α- β) = 1，∴ 2α- β=- 34 π.
反思感悟　 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
变式1 已知 tan α= 13 ，tan β=-2
π
，且 0< α< 2 < β< π，
求：(1)tan(α- β)的值；
(2)角 α+ β的值．
1 -(-2)
解　 (1)tan(α- β) = tanα-tanβ = 3+ = 7.1 tanα·tanβ 1+ 13 ×(-2)
1 +(-2)
(2) ∵ tan(α+ β) = tanα+tanβ = 3- =-1，1 tanα·tanβ 1- 13 ×(-2)
又 0< α< π ，π2 2 < β< π，
∴ π2 < α+ β<
3
2 π，
∴ α+ β= 34 π.
4.两角和与差的正切公式的综合应用
例题1.已知A，B是三角形ABC的两个内角，且 tan A，tan B是方程 3x2+ 8x- 1= 0的两个实根，
则 tan C=________.
答案　 2
tanA+tanB=-
8 ，
解析　由题意可知 3 tanA·tanB=- 13 ，
- 8
由两角和的正切公式得 tan(A+B) = tanA+tanB- =
3
1 =-2，又A+B+C= π，1 tanAtanB 1- - 3
所以 tan C= tan[π- (A+B)]=-tan(A+B) = 2.
例题2.在△ABC中，tan B+ tan C+ 3 tan Btan C= 3， 3 tan A+ 3 tan B+ 1= tan Atan
23
B，试判断△ABC的形状．
解　由 tan B+ tan C+ 3tan Btan C= 3得
tan(B+C) = tanB+tanC = 3- 3tanBtanC = 3，
1-tanBtanC 1-tanBtanC
又 0又由 3tan A+ 3tan B+ 1= tan Atan B得
3
tanA+tanB 3 (tanA·tanB-1)tan(A+B) = - · = - · =-
3 .
1 tanA tanB 1 tanA tanB 3
又 0∴A+B= 56 π，②
由①②及A+B+C= π解得B= π6 ，C=
π
6 ，A=
2
3 π.
所以△ABC为等腰三角形．
反思感悟　 (1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α± tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考
虑 tan(α± β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
① tan α+ tan β= tan(α+ β) (1- tan αtan β)；
- = tanα+tanβ② 1 tan αtan β ；
tan(α+β)
③ tan α+ tan β+ tan α·tan β·tan(α+ β) = tan(α+ β)；
④ tan α·tan β= 1- tanα+tanβ
tan(α+β) .
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
变式1 tan α tan β x2+ 3 3x+ 4= 0 - π < α< π - π < β< π已知 ， 是方程 的两根，且 2 2 ， 2 2 ，则 α+
β的值为 (　　)
A. π B. - 2π 2π π3 3 C. - 3 或 3 D. 无法确定
答案　B
tanα+tanβ=-3 3，① tanα+tanβ解析　由已知得 所以 tan(α+ β) = =
-3 3 = 3，
tanα·tanβ=4，② 1-tanαtanβ 1-4
又由①②可知 tan α< 0，tan β< 0.
∴- π π2 < α< 0，- 2 < β< 0，∴-π< α+ β< 0，
∴ α+ β=- 23 π.故选B.
5.化简与证明
例题1.
(1) sin2x x化简：2cosx 1+tanxtan 2 . (2)
3-4cos2A+cos4A
求证： + + = tan
4A.
3 4cos2A cos4A
sinxsin x
(1)解 sin2x　 2cosx 1+tanxtan
x = sin2x 1+ 2 2 2cosx
cosxcos
x
2
24
x
2sinxcosx cosxcos 2 +sinxsin
x
2 cos
x
= 2cosx · = sin x·
2 = tan x.
cosxcos x2 cosxcos
x
2
2 2 2 2
(2)证明 因为左边= 3-4cos2A+2cos 2A-1 = 1-cos2A = 2sin A　 = (tan2A)2
3+4cos2A+2cos22A-1 1+cos2A 2cos2A
= tan4A=右边，
所以 3-4cos2A+cos4A = tan4A.
3+4cos2A+cos4A
反思感悟　证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用
“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、
“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
变式1 (1) 1化简： - tan θtan 2θ.
cos2θ
(2)求证：sin3αsin 3α+ cos3αcos 3α= cos32α.
1 2 2(1)解 - tan θtan 2θ= 1 - sinθsin2θ = cosθ-2sin θcosθ = 1-2sin θ = cos2θ =
cos2θ cos2θ cosθcos2θ cosθcos2θ cos2θ cos2θ
1.
(2)证明　左边= sin2αsin αsin 3α+ cos2αcos αcos 3α
= 1-cos2α2 sin αsin 3α+
1+cos2α
2 cos αcos 3α
= 12 (sin αsin 3α+ cos αcos 3α) +
1
2 cos 2α(-sin αsin 3α+ cos αcos 3α)
= 1 12 cos(α- 3α) + 2 cos 2αcos(3α+ α)
= 1 12 cos 2α+ 2 cos 2αcos 4α
= 12 cos 2α(1+ cos 4α)
= 12 cos 2α·2cos
22α= cos32α=右边．
课后练习
1. cos 47°cos 137° +sin 47°sin 137°的值等于 (　　)
A. 0 B. 1 C. - 1 D. 12
答案　A
解析　原式= cos(47° -137°) = cos(-90°) = 0.
2. 12已知 cos α= 13 ，α∈
3π 2π cos α- π2 ， ，则 4 的值为 (　　)
A. 5 2 B. 7 213 13 C.
17 2 7 2
26 D. 26
答案　D
α∈ 3π解析　因为 2 ，2π ，所以 sin α=-
5
13 ，所以 cos α-
π π π 12
4 = cos αcos 4 + sin αsin 4 = 13
25
× 2 + - 5 × 2 = 7 22 13 2 26 .
3. 3 5已知锐角 α，β满足 cos α= 5 ，cos(α+ β) =- 13 ，则 cos(2π- β)的值为 (　　)
A. 33 B. - 33 C. 5465 65 65 D. -
54
65
答案　A
解析　因为 α，β为锐角，cos α= 35 ，cos(α+ β) =-
5
13 ，
所以 sin α= 4 125 ，sin(α+ β) = 13 ，
所以 cos(2π- β) = cos β= cos[(α+ β) - α]= cos(α+ β)·cos α+ sin(α+ β)·sin α
= - 5 3 12 4 3313 × 5 + 13 × 5 = 65 .
4. cos(α- 35°)cos(α+ 25°) + sin(α- 35°)sin(α+ 25°) = .
1
答案　 2
解析　原式= cos[(α- 35°) - (α+ 25°)]= cos(-60°) = cos 60° = 12 .
5. cos 75° -cos 15°的值等于 ．
答案　- 22
解析　原式= cos(120° -45°) - cos(45° -30°)
= cos 120°cos 45° +sin 120°sin 45° - (cos 45°cos 30° +sin 45°sin 30°)
=- 1 × 2 + 3 × 2 - 2 3 2 12 2 2 2 2 × 2 - 2 × 2 =-
2
2 .
6. sin 20°cos 10° -cos 160°sin 10°等于 (　　)
A. - 3 3 1 12 B. 2 C. - 2 D. 2
答案　D
解析　 sin 20°cos 10° -cos 160°sin 10° = sin 20°cos 10° +cos 20°sin 10° = sin 30° = 12 .
7.若 cos α=- 45 ，α是第三象限的角，则 sin α+
π
4 等于 (　　)
A. - 7 2 B. 7 2 C. - 2 210 10 10 D. 10
答案　A
8. cos α+ π已知 6 =
4
5 (α为锐角)，则 sin α等于 (　　)
A. 3 3+4 B. 3+4 3 C. 3-4 310 10 10 D.
3 3-4
10
答案　D
α∈ 0 π α+ π ∈ π 2π解析　因为 ，2 ，所以 6 6 ，3 .
sin α+ π
2
所以 6 = 1-cos2 α+
π
6 = 1-
4
5 =
3
5 .
所以 sin α= sin α+ π - π 6 6 = sin α+
π
6 cos
π
6 - cos α+
π
6 sin
π
6 =
3 × 3 4 15 2 - 5 × 2 =
26
3 3-4
10 .
9.已知 sin α+ cos β= 1，cos α+ sin β= 0，则 sin(α+ β) = .
1
答案　- 2
解析　∵ sin α+ cos β= 1，cos α+ sin β= 0，∴ sin2α+ cos2β+ 2sin αcos β= 1，① cos2α+ sin2β+
2cos αsin β= 0，②
①②两式相加可得 sin2α+ cos2α+ sin2β+ cos2β+ 2(sin αcos β+ cos αsin β) = 1，
∴ sin(α+ β) =- 12 .
10. 2 5 10已知锐角 α，β满足 sin α= 5 ，cos β= 10 ，则 α+ β= .
3π
答案　 4
2 5
解析　∵ α，β为锐角，sin α= 5 ，cos β=
10
10 ，∴ cos α=
5 3 10
5 ，sin β= 10 .∴ cos(α+ β) =
cos αcos β- sin αsin β= 5 × 10 - 2 5 3 105 10 5 × 10 =-
2
2 .又∵ 0< α+ β< π，∴ α+ β=
3π
4 .
11.若 tan β= 3，tan(α- β) =-2，则 tan α等于 (　　)
A. 17 B. -
1
7 C. 1 D. - 1
答案　A
= [( - )+ ]= tan(α-β)+tanβ解析　 tan α tan α β β = -2+3 1- = .1 tan(α-β)tanβ 1-(-2)×3 7
12.设 sin α= 3 π5 2 <α<π ，tan(π- β) =
1
2 ，则 tan(α- β)的值为 (　　)
A. - 27 B. -
2
5 C. -
2 11
11 D. - 2
答案　C
3 π 3
解析　∵ sin α= 5 2 <α<π ，∴ tan α=- 4 .∵ tan(π- β) =
1
2 ，∴ tan β=-
1
2 .∴ tan(α- β) =
tanα-tanβ =- 2
1+tanαtanβ 11 .
13. 1-tan21°与 + ° 相等的是 (　　)1 tan21
A. tan 66° B. tan 24° C. tan 42° D. tan 21°
答案　B
= tan45°-tan21°解析　原式 + ° ° = tan(45° -21°) = tan 24°.1 tan45 tan21
14.若 tan 28°·tan 32° =m，则 tan 28° +tan 32°等于 (　　)
A. 3m B. 3 (1-m) C. 3 (m- 1) D. 3 (m+ 1)
答案　B
解析　∵ 28° +32° = 60°，∴ tan 60° = tan(28° +32°) = tan28°+tan32°
1-tan28°tan32° = 3，∴ tan 28° +tan 32°
= 3 (1-m)．
27
15.求值：tan 11π12 =________.
答案　-2+ 3
11π π π π tan
π
4 -tan
π 3
tan 6
1-
解析　 12 =-tan 12 =-tan 4 - 6 =- π π =-
3 =-2+ 3 .
1+tan 4 tan 6 1+
3
3
16. 3下列各式中，值为 2 的是 (　　)
A. 2sin 15°cos 15° B. cos215° -sin215° C. 2sin215° D. sin215° +cos215°
答案　B
解析　 2sin 15°cos 15° = sin 30° = 12 ；cos
215° -sin215° = cos 30° = 32 ；
2sin215° = 1- cos 30° = 1- 32 ；sin
215° +cos215° = 1，故选B.
17.若 sin α 32 = 3 ，则 cos α等于 (　　)
A. - 23 B. -
1
3 C.
1 2
3 D. 3
答案　C
α 3 2
解析　因为 sin 2 = 3 ，所以 cos α= 1- 2sin
2 α
2 = 1- 2×
3 1
3 = 3 .
18. sin4 π12 - cos
4 π
12 等于 (　　)
A. - 1 3 1 32 B. - 2 C. 2 D. 2
答案　B
解析　原式= sin2 π +cos2 π 2 π 2 π 2 π 2 π π 312 12 · sin 12 -cos 12 =- cos 12 -sin 12 =-cos 6 =- 2 .
19. cos275° +cos215° +cos 75°cos 15°的值等于 (　　)
A. 6 3 5 32 B. 2 C. 4 D. 1+ 4
答案　C
解析　原式= sin215° +cos215° +sin 15°cos 15° = 1+ 12 sin 30° = 1+
1 = 54 4 .
20. sin 22.5°cos 202.5° =________.
2
答案　- 4
解析　 sin 22.5°cos 202.5° = sin 22.5°·(-cos 22.5°) =- 12 sin 45° =-
2
4 .
28
第4讲 三角函数的图象与性质
基础知识
1.正弦曲线：y= sinx，x∈R的图像与性质
y
2
1
5π 9π 4π 7π 3π 5π 2π 3π π π π π 3π 2π 5π 3π 7π 4π 9π x2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 5π
2
定义域 R
值域 [-1 , 1]
π
对称性 对称轴：x= kπ+ 2 (k∈ Z)；对称中心：(kπ , 0) (k∈ Z)
奇偶性 奇函数
周期性 最小正周期：2π
在 -
π
2 +2kπ,
π
2 +2kπ

(k∈ Z)上单调递增；
单调性
在 π +2kπ, 3π +2kπ 2 2 (k∈ Z)上单调递减
在 x= π2 + 2kπ(k∈ Z)时，ymax= 1；
最值
在 x=- π2 + 2kπ(k∈ Z)时，ymin=-1
2.余弦曲线：y= cosx，x∈R的图像与性质
y
1
5π 9π 4π 7π 3π 5π 2π 3π π π π π 3π 5π 7π 9π x2 2 2 2 2 1 2 2 2π 2 3π 2 4π 2 5π
定义域 R
值域 [-1 , 1]
对称性 对称轴：x= kπ(k∈ Z)；对称中心： kπ+ π2 ,0 (k∈ Z)
奇偶性 偶函数
周期性 最小正周期：2π
在 [-π+ 2kπ，2kπ] (k∈ Z)上单调递增；
单调性
在 [2kπ , π+ 2kπ] (k∈ Z)上单调递减
在 x= 2kπ(k∈ Z)时，ymax= 1；
最值
在 x= π+ 2kπ(k∈ Z)时，ymin=-1
3.正切曲线：y= tanx π，x≠ 2 + kπ(k∈ Z)的图像与性质
29
x≠ π定义域 2 + kπ(k∈ Z)
值域 R
周期 T= kπ(k≠ 0，k∈ Z
y
最小正周期 π 3
奇偶性 奇函数 2
对称轴 关于原点 (0，0) 1对称
kπ
3π π π x
对称中心 2 ，0 k∈ Z 2
π 2 1 2 π
2
π π
单调性 - 2 +kπ，2 +kπ 单调递增 k∈ Z 3
渐进线 x= π2 + kπ k∈ Z
y=Atan(ωx+ φ)的周期T= π|ω|
1.三角函数的定义域
三角函数的定义域
【基本知识】
三角函数 正弦函数 y= sinx 余弦函数 y= cosx 正切函数 y= tanx
图象
定义域 R R x x∈R π，且x≠kπ+ ，k∈Z 2
【方法总结】
三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数 y= tanx的定义域求函数 y=Atan(ωx+ φ)的定义域转化为求解简单的
三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．简单的三角不等式，利用三角函数的图象求解．
例 ：不等式 sinx≥ 22 , x∈ (0 , 2π)的解集为
π , 3π4 4 。
解∵ sinx≥ 22 , x∈ (0 , 2π)，y= sinx函数图象如下所
y
1
示：
∴ π ≤ x≤ 3π 3π π π π 3π4 4 2 π 2 4 2 4 π
3π x
2 2π
∴不等式的解集为： π 3π
1
4 , 4 ．
例题1.函数 f(x) =-2tan 2x+ π6 的定义域是 x x≠
kπ + π 2 6 (k∈Z) .
解析:由正切函数的定义域，得 2x+ π6 ≠ kπ+
π ，k∈ Z，即 x≠ kπ2 2 +
π
6 (k∈ Z)．
30
变式1 1函数 y= tanx-1 的定义域为________．
π π tanx-1≠0，答案 x x≠ +kπ，且x≠ +kπ，k∈Z 4 2 解析要使函数有意义，必须有 x≠ π2 +kπ，k∈Z，
x≠
π
4 +kπ，k∈Z，即 故函数的定义域为 x x≠ π +kπ，且x≠ π +kπ，k∈Z ．x≠ π2 +kπ，k∈Z. 4 2
例题2.函数 y= lg 2-2cosx 的定义域是 x π4 +2kπ7π
4 +2kπ,k∈Z .
【解析】由 2- 2cosx> 0得 cosx< 22 ，作出 y= cosx的图象和直线 y=
2
2 ，
y
y= 2
1 2
x
2π π π 2π x
由图象可知 cosx< 22 的解集为
x π4 +2kπ7π
4 +2kπ,k∈Z ，
故答案为： x π4 +2kπ7π +2kπ,k∈Z 4 .
变式1 函数 y= cosx- 32 的定义域为 .
答案 2kπ-
π ，2kπ+ π 6 6 (k∈ Z)
解析因为 cosx- 32 ≥ 0，即 cosx≥
3
2 ，所以 2kπ-
π
6 ≤ x≤ 2kπ+
π
6 ，k∈ Z.
变式2 已知 f(x) 3的定义域是 -1, 2 ，则 f(sin2x)的定义域为 .
【答案】 - 2π 3 +kπ,
π
6 +kπ

，k∈ Z
【解析】f(x)的定义域是 -1, 3 2 ，故由-1≤ sin2x≤
3 可得，解得- 4π2 3 + 2kπ≤ 2x≤
π
3 +
2kπ k∈Z ，∴- 2π + kπ≤ x≤ π + kπ k∈Z 因此，函数 f(sin2x)的定义域为 [- 2π + 2kπ , π 3 6 3 6 + 2kπ] ,
k∈Z .
例题3.函数 y= sinx-cosx的定义域为 2kπ+ π 5π4 ，2kπ+ 4 (k∈Z) ．
解析方法一要使函数有意义，必须使 sinx- cosx≥ 0．利用图象，在同一坐标系中画出 [0，2π]上 y= sinx和
y= cosx的图象，如图所示．
在 [0，2π]内，满足 sinx= cosx的 x为 π ，5π4 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以原函数的定义域为
x 2kπ+ π4 ≤x≤2kπ+
5π
4 ，k∈Z ．
变式1 函数 y= lg(sinx) + cosx- 12 的定义域为 ．
答案 x 2kπ31
sinx>0， sinx>0， 2kπ所以 2kπ< x≤ π3 + 2kπ(k∈ Z)，所以函数的定义域为 x 2kππ
3 (k∈ Z)．
变式2 函数 y= lg(sin2x) + 9-x2的定义域为______________．
π
答案 π π -3，- ∪ 0， 解析由
sin2x>0， kπ，k∈Z， π
2 2 2 ∴-3≤ x<- 或 0< x9-x ≥0， -3≤x≤3. 2
< π2 .∴函数 y= lg(sin2x) + 9-x
2的定义域为 -3，-
π
2 ∪ 0，
π
2 ．
2.三角函数的值域 (最值)
三角函数的值域(最值)
【基本知识】
三角函数 正弦函数 y= sin x 余弦函数 y= cos x 正切函数 y= tan x
图象
定义域 R R x x∈R，且x≠kπ+ π2 ，k∈Z
值域 [-1，1] [-1，1] R
π
当且仅当 x= 2 + 2kπ
当且仅当 x= 2kπ(k∈ Z)
(k∈ Z)时，取得最大值
π 时，取得最大值 1；当且仅最值 1；当且仅当 x=- 2 + 当 x= π+ 2kπ(k∈ Z)时，
2kπ(k∈ Z)时，取得最 取得最小值-1
小值-1
【方法总结】
求三角函数的值域 (最值)的 3种类型及解法思路
(1)形如 y= asinx+ bcosx+ c的三角函数化为 y=Asin(ωx+ φ) + k的形式，再求值域 (最值)；
(2)形如 y= asin2x+ bsinx+ c的三角函数，可先设 sinx= t，化为关于 t的二次函数求值域 (最值)；
(3)形如 y= asinxcosx+ b(sinx± cosx) + c的三角函数，可先设 t= sinx± cosx，化为关于 t的二次函数
求值域 (最值)；
(4)对分式形式的三角函数表达式也可构造基本不等式求最值．
例求下列函数的值域：
(1)y= cos x+ π x∈ 0 π， 6 ，2 2 ； (2)y= cos x- 4cosx+ 5.
解：(1)由 y= cos x+ π ，x∈ 0，π 可得 x+ π ∈ π 2π 6 2 6 6 ，3 ，
因为函数 y= cos x在区间 π 6 ，
2π 3 上单调递减，所以函数的值域为
- 1 3 2 ， 2 .
(2)y= cos2x- 4cos x+ 5，令 t= cos x，则-1≤ t≤ 1.
32
y= t2- 4t+ 5= (t- 2)2+ 1，
当 t=-1，函数取得最大值 10；
t= 1时，函数取得最小值 2，所以函数的值域为 [2 , 10]．
例题1.函数 y= 2sin πx - π6 3 (0≤ x≤ 9)的最大值与最小值之和为 ()
A. 2- 3 B. 0 C. - 1 D. - 1- 3
答案A解析因为 0≤ x≤ 9，所以- π ≤ πx - π 7π3 6 3 ≤ 6 ，所以-
3 ≤ sin πx2 6 -
π
3 ≤ 1，则- 3≤ y
≤ 2．所以 ymax+ ymin= 2- 3．
变式1 函数 f(x) = sin 2x- π π4 在区间 0，2 上的最小值为 ( )
A. - 1 B. - 22 C.
2
2 D. 0
答案B解析由已知 x∈ 0，π ，得 2x- π ∈ - π ，3π 2 4 4 4 ，所以 sin 2x-
π ∈ 4 -
2 ，1 2 ，故函数
f(x) = sin 2x- π 在区间 π 4 0，2 上的最小值为-
2
2 ．故选B．
变式2 函数 f(x) = 3cos 2x- π π 6 ，则 f(x)在区间 0，2 上的值域为 ．
答案 -
3 3
2 ，3 解析当 x∈
π
0，2 时，2x-
π ∈ - π ，5π π 3 6 6 6 ，cos 2x- 6 ∈ - 2 ，1 ，故 f(x)
= 3cos 2x- π ∈ - 3 36 2 ，3

．
例题2.函数 y= cos2x- 2sinx的最大值与最小值分别为 ()
A. 3，-1 B. 3，-2 C. 2，-1 D. 2，-2
答案D解析 y= cos2x- 2sinx= 1- sin2x- 2sinx=-sin2x- 2sinx+ 1，令 t= sinx，则 t∈ [-1，1]，y
=-t2- 2t+ 1=- (t+ 1)2+ 2，所以 ymax= 2，ymin=-2．
变式1 函数 f(x) = sin2x+ 3cosx- 34 x∈ 0
π
， 2 的最大值是 ．
2
答案 1解析依题意，f(x) = sin2x+ 3cosx- 34 =-cos
2x+ 3cosx+ 14 =- cosx-
3
2 + 1，因
为 x∈ 0，π 2 ，所以 cosx∈ [0，1]，因此当 cosx=
3
2 时，f(x)max= 1．
例题3.函数 y= sinx- cosx+ sinxcosx的值域为 ．
2
答案 - 1 - 2，1 2 解析设 t= sinx- cosx，则 t
2= sin2x+ cos2x- 2sinx·cosx，sinxcosx= 1-t2 ，且
2
- 2≤ t≤ 2．∴ y=- t2 + t+
1
2 =-
1
2 (t- 1)
2+ 1，t∈ [- 2， 2]．当 t= 1时，ymax= 1；当 t=- 2
时，y 1min=- 2 - 2．∴函数的值域为
1
- 2 - 2，1 ．
变式1 函数 f(x) = sinx+ cosx+ sinxcosx，则 f(x)的最大值为 ．
答案 2 2+1
2
2 解析设 t= sinx+ cosx(- 2≤ t≤ 2 )，则 sinxcosx=
t -1
2 ，y= t+
1
2 t
2- 12 =
1
2
(t+ 1)2- 1，当 t= 2时，y= t+ 1 t2- 1 取最大值为 2+ 1 ．故 f(x)的最大值为 2 2+12 2 2 2 ．
4. A tan
2A+1
例题 已知 为钝角，则 + 3的最大值为 ．
tanA
33
【答案】1
【详解】∵A为钝角,∴ tanA< 0,∴ tan
2A+1 + 3= tanA+ 1 + 3=- -tanA+ 1
tanA tanA -tanA + 3
≤-2 -tanA× 1-tanA + 3= 1，
当且仅当-tanA= 1
2
- ，即 tanA=-1时等号成立，故
tan A+1 + 3的最大值为 1.
tanA tanA
故答案为：1.
例题5.求下列函数的最大值、最小值以及达到最大 (小)值时 x的值的集合：
(1)y= 3 cos 2πx+ 4π2 3 ； (2)y=-6sin 2.5x+
π
2 ．
【详解】(1)函数 y= 3 cos 2πx+ 4π 的最大值为 32 3 2 ，最小值为-
3
2 ，
当 cos 2πx+ 4π3 = 1时，函数 y=
3
2 cos 2πx+
4π
3 取最大值
3
2 .
由 2πx+ 4π3 = 2kπ , k∈ Z，解得 x= k-
2
3 , k∈ Z，
此时，x值的集合为 x x=k- 2 3 ,k∈Z ；
当 cos 2πx+ 4π =-1时，函数 y= 33 2 cos 2πx+
4π
3 取最小值-
3
2 .
由 2πx+ 4π3 = 2kπ+ π , k∈ Z，解得 x= k-
1
6 , k∈ Z，
此时，x值的集合为 x x=k- 1 6 ,k∈Z .
(2)函数 y=-6sin 2.5x+ π2 的最大值为 6，最小值为-6，
y=-6sin 2.5x+ π2 =-6cos2.5x
当 cos2.5x=-1时，函数 y=-6sin 2.5x+ π2 取最大值 6.
由 2.5x= 2kπ+ π , k∈ Z，解得 x= 4 25 kπ+ 5 π , k∈ Z，
此时，x值的集合为 x x= 45 kπ+
2
5 π,k∈Z
；
当 cos2.5x= 1时，函数 y=-6sin 2.5x+ π2 取最小值-6.
由 2.5x= 2kπ , k∈ Z，解得 x= 45 kπ , k∈ Z，
此时，x值的集合为 x x= 4 5 kπ,k∈Z .
例题6.已知函数 f(x) = sin x+ π6
π 1
，其中 x∈ - 3 ，a ，若 f(x)的值域是
- ，1 2 ，则实数 a的取值
范围是 ．
答案 π 3 ，π 解析∵ x∈
- π 3 ，a

，∴ x+
π ∈ - π π π π π 6 6 ，a+ 6 ，∵当 x+ 6 ∈ - 6 ，2 时，f(x)的值
域为 -
1 π π 7π
2 ，1 ，∴由函数的图象 (图略)知，2 ≤ a+ 6 ≤ 6 ，∴
π
3 ≤ a≤ π．
变式1 设函数 f(x) = 3sin π2 x+
π
4 ，若存在这样的实数 x1，x2，对任意的 x∈R，都有 f(x1) ≤ f(x)
≤ f(x2)成立，则 |x1- x2|的最小值为 ．
答案 2解析 |x1- x2|的最小值为函数 f(x)的半个周期，又T= 4，∴ |x1- x2|的最小值为 2．
变式2 已知函数 f(x) = 2sin 2x+ π6 ，记函数 f(x) t t+
π
在区间 ， 4 上的最大值为M，最小值为m，
34
设函数 h(t) =M -m π 5π t t．若 t∈ 12 ，12 ，则函数 h(t)的值域为 ．
答案 [1，2 2]解析由已知函数 f(x)的周期T= π，区间 t，t+
π 的长度为 T4 4 ．作出函数 f(x)在
π ，2π 12 3 的图象．
又 t∈ π ，5π 12 12 ，则由图象可得，当 x∈
π π π π
12 ，3 时，h(t)取最小值为 f 6 - f 3 = 2- 1= 1，当
x∈ π ，2π 时，函数 f(x)为减函数，则 h(t) = f(t) - f t+ π 6 3 4 = 2 2sin 2t-
π
12 ，所以当 t=
7π
24 时，
h(t)的最大值为 2 2，故所求值域为 [1，2 2]．
变式3 已知函数 f(x) = 2sinωx在区间 π π - 3 ，4 上的最小值为-2，则ω的取值范围是 ．
答案 (-∞，-2]∪ 3 2 ，+∞ 解析显然ω≠ 0．若ω> 0，当 x∈ -
π
3 ，
π 4 时，-
π
3 ω≤ωx≤
π
4 ω，因
为函数 f(x) = 2sinωx在区间 - π ，π 3 4 上的最小值为-2，所以-
π
3 ω≤-
π
2 ，解得ω≥
3
2 ．若ω< 0，当
x∈ - π ，π π π π π 3 4 时，4 ω≤ωx≤- 3 ω，因为函数 f(x) = 2sinωx在区间 - 3 ，4 上的最小值为-2．所
以 π4 ω≤-
π
2 ，解得ω≤-2．综上所述，符合条件的实数 ω的取值范围是 (-∞，-2]∪
3
2 ，+∞ ．
变式4 已知函数 f(x) = cos(2x+ θ) 0≤θ≤ π2 -
3π
在 8 ，-
π π
6 上单调递增，若 f 4 ≤m恒成立，
则实数m的取值范围为 ．
答案 [0，+∞)解析 f(x) = cos(2x+ θ) 0≤θ≤ π2 ，当 x∈ -
3π ，- π 3π 8 6 时，- 4 + θ≤ 2x+ θ≤
3π
- π
-π+2kπ≤- +θ，
3 + θ，由函数 f(x)在
3π π 4 - 8 ，- 6 上是增函数得 π k∈ Z，则 2kπ-
π
4 ≤ θ≤ 2kπ- 3 +θ≤2kπ，
+ π3 (k∈ Z)．又 0≤ θ≤
π
2 ，∴ 0≤ θ≤
π π π π π 5π π
3 ，∵ f 4 = cos 2 +θ ，又 2 ≤ θ+ 2 ≤ 6 ，∴ f 4 =max
0，∴m≥ 0．
变式5 已知函数 f (x) = Asin(ωx + φ) (A > 0，ω > 0，0 < φ < π)的图象与 x轴的一个交点
- π12 ，0
π π 3 π
到其相邻的一条对称轴的距离为 4 ，若 f 12 = 2 ，则函数 f (x)在 0，2 上的最小值为
( )
A. 12 B. - 3 C. -
3
2 D. -
1
2
答案C解析由题意得，函数 f(x)的最小正周期T= 4× π4 = π=
2π
ω ，解得ω= 2．因为点 -
π
12 ，0
在函数 f(x)的图象上，所以Asin 2× - π12 +φ = 0，解得 φ= kπ+
π
6 ，k∈ Z，由 0< φ< π，可得 φ=
π
6 ．因为 f
π
12 =
3
2 ，所以Asin2×
π + π12 6 =
3
2 ，解得A= 3，所以 f(x) = 3sin2x+
π
6 ．当 x∈
π π π 7π π 1 π 7π π 0，2 时，2x+ 6 ∈ 6 ，6 ，sin2x+ 6 ∈ - 2 ，1 ，且当 2x+ 6 = 6 ，即 x= 2 时，函数 f(x)取得
35
最小值，最小值为- 32 ，故选C．
3.三角函数的奇偶性、周期性与对称性
奇偶性、周期性与对称性
【基本知识】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈ Z)
函数 y= sin x y= cos x y= tan x
图象
R R x|x∈R x≠kπ+ π定义域 ，且 2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0) kπ+ π2 ，0
kπ
2 ，0
π
对称轴方程 x= kπ+ 2 x= kπ 无
【常用结论】
1．三角函数的周期性
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ)的最小正周期 T= 2π| | ．应特别注意函数 y= |Asin(ωx+ φ)|的周期为 T=ω
π
| | ，函数 y= |Asin(ωx+ φ) + b|(b≠ 0)的最小正周期T=
2π
ω |ω| ．
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ)的最小正周期 T= 2π| | ．应特别注意函数 y= |Acos(ωx+ φ)|的周期为 T=ω
π
| | ．函数 y= |Acos(ωx+ φ) + b|(b≠ 0)的最小正周期均为T=
2π
ω | ．ω|
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ)的最小正周期 T= π| | ．应特别注意函数 y= |Atan(ωx+ φ)|的周期为 T=ω
π
| | ，函数 y= |Atan(ωx+ φ) + b|(b≠ 0)的最小正周期均为T=
π
ω |ω| ．
2．三角函数的奇偶性
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ)是奇函数 φ= kπ(k∈ Z)，是偶函数 φ= kπ+ π2 (k∈ Z)；
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ)是奇函数 φ= kπ+ π2 (k∈ Z)，是偶函数 φ= kπ(k∈ Z)；
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ)是奇函数 φ= kπ(k∈ Z)．
3．三角函数的对称性
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ)的图象的对称轴由 ωx+ φ= kπ+ π2 (k∈ Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx+ φ
= kπ(k∈ Z)解得；
36
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ)的图象的对称轴由 ωx+ φ= kπ(k∈ Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx+ φ= kπ
+ π2 (k∈ Z)解得；
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ)的图象的对称中心由ωx+ φ= kπ2 (k∈ Z)解得．
【方法总结】
三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)若 f(x) =Asin(ωx+ φ)为偶函数，则 φ= kπ+ π2 (k∈ Z)，同时当 x= 0时，f(x)取得最大或最小值．若
f(x) =Asin(ωx+ φ)为奇函数，则 φ= kπ(k∈ Z)，且当 x= 0时，f(x) = 0．
(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y = Asin(ωx + φ)，y = Acos(ωx + φ)，y =
Atan(ωx+ φ)的形式，再分别应用公式T= 2π ，T= 2π π| | | | ，T= | | 求解．ω ω ω
(3)对于函数 y=Asin(ωx+ φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零
点，因此在判断直线 x= x0或点 (x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
例：函数 y= sin 2x+ π3 的图象的对称轴方程是______，对称中心的坐标是_______．
解析　根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与 x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与 x轴
的交点均为对称中心．
要使 sin 2x+ π3 =±1，必有 2x+
π
3 = kπ+
π
2 (k∈ Z)，所以 x=
k
2 π+
π
12 (k∈ Z)，
即对称轴方程为 x= k π+ π2 12 (k∈ Z)，
而函数 y= sin 2x+ π3 的图象与 x轴的交点即为对称中心，
所以令 y= 0，即 sin 2x+ π3 = 0，
所以 2x+ π3 = kπ(k∈ Z)，即 x=
k π- π2 6 (k∈ Z)，
故函数 y= sin 2x+ π3 的图象的对称中心的坐标为
k
2 π-
π
6 ，0 (k∈ Z)．
例题1.对于四个函数 y= sinx ，y= cosx ，y= sin x ，y= tan x ，下列说法错误的是 ( )
A. y= sinx 不是奇函数，最小正周期是 π，没有对称中心
B. y= cosx 是偶函数，最小正周期是 π，有无数多条对称轴
C. y= sin x 不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D. y= tan x 是偶函数，最小正周期是 π，没有对称中心
【答案】D
【详解】对于A选项，如下图所示：
由图可知，函数 y= sinx 不是奇函数，最小正周期是 π，没有对称中心，A对；
对于B选项，如下图所示：
由图可知，y= cosx 是偶函数，最小正周期是 π，有无数多条对称轴，B对；
37
对于C选项，如下图所示：
由图可知，y= sin x 不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对；
对于D选项，如下图所示：
由图可知，函数 y= tan x 是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.
故选：D.
变式1 求下列三角函数的最小正周期T：
(1)f(x) = sin x+ π3 ；(2)f(x) =
1 cos 2x+ π2 3 ；(3)f(x) = |sin x|.
解：(1)令 z= x+ π3 ，因为 sin(2π+ z) = sin z，所以 f(2π+ z) = f(z)，f (x+2π)+
π
3 = f x+
π
3 ，
所以T= 2π.
(2)法一 (定义法)：因为 f(x) = 12 cos 2x+
π
3 =
1
2 cos 2x+
π +2π = 13 2 cos
π
2(x+π)+ 3 = f(x
+ π)，
即 f(x+ π) = f(x)，所以函数 f(x) = 12 cos 2x+
π
3 的最小正周期T= π.
法二 (公式法)：因为 f(x) = 12 cos 2x+
π
3 ，所以ω= 2.又最小正周期T=
2π = 2π| | 2 = π，ω
所以函数 f(x) = 12 cos 2x+
π
3 的最小正周期T= π.
(3)法一：因为 f(x) = |sin x|，
所以 f(x+ π) = |sin(x+ π)| = |-sin x| = |sin x| = f(x)，
故 f(x)的最小正周期为 π.
法二：画出函数 y= |sin x|的图象，如图所示，
由图象可知最小正周期T= π.
变式2 设 a> 0，若函数 y= sin(ax+ π)的最小正周期是 π，则 a=________．
解析：由题意知T= 2πa = π，所以 a= 2.
答案：2
例题2. 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x) = cos 2x+ 5π2 ； (2)f(x) = sin(cos x)．
【解】 π　 (1)函数的定义域为R，且 f(x) = cos 2 +2x =-sin 2x.
因为 f(-x) =-sin(-2x) = sin 2x=-f(x)，
38
所以函数 f(x) = cos 2x+ 5π2 是奇函数．
(2)函数的定义域为R，且 f(-x) = sin[cos(-x)]= sin(cos x) = f(x)，
所以函数 f(x) = sin(cos x)是偶函数．
变式1 　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x) = |sin x| +cos x； (2)f(x) = cos(2π- x) - x3·sin x.
解：(1)函数的定义域为R，
又 f(-x) = |sin(-x)| +cos(-x) = |sin x| +cos x= f(x)，
所以 f(x)是偶函数．
(2)函数的定义域为R，关于原点对称，
因为 f(x) = cos x- x3·sin x，
所以 f(-x) = cos(-x) - (-x)3·sin(-x) = cos x- x3·sin x= f(x)，
所以 f(x)为偶函数．
例题3.函数 y= cos 2x+ π3 的图象 ( )
A. 关于点 π ,0 π3 对称 B. 关于点 6 ,0 对称
C. 关于直线 x= π π6 对称 D. 关于直线 x= 3 对称
【答案】D
【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为 kπ+ π2 ,0 ，令 2x+
π
3 = kπ+
π
2 ，得 x=
kπ
2 +
π
12 ，k∈
Z，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为 x= kπ，令 2x+ π3 = kπ，得 x=
kπ
2 -
π
6 ，k∈ Z，
当 k= 1时，x= π3 ，易知C错误，D正确；故选：D
变式1 函数 y= 2sin 2x+ π3 的图象 ( )
A. π关于原点对称 B. 关于点 - 6 ，0 对称
C. π关于 y轴对称 D. 关于直线 x= 6 对称
答案B解析∵当 x=- π6 时，函数 y= 2sin -
π π
6 ×2+ 3 = 0，∴函数图象关于点 -
π
6 ，0 对称．
例题4.下列函数中，最小正周期为 π的奇函数是 ( )
A. y= cos 2x+ π2 B. y= sin 2x+
π
2 C. y= sin 2x+
π
4 D. y= cos 2x+π
【答案】A
【解析】四个函数的最小正周期都是 π，
y= cos 2x+ π =-sin2x是奇函数，y= sin 2x+ π2 2 = cos2x是偶函数，
y= sin 2x+ π4 ，x= 0时，y= sin
π
4 =
2
2 ，函数图象不过原点，也不关于 y轴对称，既不是奇函数
也不是偶函数，y= cos(2x+ π) =-cos2x是偶函数．故选：A．
变式1 已知函数 f(x) = 2sin ωx+ π6 (ω> 0)的最小正周期为 4π，则该函数的图象 ()
A. 关于点 π3 ，0 对称 B. 关于点
5π
3 ，0 对称
39
C. 关于直线 x= π3 对称 D. 关于直线 x=
5π
3 对称
答案B解析因为函数 f(x) = 2sin ωx+ π (ω> 0)的最小正周期是 4π，而T= 2π6 ω = 4π，所以ω=
1
2 ，即 f(x) = 2sin
x + π2 6 ．令
x π π 2π
2 + 6 = 2 + kπ(k∈ Z)，解得 x= 3 + 2kπ(k∈ Z)，故 f(x)的对称轴
为 x= 2π3 + 2kπ(k∈ Z)，令
x
2 +
π
6 = kπ(k∈ Z)，解得 x=-
π
3 + 2kπ(k∈ Z)．故 f(x)的对称中心为
- π3 +2kπ，0 (k∈ Z)，对比选项可知B正确．
例题5.已知函数 f(x) = 2sin x+ π π π4 +φ 是奇函数，当 φ∈ - 2 , 2 时 φ的值为 ( )
A. - 3 π B. - π C. π D. 3π8 4 4 8
【答案】B
【解析】函数 f(x) = 2sin x+ π π4 +φ 是奇函数，故 4 + φ= kπ ,∴ φ= kπ-
π
4 k∈Z ，对照选项只
有 k = 0时，选项B符合题意故选：B
变式1 如果函数 f(x) = sin(2x+ φ) (0< φ< 2π)是奇函数，则 φ的值为______.
【答案】π
【详解】∵函数 f x = sin 2x+φ (0< φ< 2π)是奇函数，∴ f -x =-f x ，即 sin(-2x+ φ) =
-sin 2x+φ = sin -2x-φ ，∴-2x+ φ=-2x- φ+ 2kπ , k∈ Z或 -2x+φ + -2x-φ = 2kπ+ π , k
∈ Z恒成立，解得：φ= kπ , k∈ Z，又∵ 0< φ< 2π，∴ φ= π.
故答案为：π.
变式2 函数 f x = 2cos 2x+θ 的图象关于原点对称，则 θ的最大负值为______．
【答案】- π2
【详解】∵函数 f x = 2cos 2x+θ 的图象关于原点对称，∴ θ= kπ+ π2 ，k∈ Z，令 k=-1，可得 θ的
最大负值为- π ，故答案为：- π2 2 ．
1.若函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ)对任意 x f π都有 3 +x = f(-x)
π
，则 f 6 = ( )
A. 2或 0 B. 0 C. - 2或 0 D. - 2或 2
答案D解析由函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ)对任意 x都有 f π3 +x = f(-x)，可知函数图象的一条对称轴
为直线 x= 12 ×
π π π
3 = 6 ．根据三角函数的性质可知，当 x= 6 时，函数取得最大值或者最小值．∴
f π6 = 2或-2．故选D．
2.已知函数 f (x) = cos ωx+ π3 (ω> 0)的一条对称轴 x =
π π
3 ，一个对称中心为点 12 ，0 ，则 ω有
( )
A. 最小值 2 B. 最大值 2 C. 最小值 1 D. 最大值 1
答案A解析因为函数的中心到对称轴的最短距离是 T4 ，两条对称轴间的最短距离是
T
2 ，所以，中心
2π
π12 ，0 到对称轴 x=
π
3 间的距离用周期可表示为
π - π3 12 ≥
T
4 ，又∵T=
2π ω π
ω ，∴ 4 ≤ 4 ，∴ω
40
≥ 2，∴ω有最小值 2，故选A．
3.已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ)ω> 0，|φ| < π2 的最小正周期为 4π，且对任意 x∈R，都有 f(x) ≤ f
π
3
成立，则 f(x)图象的一个对称中心的坐标是 ( )
A. - 2π3 ，0 B. -
π
3 ，0 C.
2π
3 ，0 D.
5π
3 ，0
答案A解析由 f(x) = sin(ωx+ φ)的最小正周期为 4π，得ω= 12 ．因为 f(x)≤ f
π
3 恒成立，所以
f(x)max= f π3 ，即
1
2 ×
π
3 + φ=
π
2 + 2kπ(k∈ Z)，所以 φ=
π
3 + 2kπ(k∈ Z)，由 |φ| <
π π
2 ，得 φ= 3 ，
故 f(x) = sin 1 x+ π ．令 1 x+ π = kπ(k∈ Z)，得 x= 2kπ- 2π2 3 2 3 3 (k∈ Z)，故 f(x)图象的对称中心
为 2kπ- 2π3 ，0 (k∈ Z)，当 k= 0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为 -
2π
3 ，0 ，故选A．
4.三角函数的单调性
单调性
【基本知识】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈ Z)
函数 y= sin x y= cos x y= tan x
图象
π π
递增区间 2kπ- 2 ，2kπ+ 2 [2kπ- π 2kπ] kπ-
π kπ+ π， 2 ， 2
递减区间 2kπ+
π
2 ，2kπ+
3π
2 [2kπ，2kπ+ π] 无
【常用结论】
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ) (ω> 0)的单调递增区间由 2kπ- π2 ≤ ωx+ φ≤ 2kπ+
π
2 (k∈ Z)解得，单调递
减区间由 2kπ+ π2 ≤ωx+ φ≤ 2kπ+
3π
2 (k∈ Z)解得．
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ) (ω> 0)的单调递增区间由 2kπ- π≤ ωx+ φ≤ 2kπ(k∈ Z)解得，单调递减区间
由 2kπ≤ωx+ φ≤ 2kπ+ π(k∈ Z)解得．
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ) (ω> 0)的单调递增区间由 2kπ- π2 <ωx+ φ< 2kπ+
π
2 (k∈ Z)解得，
【方法总结】
三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
(1)已知三角函数的解析式求单调区间的两种方法
①代换法：求形如 y=Asin(ωx+ φ)或 y=Acos(ωx+ φ) (其中 ω> 0)的单调区间时，要视“ωx+ φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω< 0，注意复合函数单调性“同增异减”的规律，防止把单调性弄错．
②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
(2)已知三角函数的单调区间求参数的三种方法
①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式 (组)求解．
②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式
41
(组)求解．
③周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 14 周期列不等式 (组)求解．
若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．
在求形如 y=Asin(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx
+ φ”看作一个整体“z”，即通过求 y = Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y =
Acos(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0)的函数的单调区间同上．
例 1:求函数 y= 2sin x- π3 的单调区间．
解　令 z= x- π3 ，则 y= 2sin z.
∵ z= x- π3 是增函数，
∴ y= 2sin z单调递增 (减)时，函数 y= 2sin x- π3 也单调递增 (减)．
由 z∈ 2kπ- π ，2kπ+ π 2 2 (k∈ Z)，得 x-
π
3 ∈ 2kπ-
π
2 ，2kπ+
π
2 (k∈ Z)，
即 x∈ 2kπ- π 6 ，2kπ+
5π
6 (k∈ Z)，
故函数 y= 2sin x- π π 5π 3 的单调递增区间为 2kπ- 6 ，2kπ+ 6 (k∈ Z)．
同理可求函数 y= 2sin x- π3 的单调递减区间为 2kπ+
5π
6 ，2kπ+
11 π 6 (k∈ Z)．
延伸探究
求函数 y= 2sin π4 -x 的单调递减区间．
解: y= 2sin π4 -x =-2sin x-
π
4 ，
令 z= x- π4 ，而函数 y=-2sin z的单调递减第 5章 三角函数
2026版
目录
第 1讲 任意角 1 第 6讲 辅助角公式和三角函数的综合应用 41
1. 角的概念 1 1. 基础知识 41
2. 弧度制 3 2. 例题讲解 41
3. 弧长和面积公式 4 3. 综合应用 一题十问 42
第 2讲 三角函数的定义同角的三角函数关系5 4. 三角函数的解答题 45
1. 三角函数的定义 5 5. 综合问题 恒等变换 47
2. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符 6. 综合问题 函数与方程 47
号 6
3. 同角的三角函数关系 7
第 3讲 三角恒等变换 10
基础知识 10
1. 知识点一　两角和与差的余弦公式
10
2. 知识点二　两角和与差的正弦公式
10
3. 知识点三 两角和与差的正切公式 10
4. 知识点 4 二倍角公式 10
例题讲解 10
1. 公式的直接应用 11
2. 给值求值 12
3. 给值求角 13
4. 两角和与差的正切公式的综合应用
14
5. 化简与证明 15
课后练习 15
第 4讲 三角函数的图象与性质 18
1. 三角函数的定义域 19
2. 三角函数的值域 (最值) 20
3. 三角函数的奇偶性、周期性与对称性 23
4. 三角函数的单调性 26
5. 根据单调性求ω的范围 28
第 5讲 y=Asin(ωx+ φ)的图像与性质 30
基础知识 30
1. 函数 y= Asin(ωx+ φ)的图象的画
法 30
例题讲解 30
1. 五点法画图 30
2. 优化后的五点法作图 31
3. 图像的平移和伸缩变化过程 33
4. 平移量的计算 35
5. 解析式的求法 36
第1讲 任意角
1.角的概念
知识点
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O
是角的顶点，射线OA，OB分别是角 α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型 定义
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角.
例题1.下列说法正确的是 ( )
A. 终边相同的角相等 B. 相等的角终边相同
C. 小于 90°的角是锐角 D. 第一象限的角是正角
例题2.时钟走了 3小时 20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．
例题3.象限角
① α是第一象限角可表示为 ；
② α是第二象限角可表示为 ；
③ α是第三象限角可表示为 ；
④ α是第四象限角可表示为 或 ．
例题4.非象限角
如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限．
①终边在 x轴非负半轴上的角的集合可记作 ；
②终边在 x轴非正半轴上的角的集合可记作 ；
③终边在 y轴非负半轴上的角的集合可记作 ；
④终边在 y轴非正半轴上的角的集合可记作 ；
⑤终边在 x轴上的角的集合可记作 ；
⑥终边在 y轴上的角的集合可记作 ；
⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 ．
例题5.终边相同的角：
所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 , 连 同 角 α 在 内 , 可 构 成 一 个 集 合 S =
1
.
例题6.如图所示，写出顶点在原点，始边重合于 x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
例题7.确定nα α及 n 所在的象限
α
已知 α是第二象限角，求角 2 所在的象限．
延伸探究
1．在本例条件下，求角 2α的终边的位置．
2 α．若本例条件中角 α变为第三象限角，求角 2 是第几象限角．
变式1 下列说法正确的是 (　　)
A. 锐角是第一象限角 B. 第二象限角是钝角
C. 第一象限角是锐角 D. 第四象限角是负角
变式2 下列各角中，与 1850° 角终边相同的角是 ( )
A. 40° B. 50° C. 320° D. - 400°
变式3 若角 α的终边在直线 y=-x上，则角 α的取值集合为 ()
A. α α=2kπ- π ,k∈Z B. 3π α α=2kπ+ ,k∈Z 4 4
C. α α=kπ- 3π4 ,k∈Z D. α α=kπ-
π
4 ,k∈Z
变式4 已知角 α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界)，那么角 α的集合是_____．
变式5 终边与坐标轴重合的角 α的集合是 (　　)
A. {α|α= k·360°，k∈ Z} B. {α|α= k·180° +90°，k∈ Z}
C. {α|α= k·180°，k∈ Z} D. {α|α= k·90°，k∈ Z}
2
2.弧度制
知识点
(1)角度制和弧度制
1
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1度的角等于周角的 360
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号 rad表示，读作弧
弧度制
度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为 r的圆的圆心角 α所对弧的长为 l，那么，角 α的弧度数的绝对值是 |α| = lr .
(3)角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360° = 2π rad 2π rad= 360°
180° = π rad π rad= 180°
1° = π rad≈ 0.017 45 rad 1 rad= 180180 π ° ≈ 57.30°
例题1.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0 π π π π π 2π 3π 5π 3π弧度 180 6 4 3 2 3 4 6 π 2 2π
例题2.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2) - 300° 2π；(3)2；(4) - 9 .
变式1 已知 α= 15° π，β= 10 ，γ= 1，θ= 105° φ=
7π
， 12 ，试比较 α，β，γ，θ，φ的大小．
变式2 若 α=-2 rad，则 α的终边在 (　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3
3.弧长和面积公式
知识点
设扇形的半径为R，弧长为 l，α为其圆心角，则：
α为度数 α为弧度数
l= απR扇形的弧长 l= αR180°
απR2 1 1
扇形的面积 S= S= lR= αR2
360° 2 2
例题1.已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
延伸探究
1．已知一扇形的圆心角是 72°，半径为 20，求扇形的面积．
2．已知一扇形的周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
变式1 已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60°，求扇形的弧长和面积．
变式2 周长为 9，圆心角为 1 rad的扇形面积为________．
变式3 在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是_____弧度，扇形面积是______．
变式4 2π 2π已知一扇形的弧长为 9 ，面积为 9 ，则其半径 r=____，圆心角为______．
变式5 π扇形圆心角为 3 ，半径为 a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．
变式6 (多选)已知扇形的半径为 r，弧长为 l.若其周长的数值为面积的数值的 2倍，则下列说法正确
的是 ( )
A. 该扇形面积的最小值为 8 B. 当扇形周长最小时，其圆心角为 2
C. r+ 2l的最小值为 9 D. 1 + 4 12 的最小值为r l2 2
变式7 扇形周长为 10，当其面积最大时，其内切圆的半径 r为 ( )
A. 5- 1 B. 5sin1 C. 5sin1 5sin1 2+2sin1 1+sin1 D. 5+ 1+sin1
4
第2讲 三角函数的定义同角的三角函数关系
1.三角函数的定义
知识点
1．任意角三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中，设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
① y叫做 α的正弦，记作 sinα，即 sinα= y；
② x叫做 α的余弦，记作 cosα，即 cosα= x；
y y
③ x 叫做 α的正切，记作 tanα，即 tan α= x (x≠ 0)．
对于确定的角 α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐
标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
( y y2)设角 α终边上任意一点的坐标为 (x，y)，它与原点的距离为 r，则 sin α= ，cos α= xr r ，tan α= x .
例题1. (1)已知角 α 3的终边与单位圆的交点为P 5 ，y (y< 0)，则 tan α= .
(2)已知角 α的终边落在射线 y= 2x(x≥ 0)上，求 sin α，cos α的值．
延伸探究
1．若将本例 (1) 3中条件“α的终边与单位圆的交点为P 5 ，y (y< 0)”改为“α的终边经过点P(-3，
-4)”，求角 α的正弦、余弦和正切值．
2．若将本例 (2)中条件“α的终边落在射线 y= 2x(x≥ 0)上”，换为“α的终边落在直线 y= 2x上”，
其结论又如何呢？
变式1 已知角 α的终边过点P(-3a , 4a) (a≠ 0)，则 2sin α+ cos α= .
变式2 已知角 α的终边经过点 (-4 , 3)，则 cos α等于 (　　)
A. 4 B. 35 5 C. -
3
5 D. -
4
5
5
变式3 如果角 α的终边过点P(2sin 30°，-2cos 30°)，则 cos α的值等于 (　　)
A. 12 B. -
1
2 C. -
3
2 D.
3
2
变式4 若点P(3 3，y)是角 α终边上的一点，且满足 y< 0，cos α= 5 ，则 tan α等于 (　　)
A. - 3 B. 3 C. 4 D. - 44 4 3 3
变式5 已知角 θ的顶点为坐标原点，始边为 x轴的非负半轴，若P(4，y)是角 θ终边上一点，且 sin θ
=- 2 55 ，则 y= .
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
知识点
1．图示：
2．口诀“：一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
例题1.若 sin θ·cos θ> 0，则 θ在 (　　)
A. 第一或第四象限 B. 第一或第三象限 C. 第一或第二象限 D. 第二或第四象限
例题2.判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中 α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(-105°)；(3)sin 3·cos 4·tan - 23π4 .
变式1 已知 cos θ·tan θ< 0，那角 θ是 (　　)
A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角
C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
|sinα|
变式2 当 α cosα为第二象限角时，sinα - | | 的值是 (　　)cosα
A. 1 B. 0 C. 2 D. - 2
变式3 如果点P(sin θ+ cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角 θ所在的象限是 (　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6
3.同角的三角函数关系
知识点
对于任意角 α，有 sin2α+ cos2α= 1，下面用三角函数的定义证明：
设角 α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得 sin α= y，cos α= x.
∴ sin2α+ cos2α= x2+ y2= |OP|2= 1.
(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin2α+ cos2α= 1.
②商数关系：tan α= sinα πcosα α≠kπ+ 2 ，k∈Z .
(2)同角三角函数基本关系式的变形
① sin2α+ cos2α= 1的变形公式 sin2α= 1- cos2α；cos2α= 1- sin2α.
② tan α= sinαcosα 的变形公式 sin α= cos αtan α；cos α=
sinα
tanα .
例题1.化简 sin2α+ cos4α+ sin2αcos2α的结果是 (　　)
A. 1 B. 14 2 C. 1 D.
3
2
变式1 若 α 2是三角形的内角，且 sin α+ cos α= 3 ，则此三角形是 (　　)
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
变式2 1若 θ是△ABC的一个内角，且 sin θcos θ=- 8 ，则 sin θ- cos θ的值为 (　　)
A. - 32 B.
3
2 C. -
5
2 D.
5
2
类型一　利用同角三角函数的关系式求值
命题角度 1　已知角 α的某一三角函数值及 α所在象限，求角 α的其余三角函数值
2. sin α=- 5例题 若 13 ，且 α为第四象限角，则 tan α的值为 (　　)
A. 12 B. - 12 C. 5 D. - 55 5 12 12
变式1 已知 tan α= 43 ，且 α是第三象限角，求 sin α，cos α的值.
命题角度 2　已知角 α的某一三角函数值，未给出 α所在象限，求角 α的其余三角函数值
例题3. 8已知 cos α=- 17 ，求 sin α，tan α的值.
变式1 已知 cos α=- 513 ，求 13sin α+ 5tan α的值.
7
类型二　利用同角三角函数关系化简
例题4.已知 α是第三象限角，化简： 1+sinα - 1-sinα1-sinα 1+sinα .
变式1 化简：
(1) cos36°- 1-cos
236° (2) 1； - 1+sinα (α为第二象限角).
1-2sin36°cos36° cos2α 1+tan2α 1-sinα
类型三　利用同角三角函数关系证明
5. tanαsinα = tanα+sinα例题 求证：tanα-sinα tanαsinα .
变式1 cosx 1+sinx求证：1-sinx = cosx .
类型四　齐次式求值问题
例题6.已知 tan α= 2，求下列代数式的值.
(1) 4sinα-2cosα 1 2 15cosα+3sinα ；(2) 4 sin α+ 3 sin αcos α+
1 2
2 cos α.
变式1 已知 tan α= 3，求下列各式的值：
(1) 4sinα-cosα (2) sin
2α-2sinα·cosα-cos2α
； ；(3) 3 sin23sinα+5cosα 2 2 4 α+
1 cos2α.(4) sin4α- cos4α
4cos α-3sin α 2
三、sin θ± cos θ型求值问题
例题7.已知 sin θ+ cos θ= 15 ，θ∈ (0，π)，求：(1)tan θ；(2)sin θ- cos θ.
反思感悟　 (1)sin θ+ cos θ，sin θcos θ，sin θ- cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两
个，即“知一求二”．
(2)求 sin θ+ cos θ或 sin θ- cos θ的值，要注意判断它们的符号．
8
变式1 　若 sin θ- cos θ= 2，则 tan θ+ 1 = .
tanθ
变式2 已知 sin θ+ cos θ= 43 0<θ<
π
4 ，则 sin θ- cos θ等于 (　　)
A. 2 B. - 23 3 C.
1
3 D. -
1
3
例题8.若 cosα+ 2sinα=- 5，则 tanα= (　 　)
A. 12 B. 2 C. -
1
2 D. - 2
变式1 已知 2sinθ- cosθ= 1，且 θ∈ 0, π2 ，则 sinα= ，cosα=
变式2 1+sinα = 1 cosα已知 cosα 2 ，则 sinα-1 =　 　
9
第3讲 三角恒等变换
基础知识
1.知识点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α-β) cos(α- β) = cos αcos β+ sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α+β) cos(α+ β) = cos αcos β- sin αsin β α，β∈R
2.知识点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α+β) sin(α+ β) = sin αcos β+ cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α-β) sin(α- β) = sin αcos β- cos αsin β α，β∈R
3.知识点三 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
( + ) = tanα+tanβ两角和的正切 tan α β - T α，β，α+ β≠ kπ+
π (k∈ Z)
1 tanαtanβ (α+β) 2
两角差的正切 tan( - ) =
tanα-tanβ
α β + T(α-β) α，β，α- β≠ kπ+
π (k∈ Z)
1 tanαtanβ 2
4.知识点 4 二倍角公式
例题讲解
10
1.公式的直接应用
例题1.计算下列各式的值．
(1)cos 13π12 ；(2)sin 460°sin(-160°) + cos 560°cos(-280°)；(3)
1
2 cos 105° +
3
2 sin 105°.
变式1 化简下列各式：
(1)cos(θ+ 21°)cos(θ- 24°) + sin(θ+ 21°)sin(θ- 24°)；
(2) - sin 167°·sin 223° +sin 257°·sin 313°.
例题2.计算：(1)cos 105° (2) sin47°-sin17°cos30°； .
cos17°
变式1 计算：(1)sin 14°cos 16° +sin 76°cos 74°；
(2)sin(54° -x)cos(36° +x) + cos(54° -x)sin(36° +x)．
例题3.计算：(1)tan(-75°)；(2) tan74°+tan76°- ° ° ；(3)tan 23° +tan 37° + 3tan 23°tan 37°.1 tan74 tan76
4. (1) 1-tan15°例题 求值： + ° ；(2)tan 10° +tan 35° +tan 10°tan 35°.1 tan15
25π 1-tan
2 π
8
例题5.求下列各式的值：(1)2cos2 12 - 1；(2) ；(3)cos 20°cos 40°cos 80°.tan π8
11
变式1 (1)sin π cos π (2)cos2 π - sin2 π (3) 2tan15°求下列各式的值： 6 6 ； 8 8 ； .1-tan215°
2.给值求值
1. α β∈ 0 π 4例题 已知 ， ，2 ，且 sin α= 5 ，cos(α+ β) =-
16
65 ，求 cos β的值．
延伸探究
若把本例中的“α，β∈ 0 π，2
π
”改为“α，β∈ 2 ，π ”，求 cos β的值．
变式1 (1) 3 3已知 cos α= 5 ，α∈ 2 π，2π ，则 cos α-
π
3 = .
(2)α，β为锐角，cos(α+ β) = 1213 ，cos(2α+ β) =
3
5 ，求 cos α的值．
2. π < β< α< 3 π cos(α- β) = 12 sin(α+ β) =- 3例题 已知 2 4 ， 13 ， 5 ，求 cos 2α的值．
延伸探究
1．若本例的条件不变，求 sin 2α的值．
2 π 3π 5 5．若本例条件变为：2 < β< α< 4 ，sin(α- β) = 13 ，sin(α+ β) =- 13 ，求 sin 2β的值．
12
变式1 已知 sin(α+ β) = 12 ，sin(α- β) =
1 tanα
3 ，求 的值．tanβ
例题3. cos α+ π = 3 π ≤ α< 3π已知 4 5 ，2 2 ，求 cos 2α+
π
4 的值．
延伸探究
1 cos2α．若本例条件不变，求 的值．
sin π4 +α
2 x∈ 0 π π．若本例条件变为：若 ， 2 ，sin x- 6 =
3
5 ，求 sin 2x+
π
6 的值．
变式1 sin π -x = 5 0< x< π cos2x已知 4 13 ， 4 ，求 的值．cos π4 +x
3.给值求角
例题1.已知 α，β均为锐角，且 cos α= 2 55 ，cos β=
10
10 ，求 α- β的值．
变式1 1 13 π已知 cos α= 7 ，cos(α- β) = 14 ，且 0< β< α< 2 ，求 β的值．
例题2.已知 cos α= 17 ，sin(α+ β) =
5 3
14 ，0< α<
π
2 ，0< β<
π
2 ，求角 β的值．
13
延伸探究
若把本例中的“0< β< π π2”改为“ 2 < β< π”，求角 β的值．
变式1 5 10已知 α，β均为锐角，且 sin α= 5 ，cos β= 10 ，求 α- β的值．
例题3.已知 tan(α- β) = 12 ，tan β=-
1
7 ，α，β∈ (0，π)，求 2α- β的值．
变式1 已知 tan α= 13 ，tan β=-2，且 0< α<
π
2 < β< π，
求：(1)tan(α- β)的值；
(2)角 α+ β的值．
4.两角和与差的正切公式的综合应用
例题1.已知A，B是三角形ABC的两个内角，且 tan A，tan B是方程 3x2+ 8x- 1= 0的两个实根，
则 tan C=________.
例题2.在△ABC中，tan B+ tan C+ 3 tan Btan C= 3， 3 tan A+ 3 tan B+ 1= tan Atan
B，试判断△ABC的形状．
反思感悟　 (1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α± tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考
虑 tan(α± β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
① tan α+ tan β= tan(α+ β) (1- tan αtan β)；
14
- = tanα+tanβ② 1 tan αtan β ；
tan(α+β)
③ tan α+ tan β+ tan α·tan β·tan(α+ β) = tan(α+ β)；
· = - tanα+tanβ④ tan α tan β 1 .
tan(α+β)
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
变式1 已知 tan α，tan β是方程 x2+ 3 3x+ 4= 0的两根，且- π2 < α<
π
2 ，-
π
2 < β<
π
2 ，则 α+
β的值为 (　　)
A. π3 B. -
2π
3 C. -
2π π
3 或 3 D. 无法确定
5.化简与证明
例题1.
(1) sin2x 1+tanxtan x . (2) 3-4cos2A+cos4A化简：2cosx 2 求证： = tan4A.3+4cos2A+cos4A
变式1 (1) 1化简： - tan θtan 2θ.
cos2θ
(2)求证：sin3αsin 3α+ cos3αcos 3α= cos32α.
课后练习
1. cos 47°cos 137° +sin 47°sin 137°的值等于 (　　)
A. 0 B. 1 C. - 1 D. 12
2. cos α= 12 α∈ 3π已知 13 ， 2 ，2π
π
，则 cos α- 4 的值为 (　　)
A. 5 2 7 213 B. 13 C.
17 2 7 2
26 D. 26
3. 3 5已知锐角 α，β满足 cos α= 5 ，cos(α+ β) =- 13 ，则 cos(2π- β)的值为 (　　)
A. 33 33 54 5465 B. - 65 C. 65 D. - 65
15
4. cos(α- 35°)cos(α+ 25°) + sin(α- 35°)sin(α+ 25°) = .
5. cos 75° -cos 15°的值等于 ．
6. sin 20°cos 10° -cos 160°sin 10°等于 (　　)
A. - 32 B.
3
2 C. -
1
2 D.
1
2
7.若 cos α=- 45 ，α是第三象限的角，则 sin α+
π
4 等于 (　　)
A. - 7 210 B.
7 2
10 C. -
2
10 D.
2
10
8.已知 cos α+ π = 46 5 (α为锐角)，则 sin α等于 (　　)
A. 3 3+4 B. 3+4 3 C. 3-4 3 3 3-410 10 10 D. 10
9.已知 sin α+ cos β= 1，cos α+ sin β= 0，则 sin(α+ β) = .
10. 2 5已知锐角 α，β满足 sin α= 5 ，cos β=
10
10 ，则 α+ β= .
11.若 tan β= 3，tan(α- β) =-2，则 tan α等于 (　　)
A. 17 B. -
1
7 C. 1 D. - 1
12.设 sin α= 3 π5 2 <α<π ，tan(π- β) =
1
2 ，则 tan(α- β)的值为 (　　)
A. - 2 B. - 2 C. - 2 D. - 117 5 11 2
13. 1-tan21°与 + ° 相等的是 (　　)1 tan21
A. tan 66° B. tan 24° C. tan 42° D. tan 21°
14.若 tan 28°·tan 32° =m，则 tan 28° +tan 32°等于 (　　)
A. 3m B. 3 (1-m) C. 3 (m- 1) D. 3 (m+ 1)
15. tan 11π求值： 12 =________.
16. 3下列各式中，值为 2 的是 (　　)
A. 2sin 15°cos 15° B. cos215° -sin215° C. 2sin215° D. sin215° +cos215°
17.若 sin α = 32 3 ，则 cos α等于 (　　)
A. - 2 1 13 B. - 3 C. 3 D.
2
3
18. sin4 π 4 π12 - cos 12 等于 (　　)
A. - 1 3 1 32 B. - 2 C. 2 D. 2
16
19. cos275° +cos215° +cos 75°cos 15°的值等于 (　　)
A. 62 B.
3
2 C.
5 3
4 D. 1+ 4
20. sin 22.5°cos 202.5° =________.
17
第4讲 三角函数的图象与性质
基础知识
1.正弦曲线：y= sinx，x∈R的图像与性质
y
2
1
5π 9π 4π 7π 3π 5π 2π 3π π π π π 3π 2π 5π 3π 7π 4π 9π x2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 5π
2
定义域 R
值域 [-1 , 1]
π
对称性 对称轴：x= kπ+ 2 (k∈ Z)；对称中心：(kπ , 0) (k∈ Z)
奇偶性 奇函数
周期性 最小正周期：2π
在 -
π
2 +2kπ,
π
2 +2kπ

(k∈ Z)上单调递增；
单调性
在 π +2kπ, 3π +2kπ 2 2 (k∈ Z)上单调递减
在 x= π2 + 2kπ(k∈ Z)时，ymax= 1；
最值
在 x=- π2 + 2kπ(k∈ Z)时，ymin=-1
2.余弦曲线：y= cosx，x∈R的图像与性质
y
1
5π 9π 4π 7π 3π 5π 2π 3π π π π π 3π 5π 7π 9π x2 2 2 2 2 1 2 2 2π 2 3π 2 4π 2 5π
定义域 R
值域 [-1 , 1]
对称性 对称轴：x= kπ(k∈ Z)；对称中心： kπ+ π2 ,0 (k∈ Z)
奇偶性 偶函数
周期性 最小正周期：2π
在 [-π+ 2kπ，2kπ] (k∈ Z)上单调递增；
单调性
在 [2kπ , π+ 2kπ] (k∈ Z)上单调递减
在 x= 2kπ(k∈ Z)时，ymax= 1；
最值
在 x= π+ 2kπ(k∈ Z)时，ymin=-1
3.正切曲线：y= tanx π，x≠ 2 + kπ(k∈ Z)的图像与性质
18
定义域 x≠ π2 + kπ(k∈ Z)
值域 R
周期 T= kπ(k≠ 0，k∈ Z
y
最小正周期 π 3
奇偶性 奇函数 2
1
对称轴 关于原点 (0，0)对称
kπ 3π π π x
对称中心 2 ，0 k∈ Z 2
π 2 1 2 π
2
单调性 - π2 +kπ，
π
2 +kπ 单调递增 k∈ Z 3
π
渐进线 x= 2 + kπ k∈ Z
y=Atan(ωx+ φ)的周期T= π|ω|
1.三角函数的定义域
三角函数的定义域
【基本知识】
三角函数 正弦函数 y= sinx 余弦函数 y= cosx 正切函数 y= tanx
图象
定义域 R R x x∈R，且x≠kπ+ π 2 ，k∈Z
【方法总结】
三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数 y= tanx的定义域求函数 y=Atan(ωx+ φ)的定义域转化为求解简单的
三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．简单的三角不等式，利用三角函数的图象求解．
例 ：不等式 sinx≥ 22 , x∈ (0 , 2π)的解集为 。
解∵ sinx≥ 22 , x∈ (0 , 2π)，y= sinx函数图象如下所
y
1
示：
∴ π 3π 3π π π π 3π 3π x4 ≤ x≤ 4 2 π 2 4 2 4 π 2 2π
∴不等式的解集为： π , 3π
1
4 4 ．
例题1.函数 f(x) =-2tan 2x+ π6 的定义域是 .
19
变式1 1函数 y= tanx-1 的定义域为________．
例题2.函数 y= lg 2-2cosx 的定义域是 .
变式1 函数 y= cosx- 32 的定义域为 .
变式2 已知 f(x)的定义域是 -1,
3
2 ，则 f(sin2x)的定义域为 .
例题3.函数 y= sinx-cosx的定义域为 ．
变式1 函数 y= lg(sinx) + cosx- 12 的定义域为 ．
变式2 函数 y= lg(sin2x) + 9-x2的定义域为______________．
2.三角函数的值域 (最值)
三角函数的值域(最值)
【基本知识】
三角函数 正弦函数 y= sin x 余弦函数 y= cos x 正切函数 y= tan x
图象
定义域 R R x x∈R x≠kπ+ π，且 2 ，k∈Z
值域 [-1，1] [-1，1] R
π
当且仅当 x= 2 + 2kπ
当且仅当 x= 2kπ(k∈ Z)
(k∈ Z)时，取得最大值
最值 1 x=- π
时，取得最大值 1；当且仅
；当且仅当 2 + 当 x= π+ 2kπ(k∈ Z)时，
2kπ(k∈ Z)时，取得最 取得最小值-1
小值-1
【方法总结】
求三角函数的值域 (最值)的 3种类型及解法思路
(1)形如 y= asinx+ bcosx+ c的三角函数化为 y=Asin(ωx+ φ) + k的形式，再求值域 (最值)；
(2)形如 y= asin2x+ bsinx+ c的三角函数，可先设 sinx= t，化为关于 t的二次函数求值域 (最值)；
20
(3)形如 y= asinxcosx+ b(sinx± cosx) + c的三角函数，可先设 t= sinx± cosx，化为关于 t的二次函数
求值域 (最值)；
(4)对分式形式的三角函数表达式也可构造基本不等式求最值．
例求下列函数的值域：
(1)y= cos x+ π6 x∈ 0
π
， 2 ，2 ； (2)y= cos x- 4cosx+ 5.
解：(1)由 y= cos x+ π6 ，x∈ 0，
π
2 可得 x+
π ∈ π 2π 6 6 ，3 ，
因为函数 y= cos x在区间 π ，2π 6 3 上单调递减，所以函数的值域为
- 1 ， 3 2 2 .
(2)y= cos2x- 4cos x+ 5，令 t= cos x，则-1≤ t≤ 1.
y= t2- 4t+ 5= (t- 2)2+ 1，
当 t=-1，函数取得最大值 10；
t= 1时，函数取得最小值 2，所以函数的值域为 [2 , 10]．
例题1.函数 y= 2sin πx6 -
π
3 (0≤ x≤ 9)的最大值与最小值之和为 ()
A. 2- 3 B. 0 C. - 1 D. - 1- 3
变式1 函数 f(x) = sin 2x- π π 4 在区间 0，2 上的最小值为 ( )
A. - 1 B. - 2 C. 22 2 D. 0
变式2 函数 f(x) = 3cos 2x- π6 ，则 f(x)在区间
π
0，2 上的值域为 ．
例题2.函数 y= cos2x- 2sinx的最大值与最小值分别为 ()
A. 3，-1 B. 3，-2 C. 2，-1 D. 2，-2
变式1 函数 f(x) = sin2x+ 3cosx- 34 x∈
π
0，2 的最大值是 ．
例题3.函数 y= sinx- cosx+ sinxcosx的值域为 ．
变式1 函数 f(x) = sinx+ cosx+ sinxcosx，则 f(x)的最大值为 ．
21
4. A tan
2A+1
例题 已知 为钝角，则 + 3的最大值为 ．
tanA
例题5.求下列函数的最大值、最小值以及达到最大 (小)值时 x的值的集合：
(1)y= 32 cos 2πx+
4π
3 ； (2)y=-6sin 2.5x+
π
2 ．
例题6.已知函数 f(x) = sin x+ π ，其中 x∈ π 6 - 3 ，a ，若 f(x)的值域是 -
1
，1 2 ，则实数 a的取值
范围是 ．
变式1 设函数 f(x) = 3sin π2 x+
π
4 ，若存在这样的实数 x1，x2，对任意的 x∈R，都有 f(x1) ≤ f(x)
≤ f(x2)成立，则 |x1- x2|的最小值为 ．
变式2 已知函数 f(x) = 2sin 2x+ π6
π
，记函数 f(x)在区间 t，t+ 4 上的最大值为M，最小值为m，
设函数 h(t) =Mt-m t∈ π 5π t．若 12 ，12 ，则函数 h(t)的值域为 ．
变式3 已知函数 f(x) = 2sinωx π π在区间 - 3 ，

4 上的最小值为-2，则ω的取值范围是 ．
变式4 已知函数 f(x) = cos(2x+ θ) 0≤θ≤ π - 3π在 ，- π π2 8 6 上单调递增，若 f 4 ≤m恒成立，
则实数m的取值范围为 ．
变式5 已知函数 f (x) = Asin(ωx + φ) (A > 0，ω > 0，0 < φ < π)的图象与 x轴的一个交点
- π 0 π π 312 ， 到其相邻的一条对称轴的距离为 4 ，若 f 12 = 2 ，则函数 f (x) 0
π
在 ，2 上的最小值为
( )
A. 12 B. - 3 C. -
3
2 D. -
1
2
22
3.三角函数的奇偶性、周期性与对称性
奇偶性、周期性与对称性
【基本知识】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈ Z)
函数 y= sin x y= cos x y= tan x
图象
定义域 R R x|x∈R，且x≠kπ+ π 2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ 0) kπ+ π 0 kπ， 2 ， 2 ，0
π
对称轴方程 x= kπ+ 2 x= kπ 无
【常用结论】
1．三角函数的周期性
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ)的最小正周期 T= 2π| | ．应特别注意函数 y= |Asin(ωx+ φ)|的周期为 T=ω
π
| | ，函数 y= |Asin(ωx+ φ) + b|(b≠ 0)的最小正周期T=
2π
ω | ．ω|
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ)的最小正周期 T= 2π| | ．应特别注意函数 y= |Acos(ωx+ φ)|的周期为 T=ω
π
| | ．函数 y= |Acos(ωx+ φ) + b|(b≠ 0)的最小正周期均为T=
2π
| | ．ω ω
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ)的最小正周期 T= π| | ．应特别注意函数 y= |Atan(ωx+ φ)|的周期为 T=ω
π
| | ，函数 y= |Atan(ωx+ φ) + b|(b≠ 0)的最小正周期均为T=
π
ω | ．ω|
2．三角函数的奇偶性
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ)是奇函数 φ= kπ(k∈ Z)，是偶函数 φ= kπ+ π2 (k∈ Z)；
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ)是奇函数 φ= kπ+ π2 (k∈ Z)，是偶函数 φ= kπ(k∈ Z)；
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ)是奇函数 φ= kπ(k∈ Z)．
3．三角函数的对称性
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ)的图象的对称轴由 ωx+ φ= kπ+ π2 (k∈ Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx+ φ
= kπ(k∈ Z)解得；
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ)的图象的对称轴由 ωx+ φ= kπ(k∈ Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx+ φ= kπ
23
+ π2 (k∈ Z)解得；
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ)的图象的对称中心由ωx+ φ= kπ2 (k∈ Z)解得．
【方法总结】
三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)若 f(x) =Asin(ωx+ φ)为偶函数，则 φ= kπ+ π2 (k∈ Z)，同时当 x= 0时，f(x)取得最大或最小值．若
f(x) =Asin(ωx+ φ)为奇函数，则 φ= kπ(k∈ Z)，且当 x= 0时，f(x) = 0．
(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y = Asin(ωx + φ)，y = Acos(ωx + φ)，y =
Atan(ωx+ φ)的形式，再分别应用公式T= 2π 2π π|ω| ，T= | ，T=ω| | | 求解．ω
(3)对于函数 y=Asin(ωx+ φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零
点，因此在判断直线 x= x0或点 (x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
例：函数 y= sin 2x+ π3 的图象的对称轴方程是______，对称中心的坐标是_______．
解析　根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与 x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与 x轴
的交点均为对称中心．
要使 sin 2x+ π =±1，必有 2x+ π = kπ+ π3 3 2 (k∈ Z)，所以 x=
k
2 π+
π
12 (k∈ Z)，
即对称轴方程为 x= k π2 π+ 12 (k∈ Z)，
而函数 y= sin 2x+ π3 的图象与 x轴的交点即为对称中心，
所以令 y= 0，即 sin 2x+ π3 = 0，
所以 2x+ π3 = kπ(k∈ Z)，即 x=
k
2 π-
π
6 (k∈ Z)，
故函数 y= sin 2x+ π3 的图象的对称中心的坐标为
k
2 π-
π
6 ，0 (k∈ Z)．
例题1.对于四个函数 y= sinx ，y= cosx ，y= sin x ，y= tan x ，下列说法错误的是 ( )
A. y= sinx 不是奇函数，最小正周期是 π，没有对称中心
B. y= cosx 是偶函数，最小正周期是 π，有无数多条对称轴
C. y= sin x 不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D. y= tan x 是偶函数，最小正周期是 π，没有对称中心
变式1 求下列三角函数的最小正周期T：
(1)f(x) = sin x+ π3 ；(2)f(x) =
1
2 cos 2x+
π
3 ；(3)f(x) = |sin x|.
变式2 设 a> 0，若函数 y= sin(ax+ π)的最小正周期是 π，则 a=________．
24
例题2. 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x) = cos 2x+ 5π2 ； (2)f(x) = sin(cos x)．
变式1 　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x) = |sin x| +cos x； (2)f(x) = cos(2π- x) - x3·sin x.
例题3.函数 y= cos 2x+ π3 的图象 ( )
A. π π关于点 3 ,0 对称 B. 关于点 6 ,0 对称
C. x= π D. x= π关于直线 6 对称 关于直线 3 对称
变式1 函数 y= 2sin 2x+ π3 的图象 ( )
A. B. - π关于原点对称 关于点 6 ，0 对称
C. 关于 y π轴对称 D. 关于直线 x= 6 对称
例题4.下列函数中，最小正周期为 π的奇函数是 ( )
A. y= cos 2x+ π2 B. y= sin 2x+
π
2 C. y= sin 2x+
π
4 D. y= cos 2x+π
变式1 π已知函数 f(x) = 2sin ωx+ 6 (ω> 0)的最小正周期为 4π，则该函数的图象 ()
A. π关于点 3 ，0 对称 B.
5π
关于点 3 ，0 对称
C. 关于直线 x= π3 对称 D.
5π
关于直线 x= 3 对称
例题5.已知函数 f(x) = 2sin x+ π +φ φ∈ - π , π4 是奇函数，当 2 2 时 φ的值为 ( )
A. - 3 π B. - π C. π D. 3π8 4 4 8
变式1 如果函数 f(x) = sin(2x+ φ) (0< φ< 2π)是奇函数，则 φ的值为______.
变式2 函数 f x = 2cos 2x+θ 的图象关于原点对称，则 θ的最大负值为______．
25
1.若函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ)对任意 x f π π都有 3 +x = f(-x)，则 f 6 = ( )
A. 2或 0 B. 0 C. - 2或 0 D. - 2或 2
2. f (x) = cos ωx+ π已知函数 3 (ω> 0)
π
的一条对称轴 x = 3 ，一个对称中心为点
π
12 ，0 ，则 ω有
( )
A. 最小值 2 B. 最大值 2 C. 最小值 1 D. 最大值 1
3.已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ)ω> 0，|φ| < π π2 的最小正周期为 4π，且对任意 x∈R，都有 f(x) ≤ f 3
成立，则 f(x)图象的一个对称中心的坐标是 ( )
A. - 2π3 ，0 B. -
π
3 ，0 C.
2π
3 ，0 D.
5π
3 ，0
4.三角函数的单调性
单调性
【基本知识】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈ Z)
函数 y= sin x y= cos x y= tan x
图象
2kπ- π递增区间 2 ，2kπ+
π
2 [2kπ- π，2kπ] kπ-
π π
2 ，kπ+ 2
递减区间 2kπ+
π
，2kπ+ 3π 2 2 [2kπ，2kπ+ π] 无
【常用结论】
(1)函数 y=Asin(ωx+ φ) (ω> 0)的单调递增区间由 2kπ- π2 ≤ ωx+ φ≤ 2kπ+
π
2 (k∈ Z)解得，单调递
减区间由 2kπ+ π2 ≤ωx+ φ≤ 2kπ+
3π
2 (k∈ Z)解得．
(2)函数 y=Acos(ωx+ φ) (ω> 0)的单调递增区间由 2kπ- π≤ ωx+ φ≤ 2kπ(k∈ Z)解得，单调递减区间
由 2kπ≤ωx+ φ≤ 2kπ+ π(k∈ Z)解得．
(3)函数 y=Atan(ωx+ φ) (ω> 0)的单调递增区间由 2kπ- π2 <ωx+ φ< 2kπ+
π
2 (k∈ Z)解得，
【方法总结】
三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
(1)已知三角函数的解析式求单调区间的两种方法
①代换法：求形如 y=Asin(ωx+ φ)或 y=Acos(ωx+ φ) (其中 ω> 0)的单调区间时，要视“ωx+ φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω< 0，注意复合函数单调性“同增异减”的规律，防止把单调性弄错．
②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
(2)已知三角函数的单调区间求参数的三种方法
①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式 (组)求解．
②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式
26
(组)求解．
③周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 14 周期列不等式 (组)求解．
若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．
在求形如 y=Asin(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx
+ φ”看作一个整体“z”，即通过求 y = Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y =
Acos(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0)的函数的单调区间同上．
例 1:求函数 y= 2sin x- π3 的单调区间．
解　令 z= x- π3 ，则 y= 2sin z.
∵ z= x- π3 是增函数，
∴ y= 2sin z单调递增 (减)时，函数 y= 2sin x- π3 也单调递增 (减)．
由 z∈ 2kπ-
π
2 ，2kπ+
π
2 (k∈ Z)，得 x-
π ∈ 3 2kπ-
π ，2kπ+ π 2 2 (k∈ Z)，
即 x∈ 2kπ-
π ，2kπ+ 5π 6 6 (k∈ Z)，
故函数 y= 2sin x- π 的单调递增区间为 2kπ- π ，2kπ+ 5π 3 6 6 (k∈ Z)．
同理可求函数 y= 2sin x- π 5π 11 3 的单调递减区间为 2kπ+ 6 ，2kπ+ 6 π (k∈ Z)．
延伸探究
π
求函数 y= 2sin 4 -x 的单调递减区间．
解: y= 2sin π -x =-2sin x- π4 4 ，
令 z= x- π4 ，而函数 y=-2sin z的单调递减区间是
π - 2 +2kπ，
π
2 +2kπ

(k∈ Z)．
∴原函数递减时，得- π2 + 2kπ≤ x-
π π
4 ≤ 2 + 2kπ(k∈ Z)，
得- π + 2kπ≤ x≤ 3π4 4 + 2kπ(k∈ Z)．
∴原函数的单调递减区间是 π - 4 +2kπ，
3π
4 +2kπ

(k∈ Z)．
例题1.函数 f(x) = tan 2x- π3 的单调递增区间是 ( )
A. kπ - π kπ + 5π 2 12 ，2 12 (k∈ Z) B.
kπ - π kπ 5π2 12 ，2 + 12 (k∈ Z)
C. kπ-
π
12 ，kπ+
5π
12 (k∈ Z) D. kπ+
π kπ+ 2π6 ， 3 (k∈ Z)
变式1 函数 f(x) = sin -2x+ π3 的单调递减区间为 ．
变式2 函数 f(x) = cos x+ π6 x∈[0，π] 的单调递增区间为 ( )
A. 0 5π， 2π 6 B. 0，3 C.
5π
6 ，π D.
2π
3 ，π
27
变式3 函数 y= sin x+ π2 ，x∈R在 (　　)
A. - π π， 2 2 上是增函数 B. [0，π]上是减函数
C. [-π，0]上是减函数 D. [-π，π]上是减函数
变式4 求函数 y= sin x+ π4 的单调增区间．
例题2.若函数 g(x) = sin 2x+ π6
a 7π
在区间 0，

3 和 4a，6 上均单调递增，则实数 a的取值范围
是 ．
变式1 若函数 f(x) = sin(ωx+ φ) ω>0，且 |φ|< π π 2π2 在区间 6 ，3 上是单调递减函数，且函数值
π
从 1减少到-1，则 f 4 =________．
5.根据单调性求ω的范围
3π π π
例：已知函数 f x = cos 2 +ωx ω>0 在区间 4 , 3 上单调递增,那么实数 ω的取值范围是
.
【答案】 0, 3 ∪ 6, 15 2 2
【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得 ωπ , ωπ 4 3
2kπ-
π
2 ,2kπ+
π
2 ，k∈ Z，继而解得 k的值，
进一步计算即可.
【详解】因为 f x = cos 3π 2 +ωx = sinωx，
由ω> 0且 π4 ≤ x≤
π ，知 ωπ3 4 ≤ωx≤
ωπ
3 ，
因为函数 f x 在区间上 π , π 单调递增,则 ωπ , ωπ π 4 3 4 3 2kπ- 2 ,2kπ+
π
2 ,其中 k∈ Z,
πω
4 ≥2kπ-
π ,
所以 2 πω π 其中 k∈ Z,解得 8k- 2≤ω≤ 6k+
3
≤2kπ+ , 2
，其中 k∈ Z,
3 2
由 8k- 2≤ 6k+ 32 , 6k+
3
2 > 0，得-
1
4 < k≤
7
4 ，又 k∈ Z，所以 k= 0或 k= 1，
因为ω> 0 ,所以当 k= 0时, 0<ω≤ 32 ;
当 k= 1时, 6≤ω≤ 152 ，
所以实数ω的取值范围是 0, 3 15 2 ∪ 6, 2 .
故答案为： 0, 3 15 2 ∪ 6, 2 .
28
例题1. π已知函数 f x = 2cos ωx- 4 ，其中 ω> 0. f
π π
若 x 在区间 4 , 2 上单调递增，则 ω的取
值范围是 ( )
A. 0, 1 2 B. 0,4
1 5
C. 2 ,4 D. 1, 2
变式1 f(x) = sin ωx+ π 0, π若函数 在区间 3 6 上单调递增，则ω的取值范围是 ( )
A. 0,1 B. 12 ,1 C. 0,1 D. 1,+∞
变式2 已知函数 f x = cos ωx+φ (ω> 0，0< φ< π) π 3π为奇函数，且在 - , 6 4 上单调递减，则 ω
的取值范围是 ( )
A. 0, 12 B.
1
2 ,1 C. 0,
2
3 D.
2
3 ,1
变式3 若 f(x) = 2sinωx(ω> 0) π 2π在区间 - 2 ，3 上是增函数，则ω的取值范围是______．
变式4 已知ω> 0，函数 f(x) = sin ωx+ π4
π
在 2 ，π 上单调递减，则ω的取值范围是 ．
变式5 π π π若函数 f(x) = sinωx(ω> 0)在区间 0， 3 上单调递增，在区间

3 ，2 上单调递减，则 ω=
．
变式6 已知函数 f (x) = sin ωx+ π6 (ω> 0) -
π 2π
在区间 4 ，

3 上单调递增，则 ω的取值范围为
( )
A. 0 8， 3 B. 0
1
， 2
1 8 3
C. 2 ，3 D. 8 ，2
变式7 已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) ω>0，|φ|≤ π x=- π2 ， 4 为 f(x)
π
的零点，x= 4 为 y= f(x)图
象的对称轴，且 f(x) π 5π在 18 ，36 上单调，则ω的最大值为 ( )
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
29
第5讲 y=Asin(ωx+ φ)的图像与性质
基础知识
1.函数 y=Asin(ωx+ φ)的图象的画法
函数y=Asin(ωx+φ)的图象的画法
【基本知识】
(1)y=Asin(ωx+ φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
y=Asin(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0)，x∈R
A T= 2π f= 1ω T =
ω
2π ωx+ φ φ
(2)用五点法画 y=Asin(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0)一个周期内的简图
用五点法画 y=Asin(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点：
0-φ π
x 2 -φ π-φ
3π
2 -φ 2π-φ
ω ω ω ω ω
ωx+ φ 0 π π 3π2 2 2π
y=Asin(ωx+ φ) 0 A 0 -A 0
用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+ φ)的简图，精髄是通过变量代换，设 z=ωx+ φ，由 z取 0，π2 ，π，
3π
2 ，2π来求
出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为 T4 ．
例题讲解
1.五点法画图
例题1. π已知函数 f x = 2sin 2x+ 6 ．
y
3
2
1
π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10π 11π x
1 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
π
2
用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数 f x 在 0,π 上的大致图像
30
例题2. 1 π已知函数 y= 2 sin 2x+ 6 ，x∈R.
(1)用五点法作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由 y= sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
变式1 π已知函数 f(x) = 2sin x+ 6 + 1 ,先列表，再作出函数 f(x)在区间 x∈ [-π，π]上的图象．
变式2 已知函数 f(x) = sin 2x- π3 .
(1)请用“五点法”画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数 f(x)的单调增区间；
(3)试问 f(x)是由 g(x) = sin x经过怎样变换得到？
2.优化后的五点法作图
优化后的五点法作图
▲适用题型：类似与 f x = 2sin 2x- π4 的图像问题；
▲方法原理：以 f x = 2sin 2x- π4 为例
1.常规画法：利用五点法或者 2sinx进行伸缩平移，这些属于基础肯定也要掌握的；
2.快速画法：
31
(1)先画正弦曲线与 x轴，如下图：
令2x-
π
4 =
π x= 3π
(2)找最高点和周期 2 8 ，然后在 x= 3π 左右分别按 T = π 2π 8 4 4 逐个标注即可，如下图T= w =π
所示：
- 3π - π8 8
- 5π
π 3π
8 8 8
注意：具体需要哪些点，结合题干进行分析，画出图后，函数的对称轴，对称中心，单调性，最值一目了然；
3.cos和 tan类型的画法类似；
例题1.关于函数 f(x) = cos 2x+ π3 + 1有以下结论：
①函数 f(x)的值域是 [0 , 2]；
②点 - 512 π，0 是函数 f(x)的图象的一个对称中心；
③直线 x= π3 是函数 f(x)的图象的一条对称轴；
④将函数 f(x) π的图象向右平移 6 个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．
其中，所有正确结论的序号是________．
变式1 f(x) = sin 2x+ 2π已知函数 3 ，则下列结论错误的是 (　　)
A. f(x)的最小正周期为 π B. f(x)的图象关于直线 x= 8π3 对称
C. f(x) π π的一个零点为 6 D. f(x)在区间 0，3 上单调递减
变式2 π已知函数 f(x) = sin 2x- 4 ，给出下列四个结论：
①函数 f(x) π的最小正周期为 π； ②函数 f(x)的图象关于直线 x= 8 对称；
f(x) 3π π 3π③函数 的图象关于点 8 ，0 对称； ④函数 f(x)在 - ， 8 8 上是单调增函数．
其中正确结论的个数是 (　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
32
3.图像的平移和伸缩变化过程
A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
1． φ对 y= sin(x+ φ)，x∈R图象的影响
φ>0时向左
y= sinx 平移 |φ|个单位长度 得到y= sin(x+φ)的图象
φ>0时向右
2．ω(ω> 0)对 y= sin(ωx+ φ)图象的影响
ω>1时缩短
y= sin(x+φ)的横坐标 1原来的 ω 倍 得到y= sin(ωx+φ)的图象
0<ω<时伸长
3．A(A> 0)对 y=Asin(ωx+ φ)图象的影响
A>1时伸长
y= sin(ωx+φ)的纵坐标 原来的A倍 得到y=Asin(ωx+φ)的图象
0由函数 y= sin x的图象通过变换得到函数 y=Asin(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0)的图象的步骤
例 说明 y=-2sin 2x- π6 + 1的图象是由 y= sin x的图象经过怎样变换得到的．
解:方法一 先伸缩后平移
1
= 各 点 的纵坐标伸长到原来的2倍
各点的横坐标缩短到原来的
y sinx的图象 y=-2sinx的图象 2
且关于x轴作对称变换
π
向右平移 个单位长度
y=-2sin2x的图象 1 2 =- - π 向 上 平 移 1 个 单位长度y 2sin 2x 的图象 6
y=-2sin 2x- π6 + 1的图象．
方法二 先平移后伸缩
π
各点的纵坐标伸长到原来的2倍 向右平移 个单位长度
y= sinx的图象 y=-2sinx的图象 6
且关于x轴作对称变换
1
π 各点的横坐标缩短到原来的y=-2sin x- 的图象 2 6 y=-2sin 2x-
π
6 的图象
向 上 平 移 1 个 单 位 长 度 y=-2sin 2x- π6 + 1的图象．
33
例题1.函数 f(x) = 5sin 2x- π3 - 3的图象是由 y= sin x的图象经过怎样的变换得到的？
例题2.把函数 y= sin x(x∈R) π的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所
1
有点的横坐标缩短到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 ( )
A. y= sin 2x- π3 ，x∈R B. y= sin
x
2 +
π
6 ，x∈R
C. y= sin 2x+ π3 ，x∈R D. y= sin 2x+
2π
3 ，x∈R
例题3.将 y= f(x) 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍，然后再将整个图象沿 x轴向右平
π 1
移 2 个单位，得到的曲线与 y= 2 sin x图象相同，则 y= f(x)的函数解析式为 ( )
A. y= 12 sin
1
2 x-
π
2 B. y=
1
2 sin 2x+
π
2
C. y= 1 1 π 1 π2 sin 2 x+ 2 D. y= 2 sin 2x- 2
变式1 函数 y= 3sin 2x+ π3 的图象，可由函数 y= sin x的图象经过下述哪项变换而得到 (　　)
A. π 1向右平移 3 个单位长度，横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标伸长到原来的 3倍
B. π 1向左平移 3 个单位长度，横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标伸长到原来的 3倍
C. π 1向右平移 6 个单位长度，横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标缩短到原来的 3
D. π 1 1向左平移 6 个单位长度，横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标缩短到原来的 3
变式2 π把函数 y= sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平移 3 个单位长度，再把所得图象上所有
点的横坐标扩大到原来的 2倍 (纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 ( )
A. y= sin x2 +
π
6 ，x∈R B. y= sin
x + π2 3 ，x∈R
C. y= sin 2x+ π3 ，x∈R D. y= sin 2x+
2π
3 ，x∈R
变式3 将函数 y= sin x π的图象上所有的点向右平移 10 个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来
的 2倍 (纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 (　　)
A. y= sin 2x- π10 B. y= sin 2x-
π
5
34
C. y= sin 1 π 1 π2 x- 10 D. y= sin 2 x- 20
变式4 把函数 y= f(x) π的图象上各点向右平移 6 个单位，再把横坐标伸长到原来的 2倍，再把纵坐
2 1 π
标缩短到原来的 3 倍，所得图象的解析式是 y= 2sin 2 x+ 3 ，求 f(x)的解析式．
4.平移量的计算
若是不同函数名之间的图象变换，则先用诱导公式将其化为同名函数，再用平移、伸缩规则.
(1)sin→ cos : sinx= cos π2 -x , sinx=-cos x+
π
2 ；
(2)cos→ sin : cosx= sin π2 +x , cosx= sin
π
2 -x .
(3)要算平移量可以用公式 后-前ω 来计算，然后左+右-
3x- π -3x
平移前：y= 2sin3x；平移后 y= 2sin 3x- π5 →
5 π π
3 =- 15 (向右平移 15 个单位)
1 x-( 1 x- π
平移前：y= sin( 1 x- π )；平移后 y= sin 1 x→ 2 2 4
) π
2 4 2 1 =+ 2 (向左平移
π
2 个单位)
2
π
例为了得到函数 y= sin 2x- 6 的图象，可以将函数 y= sin2x的图象 ( )
A. π π向右平移 6 个单位长度 B. 向右平移 12 个单位长度
C. π π向左平移 6 个单位长度 D. 向左平移 12 个单位长度
答案B
解析 y = sin 2x- π6 = sin2 x-
π
12 ，故将函数 y = sin2x的图象向右平移
π
12 个单位长度，可得 y =
sin 2x- π6 的图象．
π
例题1.要得到函数 y= sin x+ 3 的图象，只要将函数 y= sin x的图象 (　　)
A. π π向左平移 3 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度
C. π π向左平移 6 个单位长度 D. 向右平移 6 个单位长度
例题2.要得到函数 y= sin 2x+ π3 的图象，只要将函数 y= sin 2x的图象 (　　)
A. π π向左平移 3 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度
C. π π向左平移 6 个单位长度 D. 向右平移 6 个单位长度
35
例题3.要得到 y= cos 2x- π4 的图象，只要将 y= sin 2x的图象 ( )
A. π向左平移 8 个单位 B.
π
向右平移 8 个单位
C. π π向左平移 4 个单位 D. 向右平移 4 个单位
变式1 π为了得到函数 y= sin 2x- 6 的图象，可以将函数 y= sin 2x的图象 (　　)
A. π向右平移 6 个单位长度 B.
π
向右平移 12 个单位长度
C. π π向左平移 6 个单位长度 D. 向左平移 12 个单位长度
变式2 2π已知曲线C1 : y= cosx ,C2 : y= sin 2x+ 3 ，则下面结论正确的是 ( )
A. 把C π1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，
得到曲线C2
B. 把C π1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长
度，得到曲线C2
C. 把C 1 π1上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长
度，得到曲线C2
D. 把C 1 π1上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长
度，得到曲线C2
变式3 为了得到函数 y= cos 2x+ π3 的图象，只需将函数 y= sin2x的图象 ( )
A. 5π 5π向左平移 12 个单位长度 B. 向右平移 12 个单位长度
C. 5π向左平移 6 个单位长度 D.
5π
向右平移 6 个单位长度
变式4 为了得到函数 y= sin 2x- π6 的图象，可以将函数 y= cos2x的图象 ( )
A. π π向右平移 6 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度
C. π π向左平移 6 个单位长度 D. 向左平移 3 个单位长度
5.解析式的求法
根据图象求 y=Asin(ωx+ φ) (A> 0 ,ω> 0)或 y=Acos(ωx+ φ) (A> 0 ,ω> 0)中的A ,ω , φ.
1.确定A : f(x)max=A.
2.确定ω :ω= 2πT .
3.确定 φ：最后代入一个已知点，解出 φ的值 (首选极值点，不易出错).
(1)y=Asin(ωx+ φ) (A> 0 ,ω> 0)，图中的 k∈ Z.
36
(2)y=Acos(ωx+ φ) (A> 0 ,ω> 0)，图中的 k∈ Z.
π
例如图是函数 y=Asin(ωx+ φ) A>0，ω>0，|φ|< 2 的图象的一部分，求此函数的解析式．
解　方法一　逐一定参法，
由图象知A= 3，T= 5π - - π = π ∴ω= 2π6 6 ， T = 2，
∴ y= 3sin(2x+ φ)．
∵点 - π6 ，0
π
在函数图象上，∴ 0= 3sin - 6 ×2+φ .
∴- π6 × 2+ φ= kπ，k∈ Z
π
，得 φ= 3 + kπ(k∈ Z)．
∵ |φ| < π2 ，∴ φ=
π
3 .∴ y= 3sin 2x+
π
3 .
方法二　待定系数法
π 5π
由图象知A= 3.∵图象过点 3 ，0 和 6 ，0 ，
πω
3 +φ=π， ω=2，∴ 5πω 解得 = π ∴ y= 3sin 2x+
π .
6 +φ=2π，
φ 33 .
方法三　图象变换法
π π
由A= 3，T= π，点 - 6 ，0 在图象上，可知函数图象由 y= 3sin2x向左平移 6 个单位长度而得，
∴ y= 3sin 2 x+ π 6 ，即 y= 3sin 2x+
π
3 .
例题1.如图为 y=Asin(ωx+ φ)的图象的一段，求其解析式．
例题2.已知函数 f(x) =Asin(ωx+ φ)，x∈R 其中A>0，ω>0，0<φ< π2 的图象与 x轴的交点中，
π 2π
相邻两个交点的距离为 2 ，且图象上一个最低点为M 3 ，-2 ，求 f(x)的解析式．
37
变式1 已知函数 y= 2sin(ωx+ φ) (ω> 0)在区间 [0 , 2π]的图象如图，那么ω= ( )
A. 1 B. 2 C. 12 D.
1
3
变式2 函数 f (x) = 2sin(ωx + φ) ω>0,- π2 <φ<
π
2 的部分图象如图所示，则 ω , φ的值分别是
( )
A. 2 ,- π3 B. 2 ,-
π
6 C. 4 ,-
π
6 D. 4 ,
π
3
变式3 函数 y=Asin(ωx+ φ)的部分图象如图所示，则 ( )
A. y= 2sin 2x- π6 B. y= 2sin 2x-
π
3 C. y= 2sin x+
π
6 D. y= 2sin x+
π
3
变式4 如图，函数 y=Asin(ωx+ φ) (A> 0，ω> 0，|φ| < π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析
式．
变式5 已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) (ω> 0 , 0≤ φ< π) 3π是R上的偶函数，其图象关于点M 4 ，0
对称，且在区间 0 π， 2 上是单调函数，求 φ和ω的值．
38
变式6 (多选)如图是函数 y= sin(ωx+ φ)的部分图象，则 sin(ωx+ φ) = ( )
A. sin x+ π B. sin π3 3 -2x C. cos 2x+
π
6 D. cos
5π
6 -2x
39
参考资料
1.平移 (口诀：左加右减，上加下减)
y= f(
向左
x) 平 移 a 个 单 位 y= f(x+a)
将替换成x+a
y= f(x) 向 右 平 移 a 个 单 位 y= f(x-a)
将替换成x-a
= ( ) 向 上 平 移 a 个单位 y f x
y= f(x)+a
解析式整体加a
= ( ) 向 下 平移ay f x 个 单 位 y= f(x)-a
解析式整体减a
2.伸缩
= ( ) 横 坐 标 变为原来的2倍 y f x
y= f( 1 x)
将x替换成 x 22

横坐标变为原来的
1 倍
y= f(x) 2 y= f(2x)
将x替换成2x
3.若是不同函数名之间的图象变换，则先用诱导公式将其化为同名函数，再用平移、伸缩规则.
(1)sin→ cos : sinx= cos π2 -x , sinx=-cos x+
π
2 ；
(2)cos→ sin : cosx= sin π2 +x , cosx= sin
π
2 -x .
40
第6讲 辅助角公式和三角函数的综合应用
1.基础知识
辅助角公式：
asinx+ bcosx= a2+b2 sin(x+ φ) (其中 sinφ= b ，cosφ= a b，tanφ= )．
a2+b2 a2+b2 a
acosx- bsinx= a2+b2 cos(x+φ)( sinφ= b cosφ= a其中 ， ，tanφ= ba )a2+b2 a2+b2
2.例题讲解
例题1.将下列式子化成 y=Asin(wx+ φ) +B或 y=Acos(wx+ φ) +B的形式
(1)f(x) = 2sinxcosx+ 2 3cos2x- 3 (2)f(x) = 3sin2x- 2cos2x- 1
(3)f x = 3sinxcosx+ sin2x- 1 2 (4)f(x) = cos2x+ cos 2x-
π
3
(5)f x = 1 cos2x+ 32 2 sinxcosx-
1
4 (6)f(x) = 2sinxcosx+ 2cos
2x- 1
变式1 将下列式子化成 y=Asin(wx+ φ) +B或 y=Acos(wx+ φ) +B的形式
(1)f x = cosx sinx+cosx - 1 2 (2)f(x) = sinx cosx- sin
2x+ 12
(3)f x = 2 3sin π-x sin π +x - 2cos22 x+ 1
(4)f(x) = 2sin2x+ 2 3sin(π- x)sin x+ π2 (x∈R)
(5)f x = 3sinxcosx+ sin2x
41
3.综合应用 一题十问
例、已知函数 f(x) = 2sin(2x+ π6 ).
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求函数 f(x)的最大值，以及此时对应的 x的值；
(3)求函数 f(x)的对称轴方程；
(4)求函数 f(x)的对称中心；
(5)求函数 f(x)的单调区间；
(6)当 x∈ 0, π2 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；
(7) f(x)的图象由 y= sinx的图象如何变换得到的；
(8)作出 f(x)的一个周期内的图象；
(9) π令 3 < θ<
π
2 ，若 f(θ) =
10
13 ，求 sin2θ的值；
2
(10)设 g(x) = f x+ π4 + f(x+ π) + 2f(π)，求 g(x)的值域.
42
练习题、已知 f(x) = 3cos2x+ 2sinxcosx- 3sin2x , x∈R
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求函数 f(x)的最大值，以及此时对应的 x的值；
(3)求函数 f(x)的对称轴方程；
(4)求函数 f(x)的对称中心；
(5)求函数 f(x)的单调增区间；
(6)若存在 x0∈ 0, 5π12 使得不等式 f(x0)(7)若 f(θ) = 6 π π5 ，6 < θ< 2 ，求 sinθcosθ的值；
(8)作出 f(x)在一个周期内的图象；
(9) f(x)的图象如何由 y= sinx得到；
(10) g(x) = [ f(x)]2+ f(x)，求 g(x)的值域.
43
参考答案
解：(1)最小正周期为T= 2π
(2) 2x+ π = π + 2kπ x= π当 6 2 ，即 6 + kπ(k∈ Z)时，f(x)max= 2.
(3) 2x+ π = π + kπ x= π + kπ由 6 2 ，得 6 2 (k∈ Z) ,所以 f(x)
π kπ
的对称轴方程为 x= 6 + 2 (k∈ Z) ;
(4)由 2x+ π6 = kπ，得 x=-
π + kπ12 2 (k∈ Z)，所以 f(x)
π kπ
的对称中心为 - 12 + 2 ,0 (k∈ Z)
(5) - π + 2kπ≤ 2x+ π ≤ π + 2kπ - π + kπ≤ x≤ π由 2 6 2 ，解得 3 6 + kπ，
所以函数 f(x)的单调递增区间 - π3 +kπ,
π
6 +kπ (k∈ Z) ;
π
由 2 + 2kπ≤ 2x+
π
6 ≤
3π
2 + 2kπ
π 2π
，解得 6 + kπ≤ x≤ 2 + kπ，
所以函数数 f(x) π 2π的单调递减区间 6 +kπ，2 +kπ (k∈ Z) ;
(6) ∵ 0≤ x≤ π π2 ，∴ 6 ≤ 2x+
π ≤ 7π6 6 ,
1
所以- 2 ≤ sin(2x+
π
6 ) ≤ 1 ,-1≤ f(x) ≤ 2 ,所以 f(x)
的最大值为 2 ,最小值为-1.
(7)将曲线 y = sinx π π上所有点向左平移 6 个单位长度 ,得 y = sin(x+ 6 ) ,再将曲线 y =
sin(x+ π ) 16 上所有点的横坐标缩短到原来的 2 ,得 y= sin(2x+
π ) , π6 最后将曲线 y= sin(2x+ 6 )
上所有点的纵坐标伸长到原来 2倍,得 y= 2sin(2x+ π6 ).
(8)部分 x、y的对应值如下：
2x+ π π 3π6 0 2 π 2 2 π
x - π π 5π 2π 11π12 6 12 3 12
y 0 2 0 -2 0
(8)所以 y= 2sin(2x+ π6 )的图象如图所示.
y
2
1
2π 11π
3 12
- π π 5π x12 6 12
-1
-2
(9) π因为 3 < θ<
π , 5π π 7π2 所以 6 < 2θ+ 6 < 6 ,
又 f(θ) = 2sin(2θ+ π )= 10 π 126 13 ,所以 cos(2θ+ 6 ) =- 13 ,
sin2θ= sin(2θ+ π6 -
π
6 ) = sin(2θ+
π
6 )cos
π
6 - cos(2θ+
π
6 )sin
π 12+5
6 = 26 .
(10)g(x) = [ f(x+ π4 )]
2+ f(x+ π) + 2f(π)
= [2sin(2x+ π π 22 + 6 )] + 2sin(2x+2π+
π
6 )+4sin(2π+
π
6 )
44
= 4[cos(2x+ π6 )]
2+ 2sin(2x+ π6 ) + 6 =-4[sin(2x+
π )]26 + 2sin(2x+
π
6 ) + 6
=-4[sin(2x+ π )- 1 26 4 ] +
25
4
由于 sin(2x+ π6 ) ∈ [-1 , 1] ,所以 g(x) ∈ [0 ,
25
4 ].
练习题
解：f(x) = 3 cos2x+ 2sinxcosx- 3 sin2x= sin2x+ 3 cos2x= 2sin(2x+ π3 ).
(1)f(x)的最小正周期为T= π
(2)当 2x+ π3 =
π
2 + 2kπ时，即 x=
π
12 + kπ , k∈ Z时，f(x)max= 2
(3)由 2x+ π = π3 2 + kπ ,得 x=
π
12 +
kπ
2 ,
π kπ
所以 f(x)的对称轴方程为 x= 12 + 2 ，k∈ Z.
(4)由 2x+ π3 = kπ ,得 x=-
π
6 +
kπ
2 ,所以 f(x)
π kπ
的对称中心为 (- 6 + 2 , 0) , k∈ Z.
(5) - π由 2 + 2kπ≤ 2x+
π π 5π π
3 ≤ 2 + 2kπ ,解得- 12 + kπ≤ x≤ 12 + kπ , (k∈ Z).
f(x) [kπ- 5π , kπ+ π故函数 的单调递增区间为 12 12 ] , (k∈ Z)
(6) x∈ [0 , 5π当 12 ]时, 2x+
π ∈ [ π 7π 13 3 , 6 ].则- 2 ≤ sin(2x+
π
3 )≤1. 所以 f(x)的最小值为
-1.
故m的取值范围时m∈ (-1 ,+∞).
(7)若 f(θ) = sin(2θ+ π )= 3 ,∵ π π 2π3 5 6 < θ< 2 ,∴ 3 < 2θ+
π
3 <
4π
3 ,
∴ cossin(2θ+ π3 )=-
4
5 ,
sin2θ= sin(2θ+ π3 -
π
3 )= sin(2θ+
π
3 ) cos
π π
3 - cos(2θ+ 3 )sin
π = 3+4 33 20
∴ sinθcosθ = 12 sin2θ=
3+4 3
20 。
(8)f(x)一个周期内的图象如图所示.
y
2
1
7π 5π
12 6
- π π π x6 12 3
-1
-2
(9)y= sinx π π π图象向左平移 3 各单位长度得 y= sin(x+ 3 ).再将y= sin(x+ 3 )图象上各点的横
1
坐标缩短为原来的 2 ,得 y= sin(2x+
π
3 ).再将 y= sin(x+
π
3 )de图象各点的纵坐标伸长 2倍即可.
(10) sin(2x+ π由于 3 ) ∈ [-1 , 1] ,
所以函数 g(x) = [ f(x)]2+ f(x) ∈ [-1 , 1]
4.三角函数的解答题
45
例题1.已知函数 f(x) = 2 3sinxcosx+ 2cos2x- 1．
(1)求 f(x)的最小正周期及 f(x)的最小值；
(2) 1将函数 f(x)的图象上的所有点纵坐标保持不变，横坐标变化至原来的 2 ，得到 g(x)的图象，
求 g(x)的严格增区间．
变式1 π π已知函数 f x = sin 2x+ 3 + cos 2x+ 6 - 2sinxcosx.
(1)求函数 f x 的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数 y= f π x 的图象向左平移 12 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸
长为原来的 2倍，得到函数 y= g x 的图象，求 y= g x 在 [0，2π]上的单调递减区间.
变式2 已知 f(x) = sin2x+ 3cos2x．
(1)求 f π6 的值；
(2)求 f(x)的最小正周期及单调增区间．
变式3 已知函数 y= f x ，其中 f x = tan ωx+ π3 ，ω> 0．
(1)若ω= 2，求函数 y= f x 的单调区间以及函数图象的对称中心；
(2)将函数 y= f π x 图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移 12ω 个单位得到
g x 的图象，且满足方程 g x = 3在 0,10π 上恰有 20个根，求正实数ω的取值范围．
46
变式4 设函数 f x = 2cos2 π4 -x + sin 2x+
π
3 - 1．
(1)求 f - π12 的值；
(2)求 f π x 在区间 - 2 ,0 上的最大值和最小值．
5.综合问题 恒等变换
例题1.设 f x = cos2 x+ 7π12 + cos
π
6 cos2x．
(1) f π求 12 的值及 f x 的单调递增区间；
(2)若 α∈ π12 ,
π
2 ，f α =
2
3 ，求 sin 2α+
2
3 π 的值．
6.综合问题 函数与方程
例题1.已知函数 f x = 2cos 2x-θ+ π6 0<θ<
π
2 是偶函数.
(1)求 θ的值；
(2)将函数 y= f 2 x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 3 倍，纵坐标不变，然后再向左平移
π
18 个单位长度，最后向上平移 1个单位长度后，得到 y= g x 的图象，若关于 x的方程 g x -
2
m -
1= 0在 x∈ -
π , π 6 6 有两个不同的根 α , β，求实数m的取值范围.
47
例题2.已知函数 f x = 2 sin4ωx-cos4ωx + 2 2sinωx cosωx ω>0 最小正周期为 π.
(1)求ω的值：
(2) π将函数 f x 的图象先向左平移 8 个单位，然后向上平移 1个单位，得到函数 y= g x ，若 y=
g x 在 0,b b>0 上至少含有 4个零点，求 b的最小值.
例题3.函数 y=Asin ωx+φ A>0,ω>0, φ π < 2 的一段图象如下图所示.
(1)求函数 y= f x 的解析式；
(2)将函数 y= f π x 的图象向右平移 4 个单位，得到 y= g x 的图象.求直线 y= 6与函数 y=
f x + g x 0, 3π 的图象在 2 内所有交点的横坐标之和.
48

展开更多......

收起↑