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第五章 一元一次方程 单元综合培优测评卷
一、单选题
1．把方程 变形为 ，其依据是（　　）
A．等式的两边同时乘以 B．等式的两边同时除以
C．等式的两边同时减去 D．等式的两边同时加上
2．已知a-b=0，下列等式中，不成立的是 (　　)
A．a=b B．2a=2b C． D．a=b+1
3．下列各式是一元一次方程的是（　　）
A．x+3y=4 B．x2﹣2x=6 C．﹣6x=0 D．x﹣1═
4．方程 的解是（　　）
A． B． C． D．
5．小明比小海大10岁，5年前小明的年龄是小海的年龄的2倍，小海现在的年龄为（　　）
A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．25岁
6．下面表示解方程 的流程，其中依据“等式性质”的步骤是（　　）
解：
去括号得： …①
移项得： …②
合并同类项得： …③
系数化为1得： …④
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．若，则下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差4件．设分派站现有包裹x件，则下面所列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．如图所示，两个天平都平衡，则三个“ ”的重量等于多少个“ ”的重量（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（　　）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
二、填空题
11．我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得．
请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为　 　．
12．小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，则该文具店中这种大笔记本的单价为　 　元.
13．某书店推出购书优惠方案，若一次性购书不超过100元，不享受优惠；若一次性购书超过100 元但不超过200元一律打九折；若一次性购书超过200元一律打八折.如果王明同学一次性购书付款 162 元，那么王明所购书的原价为　 　.
14．已知关于的方程是一元一次方程，则的值是　 　．
15．将边长为8cm的正方形铁丝框架拉直后重新折弯，制成一个长方形铁丝框架(如图)，长方形框架的长比宽多4cm．设长方形框架的宽为x(cm)，则它的长可表示为　 　cm，根据等量关系　 　，可列方程：　 　.
16．某服装店推出如下优惠方案：
⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；
⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；
⑶一次性购物超过300元一律8折．
小李两次购物分别付款85元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，他应付款　 　元．
三、计算题
17． 利用等式的性质解下列一元一次方程：
（1）5+x=-2。
（2）3x+6=31-2x。
四、解答题
18．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
19．某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同．其中，每个小书包的盈利率为，每个大书包的盈利率为，试求两种书包的进价．
20．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，求两人相遇的次数
21．甲班有35人，乙班有26人．现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去养老院参加敬老活动．如果从甲班抽调的人数比乙班多3人，那么甲班剩余的人数恰好是乙班剩余人数的2倍．问从乙班抽调了多少人参加了这次敬老活动？
22．如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为．
（1）用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和．
（2）“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由．
23． 有长为20米的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，使得长比宽长2米。设园子的宽为t米，请列出一个含有未知数t的方程，并判断所列方程是不是一元一次方程。
24．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；
乙种商品每件进价40元，售价60元．
（1）甲种商品每件的进价为　 　元，乙种商品每件的利润率为　 　．
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
25．一项工程，甲单独做15天完工，乙单独做20天完工，丙单独做24天完工．现在先让甲、乙合做5天，剩下工程由丙一个人完成．丙需做多少天
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第五章 一元一次方程 单元综合培优测评卷
一、单选题
1．把方程 变形为 ，其依据是（　　）
A．等式的两边同时乘以 B．等式的两边同时除以
C．等式的两边同时减去 D．等式的两边同时加上
【答案】B
【解析】【解答】由方程 x＝1变形为x=2，得等式的两边都乘以2（除以 ），
故答案为：B．
【分析】根据题意可知对方程进行变形的步骤名称为：去分母；依据的是等式的基本性质，等式两边同时乘或除以相同的数，等式仍然成立。
2．已知a-b=0，下列等式中，不成立的是 (　　)
A．a=b B．2a=2b C． D．a=b+1
【答案】D
【解析】【解答】解： 故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
一定不成立，故本选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据等式的性质“①等式的两边都加上(或减去)同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立”逐个判断即可.
3．下列各式是一元一次方程的是（　　）
A．x+3y=4 B．x2﹣2x=6 C．﹣6x=0 D．x﹣1═
【答案】C
【解析】【解答】解：A、x+3y=4是二元一次方程，故此选项错误；
B、x2﹣2x=6是一元二次方程，故此选项错误；
C、﹣6x=0是一元一次方程，故此选项正确；
D、x﹣1═ 不是整式方程，故此选项错误；
故选：C．
【分析】根据一元一次方程的定义判断可得．
4．方程 的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：去括号得：3-2x+10=9，
移项合并得：-2x=-4，
解得：x=2，
故答案为：D．
【分析】利用去括号、移项合并、系数化为1进行解方程即可.
5．小明比小海大10岁，5年前小明的年龄是小海的年龄的2倍，小海现在的年龄为（　　）
A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．25岁
【答案】B
【解析】【解答】设小海现在的年龄是x岁，则小明的年龄是x+10，
根据题意可列方程：x+10-5=2(x-5)，
解得x=15，
故答案为：B.
【分析】根据题目中的等量关系， 5年前小明的年龄是小海的年龄的2倍 ，设小海现在的年龄是x岁，即可列出方程求解.
6．下面表示解方程 的流程，其中依据“等式性质”的步骤是（　　）
解：
去括号得： …①
移项得： …②
合并同类项得： …③
系数化为1得： …④
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【解析】【解答】根据题意得：
②在方程的两侧同时加上2x-3，根据的是等式的性质1；
④在方程的两边同时除以-3，根据的是等式的性质2，
故解方程3-5x=2（2-x）的流程，其中依据“等式性质”是②④，
故答案为：D．
【分析】根据解含括号的一元一次方程的步骤逐步判定即可。
7．若，则下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A.∵，∴，故A不符合题意；
B. ∵，∴或，故B不符合题意；
C. ∵，∴，故C不符合题意；
D. ∵且，∴，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可.
8．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差4件．设分派站现有包裹x件，则下面所列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设分派站现有包裹x件，
依题意得：，
故选：B．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差4件”，得出关于x的一元一次方程，即可求解．
9．如图所示，两个天平都平衡，则三个“ ”的重量等于多少个“ ”的重量（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵由题意可知：2 =5△，2 =3△，
∴△= ．
∴2 = ．
等式两边同时乘以 得：3 =5 ．
故选：C．
【分析】由天平平衡的条件可知2 =5△，2 =3△，然后利用等式的性质可求得答案．
10．某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（　　）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
【答案】C
【解析】【解答】（1）若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则
90%x=288，
解得x=320，
两次所购物价值为180+320=500>300，
所以享受9折优惠，因此应付
500×90%=450（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
180+288-450=18（元），
（2）若第二次购物没有超过300元，
两次所购物价值为180+288=468（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
468×10%=46.8（元），
故答案为：C．
【分析】此题的难度较大，原因在于第二次购物的钱数并未指明是否超过300元，故应分类讨论，所以答案有两种情况。
二、填空题
11．我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得．
请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设，即，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】设，再表示出100x，根据题意列出方程把化为分数即可．
12．小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，则该文具店中这种大笔记本的单价为　 　元.
【答案】8
【解析】【解答】解：设大笔记本的单价为x元，根据题意得，
4x+6(x-3)=62
解得，x=8
∴大笔记本的单价为8元.
故答案为：8
【分析】设大笔记本的单价为x元，则小笔记的单价为(x-3)元，根据大笔记本4个和小笔记本6个共用了62元列方程求解即可.
13．某书店推出购书优惠方案，若一次性购书不超过100元，不享受优惠；若一次性购书超过100 元但不超过200元一律打九折；若一次性购书超过200元一律打八折.如果王明同学一次性购书付款 162 元，那么王明所购书的原价为　 　.
【答案】180元或202.5元
【解析】【解答】解：∵100<162<200，200×80%=160<162，
∴王明所购书的原价超过100元，
设王明所购书的原价为x元，
当100当x>200时，80%x=162，解得x=202.5（元）.
故答案为：180元或202.5元.
【分析】先预先估计王明所购书的原价，再分“100200”两种情况，分别求出原价.
14．已知关于的方程是一元一次方程，则的值是　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元一次方程，
∴a-3≠0，，
∴a=1，
故答案为：1
【分析】根据一元一次方程的定义结合题意即可求解。
15．将边长为8cm的正方形铁丝框架拉直后重新折弯，制成一个长方形铁丝框架(如图)，长方形框架的长比宽多4cm．设长方形框架的宽为x(cm)，则它的长可表示为　 　cm，根据等量关系　 　，可列方程：　 　.
【答案】(x+4)；正方形的周长=长方形的周长；8×4=2×[(x+4)+x]
【解析】【解答】解：第一空： 长方形框架的长可表示为（x+4）cm；
第二空：题中的等量关系为：正方形的周长=长方形的周长；
第三空：8×4=2×[(x+4)+x].
故答案为：第一空：（x+4）；第二空：正方形的周长=长方形的周长；第三空：8×4=2×[(x+4)+x].
【分析】根据题意“ 长方形框架的长比宽多4cm”可将长方形框架的长表示出来；根据题意可得等量关系；由等量关系可列方程求解.
16．某服装店推出如下优惠方案：
⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；
⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；
⑶一次性购物超过300元一律8折．
小李两次购物分别付款85元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，他应付款　 　元．
【答案】292或320
【解析】【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第一次消费85元的情况下，他的实质购物价值只能是85元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝252，解得：x＝280．
②第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝252，解得：x＝315.即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为85＋280＝365或85＋315＝400，均超过了300元．
因此均可以按照8折付款：365×0.8＝292元， 395×0.8＝320元．
故答案为：292或320．
【分析】根据题意列方程，再解方程求解即可。
三、计算题
17． 利用等式的性质解下列一元一次方程：
（1）5+x=-2。
（2）3x+6=31-2x。
【答案】（1）解：5+x=-2
5+x-5=-2-5，
x=-7.
（2）解：3x+6=31-2x，
3x+6+2x-6=31-2x+2x-6，
5x=25，
x=5.
【解析】【分析】（1）在等式的两边同时减去5；
（2）在等式的两边同时加上（2x-6），然后再除以5．
四、解答题
18．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【答案】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元，
根据题意得：90% （1+50%）x+90% （1+40%）（500﹣x）﹣500=157，
解得：x=300，500﹣x=200．
答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．
【解析】【分析】若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元．根据公式：总利润=总售价﹣总进价，即可列出方程．
19．某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同．其中，每个小书包的盈利率为，每个大书包的盈利率为，试求两种书包的进价．
【答案】解：设每个小书包的进价为x元，则每个大书包的进价为（x+10）元，
依题意得：30%x＝20%（x+10），
解得：x＝20，
则x+10＝30．
答：每个小书包的进价为20元，每个大书包的进价为30元．
【解析】【分析】 设每个小书包的进价为x元，则每个大书包的进价为（x+10）元， 根据两种书包的售后利润额相同，列出方程并解之即可.
20．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，求两人相遇的次数
【答案】解：设两人起跑后100s内，两人相遇的次数为x次，每次相遇间隔时间为ts，依题意得：
解得：x=4.5
又∵x是正整数，且只能取整，
∴x=4
所以两人相遇了4次．
【解析】【分析】可设两人相遇的次数为x，根据每次相遇的时间是 ，总共时间为100s，列出方程求解即可．
21．甲班有35人，乙班有26人．现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去养老院参加敬老活动．如果从甲班抽调的人数比乙班多3人，那么甲班剩余的人数恰好是乙班剩余人数的2倍．问从乙班抽调了多少人参加了这次敬老活动？
【答案】解：设从乙班抽调了x人参加了敬老活动．
根据题意列方程，得
35﹣（x﹣3）=2（26﹣x）．
解方程得：x=20．
答：从乙班抽调了20人参加了这次敬老活动
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由甲班剩余的人数恰好是乙班剩余人数的2倍，得到方程，求出从乙班抽调的人数.
22．如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为．
（1）用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和．
（2）“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设“U”型框左上角的数为．
则其余的4个数分别为，，，，
“”型框中的5个数的和为
（2）解：能，理由如下
根据题意得：，
解得：，
，，
在第6列，符合题意，
“”型框中的5个数的和能等于758，的值为140
【解析】【分析】（1）根据5个数的位置关系，可得出另外的4个数分别为，，，，将5个数相加，即可用含m的代数式表示“U”型框中，的5个数的和；
（2）根据“U”型框中的5个数的和得等于758，可列出关于m的一元一次方程，解方程，检验后即可得结论．
（1）解：根据题意得：另外的4个数分别为，，，，
“”型框中的5个数的和为；
（2）解：能，理由如下
根据题意得：，
解得：，
，，
在第6列，符合题意，
“”型框中的5个数的和能等于758，的值为140．
23． 有长为20米的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，使得长比宽长2米。设园子的宽为t米，请列出一个含有未知数t的方程，并判断所列方程是不是一元一次方程。
【答案】解：由园子的宽为t米，可得其长为米，根据题意，可列方程.
该方程只有一个未知数，且未知数的次数为1，属于一元一次方程.
【解析】【分析】根据图片，由宽先得到长的表达式，并根据条件“ 长比宽长2米 ”列出方程，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知量，且未知量的次数为1）来判断即可.
24．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；
乙种商品每件进价40元，售价60元．
（1）甲种商品每件的进价为　 　元，乙种商品每件的利润率为　 　．
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】（1）；
（2）解：设购进甲商品件．
根据题意可得
．
解得
．
答：购进甲种商品件
（3）解：设打折前应付款为元．
第一天，购买甲商品：
当时，由，得，商品件数为（件），舍去．
当时，由，得，商品件数为（件） ．
第二天，购买乙商品：
当时，由，得（元），舍去．
当时，由，得，商品件数为（件） ．
当时，商品件数为（件） ，舍去．
两天一共购买的商品件数为（件） ．
答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件
【解析】【解答】（1）（元）
故答案为：，．
【分析】（1）根据数量关系列式计算即可；
（2）根据数量关系总利润=甲商品的利润+乙商品的利润列关于x的一元一次方程解题即可；
（3）先求出第一天只购买甲种商品不享受优惠条件，可得出第一天购买甲种商品的件数，第二天只购买乙种商品分两种情况：①购买乙种商品打九折，②购买乙种商品打八折，分别求出即可.
25．一项工程，甲单独做15天完工，乙单独做20天完工，丙单独做24天完工．现在先让甲、乙合做5天，剩下工程由丙一个人完成．丙需做多少天
【答案】解： 设丙需做x天，依题可得：
（+）×5+·x=1，
++·x=1，
·x=1--，
·x=，
x=10.
答丙需做10天.
【解析】【分析】设丙需做x天，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出一元一次方程，解之即可.
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