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沪科版数学八年级上册专题演练之一次函数面积问题
一、函数图像上的点坐标
1．（2024八下·黔南期末）如图，已知在平面直角坐标系中，有，两点，直线l过A，B两点．
（1）求直线l的函数解析式．
（2）当x轴上有一点，在直线l上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024七上·岱岳期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024八上·武侯期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴于，D两点，两直线相交于点E．
（1）求k的值与线段的长；
（2）求的面积：
（3）若点P为直线上的一动点，连接，，当时，求点P的坐标．
4．（2024九上·广州开学考）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点．
（1）求的值并直接写出正比例函数的解析式；
（2）如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，并与直线相交于点，其中点的横坐标为3．
（1）求点的坐标和的值；
（2）为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于？请求出点的坐标．
6．（2024八上·杭州期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
二、根据面积求函数解析式
7．（2024九下·滨江期中）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的表达式为　 　．
8．（2024九上·广州开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，直线与关于轴对称．
（1）求点的坐标；
（2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式．
三、坐标轴上的点坐标
9．（2024八上·衢州期末）如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），点、点，点C的坐标是．
（1）求直线的函数表达式．
（2）设点为x轴上一点，且，求点D的坐标．
10．（2024八下·黔南期末）如图，已知在平面直角坐标系中，有，两点，直线过，两点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）当轴上有一点，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（5.4课时1 一次函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）设一次函数y= kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象过A(1，3)，B(-5，-3)两点.
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 C(a+2，2a+1)；在该函数图象上，求a的值；
（3）设点 P 在y轴上，若S△ABP=15，求点 P 的坐标.
12．已知y-4与x成正比例，且当x=6时，y=-4.
①求y与x的函数关系式；
②设点P在y轴上，若(1)中函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且以A、B、P为顶点的三角形面积为9，试求点P的坐标.
四、求确定图形的面积
13．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点，求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求的面积．
14．（2024八下·綦江期中）如图.直线经过，
（1）求直线的解析式；
（2）直线的解析式为与直线交于点D，与x轴交于点C，求△BDC的面积.
15．（2025八下·潮南月考）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
五、其他类型
16．（2025八上·罗湖期末）已知一次函数，当时，当时．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在平面直角坐标系中描点，连线作一次函数的图象．
自变量x … 0 　 …
函数值y＝kx+b … 　 0 …
（3）该一次函数图象与x轴，y轴的交点分别是A，B，坐标原点为O，试猜想y轴上是否存在点D，使得若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点．
（1）求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解；
（2）求的面积；
（3）垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值．
18．（2024九上·广州开学考）已知直线．
（1）当为何值时，直线经过原点？
（2）若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，
，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设直线的函数解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：存在，
，，，
，，，
，
，
，
设，
∴，
解得：或，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述，点的坐标或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出，，的值，然后利用三角形的面积公式得到，从而得到，接下来设，再利用三角形面积公式得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得点P坐标.
（1）解：设直线是解析式为，
，两点，直线过，两点，
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：存在，
理由：，，点，
，，，
，
，
，
设，则，
解得或，
当时，，
；
当时，，
，
综上所述，点的坐标或．
2．【答案】（1）解：设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝－x+12.
（2）解：过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC＝OC AH＝×12×8＝48.
（3）解：存在，①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的处，C＝CM时，△OC的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段M的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴（－4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（－4，16）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过A作AH⊥OC于H，结合点A的坐标可得AH的长，再利用点C的坐标可得OC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分类讨论：①若M在线段OA上时，②当M在射线AC上时，先分别画出图形，再利用三角形的面积求解即可.
（1）解：设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝－x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC＝OC AH＝×12×8＝48；
（3）解：存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的处，C＝CM时，△OC的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段M的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴（－4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（－4，16）．
3．【答案】（1）解：∵直线交x轴、y轴于，D两点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：，
当，则，
∴，
∴；
（2）解：联立，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴．
（3）解：当时，，解得：，
∴，
如图，当在的上方时，过作轴交于，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当在的下方时，如图，
当时，，，
∴，
设，而，，
∴，
∴，，
∴，
综上：的坐标为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）把代入可得的值，从而得到直线CD的解析式，令直线CD解析式中x=0算出对应的y的值，可得，进而利用两点间的距离公式计算出CD的长即可；
（2）联立两直线解析式求解得出交点，令直线y=-x+5中的x=0算出y的值，得到，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）令直线y=-x+5中的y=0算出x的值，得，如图，当在的上方时，过作轴交于，由点的坐标与图形性质设，则，由S△PAB=S△PBK+S△APK建立方程，求解得出x的值，即可得到点P的坐标；当在的下方时，如图，证明时，，，，设，而，，再利用中点坐标公式解题即可．
（1）解：∵直线交x轴、y轴于，D两点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：，
当，则，
∴，
∴；
（2）解：联立，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴．
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
如图，当在的上方时，过作轴交于，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当在的下方时，如图，
当时，，，
∴，
设，而，，
∴，
∴，，
∴，
综上：的坐标为：或．
4．【答案】（1）解：∵正比例函数的图象与直线交于点，
∴，3=km，
解得：m=6；k=；
∴正比例函数的解析式为：.
（2）解：点在线段上，点的横坐标为4，
把x=4代入可得：，
，
轴于点，交线段于点，
点的横坐标也为4，
把x=4代入可得：，
，
，
，，
，
的面积为面积的3倍，
，
轴于点，点的横坐标为4，
，
P为直线上的一点，
设，
∴点P到直线DF的距离为：，
，即，
解得：或，
点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）将代入和可得关于k、m的方程组，解方程组即可求解；
（2）先求出点、的坐标，然后即可求出的长，再由三角形的面积公式求出的面积，然后根据S△PDF=3S△CDF求出S△PDF，设，根据三角形PDF的面积公式可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）将代入得：，
解得：，
，
，
，
正比例函数的解析式为；
（2）点在线段上，点的横坐标为4，
在中，当时，，
，
轴于点，交线段于点，
点的横坐标与点的横坐标相同为4，
在中，当时，，
，
，
，，
，
的面积为面积的3倍，
，
轴于点，点的横坐标为4，
，
直线上的一点，
设，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
5．【答案】（1）解：把代入，得，所以点的坐标为．
因为点在一次函数的图象上，
所以，解得．
（2）解：把代入，得，所以点的坐标为，即．
设点的坐标为，则，
解得或，所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)先根据已知条件求出点B的纵坐标，从而得到点B的坐标，再将点B的坐标代入一次函数y=kx+9中，求出k的值；
(2)先求出点A的坐标，再设点Q的坐标为，利用三角形的面积列出绝对值方程求解即可.
6．【答案】（1）解：∵直线的解析表达式为：，且与轴交于点，
∴令，得，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的解析表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴直线的解析表达式为；
（3）解：联立，
解得：，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，
∴点到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）令，求出的值即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）联立两函数解析式得到方程组并解之可求出交点的坐标，继而利用三角形面积公式可求出的值；
（4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标．
（1）解：由，令，得，
，
；
（2）解：设直线的解析表达式为，
由图象知：，；，，代入表达式，
，
，
直线的解析表达式为；
（3）解：由，
解得，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
7．【答案】y=2x
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：如图，当y=0，-2x+4=0，
解得x=2，则A（2，0）；
当x=0，y=-2x+4=4，则B（0，4），
∴AB的中点坐标为（1，2），
∵直线l2把△AOB面积平分
∴直线l2过AB的中点，
设直线l2的解析式为y=kx，
把（1，2）代入得2=k，解得k=2，
∴l2的解析式为y=2x，
故答案为：y=2x．
【分析】由于中线等分三角形面积，所以直线实质是斜边AB上的中线所在的直线，因为直线分别交轴于点，交轴于点，借助中点公式即可求出线段AB的中点坐标，则直线表达式可求.
8．【答案】（1）解：由题意可得：
当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3
∴A(-3，0)，C(0，3)
∵直线与关于轴对称
∴点B与点A关于y轴对称
∴B(3，0)
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b
将点C(0，3)，B(3，0)代入可得：
，解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3
当点P在直线CA上时，m+3=2，解得：m=-1
当点P在直线BC上时，-m+3=2，解得：m=1
∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围为-1（3）解：由题意可得：
①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H
∴
∴，解得：HK=2
在y=x+3中，令y=2，即2=x+3，解得：x=-1
∴K(-1，2)
设直线l解析式为y=px
∴2=-p，即p=-2
∴直线l的解析式为y=-2x
②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'
同理可得：，解得：TH'=2
在y=-x+3中，令y=2，即2=-x+3，解得：x=1
∴T(1，2)
则直线l的解析式为y=2x
综上所述，直线l的解析式为y=-2x或y=2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A，C坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征可得B点坐标.
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为：y=-x+3，分别求出点P在直线CA，BC上时m的值，即可求出点P在三角形ABC内部时，m的取值范围.
（3）根据三角形面积可得，分情况讨论：①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H，则，根据三角形面积建立返程，可得HK，求出点K坐标，设直线l解析式为y=px，根据待定系数法将点K坐标代入解析式即可求出答案；②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'，讨论即可求出答案.
9．【答案】（1）解：设直线的函数表达式为：，把点、点代入得：，
解得，
∴直线的表达式为：。
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与几何问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与面积相关问题．
（1）设直线的函数表达式为：，把点、点代入解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可求出直线的表达式；
（2）由题意可知点D在线段的垂直平分线上，先求出，再根据，利用三角形的面积计算公式可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出点D的坐标．
10．【答案】（1）解：设直线是解析式为，
，两点，直线过，两点，
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：存在，
理由：，，点，
，，，
，
，
，
设，则，
解得或，
当时，，
；
当时，，
，
综上所述，点的坐标或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设直线是解析式为，利用待定系数法解得k、b的值，进而求得直线的函数解析式.
(2)设，通过三角形的面积公式可得，进而解得或，再利用一次函数的性质求得点的坐标或．
11．【答案】（1）解：根据题意得 解得 所以该函数的表达式为y=x+2
（2）解：因为点 C(a+2，2a+1)在该函数图象上，所以2a+1=a+2+2，所以a=3.
（3）解：设点 P(0，m).
当x=0时，y=2，所以直线y=x+2与y轴交点的坐标为(0，2).因为 |1-(-5)|=15，所以|m-2|=5，所以m=-3或7，所以点 P 的坐标为(0，-3)或(0，7)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)把C(a+2，2a+1)代入y=x+2得2a+1=a+2+2，然后解关于a的方程即可；
(3)直线y=x+2与y轴交于点D，如图，则D(0，2)，设P(0，t)，利用三角形面积公式得到
然后解关于t的方程得到P点坐标.
12．【答案】解：①∵y-4与x成正比例
∴设y-4=kx(k≠0)
∵当x=6时，y=-4.
∴6k=-4-4，解得：
∴y与x的函数关系式为：
②由题意可得：
令x=0，得y=4，令y=0，得x=3
∴A(3，0)，B(0，4)
设P(0，m)
∴BP=4-m
∴，即
解得：m=-2
∴P（0，-2）
【知识点】正比例函数的概念；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据正比例定义设y-4=kx(k≠0)，将x=6，y=4代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征令x=0，得y=4，令y=0，得x=3，则A(3，0)，B(0，4)，设P(0，m)，根据两点间距离可得BP，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】（1）解：∵点在图象上，∴，解得，∴
∵点和点在图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：如图，过A作轴于E，
∵一次函数解析式为，∴时，，解得，
∴点D坐标为，∴，
∵，∴，∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据点在图象上，代入求得，得到，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）过A作轴于点E，由，由（1）中的直线方程，求得点D坐标为，得到，再由，得到，利用直角三角形的面积公式，即可得到答案.
（1）解：∵点在图象上，
∴，解得：．
∴
∵点和点在图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：如图，过A作轴于E，
∵一次函数解析式为：，
∴时，，解得，
∴点D坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．【答案】（1）由题意得：
解得：，
所以的解析式为：
（2）联立：得
所以：
令得
所以
所以
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）联立直线与直线的解析式，求出点D坐标，再根据直线的解析式求出点坐标，确定三角形BDC的底和高，利用三角形面积公式即可求解。
15．【答案】C
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：直线与x，y轴分别交于A、B两点，
令，；令，；
与坐标轴两交点坐标分别为，，即，，
由向x轴负半轴平移4个单位长度所得
，，
设、交于点F，
点F在直线的图象上，且点F与点D的横坐标相同，
当时，，
，即，
，
，
，即图中阴影部分面积为18，
故选：C．
【分析】本题主要对一次函数与几何变换进行综合考查．根据一次函数与x，y轴交点可以得到点的坐标进而分别求出，，的长，D点坐标的长可以根据平移得到，点F的坐标可根据点在一次函数图象上可算出再进一步得到，由，可得．
16．【答案】（1）解：由题知，
，
解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）解：由（1）中所求函数表达式可知，
当时，；当时，．
描点、连线，如图所示，
（3）存在，点D的坐标为或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：存在．
由（2）知，
点A坐标为，点B坐标为，
所以，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以，
则，，
所以点D的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将时，当时，代入表达式即可求出答案.
（2）将x=0，y=0分别代入表达式可得x，y值，再根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得点A坐标为，点B坐标为，根据两点间距离可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得BD，再根据点的坐标即可求出答案.
（1）解：由题知，
，
解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）解：由（1）中所求函数表达式可知，
当时，；当时，．
描点、连线，如图所示，
（3）解：存在．
由（2）知，
点A坐标为，点B坐标为，
所以，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以，
则，，
所以点D的坐标为或．
17．【答案】（1）解：把点代入，得：
，
，
直线与直线相交于点，
方程组的解为，
方程组的解为
（2）解：对于直线，
令，则，
解得：，
，
对于直线，
令，则，
解得：，
，
，
；
（3）解：由题意得：
直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，
，
，
即：，
解得：或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)把点P(1，b)代入y=2x+1，得b=3，则P(1，3)， 由直线 与直线 +4相交于点P(1，3)可得方程组的解；
(2)先求出直线 与x轴的交点A的坐标，再求出直线 与x轴的交点B的坐标，然后求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可得 由此即可求出 P的面积；
(3)由题意得，直线x =a与直线x=a 的交点C的坐标为(a，2a+1)，与直线 的交点D的坐标为(a，-a+4)，由CD=4列方程求出a的值即可.
18．【答案】（1）解：∵直线经过原点
∴将(0，0)代入解析式可得：3k-1=0
解得：
∴当时，直线l经过原点
（2）解：令x=0，则y=3k-1
令y=0，则
∴
∴
∵
∴
解得：或
当时，
∴
∴
当时，
∴
∴
（3）解：设“元元点”的坐标为(x，y)
由题意可得：|x|+|y|=2
∴满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上
直线经过定点(-3，-4)
当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
∴当时，线上至少有一个“元元点”
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据题意将原点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，再根据题意建立方程，解方程可得k值，再跟据三角形面积即可求出答案.
（3）设“元元点”的坐标为(x，y)，由题意可得：|x|+|y|=2，则满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上，直线经过定点(-3，-4)，根据题意当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，即可求出答案.
1 / 1沪科版数学八年级上册专题演练之一次函数面积问题
一、函数图像上的点坐标
1．（2024八下·黔南期末）如图，已知在平面直角坐标系中，有，两点，直线l过A，B两点．
（1）求直线l的函数解析式．
（2）当x轴上有一点，在直线l上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线的函数解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：存在，
，，，
，，，
，
，
，
设，
∴，
解得：或，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述，点的坐标或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出，，的值，然后利用三角形的面积公式得到，从而得到，接下来设，再利用三角形面积公式得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得点P坐标.
（1）解：设直线是解析式为，
，两点，直线过，两点，
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：存在，
理由：，，点，
，，，
，
，
，
设，则，
解得或，
当时，，
；
当时，，
，
综上所述，点的坐标或．
2．（2024七上·岱岳期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝－x+12.
（2）解：过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC＝OC AH＝×12×8＝48.
（3）解：存在，①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的处，C＝CM时，△OC的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段M的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴（－4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（－4，16）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过A作AH⊥OC于H，结合点A的坐标可得AH的长，再利用点C的坐标可得OC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分类讨论：①若M在线段OA上时，②当M在射线AC上时，先分别画出图形，再利用三角形的面积求解即可.
（1）解：设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝－x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC＝OC AH＝×12×8＝48；
（3）解：存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的处，C＝CM时，△OC的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段M的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴（－4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（－4，16）．
3．（2024八上·武侯期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴于，D两点，两直线相交于点E．
（1）求k的值与线段的长；
（2）求的面积：
（3）若点P为直线上的一动点，连接，，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线交x轴、y轴于，D两点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：，
当，则，
∴，
∴；
（2）解：联立，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴．
（3）解：当时，，解得：，
∴，
如图，当在的上方时，过作轴交于，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当在的下方时，如图，
当时，，，
∴，
设，而，，
∴，
∴，，
∴，
综上：的坐标为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）把代入可得的值，从而得到直线CD的解析式，令直线CD解析式中x=0算出对应的y的值，可得，进而利用两点间的距离公式计算出CD的长即可；
（2）联立两直线解析式求解得出交点，令直线y=-x+5中的x=0算出y的值，得到，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）令直线y=-x+5中的y=0算出x的值，得，如图，当在的上方时，过作轴交于，由点的坐标与图形性质设，则，由S△PAB=S△PBK+S△APK建立方程，求解得出x的值，即可得到点P的坐标；当在的下方时，如图，证明时，，，，设，而，，再利用中点坐标公式解题即可．
（1）解：∵直线交x轴、y轴于，D两点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：，
当，则，
∴，
∴；
（2）解：联立，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴．
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
如图，当在的上方时，过作轴交于，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当在的下方时，如图，
当时，，，
∴，
设，而，，
∴，
∴，，
∴，
综上：的坐标为：或．
4．（2024九上·广州开学考）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点．
（1）求的值并直接写出正比例函数的解析式；
（2）如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵正比例函数的图象与直线交于点，
∴，3=km，
解得：m=6；k=；
∴正比例函数的解析式为：.
（2）解：点在线段上，点的横坐标为4，
把x=4代入可得：，
，
轴于点，交线段于点，
点的横坐标也为4，
把x=4代入可得：，
，
，
，，
，
的面积为面积的3倍，
，
轴于点，点的横坐标为4，
，
P为直线上的一点，
设，
∴点P到直线DF的距离为：，
，即，
解得：或，
点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）将代入和可得关于k、m的方程组，解方程组即可求解；
（2）先求出点、的坐标，然后即可求出的长，再由三角形的面积公式求出的面积，然后根据S△PDF=3S△CDF求出S△PDF，设，根据三角形PDF的面积公式可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）将代入得：，
解得：，
，
，
，
正比例函数的解析式为；
（2）点在线段上，点的横坐标为4，
在中，当时，，
，
轴于点，交线段于点，
点的横坐标与点的横坐标相同为4，
在中，当时，，
，
，
，，
，
的面积为面积的3倍，
，
轴于点，点的横坐标为4，
，
直线上的一点，
设，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，并与直线相交于点，其中点的横坐标为3．
（1）求点的坐标和的值；
（2）为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于？请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把代入，得，所以点的坐标为．
因为点在一次函数的图象上，
所以，解得．
（2）解：把代入，得，所以点的坐标为，即．
设点的坐标为，则，
解得或，所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)先根据已知条件求出点B的纵坐标，从而得到点B的坐标，再将点B的坐标代入一次函数y=kx+9中，求出k的值；
(2)先求出点A的坐标，再设点Q的坐标为，利用三角形的面积列出绝对值方程求解即可.
6．（2024八上·杭州期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线的解析表达式为：，且与轴交于点，
∴令，得，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的解析表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴直线的解析表达式为；
（3）解：联立，
解得：，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，
∴点到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）令，求出的值即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）联立两函数解析式得到方程组并解之可求出交点的坐标，继而利用三角形面积公式可求出的值；
（4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标．
（1）解：由，令，得，
，
；
（2）解：设直线的解析表达式为，
由图象知：，；，，代入表达式，
，
，
直线的解析表达式为；
（3）解：由，
解得，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
二、根据面积求函数解析式
7．（2024九下·滨江期中）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的表达式为　 　．
【答案】y=2x
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：如图，当y=0，-2x+4=0，
解得x=2，则A（2，0）；
当x=0，y=-2x+4=4，则B（0，4），
∴AB的中点坐标为（1，2），
∵直线l2把△AOB面积平分
∴直线l2过AB的中点，
设直线l2的解析式为y=kx，
把（1，2）代入得2=k，解得k=2，
∴l2的解析式为y=2x，
故答案为：y=2x．
【分析】由于中线等分三角形面积，所以直线实质是斜边AB上的中线所在的直线，因为直线分别交轴于点，交轴于点，借助中点公式即可求出线段AB的中点坐标，则直线表达式可求.
8．（2024九上·广州开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，直线与关于轴对称．
（1）求点的坐标；
（2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围；
（3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式．
【答案】（1）解：由题意可得：
当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3
∴A(-3，0)，C(0，3)
∵直线与关于轴对称
∴点B与点A关于y轴对称
∴B(3，0)
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b
将点C(0，3)，B(3，0)代入可得：
，解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3
当点P在直线CA上时，m+3=2，解得：m=-1
当点P在直线BC上时，-m+3=2，解得：m=1
∴当点P在△ABC的内部时，m的取值范围为-1（3）解：由题意可得：
①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H
∴
∴，解得：HK=2
在y=x+3中，令y=2，即2=x+3，解得：x=-1
∴K(-1，2)
设直线l解析式为y=px
∴2=-p，即p=-2
∴直线l的解析式为y=-2x
②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'
同理可得：，解得：TH'=2
在y=-x+3中，令y=2，即2=-x+3，解得：x=1
∴T(1，2)
则直线l的解析式为y=2x
综上所述，直线l的解析式为y=-2x或y=2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A，C坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征可得B点坐标.
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为：y=-x+3，分别求出点P在直线CA，BC上时m的值，即可求出点P在三角形ABC内部时，m的取值范围.
（3）根据三角形面积可得，分情况讨论：①设直线L交AC于点K，，过点K作KH⊥AB于点H，则，根据三角形面积建立返程，可得HK，求出点K坐标，设直线l解析式为y=px，根据待定系数法将点K坐标代入解析式即可求出答案；②设直线l交BC于点T，，过点T作TH'⊥AB于点H'，讨论即可求出答案.
三、坐标轴上的点坐标
9．（2024八上·衢州期末）如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），点、点，点C的坐标是．
（1）求直线的函数表达式．
（2）设点为x轴上一点，且，求点D的坐标．
【答案】（1）解：设直线的函数表达式为：，把点、点代入得：，
解得，
∴直线的表达式为：。
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与几何问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与面积相关问题．
（1）设直线的函数表达式为：，把点、点代入解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可求出直线的表达式；
（2）由题意可知点D在线段的垂直平分线上，先求出，再根据，利用三角形的面积计算公式可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出点D的坐标．
10．（2024八下·黔南期末）如图，已知在平面直角坐标系中，有，两点，直线过，两点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）当轴上有一点，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线是解析式为，
，两点，直线过，两点，
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：存在，
理由：，，点，
，，，
，
，
，
设，则，
解得或，
当时，，
；
当时，，
，
综上所述，点的坐标或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设直线是解析式为，利用待定系数法解得k、b的值，进而求得直线的函数解析式.
(2)设，通过三角形的面积公式可得，进而解得或，再利用一次函数的性质求得点的坐标或．
11．（5.4课时1 一次函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）设一次函数y= kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象过A(1，3)，B(-5，-3)两点.
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 C(a+2，2a+1)；在该函数图象上，求a的值；
（3）设点 P 在y轴上，若S△ABP=15，求点 P 的坐标.
【答案】（1）解：根据题意得 解得 所以该函数的表达式为y=x+2
（2）解：因为点 C(a+2，2a+1)在该函数图象上，所以2a+1=a+2+2，所以a=3.
（3）解：设点 P(0，m).
当x=0时，y=2，所以直线y=x+2与y轴交点的坐标为(0，2).因为 |1-(-5)|=15，所以|m-2|=5，所以m=-3或7，所以点 P 的坐标为(0，-3)或(0，7)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)把C(a+2，2a+1)代入y=x+2得2a+1=a+2+2，然后解关于a的方程即可；
(3)直线y=x+2与y轴交于点D，如图，则D(0，2)，设P(0，t)，利用三角形面积公式得到
然后解关于t的方程得到P点坐标.
12．已知y-4与x成正比例，且当x=6时，y=-4.
①求y与x的函数关系式；
②设点P在y轴上，若(1)中函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且以A、B、P为顶点的三角形面积为9，试求点P的坐标.
【答案】解：①∵y-4与x成正比例
∴设y-4=kx(k≠0)
∵当x=6时，y=-4.
∴6k=-4-4，解得：
∴y与x的函数关系式为：
②由题意可得：
令x=0，得y=4，令y=0，得x=3
∴A(3，0)，B(0，4)
设P(0，m)
∴BP=4-m
∴，即
解得：m=-2
∴P（0，-2）
【知识点】正比例函数的概念；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据正比例定义设y-4=kx(k≠0)，将x=6，y=4代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征令x=0，得y=4，令y=0，得x=3，则A(3，0)，B(0，4)，设P(0，m)，根据两点间距离可得BP，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
四、求确定图形的面积
13．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点，求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求的面积．
【答案】（1）解：∵点在图象上，∴，解得，∴
∵点和点在图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：如图，过A作轴于E，
∵一次函数解析式为，∴时，，解得，
∴点D坐标为，∴，
∵，∴，∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据点在图象上，代入求得，得到，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）过A作轴于点E，由，由（1）中的直线方程，求得点D坐标为，得到，再由，得到，利用直角三角形的面积公式，即可得到答案.
（1）解：∵点在图象上，
∴，解得：．
∴
∵点和点在图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：．
（2）解：如图，过A作轴于E，
∵一次函数解析式为：，
∴时，，解得，
∴点D坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．（2024八下·綦江期中）如图.直线经过，
（1）求直线的解析式；
（2）直线的解析式为与直线交于点D，与x轴交于点C，求△BDC的面积.
【答案】（1）由题意得：
解得：，
所以的解析式为：
（2）联立：得
所以：
令得
所以
所以
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）联立直线与直线的解析式，求出点D坐标，再根据直线的解析式求出点坐标，确定三角形BDC的底和高，利用三角形面积公式即可求解。
15．（2025八下·潮南月考）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：直线与x，y轴分别交于A、B两点，
令，；令，；
与坐标轴两交点坐标分别为，，即，，
由向x轴负半轴平移4个单位长度所得
，，
设、交于点F，
点F在直线的图象上，且点F与点D的横坐标相同，
当时，，
，即，
，
，
，即图中阴影部分面积为18，
故选：C．
【分析】本题主要对一次函数与几何变换进行综合考查．根据一次函数与x，y轴交点可以得到点的坐标进而分别求出，，的长，D点坐标的长可以根据平移得到，点F的坐标可根据点在一次函数图象上可算出再进一步得到，由，可得．
五、其他类型
16．（2025八上·罗湖期末）已知一次函数，当时，当时．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在平面直角坐标系中描点，连线作一次函数的图象．
自变量x … 0 　 …
函数值y＝kx+b … 　 0 …
（3）该一次函数图象与x轴，y轴的交点分别是A，B，坐标原点为O，试猜想y轴上是否存在点D，使得若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题知，
，
解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）解：由（1）中所求函数表达式可知，
当时，；当时，．
描点、连线，如图所示，
（3）存在，点D的坐标为或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：存在．
由（2）知，
点A坐标为，点B坐标为，
所以，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以，
则，，
所以点D的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法将时，当时，代入表达式即可求出答案.
（2）将x=0，y=0分别代入表达式可得x，y值，再根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得点A坐标为，点B坐标为，根据两点间距离可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得BD，再根据点的坐标即可求出答案.
（1）解：由题知，
，
解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）解：由（1）中所求函数表达式可知，
当时，；当时，．
描点、连线，如图所示，
（3）解：存在．
由（2）知，
点A坐标为，点B坐标为，
所以，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以，
则，，
所以点D的坐标为或．
17．如图，直线与直线相交于点，直线与与轴分别交于、两点．
（1）求的值，并结合图象写出关于、的方程组的解；
（2）求的面积；
（3）垂直于轴的直线与直线、分别交于点、，若线段的长为，求出的值．
【答案】（1）解：把点代入，得：
，
，
直线与直线相交于点，
方程组的解为，
方程组的解为
（2）解：对于直线，
令，则，
解得：，
，
对于直线，
令，则，
解得：，
，
，
；
（3）解：由题意得：
直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为，
，
，
即：，
解得：或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)把点P(1，b)代入y=2x+1，得b=3，则P(1，3)， 由直线 与直线 +4相交于点P(1，3)可得方程组的解；
(2)先求出直线 与x轴的交点A的坐标，再求出直线 与x轴的交点B的坐标，然后求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可得 由此即可求出 P的面积；
(3)由题意得，直线x =a与直线x=a 的交点C的坐标为(a，2a+1)，与直线 的交点D的坐标为(a，-a+4)，由CD=4列方程求出a的值即可.
18．（2024九上·广州开学考）已知直线．
（1）当为何值时，直线经过原点？
（2）若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，
，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵直线经过原点
∴将(0，0)代入解析式可得：3k-1=0
解得：
∴当时，直线l经过原点
（2）解：令x=0，则y=3k-1
令y=0，则
∴
∴
∵
∴
解得：或
当时，
∴
∴
当时，
∴
∴
（3）解：设“元元点”的坐标为(x，y)
由题意可得：|x|+|y|=2
∴满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上
直线经过定点(-3，-4)
当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”
∴当时，线上至少有一个“元元点”
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据题意将原点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，再根据题意建立方程，解方程可得k值，再跟据三角形面积即可求出答案.
（3）设“元元点”的坐标为(x，y)，由题意可得：|x|+|y|=2，则满足条件的点在直线y=2-|x|和y=|x|-2所围成的边界上，直线经过定点(-3，-4)，根据题意当直线经过点(0，-2)时，，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，当直线经过点(-2，0)时，k=3，此时直线与正方形有交点，即存在“元元点”，即可求出答案.
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