资源简介

一次函数之与坐标轴的交点问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·嘉兴期末）一次函数与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·成都期中）关于一次函数，下列说法正确的是(　　)
A．图象与轴交于点
B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．图象与坐标轴围成的三角形面积为
D．图象经过第一、二、四象限
3．（2023八上·禅城期中）如图，一次函数的图象与两坐标轴围成的△AOB的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（　　）
A．或 B．
C．或 D．
5．（2020八上·张店期末）已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（　　）
A．y=1.5x+3 B．y=1.5x-3 C．y=-1.5x+3 D．y=-1.5x-3
6．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（　　）
A． B． C．或 D．或
7．（2021八上·咸丰期末）如图，直线 分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10；②直线BC的解析式为 ；③点D（ ， ）；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（ ， ）.正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
8．（2022八上·萍乡期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，且点C坐标为，点D为线段的中点，点P为上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·夏县期末）函数的图象与y轴的交点坐标是　 　．
10．（2024八上·四川期中）如图，直线：与直线：相交于点，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，则的面积等于　 　．
11．（1）已知直线y=2x+(3-a)与x轴的交点在A(2，0)，B(3，0)之间(包括A，B 两点)，则a的取值范围是　 　.
（2）在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(4，7)，直线y= kx-k(k≠0)与线段AB 有交点，则k 的取值范围为　 　.
12．（2025八上·拱墅期末）已知函数.若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二，三，四象限，则不等式的解集为　 　.
13．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为　 　．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为　 　．
14．（2023八上·金安月考）已知直线：与：其中为正整数，记，与轴围成的三角形面积为，则　 　 ．
15．（2023八上·蜀山期中）取任意值，直线恒过一定点，则该点的坐标是　 　，平面直角坐标系中有三点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值是　 　．
16．（2021八上·莲都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B.
（1）k的值为　 　；
（2）y轴上有点M（0， ），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 OMP全等，则符合条件的点P的坐标为　 　.
三、解答题
17．（2019八上·诸暨期末）已知直线 经过点 和 ．
（1） 求该直线的函数表达式；
（2） 求该直线与x轴，y轴的交点坐标．
18．（2020八上·濉溪期中）如图，直线 与直线 分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．
（1）求 的面积；
（2）利用图象直接写出当x取何值时， ．
19．（2024八上·浦江期末）本学期，我们已经学面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状．
【初步探究】
（1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为______．
（2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标．
【类比猜想】
根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．
【深入探索】
在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）．
20．（2023八上·金华月考）定义：叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．
（1）已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线y=2x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
（2）已知“分边折叠函数”的图像被直线x=m与y轴所夹的线段长为，则k的值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入，
可得，
解得，
即一次函数与轴的交点坐标是．
故答案为：C．
【分析】将代入，解得值解题．
2．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数，，
当时，，当时，
A、图象与轴交于点，故A不符合题意；
B、 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故B不符合题意；
C、 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故C不符合题意；
D、 图象经过第一、二、四象限，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 一次函数 ，当x=0时，y=-1×0+2=2，
∴点B的坐标为（0，2），则OB=2；
当y=0时，-x+2=0，解得：x=2，
∴点A的坐标为（2，0），则OA=2．
∴S△AOB=OA OB=×2×2=2．
故选：A．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解．
4．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，，解得，
当时，，
∴，
∴，
设点C的坐标为，则，
∵直线将分为面积比为的两部分，
∴或
∴或
∴或
解得或
当时，点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，把，代入得到，
解得
∴直线的函数表达式为，
当时，点C的坐标为，
同理可得，此时直线的函数表达式为，
综上可知，直线的函数表达式为或，
故选：C
【分析】分两种情况考虑：(i)当C为OA的四等分点时，可得 即3OC=AC，此时 面积与 面积之比为1：3，(ii)当OC=3AC时， 面积与 面积之比为1：3，分别求出C坐标，确定出直线L解析式即可.
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），
∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
∴b=3，
∵这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
∴ ×3×|a|=3，
解得：a=2，
把（2，0）代入y=kx+3，解得：k=-1.5，则函数的解析式是y=-1.5x+3；
故答案为：C．
【分析】设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式．
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
∴，，，，
设，
∵点C落在直线上，则，
∵C是点A关于直线的对称点，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形，
∴，
作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点直线上，
∴，
解得，
∴点M的纵坐标是．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称得到，即可得到，和是等腰直角三角形，再根据得到，即可得到解题．
7．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线 分别与 轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= ，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB=BD=6，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°，
∴AD=AB-BD=4，
∵AC2=AD2+CD2，
∴（8-OC）2=16+OC2，
∴OC=3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC解析式为： ，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD=OC=3，
∴CA=5，
∵S△ACD= AC DH= CD AD，
∴DH= ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴点D( ， )，故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为 ，故④错误，
综上，①②③正确.
故答案为：B.
【分析】易得A（8，0），B（0，6），则OA=8，OB=6，利用勾股定理取出AB，据此判断①；根据折叠的性质可得OB=BD=6，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°，则AD=4，利用勾股定理求出OC，得到点C的坐标，然后求出直线BC的解析式，据此判断②；过点D作DH⊥AC于H，则CA=5，根据△ACD的面积公式可得DH，令直线解析式中的y=DH，求出x的值，可得点D的坐标，据此判断③；根据菱形的性质可得OC=CD，推出PD∥OC，则点P的纵坐标与点D的纵坐标相等，据此判断④.
8．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：由题意可知：
∵直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，
∴，，
∵C在直线，且，
∴，解之得：，即，
∵点D为线段的中点，
∴即：，
∵的周长，
∴若想使三角形周长最小，则需的值最小，
作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，
∵，，
设直线的解析式为，
利用待定系数法可得，解之得：
∴直线的解析式为，
令，得，即，
故答案为：B．
【分析】作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将y=0代入求出x的值，即可得到点P的坐标。
9．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入y=3x-4得，y=0-4=-4，
∴ 函数的图象与y轴的交点坐标 为（0，-4）.
故答案为：（0，-4）.
【分析】根据直线与y轴相交的点的坐标特征“横坐标=0”可求解.
10．【答案】9
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：直线：与直线：相交于点，
，
解得：，
∴P点坐标为，
把代入得，
解得：，
∴，
把代入得：，
把代入得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
的面积为：，
故答案为：9．
【分析】先求出交点P点坐标为，再求出点A、B的坐标，然后利用三角形的面积解题即可．
11．【答案】（1）7≤a≤9
（2）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）把A(2，0）代入y=2x+(3-a ）中，0=4+3-a，可得：a=7；
把B（3，0）代入y=2x+(3-a ）中，得：0=6+3-a，得：a=9，
∴7≤a≤9
故答案为：7≤a≤9 .
（2）把 A(2，3) 代入 y= kx-k(k≠0) 中，可得：2k-k=3，可得：k=3；
把B(4，7) 代入 y= kx-k(k≠0) 中，可得：4k-k=7，可得：k=；
∴。
故答案为：。
【分析】（1）分别把A(2，0），B（3，0）代入y=2x+(3-a ）中，求出a的值，即可得出a的取值范围；
（2）分别把A(2，3），B（4，7）代入 y= kx-k(k≠0) 中，求出k的值，即可得出k的取值范围；
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：在中，令，则x=-2，故的图象与轴交于（-2，0），
∵函数与的图象交于轴上的一点， 函数的图象经过第二，三，四象限
∴ 函数的图象大致如下：
由图象可知不等式的解集为；
故答案为：.
【分析】先根据点坐标特征，求出的图象与轴的交点，再画出函数的图象简图，利用数形结合确定不等式的解集即可.
13．【答案】；或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
，，
，
，
由等面积可知，，
；
故答案为：；
（2）在中，，
，
如图，过作于点，
根据等面积可得，
把代入可得，
，
，平分，
①如图，当时，则，
过作轴，过作于点，于点，则，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
②如图，当时，则，
过作轴，过作于点，过作于点，
同理可得，
设，，
则，
解得，
，
，；
综上，点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征分别求出A、B的坐标，则OA、OB长可得，再利用勾股定理求出斜边AB的长，最后再利用等面积法求出OC长即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征设出点坐标，则可利用两点距离公式求出点C的坐标，再由角平分线可知，再分类讨论，即或时，都为直角三角形．对于，可过点P作平行x轴的直线，再分别过点A、C作该直线的垂线段AN、CM，则可利用一线三垂直全等模型证明，再利用全等的性质结合A、C的坐标即可；同理对于，可过点A作平等于y轴的直线，再分别过点P、C作该直线的垂线段CE、PF，再利用一线三垂直全等模型证明即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
直线：经过点（-1，1），与x轴交点坐标为：
直线：经过点（-1，1），与x轴交点坐标为：
∴无论k取何值，直线与的交点均为点（-1，1）
∴
故答案为：
【分析】变形解析式得到两直线都经过（-1，1），可得无论k取何值，直线与的交点均为点（-1，1），求出两直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式可求出，即可求出答案.
15．【答案】；3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：直线y=kx-2k+3=k（x-2）+3
∴ 直线恒过点（2，3）
∵ A（-1，0）B（2，3）C（5，0）
∴ AB=6，直线y=kx-2k+3过点B
∵直线将分成左右面积之比为的两部分
设直线与x轴交于点D
∴ AD：BD=1：2
∴ AD==2
∴ 点D（1，0）
∴ 把点D（1，0）代入直线
得：k-2k+3=0
解得k=3
故答案为：（2，3），3.
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，三角形的面积等知识。函数过定点，即此定点与k值无关，把函数解析式整理可得定点坐标，直线y=kx-2k+3=k（x-2）+3得直线恒过点（2，3），根据直线将分成左右面积之比为的两部分得 AD：BD=1：2，得点D（1，0），代入直线得k=3.
16．【答案】（1）﹣
（2）（ ， ）或（ ， ）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝kx＋4，
得：0＝3k＋4，
解得：k＝﹣ ，
故答案为：﹣ ；
（2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝﹣ x＋4，
①如图①，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，
∴∠PMO＝∠OQP＝90°，
令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵ ×AB OQ＝ ×OA OB，
∴OQ＝ ，
∴OQ＝OM，
在Rt OPM和Rt OPQ中，
，
∴ OPM≌ OPQ（HL），
∵MP⊥OB于M，
∴P点纵坐标是 ，
∵点P在y＝﹣ x＋4，
∴将y＝ 代入y＝﹣ x＋4，
得： ＝﹣ x＋4，
解得：x＝ ，
∴P（ ， ）；
②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ时，
过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，
∵OB＝BP，
∴∠MOP＝∠QPO，
∴在 MOP和 QPO中，
，
∴ MOP≌ QPO（SAS），
∴ ，
∵OM＝PQ，
∴PF＝OE＝ ，
∴点P的横坐标为 ，
∵点P在y＝﹣ x＋4，
∴把x＝ 入y＝﹣ x＋4得：y＝ ，
∴P（ ， ），
综上所述：线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 OMP全等，符合条件的点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）.
故答案为：（ ， ）或（ ， ）.
【分析】（1）把（3，0）代入y＝kx＋4中就可得到k的值；
（2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝x＋4，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，易得OA＝3，OB＝4，由勾股定理求出AB，然后根据三角形的面积公式可得OQ，证△OPM≌△OPQ，易得点P的纵坐标，代入直线AB解析式中求出x，据此可得点P的坐标；当OB＝BP，OM＝PQ时，过P作PF⊥OB于F，过O作OE⊥AB于E，由等腰三角形的性质可得∠MOP＝∠QPO，证明△MOP≌△QPO，得到S△MOP=S△QPO，求得PF＝OE＝，代入直线AB解析式中求出y，据此可得点P的坐标.
17．【答案】（1）解： 直线 经过点 和点 ，
，
解得： ，
则直线的表达式为 ；
（2）解：令 ，解得： ，
与y轴的交点坐标为 ，
令 ，解得： ，
与x轴的交点坐标为： ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将 （-1，4）（2，1）分别代入y=kx+b中，得到关于k、b的方程组，解出k、b的值即可.
（2）将x=0代入y=-x+3中，求出y值，即得与y轴交点坐标；将y=0代入y=-x+3中，求出x值，即得与x轴交点坐标；
18．【答案】（1）解：把 代入 中得： ，
解得： ，所以
把 代入 中得： ，
解得： ，所以 ．
．
解方程 ，得 ，
把 代入 中得： ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：由图可知交点C的右边y1即当 时，
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】根据一次函数的解析式求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求三角形的面积，再根据一次函数的图象进行判断即可作答。
19．【答案】[初步探究]（1）解：如图，根据题意，过点作作铅垂线、水平线，交轴于点，交旋转后的轴于点，
，
可得，
根据勾股定理可得，
，
轴绕原点顺时针旋转，
点在旋转后的轴上，
，
，
将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转，
仍为，
设，则，
根据勾股定理可得，
可得方程，
解得，舍去负值，
，，
点的动感坐标为，
故答案为：；
（2）解：将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴，
轴与轴的夹角为，轴与轴的夹角为，
轴与轴的夹角为，
当轴时，点到点之间的距离最小
如图，轴，过点作水平线，铅垂线，交轴于点，交轴于点，
可得，，
点与在同一条水平线，
，
，
，
，
，
，，，
，
又，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点的动感坐标为；
[类比猜想]
根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得 “动感坐标．”
[深入探索]
解：如图所示，当在上时，
∵直线与直线两条直线关于轴成轴对称，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴
∴是等边三角形，则，
设三角平分线与对边的交点为．
则
又
∴是等边三角形，则
∴
过点作轴的平行线交轴于点，
∵将轴绕点逆时针旋转，得到轴
∴，
又
∴，
又∵，
∵，则
在中，，
∴的动感坐标为
当点在上时，如图所示，
则，
∴，
∴，
同理可得
∴的动感坐标为
综上所述，时，的动感坐标为；时，的动感坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】[初步探究]（1）画出图形，根据角的直角三角形的性质解题即可；
（2）由旋转可得当轴时，点与点的距离最小，作图并求得点的动感坐标即可；
[类比猜想]得出相关结论解题；
[深入探索]画出图形，分类讨论，分两种情况讨论，利用等边三角形的性质，结合新定义解题即可．
20．【答案】（1）①(0，-6)；
② 当x=4时，y=3x-6=12-6=6，当y=2x+t过（4，6）时，t=-2；
当x=4使，y=-3x-6=-12-6=-18，当y=2x+t过（4，-18）时，t=-26；
当直线y=2x+t与该函数只有一个交点时，
则；
（2）±2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①令x=0，则y=-3×0-6=-6，则函数与y轴的交点为（0.-6）；
故答案为：（0，-6）；
（2）当x=m时，y=-km+k，即函数与x=m的交点为（m，-km+k），
当x=0时，y=k，即函数与y轴的交点为（0，k），
∵ 函数图象被直线x=m与y轴的所夹的线段长为，
∴ m2+(km)2=（）2，
解得，k=±2；
故答案为：±2.
【分析】（1）①将x=0代入y=-3x-6，即可求得；
②先分别求出x=4时，两函数的点的坐标，再分别求出过此点时t的值，根据函数图象即可求得；
（2）先求出函数与x=m，y轴的交点，再根据勾股定理列出式子，求解即可.
1 / 1一次函数之与坐标轴的交点问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·嘉兴期末）一次函数与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入，
可得，
解得，
即一次函数与轴的交点坐标是．
故答案为：C．
【分析】将代入，解得值解题．
2．（2024八上·成都期中）关于一次函数，下列说法正确的是(　　)
A．图象与轴交于点
B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．图象与坐标轴围成的三角形面积为
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数，，
当时，，当时，
A、图象与轴交于点，故A不符合题意；
B、 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故B不符合题意；
C、 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故C不符合题意；
D、 图象经过第一、二、四象限，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案．
3．（2023八上·禅城期中）如图，一次函数的图象与两坐标轴围成的△AOB的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 一次函数 ，当x=0时，y=-1×0+2=2，
∴点B的坐标为（0，2），则OB=2；
当y=0时，-x+2=0，解得：x=2，
∴点A的坐标为（2，0），则OA=2．
∴S△AOB=OA OB=×2×2=2．
故选：A．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解．
4．如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（　　）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，，解得，
当时，，
∴，
∴，
设点C的坐标为，则，
∵直线将分为面积比为的两部分，
∴或
∴或
∴或
解得或
当时，点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，把，代入得到，
解得
∴直线的函数表达式为，
当时，点C的坐标为，
同理可得，此时直线的函数表达式为，
综上可知，直线的函数表达式为或，
故选：C
【分析】分两种情况考虑：(i)当C为OA的四等分点时，可得 即3OC=AC，此时 面积与 面积之比为1：3，(ii)当OC=3AC时， 面积与 面积之比为1：3，分别求出C坐标，确定出直线L解析式即可.
5．（2020八上·张店期末）已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（　　）
A．y=1.5x+3 B．y=1.5x-3 C．y=-1.5x+3 D．y=-1.5x-3
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），
∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
∴b=3，
∵这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
∴ ×3×|a|=3，
解得：a=2，
把（2，0）代入y=kx+3，解得：k=-1.5，则函数的解析式是y=-1.5x+3；
故答案为：C．
【分析】设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式．
6．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
∴，，，，
设，
∵点C落在直线上，则，
∵C是点A关于直线的对称点，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形，
∴，
作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点直线上，
∴，
解得，
∴点M的纵坐标是．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称得到，即可得到，和是等腰直角三角形，再根据得到，即可得到解题．
7．（2021八上·咸丰期末）如图，直线 分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10；②直线BC的解析式为 ；③点D（ ， ）；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（ ， ）.正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线 分别与 轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= ，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB=BD=6，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°，
∴AD=AB-BD=4，
∵AC2=AD2+CD2，
∴（8-OC）2=16+OC2，
∴OC=3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC解析式为： ，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD=OC=3，
∴CA=5，
∵S△ACD= AC DH= CD AD，
∴DH= ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴点D( ， )，故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为 ，故④错误，
综上，①②③正确.
故答案为：B.
【分析】易得A（8，0），B（0，6），则OA=8，OB=6，利用勾股定理取出AB，据此判断①；根据折叠的性质可得OB=BD=6，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°，则AD=4，利用勾股定理求出OC，得到点C的坐标，然后求出直线BC的解析式，据此判断②；过点D作DH⊥AC于H，则CA=5，根据△ACD的面积公式可得DH，令直线解析式中的y=DH，求出x的值，可得点D的坐标，据此判断③；根据菱形的性质可得OC=CD，推出PD∥OC，则点P的纵坐标与点D的纵坐标相等，据此判断④.
8．（2022八上·萍乡期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，且点C坐标为，点D为线段的中点，点P为上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：由题意可知：
∵直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，
∴，，
∵C在直线，且，
∴，解之得：，即，
∵点D为线段的中点，
∴即：，
∵的周长，
∴若想使三角形周长最小，则需的值最小，
作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，
∵，，
设直线的解析式为，
利用待定系数法可得，解之得：
∴直线的解析式为，
令，得，即，
故答案为：B．
【分析】作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将y=0代入求出x的值，即可得到点P的坐标。
二、填空题
9．（2024八上·夏县期末）函数的图象与y轴的交点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入y=3x-4得，y=0-4=-4，
∴ 函数的图象与y轴的交点坐标 为（0，-4）.
故答案为：（0，-4）.
【分析】根据直线与y轴相交的点的坐标特征“横坐标=0”可求解.
10．（2024八上·四川期中）如图，直线：与直线：相交于点，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，则的面积等于　 　．
【答案】9
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：直线：与直线：相交于点，
，
解得：，
∴P点坐标为，
把代入得，
解得：，
∴，
把代入得：，
把代入得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
的面积为：，
故答案为：9．
【分析】先求出交点P点坐标为，再求出点A、B的坐标，然后利用三角形的面积解题即可．
11．（1）已知直线y=2x+(3-a)与x轴的交点在A(2，0)，B(3，0)之间(包括A，B 两点)，则a的取值范围是　 　.
（2）在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(4，7)，直线y= kx-k(k≠0)与线段AB 有交点，则k 的取值范围为　 　.
【答案】（1）7≤a≤9
（2）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）把A(2，0）代入y=2x+(3-a ）中，0=4+3-a，可得：a=7；
把B（3，0）代入y=2x+(3-a ）中，得：0=6+3-a，得：a=9，
∴7≤a≤9
故答案为：7≤a≤9 .
（2）把 A(2，3) 代入 y= kx-k(k≠0) 中，可得：2k-k=3，可得：k=3；
把B(4，7) 代入 y= kx-k(k≠0) 中，可得：4k-k=7，可得：k=；
∴。
故答案为：。
【分析】（1）分别把A(2，0），B（3，0）代入y=2x+(3-a ）中，求出a的值，即可得出a的取值范围；
（2）分别把A(2，3），B（4，7）代入 y= kx-k(k≠0) 中，求出k的值，即可得出k的取值范围；
12．（2025八上·拱墅期末）已知函数.若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二，三，四象限，则不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：在中，令，则x=-2，故的图象与轴交于（-2，0），
∵函数与的图象交于轴上的一点， 函数的图象经过第二，三，四象限
∴ 函数的图象大致如下：
由图象可知不等式的解集为；
故答案为：.
【分析】先根据点坐标特征，求出的图象与轴的交点，再画出函数的图象简图，利用数形结合确定不等式的解集即可.
13．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为　 　．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为　 　．
【答案】；或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
，，
，
，
由等面积可知，，
；
故答案为：；
（2）在中，，
，
如图，过作于点，
根据等面积可得，
把代入可得，
，
，平分，
①如图，当时，则，
过作轴，过作于点，于点，则，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
②如图，当时，则，
过作轴，过作于点，过作于点，
同理可得，
设，，
则，
解得，
，
，；
综上，点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征分别求出A、B的坐标，则OA、OB长可得，再利用勾股定理求出斜边AB的长，最后再利用等面积法求出OC长即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征设出点坐标，则可利用两点距离公式求出点C的坐标，再由角平分线可知，再分类讨论，即或时，都为直角三角形．对于，可过点P作平行x轴的直线，再分别过点A、C作该直线的垂线段AN、CM，则可利用一线三垂直全等模型证明，再利用全等的性质结合A、C的坐标即可；同理对于，可过点A作平等于y轴的直线，再分别过点P、C作该直线的垂线段CE、PF，再利用一线三垂直全等模型证明即可.
14．（2023八上·金安月考）已知直线：与：其中为正整数，记，与轴围成的三角形面积为，则　 　 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
直线：经过点（-1，1），与x轴交点坐标为：
直线：经过点（-1，1），与x轴交点坐标为：
∴无论k取何值，直线与的交点均为点（-1，1）
∴
故答案为：
【分析】变形解析式得到两直线都经过（-1，1），可得无论k取何值，直线与的交点均为点（-1，1），求出两直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式可求出，即可求出答案.
15．（2023八上·蜀山期中）取任意值，直线恒过一定点，则该点的坐标是　 　，平面直角坐标系中有三点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值是　 　．
【答案】；3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：直线y=kx-2k+3=k（x-2）+3
∴ 直线恒过点（2，3）
∵ A（-1，0）B（2，3）C（5，0）
∴ AB=6，直线y=kx-2k+3过点B
∵直线将分成左右面积之比为的两部分
设直线与x轴交于点D
∴ AD：BD=1：2
∴ AD==2
∴ 点D（1，0）
∴ 把点D（1，0）代入直线
得：k-2k+3=0
解得k=3
故答案为：（2，3），3.
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，三角形的面积等知识。函数过定点，即此定点与k值无关，把函数解析式整理可得定点坐标，直线y=kx-2k+3=k（x-2）+3得直线恒过点（2，3），根据直线将分成左右面积之比为的两部分得 AD：BD=1：2，得点D（1，0），代入直线得k=3.
16．（2021八上·莲都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B.
（1）k的值为　 　；
（2）y轴上有点M（0， ），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 OMP全等，则符合条件的点P的坐标为　 　.
【答案】（1）﹣
（2）（ ， ）或（ ， ）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝kx＋4，
得：0＝3k＋4，
解得：k＝﹣ ，
故答案为：﹣ ；
（2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝﹣ x＋4，
①如图①，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，
∴∠PMO＝∠OQP＝90°，
令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵ ×AB OQ＝ ×OA OB，
∴OQ＝ ，
∴OQ＝OM，
在Rt OPM和Rt OPQ中，
，
∴ OPM≌ OPQ（HL），
∵MP⊥OB于M，
∴P点纵坐标是 ，
∵点P在y＝﹣ x＋4，
∴将y＝ 代入y＝﹣ x＋4，
得： ＝﹣ x＋4，
解得：x＝ ，
∴P（ ， ）；
②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ时，
过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，
∵OB＝BP，
∴∠MOP＝∠QPO，
∴在 MOP和 QPO中，
，
∴ MOP≌ QPO（SAS），
∴ ，
∵OM＝PQ，
∴PF＝OE＝ ，
∴点P的横坐标为 ，
∵点P在y＝﹣ x＋4，
∴把x＝ 入y＝﹣ x＋4得：y＝ ，
∴P（ ， ），
综上所述：线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与 OMP全等，符合条件的点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）.
故答案为：（ ， ）或（ ， ）.
【分析】（1）把（3，0）代入y＝kx＋4中就可得到k的值；
（2）由（1）得：直线AB的解析式为y＝x＋4，过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，易得OA＝3，OB＝4，由勾股定理求出AB，然后根据三角形的面积公式可得OQ，证△OPM≌△OPQ，易得点P的纵坐标，代入直线AB解析式中求出x，据此可得点P的坐标；当OB＝BP，OM＝PQ时，过P作PF⊥OB于F，过O作OE⊥AB于E，由等腰三角形的性质可得∠MOP＝∠QPO，证明△MOP≌△QPO，得到S△MOP=S△QPO，求得PF＝OE＝，代入直线AB解析式中求出y，据此可得点P的坐标.
三、解答题
17．（2019八上·诸暨期末）已知直线 经过点 和 ．
（1） 求该直线的函数表达式；
（2） 求该直线与x轴，y轴的交点坐标．
【答案】（1）解： 直线 经过点 和点 ，
，
解得： ，
则直线的表达式为 ；
（2）解：令 ，解得： ，
与y轴的交点坐标为 ，
令 ，解得： ，
与x轴的交点坐标为： ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将 （-1，4）（2，1）分别代入y=kx+b中，得到关于k、b的方程组，解出k、b的值即可.
（2）将x=0代入y=-x+3中，求出y值，即得与y轴交点坐标；将y=0代入y=-x+3中，求出x值，即得与x轴交点坐标；
18．（2020八上·濉溪期中）如图，直线 与直线 分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．
（1）求 的面积；
（2）利用图象直接写出当x取何值时， ．
【答案】（1）解：把 代入 中得： ，
解得： ，所以
把 代入 中得： ，
解得： ，所以 ．
．
解方程 ，得 ，
把 代入 中得： ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：由图可知交点C的右边y1即当 时，
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】根据一次函数的解析式求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求三角形的面积，再根据一次函数的图象进行判断即可作答。
19．（2024八上·浦江期末）本学期，我们已经学面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状．
【初步探究】
（1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为______．
（2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标．
【类比猜想】
根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．
【深入探索】
在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）．
【答案】[初步探究]（1）解：如图，根据题意，过点作作铅垂线、水平线，交轴于点，交旋转后的轴于点，
，
可得，
根据勾股定理可得，
，
轴绕原点顺时针旋转，
点在旋转后的轴上，
，
，
将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转，
仍为，
设，则，
根据勾股定理可得，
可得方程，
解得，舍去负值，
，，
点的动感坐标为，
故答案为：；
（2）解：将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴，
轴与轴的夹角为，轴与轴的夹角为，
轴与轴的夹角为，
当轴时，点到点之间的距离最小
如图，轴，过点作水平线，铅垂线，交轴于点，交轴于点，
可得，，
点与在同一条水平线，
，
，
，
，
，
，，，
，
又，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点的动感坐标为；
[类比猜想]
根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得 “动感坐标．”
[深入探索]
解：如图所示，当在上时，
∵直线与直线两条直线关于轴成轴对称，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴
∴是等边三角形，则，
设三角平分线与对边的交点为．
则
又
∴是等边三角形，则
∴
过点作轴的平行线交轴于点，
∵将轴绕点逆时针旋转，得到轴
∴，
又
∴，
又∵，
∵，则
在中，，
∴的动感坐标为
当点在上时，如图所示，
则，
∴，
∴，
同理可得
∴的动感坐标为
综上所述，时，的动感坐标为；时，的动感坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】[初步探究]（1）画出图形，根据角的直角三角形的性质解题即可；
（2）由旋转可得当轴时，点与点的距离最小，作图并求得点的动感坐标即可；
[类比猜想]得出相关结论解题；
[深入探索]画出图形，分类讨论，分两种情况讨论，利用等边三角形的性质，结合新定义解题即可．
20．（2023八上·金华月考）定义：叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．
（1）已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线y=2x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
（2）已知“分边折叠函数”的图像被直线x=m与y轴所夹的线段长为，则k的值为　 　．
【答案】（1）①(0，-6)；
② 当x=4时，y=3x-6=12-6=6，当y=2x+t过（4，6）时，t=-2；
当x=4使，y=-3x-6=-12-6=-18，当y=2x+t过（4，-18）时，t=-26；
当直线y=2x+t与该函数只有一个交点时，
则；
（2）±2
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①令x=0，则y=-3×0-6=-6，则函数与y轴的交点为（0.-6）；
故答案为：（0，-6）；
（2）当x=m时，y=-km+k，即函数与x=m的交点为（m，-km+k），
当x=0时，y=k，即函数与y轴的交点为（0，k），
∵ 函数图象被直线x=m与y轴的所夹的线段长为，
∴ m2+(km)2=（）2，
解得，k=±2；
故答案为：±2.
【分析】（1）①将x=0代入y=-3x-6，即可求得；
②先分别求出x=4时，两函数的点的坐标，再分别求出过此点时t的值，根据函数图象即可求得；
（2）先求出函数与x=m，y轴的交点，再根据勾股定理列出式子，求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑