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一次函数之图象变换——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·杭州期中）将直线向左平移3个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023八上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：平移后得到直线l2：，则下列平移作法中，正确的是（　　）
A．将直线l1向上平移6个单位 B．将直线l1向上平移3个单位
C．将直线l1向上平移2个单位 D．将直线l1向上平移4个单位
3．（2019八上·秀洲期末）将直线y＝2x向右平移2个单位，再向上移动4个单位，所得的直线的解析式是（　　）
A．y＝2x B．y＝2x+2 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4
4．（2024八上·宁波竞赛） 线段 ，当 的值由 -1 增加到 2 时，该线段运动所经过的平面区域的面积为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．10
5．一次函数的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线.l2，l2的函数表达式为下列说法中，错误的是(　　).
A． B．
C． D．当x=5时，
6．（2023八上·宁波期末）关于一次函数y=3x-1的描述，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点是
C．向下平移1个单位，可得到y=3x
D．图象经过点
7．（2023八上·南浔期末）如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标为，，某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入和的值，便得到射线，其中；当时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当有光点弹出，并击中线段上的整点横、纵坐标都是整数时，线段就会发光，则此时整数的个数为个(　　)
A． B． C． D．
8．（2024八上·深圳期中）已知，如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，直线与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接ME，将沿ME翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·合肥期中）若直线向下平移3个单位长度后经过点，则m的值为　 　．
10．（2024八上·罗湖期中）将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 　 　．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，6)，将△OAB 沿x轴向左平移得到 点 A 的对应点A'落在直线 上，则点 B 与其对应点B'间的距离为　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别交x轴、y轴于点A，B，将直线AB 绕点 B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点 C，则直线BC 的函数表达式是　 　.
13．（2024八上·深圳期中）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．直线与轴、轴分别相交于点，，点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为　 　．
14．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是　 　.
15．（2024八上·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究．
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；
函数的图象是由向上平移个单位得到．
（1）函数的最小值为　 　；
（2）函数在中有最小值，则的值是　 　．
16．（2019八上·包河期中）对于点 ，点 ，如果 ，那么点P与点Q就叫作等差点，例如：点 ，点 ，因为 ，则点P与点Q就是等差点，如图在矩形（长方形）GHMN中，点 ，某点 ， 轴， 轴，点P是直线 上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则 的取值范围为　 　．
三、解答题
17．如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点A，B.
（1）求m的取值范围.
（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的表达式.
18．（2024八上·甘州期中）根据要求解决问题：
（1）在同一平面直角坐标系中画出和的函数图象；
（2）直线和直线有什么共同点；
（3）请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式．
19．（2024八上·四川期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题：
若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线．
（1）若时，求：
①直线l1的表达式；
②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标；
（2）若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值．
20．（2024八上·深圳期中）【源于课本】
（1） 将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为∶ ．
【小组探究】
（2） 我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动．
①（平移探究） 将图1中一次函数的图象沿着轴向右平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．
数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向右平移个单位长度，得到点，，其坐标分别为，，从而求出直线对应的函数表达式为： ．
②（轴对称探究） 将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： ；
③（旋转探究）如图2，若一次函数的图象与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到的直线与轴交于点．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程）
【学以致用】
（3）如图2，在上述③的条件下，轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023八上·南浔期末）在平面直角坐标系中，已知点，我们将点的横、纵坐标都乘以，得到点，同时给出如下定义：对于直线：，若满足点在直线上，则称点为直线的“反炫点”．
（1）已知直线，
①判断点是不是直线的“反炫点”，并说明理由；
②若点是直线上一点，同时也是直线的“反炫点”，求出点的坐标；
（2）点是直线的反炫点，当时，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向左平移3个单位长度，
∴平移后的直线表达式为：，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数平移变换的规律：上加下减常数项，左加右减自变量，据此即可求解.
2．【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设直线l1：y＝ 2x 2平移后的解析式为y＝ 2x 2＋k，
∵将直线l1：y＝ 2x 2平移后，得到直线l2：y＝ 2x＋4，
∴ 2x 2＋k＝ 2x＋4，
解得：k＝6，
故将l1向是平移6个单位长度．
故答案为：A.
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：y＝2（x﹣2）+4＝2x．
故答案为：A．
【分析】根据直线的平移规律“上加下减”、“左加右减”即可直接得出答案。
4．【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据0≤x≤3，a的值由-1增加到2，
∴当a=-1，x=0时，y=-1，x=3时，y=-2，
当a=2，x=0时，y=2，x=3时，，
运动经过的平面区域是个平行四边形的区域，
底=2-(-1)=3，高=3-0=3，则S平行四边形=底×高=3×3=9，
故答案为：C.
【分析】根据a的值由-1增加到2，且0≤x≤3，分别将端点代入解析式，可以得出四个关键点，从而求出图形的面积.
5．【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移可得k1=k2，故A项不符合题意；
由图象可得，b1＞b2，故B项符合题意；
当x=1时，y1=k1+b1，y2=k2+b2，y1＞y2，即k1+b1＞k2+b2，故C项符合题意；
当x=5时，y1＞y2，故D项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的平移可知平移前后比例系数不变，b的值变小，再根据图象的相对位置可知，无论x取何值，平移后的函数值总小于平移前的函数值.
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数y=3x-1中，k=-3＜0，b=-1，
∴一次函数y=3x-1的图象经过二、三、四象限，故不符合题意；
B、一次函数y=3x-1，当y=0时x=，
∴一次函数y=3x-1图象与x轴的交点是（，0） ，故不符合题意；
C、一次函数y=3x-1向下平移1个单位得y=3x-2， 故不符合题意；
D、把x=1代入y=3x-1中 ，得y=2，则一次函数y=3x-1图象经过点（1，2），故符合题意.
故答案为：D.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断A选项；令y=3x-1中的x=0算出对应的函数值可得该直线与x轴的交点坐标，据此判断B选项；根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”可判断C；将x=1代入y=3x-1算出对应的y的值，据此判断D.
7．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为：，再把，代入，可得：解得：故直线AB的解析式为：；由题意直线经过点，∴；又根据题意，可设线段AB上的整数点为，则，又，可得：为整数，m也是整数，或或或，即或0或或或7或，又，综上所述：m的值为5或-7或2或-4或-3或-2.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查一次函数的解析式与图像、点的对称等基础知识属于较难题型.根据题意求出直线AB的解析式，然后设设线段AB上的整数点为，然后用t的代数式表示m，利用t，m为整数结合数的整除性即可求解.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
直线AB为，
当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图所示：
在中，令得，
，
，
，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
解得：，
，
设直线EM解析式为，把代入得：，
解得：，
直线EM解析式为.
故答案为：A.
【分析】先求出直线AB的解析式，再当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，求出点A的坐标，可得OA的长，再利用勾股定理及线段的和差求出A'O的长，再设，则，利用勾股定理可得，即，求出m的值，可得点M的坐标，再利用待定系数法求出直线EM的解析式即可.
9．【答案】2
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向下平移3个单位长度后的解析式为：；
由于经过点，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据函数图象的平移性质可得平移后的解析式为，再将点代入解析式即可求出答案.
10．【答案】4
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线沿y轴向下平移6个单位长度得到：，
令，即，解得，
令，得，
所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：．
故答案为：4．
【分析】
根据一次函数的平移变换，得到平移后的一次函数解析式，得到坐标轴的交点后即可求出面积。
11．【答案】8
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可知，点A移动到点A'位置时，纵坐标不变，
∴点A'的纵坐标为6，
∵点A'落在直线上上，
∴，解得x=-8，
∴△OAB沿x轴向左平移得到△O'A'B'位置，移动了8个单位，
△点B与其对应点B'间的距离为8，
故答案为：8.
【分析】根据题意确定点A'的纵坐标，根据点A'落在直线上，求出点A'的横坐标，确定△OAB沿x轴向左平移的单位长度即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为一次函数y=2x-1的图象分别交 x 轴、y轴于点A，B，
令x=0，得y=-1，令y=0，得
所以A( ，0)，B(0，-1)，
所以 1.
如图，过A 作AF⊥AB 交 BC 于 F，过 F 作FE⊥x 轴于E.
因为∠ABC=45°，
所以△ABF是等腰直角三角形，
所以 AB =AF.
因为AB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
所以BO=∠EAF，
所以△ABO≌△FAE(AAS)，
所以AE=OB=1，EF=OA= ，
所以
设直线 BC 的函数表达式为y= kx+b.
将B(0，-1) 代入得 b = - 1，
所以 y = kx - 1，
将 代入y= kx-1得
解得
所以直线 BC 的函数表达式为 y=
故答案为：.
【分析】根据已知条件得到，B(0，-1)，求得，OB=1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，，求得，设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论.
13．【答案】或
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；平行线之间的距离；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，和的面积相等，
在过且平行于的直线上或在上方平行于，且该直线到直线的距离等于直线到过点且平行于的直线的距离．
所在直线为或（根据平移到直线的方式与直线平移到直线的平移方式相同得到）．
故可设为或．
为或．
又∵在上，
或．
或．
或．
故答案为：或．
【分析】
根据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为为或，则为或．再由在上，建立方程求出即可解答．
14．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，根据等腰直角三角形的判定和性质可得AB=AD，证明出∠EAD=∠OBA，根据AAS判定△AOB≌△DEA推出 DE=AO，AE=BO，从而得到D点坐标，根据待定系数法，即可求得.
15．【答案】；或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．
根据函数图象可得函数的最小值为，
故答案为：．
（2）若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；
（1）画出的图象，通过观察图象可得函数的图象是由向上平移3个单位得到，进而可求出函数的最小值；
（2）分两种种情况：若，若，根据题意可列出方程或，解方程可求出m的值，进而可求出答案.
16．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；定义新运算
【解析】【解答】由题意得
根据等差点的定义可知，当直线 与矩形 有两个交点时，矩形 的边上存在两个点与点 是等差点
当直线 经过点 时， ，解得
当直线 经过点 时， ，解得
∴满足条件的 的范围为：
故填： .
【分析】由题意得 ，根据等差点的定义可知，当直线 与矩形 有两个交点时，矩形 的边上存在两个点与点 是等差点，求出直线经过点 或 时的 b 的值即可判断.
17．【答案】（1）解：∵一次函数y=(m-3)x-m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A，B两点，
∴，
解得m＞3；
（2）解：∵将y=(m-3)x-m+1的图象向上平移4个单位后得y=(m-3)x-m+1+4的图象，
而函数y=(m-3)x-m+1+4=(m-3)x-m+5是正比例函数，
∴-m+5=0，
解得m=5，
∴这个正比例函数的表达式为y=2x.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此结合图象可列出关于字母m的不等式组，求解即可得出字母m的取值范围；
（2）由一次函数图象的几何变换规律“上加下减”可得平移后一次函数的解析式为y=(m-3)x-m+5，进而根据正比例函数的定义可得该一次函数的常数项为0，从而列出关于字母m的方程，求解得出m的值，此题得解了.
18．【答案】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）解：由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）解：将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得 直线过点 ， 直线过点 ，再根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据函数图象即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
19．【答案】（1）解： ①设 的表达式为y= kx+b.
∵直线l：y=2x+4交坐标轴于A， B两点，
∴A(-2，0)， B(0，4).
将直线向右平移3个单位，则与轴交点(-2，0)变为(1，0)， k值不变，
∴直线y=2x+b过(1，0)，
∴直线l1的表达式为y= 2x-2.
②到坐标轴距离相等的点有两种情况：
当在y=x上时， 有x=2x--2， 解得x=2，
∴坐标为(2，2).
当在y=-x上时， 有-x=2x-2， 解得
∴坐标为
综上所述：移动后的直线 上到两坐标轴距离相等的点的坐标为(2，2)，
（2）解：如图， 设OP =a.
∵ P到点A，点B的距离相等，
∴PA=PB.
在Rt△OAP中，
解得a=3，
∴m=5.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法即可求解；
②移动后的直线 上到坐标轴距离相等的点在y =±x上，据此求解即可；
(2)设OP = a，利用勾股定理求得a的值，进一步求得m的值.
（1）解：①对于，当，则，
∴直线经过，
∴右平移3个单位得到，
∴直线由直线向右平移3个单位后经过，
∴设直线解析式为，
则，
∴，
∴；
②设点的坐标为，
∵点到坐标轴距离相等，
∴，
解得或，
∴或，
∴坐标为或；
（2）解：对于，当，则，
∴直线经过，
∴右平移m个单位得到，
∴直线由直线向右平移3个单位后经过，
∴设直线解析式为，
则，
∴，
∴；
令，则，
∴，
∴，
对于，当，则，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得
20．【答案】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：
（2）
①∵，，
∴将它们沿着轴向右平移个单位长度，得、，
设直线的一次函数解析式为，
∴，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为
故答案为：；；
②如图，设一次函数用y=-2x+6的图象与x轴的交点为点A，与轴的交点为点B，
当时X=0，Y=6；当时Y=0，-2X+6=0，得：X=3，
∴A(0，6)，B(3，0)，对称点是
设所得到的直线对应的函数表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴所得到的直线对应的函数表达式为
故答案为：；
③如图
过点作交于点，过点作 轴于点，
∴，
∵，，
∴，，
∵将直线绕点A逆时针旋转，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设旋转后的直线对应的函数表达式，，，
∴，
解得：，
∴旋转后的直线对应的函数表达式为；
（3）存在．设，
∵直线：，与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，，得：，
∴，，
∴、、，
①当时，得：，
∴或，
解得：或，
∴此时点的坐标为或；
②当时，得：，
∴，
解得：，
∴此时点的坐标为；
③当时，得：，
∴，
解得：或（舍去），
∴此时点的坐标为；
综上所述，所有符合条件的点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；一次函数图象的对称变换
【解析】【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称及旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离，等腰三角形的性质等知识点．熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键．（1）利用平移规律"上加、下减”的原则，即函数图象向上平移，其解析式中的常数项应增加平移的单位数。确定出平移后函数解析式即可；
（2）①A(0，6)，B(3，0)沿x轴向右平移2个单位，分别是设直线的解析式为，经过点、点的坐标，然后代入解析式构成方程组求解即可；
②找出与坐标轴的交点坐标，根据关于x轴的对称点的x坐标相同，y坐标相反，进而求出关于轴对称的点的坐标，然后代入一次函数解析式构成方程组求解即可；
③过点作交于点，过点作 轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再代入解析式构成方程组求解即可；
（3）设，先确定点、的坐标，然后利用两点间距离分别表示出、、，然后根据等腰三角形的性质分三种情况求解：①当时；②当时；③当时．
21．【答案】（1）解：当时，，
点在直线上，点是直线的“反炫点”；
设点，
点是直线上一点，
，
点也是直线的“反炫点”，
，，
解得，，
（2）解：点是直线的反炫点，
，即，
，
，即，
当，；
当，
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的对称变换
【解析】【分析】本题主要考查直线的方程，“反点”的定义，属于中档题型.
（1） ① 根据点的坐标，结合反点的定义即可求解； ② 设点，根据点B在直线上及是的“反炫点”，然后建立关于m，n的方程组，解出m，n即可求解；
（2）根据点是直线的反炫点得到：，然后结合k的取值范围进行分类讨论求解即可.
1 / 1一次函数之图象变换——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·杭州期中）将直线向左平移3个单位长度，所得直线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向左平移3个单位长度，
∴平移后的直线表达式为：，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数平移变换的规律：上加下减常数项，左加右减自变量，据此即可求解.
2．（2023八上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：平移后得到直线l2：，则下列平移作法中，正确的是（　　）
A．将直线l1向上平移6个单位 B．将直线l1向上平移3个单位
C．将直线l1向上平移2个单位 D．将直线l1向上平移4个单位
【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设直线l1：y＝ 2x 2平移后的解析式为y＝ 2x 2＋k，
∵将直线l1：y＝ 2x 2平移后，得到直线l2：y＝ 2x＋4，
∴ 2x 2＋k＝ 2x＋4，
解得：k＝6，
故将l1向是平移6个单位长度．
故答案为：A.
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
3．（2019八上·秀洲期末）将直线y＝2x向右平移2个单位，再向上移动4个单位，所得的直线的解析式是（　　）
A．y＝2x B．y＝2x+2 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4
【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：y＝2（x﹣2）+4＝2x．
故答案为：A．
【分析】根据直线的平移规律“上加下减”、“左加右减”即可直接得出答案。
4．（2024八上·宁波竞赛） 线段 ，当 的值由 -1 增加到 2 时，该线段运动所经过的平面区域的面积为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据0≤x≤3，a的值由-1增加到2，
∴当a=-1，x=0时，y=-1，x=3时，y=-2，
当a=2，x=0时，y=2，x=3时，，
运动经过的平面区域是个平行四边形的区域，
底=2-(-1)=3，高=3-0=3，则S平行四边形=底×高=3×3=9，
故答案为：C.
【分析】根据a的值由-1增加到2，且0≤x≤3，分别将端点代入解析式，可以得出四个关键点，从而求出图形的面积.
5．一次函数的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线.l2，l2的函数表达式为下列说法中，错误的是(　　).
A． B．
C． D．当x=5时，
【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据平移可得k1=k2，故A项不符合题意；
由图象可得，b1＞b2，故B项符合题意；
当x=1时，y1=k1+b1，y2=k2+b2，y1＞y2，即k1+b1＞k2+b2，故C项符合题意；
当x=5时，y1＞y2，故D项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的平移可知平移前后比例系数不变，b的值变小，再根据图象的相对位置可知，无论x取何值，平移后的函数值总小于平移前的函数值.
6．（2023八上·宁波期末）关于一次函数y=3x-1的描述，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点是
C．向下平移1个单位，可得到y=3x
D．图象经过点
【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数y=3x-1中，k=-3＜0，b=-1，
∴一次函数y=3x-1的图象经过二、三、四象限，故不符合题意；
B、一次函数y=3x-1，当y=0时x=，
∴一次函数y=3x-1图象与x轴的交点是（，0） ，故不符合题意；
C、一次函数y=3x-1向下平移1个单位得y=3x-2， 故不符合题意；
D、把x=1代入y=3x-1中 ，得y=2，则一次函数y=3x-1图象经过点（1，2），故符合题意.
故答案为：D.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断A选项；令y=3x-1中的x=0算出对应的函数值可得该直线与x轴的交点坐标，据此判断B选项；根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”可判断C；将x=1代入y=3x-1算出对应的y的值，据此判断D.
7．（2023八上·南浔期末）如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标为，，某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入和的值，便得到射线，其中；当时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当有光点弹出，并击中线段上的整点横、纵坐标都是整数时，线段就会发光，则此时整数的个数为个(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为：，再把，代入，可得：解得：故直线AB的解析式为：；由题意直线经过点，∴；又根据题意，可设线段AB上的整数点为，则，又，可得：为整数，m也是整数，或或或，即或0或或或7或，又，综上所述：m的值为5或-7或2或-4或-3或-2.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查一次函数的解析式与图像、点的对称等基础知识属于较难题型.根据题意求出直线AB的解析式，然后设设线段AB上的整数点为，然后用t的代数式表示m，利用t，m为整数结合数的整除性即可求解.
8．（2024八上·深圳期中）已知，如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，直线与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接ME，将沿ME翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则ME所在直线解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
直线AB为，
当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图所示：
在中，令得，
，
，
，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
解得：，
，
设直线EM解析式为，把代入得：，
解得：，
直线EM解析式为.
故答案为：A.
【分析】先求出直线AB的解析式，再当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，求出点A的坐标，可得OA的长，再利用勾股定理及线段的和差求出A'O的长，再设，则，利用勾股定理可得，即，求出m的值，可得点M的坐标，再利用待定系数法求出直线EM的解析式即可.
二、填空题
9．（2024八上·合肥期中）若直线向下平移3个单位长度后经过点，则m的值为　 　．
【答案】2
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向下平移3个单位长度后的解析式为：；
由于经过点，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据函数图象的平移性质可得平移后的解析式为，再将点代入解析式即可求出答案.
10．（2024八上·罗湖期中）将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 　 　．
【答案】4
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线沿y轴向下平移6个单位长度得到：，
令，即，解得，
令，得，
所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：．
故答案为：4．
【分析】
根据一次函数的平移变换，得到平移后的一次函数解析式，得到坐标轴的交点后即可求出面积。
11．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，6)，将△OAB 沿x轴向左平移得到 点 A 的对应点A'落在直线 上，则点 B 与其对应点B'间的距离为　 　.
【答案】8
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可知，点A移动到点A'位置时，纵坐标不变，
∴点A'的纵坐标为6，
∵点A'落在直线上上，
∴，解得x=-8，
∴△OAB沿x轴向左平移得到△O'A'B'位置，移动了8个单位，
△点B与其对应点B'间的距离为8，
故答案为：8.
【分析】根据题意确定点A'的纵坐标，根据点A'落在直线上，求出点A'的横坐标，确定△OAB沿x轴向左平移的单位长度即可得到答案.
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别交x轴、y轴于点A，B，将直线AB 绕点 B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点 C，则直线BC 的函数表达式是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为一次函数y=2x-1的图象分别交 x 轴、y轴于点A，B，
令x=0，得y=-1，令y=0，得
所以A( ，0)，B(0，-1)，
所以 1.
如图，过A 作AF⊥AB 交 BC 于 F，过 F 作FE⊥x 轴于E.
因为∠ABC=45°，
所以△ABF是等腰直角三角形，
所以 AB =AF.
因为AB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
所以BO=∠EAF，
所以△ABO≌△FAE(AAS)，
所以AE=OB=1，EF=OA= ，
所以
设直线 BC 的函数表达式为y= kx+b.
将B(0，-1) 代入得 b = - 1，
所以 y = kx - 1，
将 代入y= kx-1得
解得
所以直线 BC 的函数表达式为 y=
故答案为：.
【分析】根据已知条件得到，B(0，-1)，求得，OB=1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，，求得，设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组于是得到结论.
13．（2024八上·深圳期中）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．直线与轴、轴分别相交于点，，点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；平行线之间的距离；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，和的面积相等，
在过且平行于的直线上或在上方平行于，且该直线到直线的距离等于直线到过点且平行于的直线的距离．
所在直线为或（根据平移到直线的方式与直线平移到直线的平移方式相同得到）．
故可设为或．
为或．
又∵在上，
或．
或．
或．
故答案为：或．
【分析】
根据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为为或，则为或．再由在上，建立方程求出即可解答．
14．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，根据等腰直角三角形的判定和性质可得AB=AD，证明出∠EAD=∠OBA，根据AAS判定△AOB≌△DEA推出 DE=AO，AE=BO，从而得到D点坐标，根据待定系数法，即可求得.
15．（2024八上·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究．
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；
函数的图象是由向上平移个单位得到．
（1）函数的最小值为　 　；
（2）函数在中有最小值，则的值是　 　．
【答案】；或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．
根据函数图象可得函数的最小值为，
故答案为：．
（2）若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；
（1）画出的图象，通过观察图象可得函数的图象是由向上平移3个单位得到，进而可求出函数的最小值；
（2）分两种种情况：若，若，根据题意可列出方程或，解方程可求出m的值，进而可求出答案.
16．（2019八上·包河期中）对于点 ，点 ，如果 ，那么点P与点Q就叫作等差点，例如：点 ，点 ，因为 ，则点P与点Q就是等差点，如图在矩形（长方形）GHMN中，点 ，某点 ， 轴， 轴，点P是直线 上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则 的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；定义新运算
【解析】【解答】由题意得
根据等差点的定义可知，当直线 与矩形 有两个交点时，矩形 的边上存在两个点与点 是等差点
当直线 经过点 时， ，解得
当直线 经过点 时， ，解得
∴满足条件的 的范围为：
故填： .
【分析】由题意得 ，根据等差点的定义可知，当直线 与矩形 有两个交点时，矩形 的边上存在两个点与点 是等差点，求出直线经过点 或 时的 b 的值即可判断.
三、解答题
17．如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点A，B.
（1）求m的取值范围.
（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的表达式.
【答案】（1）解：∵一次函数y=(m-3)x-m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A，B两点，
∴，
解得m＞3；
（2）解：∵将y=(m-3)x-m+1的图象向上平移4个单位后得y=(m-3)x-m+1+4的图象，
而函数y=(m-3)x-m+1+4=(m-3)x-m+5是正比例函数，
∴-m+5=0，
解得m=5，
∴这个正比例函数的表达式为y=2x.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此结合图象可列出关于字母m的不等式组，求解即可得出字母m的取值范围；
（2）由一次函数图象的几何变换规律“上加下减”可得平移后一次函数的解析式为y=(m-3)x-m+5，进而根据正比例函数的定义可得该一次函数的常数项为0，从而列出关于字母m的方程，求解得出m的值，此题得解了.
18．（2024八上·甘州期中）根据要求解决问题：
（1）在同一平面直角坐标系中画出和的函数图象；
（2）直线和直线有什么共同点；
（3）请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）解：由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）解：将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得 直线过点 ， 直线过点 ，再根据描点法作出函数图象即可.
（2）根据函数图象即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线过点；
画图如下：
（2）由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限．
（3）将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：．
19．（2024八上·四川期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题：
若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线．
（1）若时，求：
①直线l1的表达式；
②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标；
（2）若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值．
【答案】（1）解： ①设 的表达式为y= kx+b.
∵直线l：y=2x+4交坐标轴于A， B两点，
∴A(-2，0)， B(0，4).
将直线向右平移3个单位，则与轴交点(-2，0)变为(1，0)， k值不变，
∴直线y=2x+b过(1，0)，
∴直线l1的表达式为y= 2x-2.
②到坐标轴距离相等的点有两种情况：
当在y=x上时， 有x=2x--2， 解得x=2，
∴坐标为(2，2).
当在y=-x上时， 有-x=2x-2， 解得
∴坐标为
综上所述：移动后的直线 上到两坐标轴距离相等的点的坐标为(2，2)，
（2）解：如图， 设OP =a.
∵ P到点A，点B的距离相等，
∴PA=PB.
在Rt△OAP中，
解得a=3，
∴m=5.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法即可求解；
②移动后的直线 上到坐标轴距离相等的点在y =±x上，据此求解即可；
(2)设OP = a，利用勾股定理求得a的值，进一步求得m的值.
（1）解：①对于，当，则，
∴直线经过，
∴右平移3个单位得到，
∴直线由直线向右平移3个单位后经过，
∴设直线解析式为，
则，
∴，
∴；
②设点的坐标为，
∵点到坐标轴距离相等，
∴，
解得或，
∴或，
∴坐标为或；
（2）解：对于，当，则，
∴直线经过，
∴右平移m个单位得到，
∴直线由直线向右平移3个单位后经过，
∴设直线解析式为，
则，
∴，
∴；
令，则，
∴，
∴，
对于，当，则，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得
20．（2024八上·深圳期中）【源于课本】
（1） 将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为∶ ．
【小组探究】
（2） 我们知道，平移、轴对称、旋转是三种基本的图形运动．莲花中学初二数学小组开展“探究一次函数图象经历图形运动后的函数表达式”的活动．
①（平移探究） 将图1中一次函数的图象沿着轴向右平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．
数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向右平移个单位长度，得到点，，其坐标分别为，，从而求出直线对应的函数表达式为： ．
②（轴对称探究） 将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为： ；
③（旋转探究）如图2，若一次函数的图象与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到的直线与轴交于点．求旋转后的直线对应的函数表达式．（请写出解答过程）
【学以致用】
（3）如图2，在上述③的条件下，轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向上平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：
（2）
①∵，，
∴将它们沿着轴向右平移个单位长度，得、，
设直线的一次函数解析式为，
∴，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为
故答案为：；；
②如图，设一次函数用y=-2x+6的图象与x轴的交点为点A，与轴的交点为点B，
当时X=0，Y=6；当时Y=0，-2X+6=0，得：X=3，
∴A(0，6)，B(3，0)，对称点是
设所得到的直线对应的函数表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴所得到的直线对应的函数表达式为
故答案为：；
③如图
过点作交于点，过点作 轴于点，
∴，
∵，，
∴，，
∵将直线绕点A逆时针旋转，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设旋转后的直线对应的函数表达式，，，
∴，
解得：，
∴旋转后的直线对应的函数表达式为；
（3）存在．设，
∵直线：，与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，，得：，
∴，，
∴、、，
①当时，得：，
∴或，
解得：或，
∴此时点的坐标为或；
②当时，得：，
∴，
解得：，
∴此时点的坐标为；
③当时，得：，
∴，
解得：或（舍去），
∴此时点的坐标为；
综上所述，所有符合条件的点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；一次函数图象的对称变换
【解析】【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称及旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离，等腰三角形的性质等知识点．熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键．（1）利用平移规律"上加、下减”的原则，即函数图象向上平移，其解析式中的常数项应增加平移的单位数。确定出平移后函数解析式即可；
（2）①A(0，6)，B(3，0)沿x轴向右平移2个单位，分别是设直线的解析式为，经过点、点的坐标，然后代入解析式构成方程组求解即可；
②找出与坐标轴的交点坐标，根据关于x轴的对称点的x坐标相同，y坐标相反，进而求出关于轴对称的点的坐标，然后代入一次函数解析式构成方程组求解即可；
③过点作交于点，过点作 轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再代入解析式构成方程组求解即可；
（3）设，先确定点、的坐标，然后利用两点间距离分别表示出、、，然后根据等腰三角形的性质分三种情况求解：①当时；②当时；③当时．
21．（2023八上·南浔期末）在平面直角坐标系中，已知点，我们将点的横、纵坐标都乘以，得到点，同时给出如下定义：对于直线：，若满足点在直线上，则称点为直线的“反炫点”．
（1）已知直线，
①判断点是不是直线的“反炫点”，并说明理由；
②若点是直线上一点，同时也是直线的“反炫点”，求出点的坐标；
（2）点是直线的反炫点，当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
点在直线上，点是直线的“反炫点”；
设点，
点是直线上一点，
，
点也是直线的“反炫点”，
，，
解得，，
（2）解：点是直线的反炫点，
，即，
，
，即，
当，；
当，
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的对称变换
【解析】【分析】本题主要考查直线的方程，“反点”的定义，属于中档题型.
（1） ① 根据点的坐标，结合反点的定义即可求解； ② 设点，根据点B在直线上及是的“反炫点”，然后建立关于m，n的方程组，解出m，n即可求解；
（2）根据点是直线的反炫点得到：，然后结合k的取值范围进行分类讨论求解即可.
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