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一次函数之函数、方程、不等式综合应用——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．直线y=x和y=-x+1把平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分(包括边界在内，如图)，则满足y≤x 且y≥-x+1的点(x，y)必在(　　).
A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，满足y≤x的点都在直线y=x的下方，满足y≥-x+1的点都在直线y=-x+ 1的上方，
故同时满足y≤x且y≥-x+1的点为两者的重合部分，
由图知：点(x，y)必定在第II部分.
故答案为：B.
【分析】y=x和y=-x+1把平面分成I、Ⅱ、III、IV个部分由图即可得出答案.
2．如图，函数. 和 的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点，当 时，x的取值范围是(　　).
A．x<-1 B．-12 D．x<-1或x>2
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x≥0时，y1=x，又
∵两直线的交点为(2，2)，
∴当x<0时，y1=-x，又
∵两直线的交点为(-1，1)，
∴由图象可知：当y1>y2时x的取值范围为：x<-1或x>2
故答案为：D .
【分析】首先由已知得出y1=x或y1=-x又相交于(-1，1)，(2，2)两点，根据y1>y2列出不等式求出x的取值范围.
3．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
4．（2021八上·武侯期末）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组 的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把 代入
关于x，y的方程组 的解为 .
故答案为：A.
【分析】先根据一次函数图象上的点的坐标特点求A点的坐标，再利用一次函数的交点坐标是两一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，从而可得答案.
5．（2025八上·西湖期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】由题知，
函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>-1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意.
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意.
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10， y2>0；
当x>2时，y>0，y<0；
∴当x<1或x>2时，y1y2<0；
当10；
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故答案选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y1=kx-k(k > 0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
6．（2025八上·滨江期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
边上的高即为点A的纵坐标1，
∴的面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，然后利用三角形的面积公式解题即可.
7．（2024八上·深圳期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（　　）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解为
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】A．由图象可得直线与的图象交于点，
∴方程的解是，故A不符合题；
B．由图象可知，不等式的解集是，不等
式的解集是，故B不符合题意；
C．将代入得，
解得，
，
将代入得，
解得，
∴时，直线在轴下方且在直线上方，
∴的解集是，故C符合题意；
D．方程组的解为，故D不符合题．
故选：C．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
8．（2024八上·坪山期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（　　）
A．方程组的解为
B．
C．为直角三角形
D．当的值最小时，点的坐标为
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；勾股定理的逆定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：、直线与直线都经过，
方程组的解为，故此选项正确，不符合题意；
、直线交轴于点，交轴于点，直线经过，
，解得，，
直线，
直线直线且经过原点，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
直线，
解得，
，
在中，令，则，解得，
，
，故此选项错误，符合题意；
、在中，令，则，
，
，
，，
，
，
，
为直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
、直线交轴于点，
，
如图，过点作轴的对称点连接交轴于，此时，的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，故此选项正确，不符合题意；
故选：．
【分析】根据两直线交点坐标即为联立方程组的解集可判断A；根据待定系数法将点B，E坐标代入直线可得直线，根据直线平行性质可得直线的解析式为，再根据待定系数法将点E坐标代入直线可得直线，联立直线l2，l3，解方程可得，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据三角形面积可判断B；根据x轴上点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得，，，再根据勾股定理逆定理可得判断C；根据y轴上点的坐标特征可得，过点作轴的对称点连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，再将点C'坐标代入解析式可得直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
9．（5.5课时2 一次函数与方程(组)、不等式的关系—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）如图，已知直线y= ax+2与直线y= mx+b的交点的横坐标是-2.根据图象有下列四个结论：①a>0；②b<0；③方程 ax+2= mx+b的解是 x=-2；④不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2.其中正确的结论个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图象得，直线y=ax+2经过第一、二、三象限，直线y=mx+b 交 y 轴于负半轴，所以a>0，b<0，故①②正确.因为直线y=ax+2与直线y=mx+b 的交点的横坐标是-2，所以当x=-2时， ax+2= mx+b，所以方程ax+2= mx+b 的解是x=-2，故③正确. ax-b> mx-2 整理，得 ax+2> mx+b.因为当x>-2时，直线y= ax+2 位于直线y= mx+b 的上方，所以不等式 ax+2> mx+b 的解集为 x>-2，即不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2，故④正确.综上，正确的结论为①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a>0；b<0；直线y=ax+2与直线y=mx+b的交点的横坐标是-2，即方程ax+2=mx+b的解为：x=-2；当x>-2时，直线y=ax+2在直线y=mx+b的上方，即可得不等式ax-b>mx-2的解集判断解答即可.
10．（2020八上·余杭期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，则关于 的不等式组 的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
解得
∵直线 与直线 交于点
∴
∵
∴
解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为：-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时，
∴
∴
∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知， 的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标，后画出函数图象，根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
二、填空题
11．如图，直线y= kx+b 经过A(3，1)和 B(6，0)两点，则不等式 的解集为　 　.
【答案】3【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将A(3，1)和B(6，0)分别代入y=kx+b得，，
解得
则函数解析式为，
可得不等式组
解得3故答案为：3【分析】将A(3，1)和B(6，0)分别代入y=kx+b，求出k、b的值，再解不等式组的解集.
12．（2025八上·淮安期末）如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，再结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
13．（2024·吴兴期末）已知关于x，y的方程组的解为，则一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为　 　．
【答案】（1，-2）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为：，
故答案为：.
【分析】根据题意可知一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标即为关于x，y的方程组的解.
14．（2018八上·江北期末）一次函数y=kx+b的图象经过A(-1，1）和B(- ，0），则不等式组 的解为　 　.
【答案】- ＜x＜-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】由题意可得：一次函数图象在y=1的下方时x＜-1，在y=0的上方时x＞- ，
∴关于x的不等式0＜kx+b＜1的解集是- ＜x＜-1．
故答案为：- ＜x＜-1．
【分析】首先利用图象可找到图象在y=1的下方时，x<-1，在y=0的上方时x>-，进而得到关于x的不等式015．（2024八上·莲都期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作．
（1）当时，的值是　 　；
（2）当时，的取值范围是　 　．
【答案】；或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，
如图所示，设交于点，与轴交于点，与轴交于点，则
∴，解得：，则，
当时，，∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴过定点，则点到轴的距离为，
设与轴交于点，则，则
∴
当时，
解得：或
当时，
解得：或
∵
∴或
故答案为：或．
【分析】（1）将代入求出直线的解析式，求出交点坐标解题即可；
（2）由题可得过定点，则点到轴的距离为，利用解题即可．
16．（2021八上·嘉兴期末）若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经过第四象限，则 4a+b的取值范围为　 　.
【答案】3<4a+b<6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴3=2a+b，即2a=3-b，b=3-2a，
∴4a+b=4a+3-2a=2a+3，
又∵图象不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0
∴2a+3＞3，3-2a≥0
∴3＜4a+b≤6
故答案为：3<4a+b<6.
【分析】由 y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)得：2a=3-b，b=3-2a，再将4a+b变形为2a+3；由图象不经过第四象限得：a＞0，b≥0，列出关于2a的一元一次不等式2a+3＞3，3-2a≥0即可求出4a+b的范围.
三、解答题
17．（2025八上·义乌期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
【分析】
（1）由直线上点的坐标特征可分别把代入两个函数解析式中解方程即可；
（2）由轴对称知，则由题意可得点A`在线段OC上且直线AB与直线CD的交点在y轴右侧，则可得关于k的不等式组并求解即可；
（3）先由直线上点的坐标特征可得，再由中点坐标公式可得，则利用待定系数法可得，则直线AB的解析式为；则当点E`在x轴上时，点，则由轴对称的性质可知EE`中点的坐标为，则点Q的纵坐标为，再把代入到直线AB的解析式中即可；当点E`在y轴上时，由勾股定理结合轴对称可得DE`=DE=5，即，则EE`的中点F的坐标可求，再利用待定系数法求出直线DF的解析式，再联立直线AB的解析式列方程并求解即可．
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
18．（2025八上·顺德期末）直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P．
（1）如图1，若交y轴于点G，，，求的大小；
（2）如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式；
（3）如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标．
【答案】（1）解：分别交、轴于、两点，
令，得，即，
令，得，即，
，
点坐标为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，。
（2）解：由（1）可知，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，过作轴，且，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为。
（3）解：，
，
是中点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作交于点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为，
令，
解得，
，
，
过作于点，
与的夹角是，
，
，
，
过作轴交轴于点，过作于点，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
设直线解析式为，将，代入得，
，解得，
直线解析式为，
再联立直线和直线解析式得，
，解得，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题易得，所以，，再根据等腰三角形可知，再根据外角性质可得，即可得解；
（2）根据题意可得，由逆等线模型构造全等，过作轴，且，连接，证，得到，从而，再利用勾股定理求出值即可；
（3）先求出解析式，利用平行线将进行等角转化，过点作交于点，所以，亦可得出直线的解析式，进而求出的坐标，再利用构造等腰直角三角形，过作于点，进而构造一线三垂直的全等，求出点坐标，然后求出直线的表达式，即可得解．
（1）解：分别交、轴于、两点，
令，得，即，
令，得，即，
，
点坐标为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，；
（2）解：由（1）可知，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，过作轴，且，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为；
（3）解：，
，
是中点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作交于点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为，
令，
解得，
，
，
过作于点，
与的夹角是，
，
，
，
过作轴交轴于点，过作于点，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
设直线解析式为，将，代入得，
，解得，
直线解析式为，
再联立直线和直线解析式得，
，解得，
．
19．（2024八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
（1）求点P的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
（3）过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由直线与直线交于点，
联立，
解得，
点的坐标为。
（2）解：①轴，
点、、的横坐标相等，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
；
②若点是线段的中点，
，，，
，，
点是的中点，
，
即，
解得，；
若点时线段的中点，
，，，
，，
点时线段的中点，
，
即，
解得；
综上所述，或。
（3）解：存在最小值，
在上取点，使得，连接，
由直线与直线，
得，，，
，，
，
，
，
点的坐标为，
，
轴，
是线段的垂直平分线，
，轴，
，轴，
，
轴，
，
，
，，
，
，
，
得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，
，
的最小值为．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-SAS；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）题因为两条直线相交于P点，因此可以联立方程组，求解即可得到点的坐标；
（2）题中的①题，由点、、的横坐标相等和点的坐标为，即可得点的坐标和点的坐标，计算即可求出的长度；
②题分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值；
（3）题通过做辅助线证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值．
20．（2020八上·浙江月考）已知一次函数 的图经过点 .
（1）若函数的图象经过原点，求k，b的值；
（2）若点 是该函数图象上的点，当 ，总有 ，且图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）点 ， 在函数图象上，若 ，求n的取值范围.
【答案】（1）解：把（0，0）和（3，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）中，得
，∴ ；
（2）解：∵若点 是该函数图象上的点，当 ，总有 ，且图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，﹣4），
∴3k+b＝﹣4，
∴b＝﹣3k﹣4，
∴ ，∴ k≤ ；
（3）解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，﹣4），
∴3k+b＝﹣4，
∴b＝﹣3k﹣4，
∵点A（1，m）在函数图象上，
∴m＝k+b＝k﹣3k﹣4＝﹣2k﹣4，
∵﹣12≤m≤﹣6，
∴﹣12≤﹣2k﹣4≤﹣6，
∴1≤k≤4，
∵点B（5，n）在函数图象上，
∴n＝5k+b＝5k﹣3k﹣4＝2k﹣4，
∴k＝ ，
∵1≤k≤4，
∴1≤ ≤4，
∴﹣2≤n≤4.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把（0，0）和（3，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）中，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）由题意可得k＜0，b≥0，再将（3，﹣4）代入一次函数y＝kx+b中，得出b＝﹣3k﹣4，从而得出﹣3k﹣4≥0，求出不等式组的解集即可；
（3）由（2）知b＝﹣3k﹣4，将A（1，m） 代入y＝kx+b中，得出m＝k+b＝k﹣3k﹣4＝﹣2k﹣4， 根据﹣12≤m≤﹣6，可求出k的范围，再把B（5，n）代入y＝kx+b中，得出k＝ ，将其代入k的不等式中即得关于n的不等式组，求出n的范围即可.
1 / 1一次函数之函数、方程、不等式综合应用——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．直线y=x和y=-x+1把平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分(包括边界在内，如图)，则满足y≤x 且y≥-x+1的点(x，y)必在(　　).
A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分
2．如图，函数. 和 的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点，当 时，x的取值范围是(　　).
A．x<-1 B．-12 D．x<-1或x>2
3．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·武侯期末）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组 的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·西湖期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
6．（2025八上·滨江期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2024八上·深圳期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（　　）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解为
8．（2024八上·坪山期末）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线直线且经过原点，且与直线交于点．点为轴上任意一点，连接、．对于以下结论，错误的是（　　）
A．方程组的解为
B．
C．为直角三角形
D．当的值最小时，点的坐标为
9．（5.5课时2 一次函数与方程(组)、不等式的关系—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）如图，已知直线y= ax+2与直线y= mx+b的交点的横坐标是-2.根据图象有下列四个结论：①a>0；②b<0；③方程 ax+2= mx+b的解是 x=-2；④不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2.其中正确的结论个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020八上·余杭期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，则关于 的不等式组 的解为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，直线y= kx+b 经过A(3，1)和 B(6，0)两点，则不等式 的解集为　 　.
12．（2025八上·淮安期末）如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
13．（2024·吴兴期末）已知关于x，y的方程组的解为，则一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为　 　．
14．（2018八上·江北期末）一次函数y=kx+b的图象经过A(-1，1）和B(- ，0），则不等式组 的解为　 　.
15．（2024八上·莲都期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作．
（1）当时，的值是　 　；
（2）当时，的取值范围是　 　．
16．（2021八上·嘉兴期末）若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经过第四象限，则 4a+b的取值范围为　 　.
三、解答题
17．（2025八上·义乌期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2025八上·顺德期末）直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P．
（1）如图1，若交y轴于点G，，，求的大小；
（2）如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式；
（3）如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标．
19．（2024八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
（1）求点P的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
（3）过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
20．（2020八上·浙江月考）已知一次函数 的图经过点 .
（1）若函数的图象经过原点，求k，b的值；
（2）若点 是该函数图象上的点，当 ，总有 ，且图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）点 ， 在函数图象上，若 ，求n的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，满足y≤x的点都在直线y=x的下方，满足y≥-x+1的点都在直线y=-x+ 1的上方，
故同时满足y≤x且y≥-x+1的点为两者的重合部分，
由图知：点(x，y)必定在第II部分.
故答案为：B.
【分析】y=x和y=-x+1把平面分成I、Ⅱ、III、IV个部分由图即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x≥0时，y1=x，又
∵两直线的交点为(2，2)，
∴当x<0时，y1=-x，又
∵两直线的交点为(-1，1)，
∴由图象可知：当y1>y2时x的取值范围为：x<-1或x>2
故答案为：D .
【分析】首先由已知得出y1=x或y1=-x又相交于(-1，1)，(2，2)两点，根据y1>y2列出不等式求出x的取值范围.
3．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把 代入
关于x，y的方程组 的解为 .
故答案为：A.
【分析】先根据一次函数图象上的点的坐标特点求A点的坐标，再利用一次函数的交点坐标是两一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，从而可得答案.
5．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】由题知，
函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>-1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意.
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意.
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10， y2>0；
当x>2时，y>0，y<0；
∴当x<1或x>2时，y1y2<0；
当10；
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故答案选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y1=kx-k(k > 0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∵一次函数，
∴当时，，
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
边上的高即为点A的纵坐标1，
∴的面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，，然后利用三角形的面积公式解题即可.
7．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】A．由图象可得直线与的图象交于点，
∴方程的解是，故A不符合题；
B．由图象可知，不等式的解集是，不等
式的解集是，故B不符合题意；
C．将代入得，
解得，
，
将代入得，
解得，
∴时，直线在轴下方且在直线上方，
∴的解集是，故C符合题意；
D．方程组的解为，故D不符合题．
故选：C．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；勾股定理的逆定理；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：、直线与直线都经过，
方程组的解为，故此选项正确，不符合题意；
、直线交轴于点，交轴于点，直线经过，
，解得，，
直线，
直线直线且经过原点，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
直线，
解得，
，
在中，令，则，解得，
，
，故此选项错误，符合题意；
、在中，令，则，
，
，
，，
，
，
，
为直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
、直线交轴于点，
，
如图，过点作轴的对称点连接交轴于，此时，的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，故此选项正确，不符合题意；
故选：．
【分析】根据两直线交点坐标即为联立方程组的解集可判断A；根据待定系数法将点B，E坐标代入直线可得直线，根据直线平行性质可得直线的解析式为，再根据待定系数法将点E坐标代入直线可得直线，联立直线l2，l3，解方程可得，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据三角形面积可判断B；根据x轴上点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得，，，再根据勾股定理逆定理可得判断C；根据y轴上点的坐标特征可得，过点作轴的对称点连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，再将点C'坐标代入解析式可得直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据图象得，直线y=ax+2经过第一、二、三象限，直线y=mx+b 交 y 轴于负半轴，所以a>0，b<0，故①②正确.因为直线y=ax+2与直线y=mx+b 的交点的横坐标是-2，所以当x=-2时， ax+2= mx+b，所以方程ax+2= mx+b 的解是x=-2，故③正确. ax-b> mx-2 整理，得 ax+2> mx+b.因为当x>-2时，直线y= ax+2 位于直线y= mx+b 的上方，所以不等式 ax+2> mx+b 的解集为 x>-2，即不等式 ax-b> mx-2的解集是x>-2，故④正确.综上，正确的结论为①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a>0；b<0；直线y=ax+2与直线y=mx+b的交点的横坐标是-2，即方程ax+2=mx+b的解为：x=-2；当x>-2时，直线y=ax+2在直线y=mx+b的上方，即可得不等式ax-b>mx-2的解集判断解答即可.
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵
∴
解得
∵直线 与直线 交于点
∴
∵
∴
解得
∵直线 与直线 交点的横坐标为：-2
∵直线 与 轴交于点
又∵当y=0时，
∴
∴
∵直线 与 轴交于点
∴直线 与 轴交于点
故可得图象
由图象可知， 的解集是 .
故答案为：A
【分析】根据函数的解析式可以求出交点坐标，后画出函数图象，根据函数图象可以直接写出不等式组 的解集.
11．【答案】3【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将A(3，1)和B(6，0)分别代入y=kx+b得，，
解得
则函数解析式为，
可得不等式组
解得3故答案为：3【分析】将A(3，1)和B(6，0)分别代入y=kx+b，求出k、b的值，再解不等式组的解集.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方，
∴关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，再结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
13．【答案】（1，-2）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为：，
故答案为：.
【分析】根据题意可知一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标即为关于x，y的方程组的解.
14．【答案】- ＜x＜-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】由题意可得：一次函数图象在y=1的下方时x＜-1，在y=0的上方时x＞- ，
∴关于x的不等式0＜kx+b＜1的解集是- ＜x＜-1．
故答案为：- ＜x＜-1．
【分析】首先利用图象可找到图象在y=1的下方时，x<-1，在y=0的上方时x>-，进而得到关于x的不等式015．【答案】；或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，
如图所示，设交于点，与轴交于点，与轴交于点，则
∴，解得：，则，
当时，，∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴过定点，则点到轴的距离为，
设与轴交于点，则，则
∴
当时，
解得：或
当时，
解得：或
∵
∴或
故答案为：或．
【分析】（1）将代入求出直线的解析式，求出交点坐标解题即可；
（2）由题可得过定点，则点到轴的距离为，利用解题即可．
16．【答案】3<4a+b<6
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴3=2a+b，即2a=3-b，b=3-2a，
∴4a+b=4a+3-2a=2a+3，
又∵图象不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0
∴2a+3＞3，3-2a≥0
∴3＜4a+b≤6
故答案为：3<4a+b<6.
【分析】由 y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)得：2a=3-b，b=3-2a，再将4a+b变形为2a+3；由图象不经过第四象限得：a＞0，b≥0，列出关于2a的一元一次不等式2a+3＞3，3-2a≥0即可求出4a+b的范围.
17．【答案】（1）
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
【分析】
（1）由直线上点的坐标特征可分别把代入两个函数解析式中解方程即可；
（2）由轴对称知，则由题意可得点A`在线段OC上且直线AB与直线CD的交点在y轴右侧，则可得关于k的不等式组并求解即可；
（3）先由直线上点的坐标特征可得，再由中点坐标公式可得，则利用待定系数法可得，则直线AB的解析式为；则当点E`在x轴上时，点，则由轴对称的性质可知EE`中点的坐标为，则点Q的纵坐标为，再把代入到直线AB的解析式中即可；当点E`在y轴上时，由勾股定理结合轴对称可得DE`=DE=5，即，则EE`的中点F的坐标可求，再利用待定系数法求出直线DF的解析式，再联立直线AB的解析式列方程并求解即可．
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
18．【答案】（1）解：分别交、轴于、两点，
令，得，即，
令，得，即，
，
点坐标为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，。
（2）解：由（1）可知，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，过作轴，且，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为。
（3）解：，
，
是中点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作交于点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为，
令，
解得，
，
，
过作于点，
与的夹角是，
，
，
，
过作轴交轴于点，过作于点，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
设直线解析式为，将，代入得，
，解得，
直线解析式为，
再联立直线和直线解析式得，
，解得，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题易得，所以，，再根据等腰三角形可知，再根据外角性质可得，即可得解；
（2）根据题意可得，由逆等线模型构造全等，过作轴，且，连接，证，得到，从而，再利用勾股定理求出值即可；
（3）先求出解析式，利用平行线将进行等角转化，过点作交于点，所以，亦可得出直线的解析式，进而求出的坐标，再利用构造等腰直角三角形，过作于点，进而构造一线三垂直的全等，求出点坐标，然后求出直线的表达式，即可得解．
（1）解：分别交、轴于、两点，
令，得，即，
令，得，即，
，
点坐标为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，；
（2）解：由（1）可知，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，过作轴，且，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为；
（3）解：，
，
是中点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作交于点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为，
令，
解得，
，
，
过作于点，
与的夹角是，
，
，
，
过作轴交轴于点，过作于点，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
设直线解析式为，将，代入得，
，解得，
直线解析式为，
再联立直线和直线解析式得，
，解得，
．
19．【答案】（1）解：由直线与直线交于点，
联立，
解得，
点的坐标为。
（2）解：①轴，
点、、的横坐标相等，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
；
②若点是线段的中点，
，，，
，，
点是的中点，
，
即，
解得，；
若点时线段的中点，
，，，
，，
点时线段的中点，
，
即，
解得；
综上所述，或。
（3）解：存在最小值，
在上取点，使得，连接，
由直线与直线，
得，，，
，，
，
，
，
点的坐标为，
，
轴，
是线段的垂直平分线，
，轴，
，轴，
，
轴，
，
，
，，
，
，
，
得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，
，
的最小值为．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-SAS；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）题因为两条直线相交于P点，因此可以联立方程组，求解即可得到点的坐标；
（2）题中的①题，由点、、的横坐标相等和点的坐标为，即可得点的坐标和点的坐标，计算即可求出的长度；
②题分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值；
（3）题通过做辅助线证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值．
20．【答案】（1）解：把（0，0）和（3，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）中，得
，∴ ；
（2）解：∵若点 是该函数图象上的点，当 ，总有 ，且图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，﹣4），
∴3k+b＝﹣4，
∴b＝﹣3k﹣4，
∴ ，∴ k≤ ；
（3）解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，﹣4），
∴3k+b＝﹣4，
∴b＝﹣3k﹣4，
∵点A（1，m）在函数图象上，
∴m＝k+b＝k﹣3k﹣4＝﹣2k﹣4，
∵﹣12≤m≤﹣6，
∴﹣12≤﹣2k﹣4≤﹣6，
∴1≤k≤4，
∵点B（5，n）在函数图象上，
∴n＝5k+b＝5k﹣3k﹣4＝2k﹣4，
∴k＝ ，
∵1≤k≤4，
∴1≤ ≤4，
∴﹣2≤n≤4.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把（0，0）和（3，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）中，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）由题意可得k＜0，b≥0，再将（3，﹣4）代入一次函数y＝kx+b中，得出b＝﹣3k﹣4，从而得出﹣3k﹣4≥0，求出不等式组的解集即可；
（3）由（2）知b＝﹣3k﹣4，将A（1，m） 代入y＝kx+b中，得出m＝k+b＝k﹣3k﹣4＝﹣2k﹣4， 根据﹣12≤m≤﹣6，可求出k的范围，再把B（5，n）代入y＝kx+b中，得出k＝ ，将其代入k的不等式中即得关于n的不等式组，求出n的范围即可.
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