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一次函数之周长面积问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1． 如图，在平面直角坐标系中，直线 与矩形ABCO的边OC，BC分别交于点E，F，已知OA=3，OC=4，那么△CEF的面积是(　　)
A．6 B．3 C．12 D．
2．（2024八上·镇海区期末）如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（　　）
A． B．5 C． D．
3． 如图1，在四边形ABCD中，已知. ，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒， 的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时，那么 的面积为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4． 如图，直线y=x+2与y轴相交于点过点作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点过点 作y轴的平行线交直线y=x+2于点再过点 作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点 ，过点B2作y轴的平行线交直线y=x+2于点，依此类推，得到直线y=x+2上的点 ，与直线y=0.5x+1上的点. 则 的长为(　　)
A．64 B．128 C．256 D．512
二、填空题
5．（5.4课时1 一次函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）如图，平面直角坐标系中，直线 y= kx+b交y轴于点A(0，3)，交x轴于点 B(6，0)，直线x=2交AB 于点 D，交x轴于点 E.点 P 坐标为(2，-4)，则△ABP 的面积是　 　.
6．（5.4课时1 一次函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）已知一次函数y=x+1的图象与y轴交于点 A，一次函数y= kx+b的图象经过点 B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点 C，D，且点D的坐标为(1，n)，则四边形 AOCD 的面积是　 　
7．（5.4课时2 一次函数的性质—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）直线y= kx-2k+3恒过一定点，则 讲题鸭是个该点的坐标是　 　；平面直角坐标系中有三点A(-1，0)，B(2，3)，C(5，0)，若直线y= kx-2k+3将△ABC 分成左、右面积之比为 1 ：2的两部分，则k 的值是　 　.
8．（第五章 全章综合训练（刷中考）—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）平面直角坐标系xOy 中，已知A(3，0)，B(0，3).直线y= kx+b(k，b为常数，且k>0)经过点(1，0)，并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为　 　.
9．（2024八上·浙江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，连接，则的长为：　 　．
三、解答题
10．（2025八上·吴兴期末）如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与直线相交于点，与轴交于点．
（1）求的值及的函数表达式；
（2）在轴负半轴上有一个点，当的面积为时，求点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结点与轴正半轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．
点的坐标为_____；（用含有的代数式表示）
在点运动的过程中，若线段与的边只有一个交点，求的取值范围．
11．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点．
（1）若．
①求的长．
②若是等腰三角形，求点的坐标．
（2）连接，若，当最小时，求点的坐标．
12．（2024八上·镇海区期末）如图，直线分别交轴，轴于点、，已知．
（1）求点坐标和直线的解析式；
（2）已知点为直线上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连结、、．
①求的度数．
②当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
13．如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象交于点A(m，2)，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D.
（1）求m的值.
（2）若这个一次函数的图象经过点B(-2，-1)，求其函数表达式.
（3）在(2)的条件下，求△AOD的面积.
14．（2024八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
（1）求点P的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
（3）过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】令y=0， ，解得x=1，
点E的坐标是（1，0） ，即OE=1
OC=4
EC=OC-OE=3
点F的横坐标是4
=2，即CF=2
故答案为：B
【分析】根据直线解析式先求出点E、F的坐标，再求出CE和CF的长度，进而利用三角形面积公式求出△CEF的面积 。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，
解得：
∴此时
当点P和点B重合时，即时，
∴此时的面积为6，即的面积为6，
∵点是的中点
∴的面积
当点P在线段BC的中点时，由AB＝AC，则AP⊥BC，
∴
∴
∴
故选：D．
【分析】令时，求出，时，，根据中点的性质求出的面积，根据三角形面积计算公式求出点P在BC中点时AP的长度，最后利用勾股定理求出AC的长度即可．
3．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】据图1知，当P在C处时，面积最大，
结合图2知，当t=6时，面积S最大为8，即AD×CD=8，AB+BC=6；当P在B处时，AD×AB=2；
当P在D处时，面积为0，AB+BC+CD=10；
∴CD=4，AD=4，AB=1，BC=5，
当P为BC中点时，即BP=BC=2.5，
∴AB+BP=3.5，此时t=3.5，
设BC的函数表达式为S=kt+b，将（1，2），（6，8）代入，
得，
解得，
∴BC的函数表达式为S=1.2t+0.8，
当t=3.5时，S=1.2×3.5+0.8=5，
故答案为：C.
【分析】根据图1，图2分析出AB、BC、CD的长，利用待定系数法求出BC的函数表达式，再求P在BC中点时的时间t，代入表达式求函数值即可.
4．【答案】C
【知识点】函数值；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的其他应用；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】∵直线 y = x + 2 与y轴交点 A0，
∴ 令 x = 0 ，解得 y = 2，
即A0（0，2），
∴ 过 A0 作x轴平行线，即水平线 y = 2 ，与直线 y = 0.5 x + 1 的交点 B1 （2，2），
∴线段 A 0B 1的长度为 2 0 = 2 ；
∴ 过 B1 ( 2 ， 2 ) 作y轴平行线（即垂直线 x = 2 ），与 y = x + 2 的交点 A1 的坐标为（2，4），
∴ 过 A1 ( 2 ， 4 ) 作x轴平行线（即水平线 y = 4 ），与 y = 0.5 x + 1 的交点 B2 的坐标（6，4），
∴线段 A1 B2的长度为 6 2 = 4；
同理可得：A2B3的长度应为 8，
依此类推 ，An Bn + 1 的长度为 2 n + 1，
故A7B 8 = 2 8 = 256，
故答案为：C.
【分析】 通过分析前几个点的坐标变化，可以发现每一步的线段长度呈一定规律：An Bn + 1 的长度为 2 n + 1，依此计算出的长度即可.
5．【答案】18
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：把A(0，3)，B(6，0)代入y= kx+b，得 解得 所以直线y= kx+b的表达式为 因为点D 在直线AB上，横坐标为2，所以把x=2代入 3，得y=2，所以点 D 坐标为(2，2).因为点 P坐标为(2，-4)，所以 PD=2-(-4)=6，所以
故答案为：18.
【分析】先求出直线AB的解析式为 再求出点D坐标，得到.PD=6，根据 代入数据计算即可.
6．【答案】
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：对于直线y=x+1，令x=0，得y=1，即A(0，1).把B(0，-1)代入y= kx+b，得b=-1.把D(1，n)代入y=x+1，得n=2，即D(1，2).把D(1，2)代入y= kx-1，得2=k-1，即k=3，所以一次函数y= kx+b的表达式为y=3x-1，令y=0，得3x-1=0，解得 所以 过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图所示，所以E(1，0)， 所以
故答案为： .
【分析】对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y=kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y=x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；过D作DE垂直于x轴，四边形AOCD面积等于梯形AOED面积减去三角形CDE面积，求出即可.
7．【答案】(2，3)；3
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：因为y= kx-2k+3=k(x-2)+3，所以直线y= kx-2k+3恒过定点(2，3).因为B(2，3)，直线y= kx-2k+3 将△ABC 分成左、右面积之比为 1：2的两部分，所以直线y= kx-2k+3过点(1，0)，故0=k-2k+3，解得k=3.
故答案为：(2，3)；3.
【分析】将y=kx-2k+3变形为y=k(x-2)+3，则可得出该点的坐标；直线y=kx-2k+3将 分成面积左右面积之比为1：2的两部分，分析出直线与x轴的交点，代入解析式即可得k的值.
8．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：解： 如图，设AB与直线y=kx+b交于点P.
设AB所在直线的函数关系式为 为常数，且
将坐标A(3，0)和B(0，3)分别代入
得
解得
∴ AB所在直线的函数关系式为y=-x+3.
将点(1，0)代入 y=kx+b，
得k+b=0，
解得b=-k，
∴直线y=kx+b为y=kx-k.
解得
∴远离原点部分的面积为
故答案为：
【分析】将点(1，0)代入直线y=kx+b，将b用k表示出来，利用待定系数法求出AB所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出k的值即可.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：设点，
∵直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，
∴当时，；当时，，
∴点，点，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵以为斜边在下方作等腰，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，，
∴点或，
∵点在直线的下方，
∴，
∵点，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】求出点A，B的坐标，即可求出求出，进而得到，过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，利用勾股定理可得，，即可得到，然后根据两点间的距离公式得到，求出的值，然后根据解题即可．
10．【答案】（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴
（3）；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：
【知识点】旋转的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：①过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）将点D代入直线中，即可求出，再将代入直线中，即可求出b的值，即可得到的函数表达式；
（2）如图，连接，设点，求出，得到，根据的面积为，由，列方程求解即可；
（3）过点G作轴于点H，证明，得到，即可得到点G的坐标；由知，点G在直线上运动，分当点G在上时，点G在上时，当点G在上时，求出x的值，结合图形即可得出结论．
（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：；
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴；
（3）解：过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：．
11．【答案】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的概念；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出，，然后根据勾股定理求出长，然后根据解题；
②设，即可得到，然后在中利用勾股定理求出m的值，再根据等腰三角形的定义分情况解题即可；
（2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，得到，即可得到，即可得到当在上时，取得最小值；设，利用勾股定理可得，即可求出的解析式为，设，则，，求出m值，然后得到的解析式为解题即可．
（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
12．【答案】（1）解：∵当时，，∴点坐标为，，
∵，
∴，
∴点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：①取直线上的点，使得，连接，∵点绕点顺时针旋转得到点
∴和是等边三角形，
∴，
情况一：如图，当点在射线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况二：如图，当点在线段上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况三：如图，当点在的延长线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或；
②如图，当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，
∵由①得，，由①情况一得，
∴，，
∴，
∴，，
∴轴，
∴点的横坐标点的横坐标，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
当点在线段上时，由①得，由①情况二得，
∴，
∴当点在线段上时，不可能是直角三角形；
如图，当点在的延长线上，时，为直角三角形，
∵由（1）得，由①得，，由①情况三得，
∴，，，
∴，
∴轴，，
∴点的横坐标点的横坐标，，
∴，
∴点的纵坐标，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）由直线，得出点坐标，，由，结合三角形面积公式，计算出，即可得出点坐标，再把点坐标代入，求出直线的解析式即可；
（2）①取直线上的点，使得，连接，根据旋转的性质推出，进而证明和是等边三角形，得出．分类讨论，情况一：当点在射线上时，利用证明，得出；情况二：当点在线段上时，得出，进而推出，利用证明，得出；情况三：当点在的延长线上时，得出，进而推出，利用证明，得出．综合得出的度数即可；
②当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，由①得，，由①情况一得，根据角之间的数量关系求出∠PCA和∠HCQ，进而得出点的横坐标，求出，根据直角三角形中边角关系得出HQ的长度，然后根据勾股定理计算CH长度，进而计算出OH长度，即可得出点的坐标；当点在线段上时，由①得，由①情况二得，进而计算出∠PAQ，推出此时不可能是直角三角形；当点在的延长线上，时，为直角三角形，由（1）得，由①得，，由①情况三得，计算角度，得出，，得出点的横坐标点的横坐标，根据根据直角三角形中边角关系得出，然后根据勾股定理计算CQ，得出点的坐标．最后综合得出点的坐标即可．
（1）解：∵当时，，
∴点坐标为，，
∵，
∴，
∴点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：①取直线上的点，使得，连接，
∵点绕点顺时针旋转得到点
∴和是等边三角形，
∴，
情况一：如图，当点在射线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况二：如图，当点在线段上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况三：如图，当点在的延长线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或；
②如图，当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，
∵由①得，，由①情况一得，
∴，，
∴，
∴，，
∴轴，
∴点的横坐标点的横坐标，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
当点在线段上时，由①得，由①情况二得，
∴，
∴当点在线段上时，不可能是直角三角形；
如图，当点在的延长线上，时，为直角三角形，
∵由（1）得，由①得，，由①情况三得，
∴，，，
∴，
∴轴，，
∴点的横坐标点的横坐标，，
∴，
∴点的纵坐标，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
13．【答案】（1）解： ∵点A(m，2) 在正比例函数y=2x的图象上，
∴2m=2，解得m=1.
（2）解：∵m=1，
∴点A为（1，2），
∵ 点B(-2，-1)， 点A（1，2），都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴，解得.
∴一次函数的表达式是y=x+1．
（3）解：取y=0，x+1=0，解得
∴点D为（-1，0），
∴OD=1，
∵点A为（1，2），
∴点A到OD的距离为2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】 (1) 根据点A(m，2) 在正比例函数y=2x的图象上，代入求出m；
(2)先求出点D的坐标，再根据A、D的坐标，可得OD的长与点A到OD的距离，利用三角形面积公式求出三角形AOD的面积.
14．【答案】（1）解：由直线与直线交于点，
联立，
解得，
点的坐标为。
（2）解：①轴，
点、、的横坐标相等，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
；
②若点是线段的中点，
，，，
，，
点是的中点，
，
即，
解得，；
若点时线段的中点，
，，，
，，
点时线段的中点，
，
即，
解得；
综上所述，或。
（3）解：存在最小值，
在上取点，使得，连接，
由直线与直线，
得，，，
，，
，
，
，
点的坐标为，
，
轴，
是线段的垂直平分线，
，轴，
，轴，
，
轴，
，
，
，，
，
，
，
得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，
，
的最小值为．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-SAS；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）题因为两条直线相交于P点，因此可以联立方程组，求解即可得到点的坐标；
（2）题中的①题，由点、、的横坐标相等和点的坐标为，即可得点的坐标和点的坐标，计算即可求出的长度；
②题分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值；
（3）题通过做辅助线证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值．
1 / 1一次函数之周长面积问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1． 如图，在平面直角坐标系中，直线 与矩形ABCO的边OC，BC分别交于点E，F，已知OA=3，OC=4，那么△CEF的面积是(　　)
A．6 B．3 C．12 D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】令y=0， ，解得x=1，
点E的坐标是（1，0） ，即OE=1
OC=4
EC=OC-OE=3
点F的横坐标是4
=2，即CF=2
故答案为：B
【分析】根据直线解析式先求出点E、F的坐标，再求出CE和CF的长度，进而利用三角形面积公式求出△CEF的面积 。
2．（2024八上·镇海区期末）如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：当时，
解得：
∴此时
当点P和点B重合时，即时，
∴此时的面积为6，即的面积为6，
∵点是的中点
∴的面积
当点P在线段BC的中点时，由AB＝AC，则AP⊥BC，
∴
∴
∴
故选：D．
【分析】令时，求出，时，，根据中点的性质求出的面积，根据三角形面积计算公式求出点P在BC中点时AP的长度，最后利用勾股定理求出AC的长度即可．
3． 如图1，在四边形ABCD中，已知. ，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒， 的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时，那么 的面积为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】据图1知，当P在C处时，面积最大，
结合图2知，当t=6时，面积S最大为8，即AD×CD=8，AB+BC=6；当P在B处时，AD×AB=2；
当P在D处时，面积为0，AB+BC+CD=10；
∴CD=4，AD=4，AB=1，BC=5，
当P为BC中点时，即BP=BC=2.5，
∴AB+BP=3.5，此时t=3.5，
设BC的函数表达式为S=kt+b，将（1，2），（6，8）代入，
得，
解得，
∴BC的函数表达式为S=1.2t+0.8，
当t=3.5时，S=1.2×3.5+0.8=5，
故答案为：C.
【分析】根据图1，图2分析出AB、BC、CD的长，利用待定系数法求出BC的函数表达式，再求P在BC中点时的时间t，代入表达式求函数值即可.
4． 如图，直线y=x+2与y轴相交于点过点作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点过点 作y轴的平行线交直线y=x+2于点再过点 作x轴的平行线交直线y=0.5x+1于点 ，过点B2作y轴的平行线交直线y=x+2于点，依此类推，得到直线y=x+2上的点 ，与直线y=0.5x+1上的点. 则 的长为(　　)
A．64 B．128 C．256 D．512
【答案】C
【知识点】函数值；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的其他应用；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】∵直线 y = x + 2 与y轴交点 A0，
∴ 令 x = 0 ，解得 y = 2，
即A0（0，2），
∴ 过 A0 作x轴平行线，即水平线 y = 2 ，与直线 y = 0.5 x + 1 的交点 B1 （2，2），
∴线段 A 0B 1的长度为 2 0 = 2 ；
∴ 过 B1 ( 2 ， 2 ) 作y轴平行线（即垂直线 x = 2 ），与 y = x + 2 的交点 A1 的坐标为（2，4），
∴ 过 A1 ( 2 ， 4 ) 作x轴平行线（即水平线 y = 4 ），与 y = 0.5 x + 1 的交点 B2 的坐标（6，4），
∴线段 A1 B2的长度为 6 2 = 4；
同理可得：A2B3的长度应为 8，
依此类推 ，An Bn + 1 的长度为 2 n + 1，
故A7B 8 = 2 8 = 256，
故答案为：C.
【分析】 通过分析前几个点的坐标变化，可以发现每一步的线段长度呈一定规律：An Bn + 1 的长度为 2 n + 1，依此计算出的长度即可.
二、填空题
5．（5.4课时1 一次函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）如图，平面直角坐标系中，直线 y= kx+b交y轴于点A(0，3)，交x轴于点 B(6，0)，直线x=2交AB 于点 D，交x轴于点 E.点 P 坐标为(2，-4)，则△ABP 的面积是　 　.
【答案】18
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：把A(0，3)，B(6，0)代入y= kx+b，得 解得 所以直线y= kx+b的表达式为 因为点D 在直线AB上，横坐标为2，所以把x=2代入 3，得y=2，所以点 D 坐标为(2，2).因为点 P坐标为(2，-4)，所以 PD=2-(-4)=6，所以
故答案为：18.
【分析】先求出直线AB的解析式为 再求出点D坐标，得到.PD=6，根据 代入数据计算即可.
6．（5.4课时1 一次函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）已知一次函数y=x+1的图象与y轴交于点 A，一次函数y= kx+b的图象经过点 B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点 C，D，且点D的坐标为(1，n)，则四边形 AOCD 的面积是　 　
【答案】
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：对于直线y=x+1，令x=0，得y=1，即A(0，1).把B(0，-1)代入y= kx+b，得b=-1.把D(1，n)代入y=x+1，得n=2，即D(1，2).把D(1，2)代入y= kx-1，得2=k-1，即k=3，所以一次函数y= kx+b的表达式为y=3x-1，令y=0，得3x-1=0，解得 所以 过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图所示，所以E(1，0)， 所以
故答案为： .
【分析】对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A的坐标，把B坐标代入y=kx+b中求出b的值，再将D坐标代入y=x+1求出n的值，进而将D坐标代入求出k的值即可；过D作DE垂直于x轴，四边形AOCD面积等于梯形AOED面积减去三角形CDE面积，求出即可.
7．（5.4课时2 一次函数的性质—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）直线y= kx-2k+3恒过一定点，则 讲题鸭是个该点的坐标是　 　；平面直角坐标系中有三点A(-1，0)，B(2，3)，C(5，0)，若直线y= kx-2k+3将△ABC 分成左、右面积之比为 1 ：2的两部分，则k 的值是　 　.
【答案】(2，3)；3
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：因为y= kx-2k+3=k(x-2)+3，所以直线y= kx-2k+3恒过定点(2，3).因为B(2，3)，直线y= kx-2k+3 将△ABC 分成左、右面积之比为 1：2的两部分，所以直线y= kx-2k+3过点(1，0)，故0=k-2k+3，解得k=3.
故答案为：(2，3)；3.
【分析】将y=kx-2k+3变形为y=k(x-2)+3，则可得出该点的坐标；直线y=kx-2k+3将 分成面积左右面积之比为1：2的两部分，分析出直线与x轴的交点，代入解析式即可得k的值.
8．（第五章 全章综合训练（刷中考）—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）平面直角坐标系xOy 中，已知A(3，0)，B(0，3).直线y= kx+b(k，b为常数，且k>0)经过点(1，0)，并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：解： 如图，设AB与直线y=kx+b交于点P.
设AB所在直线的函数关系式为 为常数，且
将坐标A(3，0)和B(0，3)分别代入
得
解得
∴ AB所在直线的函数关系式为y=-x+3.
将点(1，0)代入 y=kx+b，
得k+b=0，
解得b=-k，
∴直线y=kx+b为y=kx-k.
解得
∴远离原点部分的面积为
故答案为：
【分析】将点(1，0)代入直线y=kx+b，将b用k表示出来，利用待定系数法求出AB所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出k的值即可.
9．（2024八上·浙江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，连接，则的长为：　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：设点，
∵直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，
∴当时，；当时，，
∴点，点，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵以为斜边在下方作等腰，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，，
∴点或，
∵点在直线的下方，
∴，
∵点，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】求出点A，B的坐标，即可求出求出，进而得到，过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，利用勾股定理可得，，即可得到，然后根据两点间的距离公式得到，求出的值，然后根据解题即可．
三、解答题
10．（2025八上·吴兴期末）如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与直线相交于点，与轴交于点．
（1）求的值及的函数表达式；
（2）在轴负半轴上有一个点，当的面积为时，求点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结点与轴正半轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．
点的坐标为_____；（用含有的代数式表示）
在点运动的过程中，若线段与的边只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴
（3）；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：
【知识点】旋转的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：①过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）将点D代入直线中，即可求出，再将代入直线中，即可求出b的值，即可得到的函数表达式；
（2）如图，连接，设点，求出，得到，根据的面积为，由，列方程求解即可；
（3）过点G作轴于点H，证明，得到，即可得到点G的坐标；由知，点G在直线上运动，分当点G在上时，点G在上时，当点G在上时，求出x的值，结合图形即可得出结论．
（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：；
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴；
（3）解：过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：．
11．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点．
（1）若．
①求的长．
②若是等腰三角形，求点的坐标．
（2）连接，若，当最小时，求点的坐标．
【答案】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的概念；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出，，然后根据勾股定理求出长，然后根据解题；
②设，即可得到，然后在中利用勾股定理求出m的值，再根据等腰三角形的定义分情况解题即可；
（2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，得到，即可得到，即可得到当在上时，取得最小值；设，利用勾股定理可得，即可求出的解析式为，设，则，，求出m值，然后得到的解析式为解题即可．
（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
12．（2024八上·镇海区期末）如图，直线分别交轴，轴于点、，已知．
（1）求点坐标和直线的解析式；
（2）已知点为直线上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连结、、．
①求的度数．
②当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵当时，，∴点坐标为，，
∵，
∴，
∴点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：①取直线上的点，使得，连接，∵点绕点顺时针旋转得到点
∴和是等边三角形，
∴，
情况一：如图，当点在射线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况二：如图，当点在线段上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况三：如图，当点在的延长线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或；
②如图，当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，
∵由①得，，由①情况一得，
∴，，
∴，
∴，，
∴轴，
∴点的横坐标点的横坐标，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
当点在线段上时，由①得，由①情况二得，
∴，
∴当点在线段上时，不可能是直角三角形；
如图，当点在的延长线上，时，为直角三角形，
∵由（1）得，由①得，，由①情况三得，
∴，，，
∴，
∴轴，，
∴点的横坐标点的横坐标，，
∴，
∴点的纵坐标，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）由直线，得出点坐标，，由，结合三角形面积公式，计算出，即可得出点坐标，再把点坐标代入，求出直线的解析式即可；
（2）①取直线上的点，使得，连接，根据旋转的性质推出，进而证明和是等边三角形，得出．分类讨论，情况一：当点在射线上时，利用证明，得出；情况二：当点在线段上时，得出，进而推出，利用证明，得出；情况三：当点在的延长线上时，得出，进而推出，利用证明，得出．综合得出的度数即可；
②当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，由①得，，由①情况一得，根据角之间的数量关系求出∠PCA和∠HCQ，进而得出点的横坐标，求出，根据直角三角形中边角关系得出HQ的长度，然后根据勾股定理计算CH长度，进而计算出OH长度，即可得出点的坐标；当点在线段上时，由①得，由①情况二得，进而计算出∠PAQ，推出此时不可能是直角三角形；当点在的延长线上，时，为直角三角形，由（1）得，由①得，，由①情况三得，计算角度，得出，，得出点的横坐标点的横坐标，根据根据直角三角形中边角关系得出，然后根据勾股定理计算CQ，得出点的坐标．最后综合得出点的坐标即可．
（1）解：∵当时，，
∴点坐标为，，
∵，
∴，
∴点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：①取直线上的点，使得，连接，
∵点绕点顺时针旋转得到点
∴和是等边三角形，
∴，
情况一：如图，当点在射线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况二：如图，当点在线段上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
情况三：如图，当点在的延长线上时，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或；
②如图，当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，
∵由①得，，由①情况一得，
∴，，
∴，
∴，，
∴轴，
∴点的横坐标点的横坐标，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
当点在线段上时，由①得，由①情况二得，
∴，
∴当点在线段上时，不可能是直角三角形；
如图，当点在的延长线上，时，为直角三角形，
∵由（1）得，由①得，，由①情况三得，
∴，，，
∴，
∴轴，，
∴点的横坐标点的横坐标，，
∴，
∴点的纵坐标，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
13．如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象交于点A(m，2)，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D.
（1）求m的值.
（2）若这个一次函数的图象经过点B(-2，-1)，求其函数表达式.
（3）在(2)的条件下，求△AOD的面积.
【答案】（1）解： ∵点A(m，2) 在正比例函数y=2x的图象上，
∴2m=2，解得m=1.
（2）解：∵m=1，
∴点A为（1，2），
∵ 点B(-2，-1)， 点A（1，2），都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴，解得.
∴一次函数的表达式是y=x+1．
（3）解：取y=0，x+1=0，解得
∴点D为（-1，0），
∴OD=1，
∵点A为（1，2），
∴点A到OD的距离为2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】 (1) 根据点A(m，2) 在正比例函数y=2x的图象上，代入求出m；
(2)先求出点D的坐标，再根据A、D的坐标，可得OD的长与点A到OD的距离，利用三角形面积公式求出三角形AOD的面积.
14．（2024八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
（1）求点P的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为：
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
（3）过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由直线与直线交于点，
联立，
解得，
点的坐标为。
（2）解：①轴，
点、、的横坐标相等，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
；
②若点是线段的中点，
，，，
，，
点是的中点，
，
即，
解得，；
若点时线段的中点，
，，，
，，
点时线段的中点，
，
即，
解得；
综上所述，或。
（3）解：存在最小值，
在上取点，使得，连接，
由直线与直线，
得，，，
，，
，
，
，
点的坐标为，
，
轴，
是线段的垂直平分线，
，轴，
，轴，
，
轴，
，
，
，，
，
，
，
得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，
，
的最小值为．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定-SAS；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）题因为两条直线相交于P点，因此可以联立方程组，求解即可得到点的坐标；
（2）题中的①题，由点、、的横坐标相等和点的坐标为，即可得点的坐标和点的坐标，计算即可求出的长度；
②题分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值；
（3）题通过做辅助线证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值．
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