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一次函数之几何动态问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·海曙期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2． 如图，边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S(阴影部分)，那么S与t的大致图象应为(　　)
A． B．
C． D．
3．（2021八上·北仑期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点.若 是 轴上的动点，则 的最小值（　　）
A． B．6 C． D．4
4．（2020八上·北仑期末）如图，直线AB：y=-3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C(-1，0)，D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（　　）
A． B． C．5 D．
5．（2020八上·宁波期末）如图，点 的坐标为（3，4）， 轴于点 ， 是线段 上一点，且 ，点 从原点 出发，沿 轴正方向运动， 与直线 交于 ，则 的面积（　　）
A．逐渐变大 B．先变大后变小
C．逐渐变小 D．始终不变
6．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7． 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为t(s)，△PAB的面积为y(cm2)，若y关于t的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为　 　.
8．（2020八上·江北月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2)，点B是x轴上的一个动点，始终保持△ABC是等边三角形(点A，B，C按逆时针排列)，当点B运动到原点O处时，则点C的坐标是　 　.随着点B在x轴上移动，点C也随之移动，则点C移动所得图象的表达式是　 　.
9．如图(1)，在正方形ABCD 的边 BC上有一点 E，连结AE.点P 从正方形的顶点 A 出发，沿A→D→C 的方向以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 C.图(2)是点 P 运动时，△APE 的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象，当x=7时，y的值为　 　.
10．（2021八上·萧山月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线1垂直平分 交 于点 ，交 轴于点 ，点 是直线1上且在第一象限一动点．若 是等腰三角形，点 的坐标是　 　．
11．（2020八上·奉化期末）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y=2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是　 　。
12．（2018八上·北仑期末）直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，在直线 上存在一点 ，能使得 ，则满足条件的点 的坐标为　 　．
三、解答题
13．（2024八上·新昌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标及的面积．
（2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
14．（2024八上·武义期末）已知直线的函数表达式为为常数，点，点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连结，将沿直线翻折，得，点，，的对应点分别为点，，．
（1）求点的坐标．
（2）当点在轴上时，求的值．
（3）当与轴有交点时，求的取值范围．
15．（2023八上·金华月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+15分别交x轴、y轴于点A，B，交直线y＝x于点M．动点D以每秒a个单位的速度从点O沿OA的方向运动，设运动时间为t秒，C点在线段AB上，且C坐标为（）．
（1）求点A的坐标和AM的长．
（2）当t＝5时，线段CD交OM于点P，且PC＝PD，求a的值．
（3）利用（2）的结论，以C为直角顶点作等腰直角△CDE（点C，D，E按逆时针顺序排列）．当OM与△CDE的一边平行时，求所有满足条件的t的值．
16．（2021八上·平阳期中）已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A．
（1）可以通过把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，求出定点A的坐标．
（2）如图，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值．
17．（2021八上·东阳期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0， ）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）.
（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式.
（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）.
（3）在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝ x+ 上时，求m的值.
18．（2018八上·婺城期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点 、 ，点P在x轴上运动，连接PB，将 沿直线BP折叠，点O的对应点记为 ．
（1）求k、b的值；
（2）若点 恰好落在直线AB上，求 的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转 得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得 为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2016八上·平阳期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），点P是直线AB上的一个动点，记点P关于y轴对称的点为P′．
（1）当b=3时（如图1），
①求直线AB的函数表达式．
（2）②在x轴上找一点Q（点O除外），使△APQ与△AOB全等，直接写出点Q的所有坐标　 　
（3）若点P在第一象限（如图2），设点P的横坐标为a，作PC⊥x轴于点C，连结AP′，CP′．当△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形时，求出a，b的值．
（4）当线段OP′恰好被直线AB垂直平分时（如图3），直接写出b=　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：把C(1，2)代入y=x+b得1+b=2，解得b=1，
把B(3，1)代入y=x+b得3+b=1，解得b=-2，
∴当直线y=x+6与△ABC有交点时，b的取值范围是-2≤b≤1.
故答案选：B.
【分析】将三角形顶点坐标代入直线方程求解b的值，从而确定b的取值范围.
2．【答案】A
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】设小正方形的运动速度为v，由于v分三个阶段
（1）小正方形向右未完全穿入大正方形
S=2x2-vtx1=4-vt(vt1)；
(2)小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形
S=2x2-1=3；
（3）小正方形穿出大正方形
S=2x2-(1x1-vt)=3+vt(vt1)。
A：符合；B、C、D不符合
故答案为：A
【分析】设小正方形的运动速度为v，分三个阶段（1）小正方形向右未完全穿入大正方形
S=2x2-vtx1=4-vt(vt1)；(2)小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形S=2x2-1=3；
（3）小正方形穿出大正方形S=2x2-(1x1-vt)=3+vt(vt1)，逐项分析可得答案。
3．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点，
∴ ， ，
，
，
∵在 中， ，
，
作直线 关于 轴的对称直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
，
∴在 中， ，
，
又∵在 中， ，
，
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用一次函数解析式，由x=0求出对应y的值，可得到点B的坐标，由y=0求出对应x的值，可得到点A的坐标；再利用勾股定理求出AB的长，由此可求出∠BAO的度数；作直线AB关于x轴的对称直线 AP，过点C作 CD⊥AP于点D，过点B作 BE⊥AP于点E，利用直角三角形的性质及勾股定理求出AE，BE的长；然后根据AC=2CD及BC+CD≥BE，可求出2BC+AC的最小值.
4．【答案】B
【知识点】旋转的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，
当y=0时，-3x+9=0
解之：x=3
∴点B（3，0）
∴OC=|-1|=1，OB=3，BC=|-1-3|=4
∵把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，
∴BF=OD，BD=BE，EF=BO=3
设BF=OD=m，则CF=4-m
在Rt△CEF中，
CE2=CF2+EF2=（4-m）2+32=（m-4）2+9
∵a=1＞0
∴抛物线的开口向上，
∴当m=4时，CE2有最小值，
∴CE=3
∴CE⊥x轴于点C，此时BF=OD=4，
∴
故答案为：B.
【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，利用函数解析式求出点B的坐标，由此可求出OC，OB，BC的长，再利用旋转的性质可知BF=OD，BD=BE，EF=BO=3，设BF=m，用含m的代数式表示出CF的长，再利用勾股定理可得到CE2与m的函数解析式，利用二次函数的性质，可知当m=4时，CE的最小值为3，从而可得到CE⊥x轴于点C，此时BF=OD=4，然后利用勾股定理求出CD的长。
5．【答案】D
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为(3，4)，CA⊥y轴于点A，
∴OA=4，AC=3，
∵OD=3AD，
∴AD=1，OD=3，
∵CB与直线 交于点E，
∴设E ，
设直线BC的解析式为：
将C(3，4)与E 代入得：
，解得
∴直线BC解析式为：
令y=0，则
解得
∴
S△CDE=S梯形AOBC-S△ACD-S△DOE-S△OBE
=
=
所以△CDE的面积始终不变，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件得到OA=4，AC=3，求得AD=1，OD=3，设E ，即可求得BC直线解析式为 ，进而得到B点坐标，再根据梯形和三角形的面积公式进行计算即可得到结论.
6．【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H，
，
，
线段绕点O顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，，
当点B在第二象限时，设点B的坐标为（），
则，，
，，
，
令，
消去m，得，
点C在直线上，
令，则，
所以直线与y轴的交点为，
令，则，
解得，
所以直线与x轴的交点为，
，
，
，
分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，，
则，，，，，
，
，，
，
，
的周长，
当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
所以点C的坐标为．
故选：D．
【分析】
由旋转知，BO＝CO、，则可分别过点B、C作x轴的垂线段BG、CH，则由一线三垂直全等模型可证明，则有BG＝OH、GO＝HC，再由直线上点的坐标特征可设点B的坐标为，则，即点C在直线上，再分别作点A关于y轴和直线的对称点和，则由轴对称的性质可得当点C，D都在线段上时的周长最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，即联立直线与直线的解析式并解方程即可．
7．【答案】48cm2
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】 动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，
当点P在B、C之间时， △PAB的面积随时间t的增大而增大，
由图2可知，当x=3时，点P到达点C处，
BC=3x2=6cm
当点P运动到C、D之间时， △PAB的面积不变，
由图2可知，点P从点C运动到点D所用的时间为7-3=4s
CD=2x4=8cm
长方形ABCD的面积为 8x6=48cm2
故答案为：48cm2
【分析】根据△PAB的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，进而求出长方形ABCD的面积 。
8．【答案】( ，1)；y＝ x－2
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：y轴右侧作等边三角形AOD，过点D作DF⊥x轴于点F，
∴OA=OD＝2，
∴DF＝OD=1．
在Rt△ODF中，
.
∴点D的坐标为；
∵△AOD与△ABC都是等边三角形，
∴AO＝AD，AB＝AC，∠BAC＝∠OAD＝60°，
∴∠BAC ∠OAC＝∠OAD ∠OAC，
∴∠BAO＝∠CAD，
在△AOB与△ADC中，
∴△AOB≌△ADC（SAS）．
∴∠BOA＝∠CDA＝90°，
∴点C在过点D且与AC垂直的直线上，
∵点A的坐标是（0，2），△ABC是等边三角形，
∴点C移动到y轴上的坐标是（0， 2），
设点C所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
把点（3，1）和（0， 2）代入
解之：
∴点C移动所得图象的解析式是为：y＝3x 2．
故答案为：（3，1），y＝3x 2．
【分析】 y轴右侧作等边三角形AOD，过点D作DF⊥x轴于点F，可以求出DF的长，利用勾股定理求出DF的长，即可得到点D的坐标；再利用等边三角形的性质可证得OA=AD，∠BAO=∠CAD，利用SAS可证得△AOB≌△ADC，利用全等三角形的对应角相等可得到∠BOA＝∠CDA＝90°，由题意可得到点C在过点D且与AC垂直的直线上，利用待定系数法求出点C移动所得图象的解析式。
9．【答案】
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：设正方形ABCD 的边长为 a.由题图可知，当点 P 运动到点 D 时， 解得a=4.由函数图象可知，当点P 运动到点 C 时， 6，解得EP=3，即EC=3，所以BE=1，所以当x=7时的情形如图所示，此时PC=8-7=1，PD=7-4=3，所以y=S正方形ABCD -
故答案为：
【分析】当点P在点D时，设正方形的边长为a， 解得a=4；；当点P在点C时， 解得EP=3， 即EC=3，BE=1； 当x=7时， y= 即可求解.
10．【答案】（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵y＝﹣x+b交y轴于点A（0，2），
∴b＝2．
∴y＝﹣x+2；
当y＝0，则-x+2=0
解之：x＝2，
∴B（2，0）．
∴OB＝2；
直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，
∴E（1，0），点P的横坐标为1．
∴OE＝1．
当AO＝AP时，如图，
过点P1作P1C⊥OA交y轴于点C，则P1C＝OE＝1，
A（0，2），
∴OA＝2．
∴AO=AP1＝AP2＝2．
∴，
∴OC＝OA+OC＝；
∴OD=AO-AD=
∴P1（1，）．
同理，P2（1，）．
当PA＝PO时，如图，
点P在AO的垂直平分线上，
∴点P的纵坐标为1，
∴P（1，1）．
当OA＝OP时，则OP＝2，如图，
，
∴P（1，）．
综上，若△AOP是等腰三角形，点P的坐标是（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）.
故答案为：（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）.
【分析】将点A的坐标代入函数解析式，可得到b的值，即可得到函数解析式；利用函数解析式可得到点B的坐标，可得到OB的长，直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E， 结合已知可得到点E的坐标及点P的横坐标，同时可求出OE的长；利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AO＝AP时，过点P1作P1C⊥OA交y轴于点C，则P1C＝OE＝1，利用点A的坐标可求出OA的长，利用勾股定理求出AC，AD的长，根据OC＝OA+OC，OD=AO-AD，代入计算求出OD的长，可得到点P1，P2的坐标；当PA＝PO时， 当PA＝PO时，利用点P在AO的垂直平分线上，可得到点P的纵坐标，可得到点P的坐标；当OA＝OP时，则OP＝2，利用勾股定理求出PE的长，可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
11．【答案】
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=2x+4=4，
∴点A的坐标为（0，4）.
当y=0时，2x+4=0，x=-2，
∴点C的坐标为（-2，0）.
∴OA=4，OC=2，
∴，
如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD.
在△AOC和△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS）
∴CD=AO=4，DB=OC=2，
OD=OC+CD=6，
∴点B的坐标为（-6，2）.
如上图所示，取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，，
∴，
∵BC⊥AC，，
∴，
若点O，E，B不在同一条直线上时，则OB若点O，E，B在同一条直线上时，则OB=OE+BE=.
∴当点O，E，B在同一条直线上时，OB取得最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】分别令x=0，y=0求得A、C坐标，根据勾股定理可得AC的长. 根据全等三角形的判定与性质，可得CD、BD的长. 再取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边的关系，求得点B与原点O的最大距离. 本题正确作出辅助线是解题的关键，注意掌握数形结合思想的运用.
12．【答案】 ，
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】∵直线y=x+3分别交x轴、y轴于A.B两点，直线 分别交x轴、y轴于C. D两点，
∴A( 3，0)，B(0，3)，C(4，0)，D(0， 2)，
∴OA=OB=3，OC=4，OD=2，①当P在x轴的下方时，如图1，设P(a，a+3)，作PE⊥x轴于E，
∵S△PAD=S梯形ODPE S△PAE S△AOD
S△PCD=S梯形ODPE+S△ODC S△PCE
∴ 解得a= 5，
∴P( 5， 2)；
②当P在x轴的上方时，如图2，设P(a，a+3)，作PE⊥y轴于E，
S△PAD=S△PED+S△ABD S△PEB
，
S△PCD=S梯形OCPE+S△ODC S△PDE
∴ 解得a= ，
∴
综上，在直线AB上存在一点P，使得 ，
此时P的坐标为 ，
【分析】分两种情况分别讨论：①当P在x轴的下方时，设P（a，a+3），根据S△PAD=S梯形ODPE-S△PAE-S△AOD=S△PCD=S梯形ODPE+S△ODC-S△PCE，列出关于a的方程，解方程即可；②当P在x轴的上方时，设P（a，a+3），根据S△PAD=S△PED+S△ABD-S△PEB=S△PCD=S梯形OCPE+S△ODC-S△PDE列出关于a的方程，解方程即可．
13．【答案】（1）解：由题意得：
解得．
∴．
把代入得．
∴．
∴
（2）解：存在．
如图1：设，则．
∴．
∵轴交y轴于点H，
∴．
∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：或
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图2：
∵，当．
．
∴．
过点B作与AM的延长线交于点N．
∴是等腰直角三角形．
∴．
过点N作NF⊥x轴于点F．过点A作AG⊥x轴于点G．
易证．
∴，．
∵，．
∴，．
∴．
∴．
设NA的直线解析式为，
把，的坐标分别代入
得，
解得：
∴
令，得．
∴．
如图3：点E坐标为（0，3）由对称性可知．
综上所述：或．
【分析】（1）联立函数表达式得到关于x和y的二元一次方程组，求解即得A点坐标；把y=0代入y=2x-3，即得点B坐标，即可求△AOB面积；
（2）设出P点坐标，根据题意可得点D和点H的坐标，于是可得PH和PD，根据是以P为直角顶点的等腰直角三角形 ，令PH=PD，即可求出点H坐标；
（3）根据 和∠EAO=45°，得到∠MAB=45°，于是以B为直角顶点，以AB为腰构造等腰直角三角形ABN，再作NF⊥x轴，AG⊥x轴，构造一线三直角模型，根据A，B两点的坐标即可得到G，F，N点坐标。再求直线AN的函数表达式，令x=0，即可得M点坐标，根据对称性，可得到另一个坐标.
14．【答案】（1）解：过作，过作，
绕点顺时针旋转得线段，
，，
，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，，
；
（2）解：点在轴上，
设点，
沿直线翻折，得，
点在上，且，
，
解得：，
当时，，
，
解得：；
（3）解：与轴有交点，
，
当点在轴上时，设点，
沿直线翻折，得，
点在上，且，
，
解得：，
，
解得：，
当点在轴上时，设点，
沿直线翻折，得，
点在上，且，
，
解得：，
，
解得：，
．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）题利用旋转和边角关系，证明出≌，即可得出C点的坐标；（2）题利用翻折特点和勾股定理，即可求出b的值；（3）题需要分当点在轴上和当点在轴上两种情况，利用翻折和勾股定理求出对应b的值，中间的部分就是b的范围。
15．【答案】（1）解：令y=0，则，
解得：，
解得：，
，
（2）解：当t=5时，点D为(5a，0）
，
∴PC=PD，此时P为CD的中点，
，
点P在OM上，
，
解得：；

（3）解：过点C作CK⊥x轴于点K，
，
，
∵OM在直线y=x上，
；
当时，
，
当时，，
，
当时，，
，
C点在不在线段上，
（舍去），
当时，过点E作轴于点H，过点C作CG∥x轴轴交HE的延长线于点G，
，
，
综上可得：，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；一次函数中的动态几何问题；求正切值
【解析】【分析】（1）令y=0，求得点A的坐标，联立两个解析式，求出交点M的坐标，再利用两点之间的距离公式即可求解；
（2）设D（5a，0），先确定C的坐标，再根据中点坐标公式表示出点P点的坐标，根据点P在直线OM上，建立方程，求解即可；
（3）过点C作CK⊥x轴于点K，分三种情况：当CD∥OM时，当CE∥OM时，当DE∥OM时，根据平行线分线段成比例，正切的定义式求解即可。
16．【答案】（1）解：∵ y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，
∴x+3=0，y=1，
即当x=-3时，y=1，
∴定点A的坐标为（-3，1）.
（2）解：如图，设直线l与CD交于E点，
∵BD=4-1=3，BC=4，AC=-3-(-4)=1，
∴CD==5，
∴△BCD的周长=3+4+5=12，
∴CE=12×-1=，
∴E为CD的中点，
∴E（，），即（-2，），
∵点E在直线l上，
∴=k(-2+3)+1，
解得k=1.5；
如图，设直线l与BD交于F点，
∵AB=3，
当AB+BF=×12=时，
∴BF=-AB=，
∴F（0，），
设直线AF的解析式为y=kx+，
∴1=-3k+，
∴k=，
综上，k的值为或1.5.
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)直线经过定点，则知该定点与k值无关，先把含k项合并，令x+3=0，即可解答；
(2)分两种情况讨论，即设直线l与CD交于E点，设直线l与BD交于F点，根据直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求出有关线段的长，求出分点的坐标，然后利用待定系数求l的解析式，即可得出结果.
17．【答案】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，如图：
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=∠NAC+∠MAB=90°，
∴∠NCA=∠MAB，
∵CA= AB，
∴Rt△NCA Rt△MAB，
∴NC= MA，NA= MB，
∵点B的横坐标为 ，
∴点B的坐标为（9， ），
∴NC= MA= MO- OA=9-4=5，NA= MB= ，ON= OA - NA= ，
∴点C的坐标为（ ， ），
设直线BC的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，如图：
同理可证Rt△FAB Rt△EBD，
∴AF= BE，FB= DE，
∵点B的横坐标为 ，
∴AF= BE= ，FB= DE= ，
∴点D的坐标为（ ， ），即D（ ， ），
∴ ；
（3）①当∠ABP=90°时，
由（2）可知D与P重合，
∴点P的坐标为（ ， ），
由题意得，点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
②当∠BAP=90°时，如图：
同理可证明Rt△HAP Rt△GPA，
∵点B的坐标为（ ， ），
∴PH=AG= ，AH=BG= ，
∴点P的坐标为（ ， ），即（ ， ），
点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
综上，m的值为 或 .
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，易证Rt△NCA Rt△MAB，可求得点C的坐标为（ ， ），再利用待定系数法即可求解；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，易证Rt△FAB Rt△EBD，可求得点D的坐标为（ ， ），再利用三角形面积公式即可求解；
（3）题中只给定了AB为直角边，所以分①∠ABP=90°、②∠BAP=90°两种情况讨论，即可求解.
18．【答案】（1）解： 点 、 在直线 上，
，
解得： ， ；
（2）解：存在两种情况： 如图1，当P在x轴的正半轴上时，点 恰好落在直线AB上，则 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由折叠得： ， ， ≌ ， ∴ ， ∴ ， Rt△ 中， ， ；
如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得： ， ， ， ， ；
（3）解：分4种情况： 当 时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为 ； 当 时，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ； 当 时，如图4，此时Q与C重合， ， ， 中， ， ， ， ， ， ；
当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
此时 ；
综上，点P的坐标是 或 或 或 ．
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 用待定系数法直接求出； 分P在x轴的正半轴和负半轴： 当P在x轴的正半轴时，求 ，根据三角形面积公式可得结论； 当P在x轴的负半轴时，同理可得结论； 分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论： 当 时，如图2，P与O重合， 当 时，如图3， 当 时，如图4，此时Q与C重合 当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P的坐标．
19．【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，3）
∴有 ，解得： ．
故直线AB的函数表达式为y= x+3．
（2）（﹣9，0）、（﹣8，0）或（1，0）
（3）解：过P′作PD⊥x轴于点D，如图所示．
∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），
∴直线AB的斜率为 = ，
即直线AB的解析式为y= x+b．
∵点P在直线AB上，
∴点P的坐标为（a， a+b），则点P′的坐标为（﹣a， a+b），点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（﹣a，0），
∴P′D= a+b，AC=a+4，AD=4﹣a．
∵点P为第一象限的点，
∴a＞0．
∵△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形，
∴有 ，即 ，
解得：
（4）
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）①设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，3）
∴有 ，解得： ．
故直线AB的函数表达式为y= x+3．
②∵点P是直线AB上的一个动点，点Q为x轴上一点（点O除外），
∴设点Q的坐标为（m，0），∠PAQ=∠BAO，
∴AQ=|m+4|．
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB= =5．
△APQ与△AOB全等有两种情况：
当AQ=AO时，即|m+4|=4，
解得：m=0（舍去），或m=﹣8，
此时点Q的坐标为（﹣8，0）；
当AQ=AB时，即|m+4|=5，
解得：m=﹣9，或m=1，
此时点Q的坐标为（﹣9，0）或（1，0）．
综上所述：点Q的所有坐标为（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．
故答案为：（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．（4）由（3）可知：点P的坐标为（a， a+b），则点P′的坐标为（﹣a， a+b），直线AB的解析式为y= x+b．
则OP′的中点坐标为（﹣ ， ），直线OP′的斜率为 =﹣ ﹣ ．
∵线段OP′恰好被直线AB垂直平分，
∴有 ，
解得： ，或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】（1）①由待定系数法可求出一次函数解析式；（2）②设出Q点坐标（m，0），由全等可得出关于m的一次方程，解方程即可得出结论；（3）根据点斜式写出直线AB的解析式，由此可得出P点、C点和P′点的坐标，由等腰直角三角形的性质可得出各边的关系，由此得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（4）结合（3）直线的解析式和P、P′点的坐标，由线段OP′恰好被直线AB垂直平分可得知OP′的斜率与AB斜率互为负倒数，且OP′的中点在直线AB上，由此可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．
1 / 1一次函数之几何动态问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·海曙期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：把C(1，2)代入y=x+b得1+b=2，解得b=1，
把B(3，1)代入y=x+b得3+b=1，解得b=-2，
∴当直线y=x+6与△ABC有交点时，b的取值范围是-2≤b≤1.
故答案选：B.
【分析】将三角形顶点坐标代入直线方程求解b的值，从而确定b的取值范围.
2． 如图，边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S(阴影部分)，那么S与t的大致图象应为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】设小正方形的运动速度为v，由于v分三个阶段
（1）小正方形向右未完全穿入大正方形
S=2x2-vtx1=4-vt(vt1)；
(2)小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形
S=2x2-1=3；
（3）小正方形穿出大正方形
S=2x2-(1x1-vt)=3+vt(vt1)。
A：符合；B、C、D不符合
故答案为：A
【分析】设小正方形的运动速度为v，分三个阶段（1）小正方形向右未完全穿入大正方形
S=2x2-vtx1=4-vt(vt1)；(2)小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形S=2x2-1=3；
（3）小正方形穿出大正方形S=2x2-(1x1-vt)=3+vt(vt1)，逐项分析可得答案。
3．（2021八上·北仑期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点.若 是 轴上的动点，则 的最小值（　　）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵一次函数 分别交 轴、 轴于 、 两点，
∴ ， ，
，
，
∵在 中， ，
，
作直线 关于 轴的对称直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
，
∴在 中， ，
，
又∵在 中， ，
，
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用一次函数解析式，由x=0求出对应y的值，可得到点B的坐标，由y=0求出对应x的值，可得到点A的坐标；再利用勾股定理求出AB的长，由此可求出∠BAO的度数；作直线AB关于x轴的对称直线 AP，过点C作 CD⊥AP于点D，过点B作 BE⊥AP于点E，利用直角三角形的性质及勾股定理求出AE，BE的长；然后根据AC=2CD及BC+CD≥BE，可求出2BC+AC的最小值.
4．（2020八上·北仑期末）如图，直线AB：y=-3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C(-1，0)，D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，
当y=0时，-3x+9=0
解之：x=3
∴点B（3，0）
∴OC=|-1|=1，OB=3，BC=|-1-3|=4
∵把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，
∴BF=OD，BD=BE，EF=BO=3
设BF=OD=m，则CF=4-m
在Rt△CEF中，
CE2=CF2+EF2=（4-m）2+32=（m-4）2+9
∵a=1＞0
∴抛物线的开口向上，
∴当m=4时，CE2有最小值，
∴CE=3
∴CE⊥x轴于点C，此时BF=OD=4，
∴
故答案为：B.
【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，利用函数解析式求出点B的坐标，由此可求出OC，OB，BC的长，再利用旋转的性质可知BF=OD，BD=BE，EF=BO=3，设BF=m，用含m的代数式表示出CF的长，再利用勾股定理可得到CE2与m的函数解析式，利用二次函数的性质，可知当m=4时，CE的最小值为3，从而可得到CE⊥x轴于点C，此时BF=OD=4，然后利用勾股定理求出CD的长。
5．（2020八上·宁波期末）如图，点 的坐标为（3，4）， 轴于点 ， 是线段 上一点，且 ，点 从原点 出发，沿 轴正方向运动， 与直线 交于 ，则 的面积（　　）
A．逐渐变大 B．先变大后变小
C．逐渐变小 D．始终不变
【答案】D
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点C的坐标为(3，4)，CA⊥y轴于点A，
∴OA=4，AC=3，
∵OD=3AD，
∴AD=1，OD=3，
∵CB与直线 交于点E，
∴设E ，
设直线BC的解析式为：
将C(3，4)与E 代入得：
，解得
∴直线BC解析式为：
令y=0，则
解得
∴
S△CDE=S梯形AOBC-S△ACD-S△DOE-S△OBE
=
=
所以△CDE的面积始终不变，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件得到OA=4，AC=3，求得AD=1，OD=3，设E ，即可求得BC直线解析式为 ，进而得到B点坐标，再根据梯形和三角形的面积公式进行计算即可得到结论.
6．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H，
，
，
线段绕点O顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，，
当点B在第二象限时，设点B的坐标为（），
则，，
，，
，
令，
消去m，得，
点C在直线上，
令，则，
所以直线与y轴的交点为，
令，则，
解得，
所以直线与x轴的交点为，
，
，
，
分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，，
则，，，，，
，
，，
，
，
的周长，
当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
所以点C的坐标为．
故选：D．
【分析】
由旋转知，BO＝CO、，则可分别过点B、C作x轴的垂线段BG、CH，则由一线三垂直全等模型可证明，则有BG＝OH、GO＝HC，再由直线上点的坐标特征可设点B的坐标为，则，即点C在直线上，再分别作点A关于y轴和直线的对称点和，则由轴对称的性质可得当点C，D都在线段上时的周长最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，即联立直线与直线的解析式并解方程即可．
二、填空题
7． 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为t(s)，△PAB的面积为y(cm2)，若y关于t的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为　 　.
【答案】48cm2
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】 动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，
当点P在B、C之间时， △PAB的面积随时间t的增大而增大，
由图2可知，当x=3时，点P到达点C处，
BC=3x2=6cm
当点P运动到C、D之间时， △PAB的面积不变，
由图2可知，点P从点C运动到点D所用的时间为7-3=4s
CD=2x4=8cm
长方形ABCD的面积为 8x6=48cm2
故答案为：48cm2
【分析】根据△PAB的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，进而求出长方形ABCD的面积 。
8．（2020八上·江北月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2)，点B是x轴上的一个动点，始终保持△ABC是等边三角形(点A，B，C按逆时针排列)，当点B运动到原点O处时，则点C的坐标是　 　.随着点B在x轴上移动，点C也随之移动，则点C移动所得图象的表达式是　 　.
【答案】( ，1)；y＝ x－2
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：y轴右侧作等边三角形AOD，过点D作DF⊥x轴于点F，
∴OA=OD＝2，
∴DF＝OD=1．
在Rt△ODF中，
.
∴点D的坐标为；
∵△AOD与△ABC都是等边三角形，
∴AO＝AD，AB＝AC，∠BAC＝∠OAD＝60°，
∴∠BAC ∠OAC＝∠OAD ∠OAC，
∴∠BAO＝∠CAD，
在△AOB与△ADC中，
∴△AOB≌△ADC（SAS）．
∴∠BOA＝∠CDA＝90°，
∴点C在过点D且与AC垂直的直线上，
∵点A的坐标是（0，2），△ABC是等边三角形，
∴点C移动到y轴上的坐标是（0， 2），
设点C所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
把点（3，1）和（0， 2）代入
解之：
∴点C移动所得图象的解析式是为：y＝3x 2．
故答案为：（3，1），y＝3x 2．
【分析】 y轴右侧作等边三角形AOD，过点D作DF⊥x轴于点F，可以求出DF的长，利用勾股定理求出DF的长，即可得到点D的坐标；再利用等边三角形的性质可证得OA=AD，∠BAO=∠CAD，利用SAS可证得△AOB≌△ADC，利用全等三角形的对应角相等可得到∠BOA＝∠CDA＝90°，由题意可得到点C在过点D且与AC垂直的直线上，利用待定系数法求出点C移动所得图象的解析式。
9．如图(1)，在正方形ABCD 的边 BC上有一点 E，连结AE.点P 从正方形的顶点 A 出发，沿A→D→C 的方向以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 C.图(2)是点 P 运动时，△APE 的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象，当x=7时，y的值为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：设正方形ABCD 的边长为 a.由题图可知，当点 P 运动到点 D 时， 解得a=4.由函数图象可知，当点P 运动到点 C 时， 6，解得EP=3，即EC=3，所以BE=1，所以当x=7时的情形如图所示，此时PC=8-7=1，PD=7-4=3，所以y=S正方形ABCD -
故答案为：
【分析】当点P在点D时，设正方形的边长为a， 解得a=4；；当点P在点C时， 解得EP=3， 即EC=3，BE=1； 当x=7时， y= 即可求解.
10．（2021八上·萧山月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线1垂直平分 交 于点 ，交 轴于点 ，点 是直线1上且在第一象限一动点．若 是等腰三角形，点 的坐标是　 　．
【答案】（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵y＝﹣x+b交y轴于点A（0，2），
∴b＝2．
∴y＝﹣x+2；
当y＝0，则-x+2=0
解之：x＝2，
∴B（2，0）．
∴OB＝2；
直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，
∴E（1，0），点P的横坐标为1．
∴OE＝1．
当AO＝AP时，如图，
过点P1作P1C⊥OA交y轴于点C，则P1C＝OE＝1，
A（0，2），
∴OA＝2．
∴AO=AP1＝AP2＝2．
∴，
∴OC＝OA+OC＝；
∴OD=AO-AD=
∴P1（1，）．
同理，P2（1，）．
当PA＝PO时，如图，
点P在AO的垂直平分线上，
∴点P的纵坐标为1，
∴P（1，1）．
当OA＝OP时，则OP＝2，如图，
，
∴P（1，）．
综上，若△AOP是等腰三角形，点P的坐标是（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）.
故答案为：（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）.
【分析】将点A的坐标代入函数解析式，可得到b的值，即可得到函数解析式；利用函数解析式可得到点B的坐标，可得到OB的长，直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E， 结合已知可得到点E的坐标及点P的横坐标，同时可求出OE的长；利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AO＝AP时，过点P1作P1C⊥OA交y轴于点C，则P1C＝OE＝1，利用点A的坐标可求出OA的长，利用勾股定理求出AC，AD的长，根据OC＝OA+OC，OD=AO-AD，代入计算求出OD的长，可得到点P1，P2的坐标；当PA＝PO时， 当PA＝PO时，利用点P在AO的垂直平分线上，可得到点P的纵坐标，可得到点P的坐标；当OA＝OP时，则OP＝2，利用勾股定理求出PE的长，可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
11．（2020八上·奉化期末）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y=2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是　 　。
【答案】
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=2x+4=4，
∴点A的坐标为（0，4）.
当y=0时，2x+4=0，x=-2，
∴点C的坐标为（-2，0）.
∴OA=4，OC=2，
∴，
如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD.
在△AOC和△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS）
∴CD=AO=4，DB=OC=2，
OD=OC+CD=6，
∴点B的坐标为（-6，2）.
如上图所示，取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，，
∴，
∵BC⊥AC，，
∴，
若点O，E，B不在同一条直线上时，则OB若点O，E，B在同一条直线上时，则OB=OE+BE=.
∴当点O，E，B在同一条直线上时，OB取得最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】分别令x=0，y=0求得A、C坐标，根据勾股定理可得AC的长. 根据全等三角形的判定与性质，可得CD、BD的长. 再取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边的关系，求得点B与原点O的最大距离. 本题正确作出辅助线是解题的关键，注意掌握数形结合思想的运用.
12．（2018八上·北仑期末）直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，在直线 上存在一点 ，能使得 ，则满足条件的点 的坐标为　 　．
【答案】 ，
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】∵直线y=x+3分别交x轴、y轴于A.B两点，直线 分别交x轴、y轴于C. D两点，
∴A( 3，0)，B(0，3)，C(4，0)，D(0， 2)，
∴OA=OB=3，OC=4，OD=2，①当P在x轴的下方时，如图1，设P(a，a+3)，作PE⊥x轴于E，
∵S△PAD=S梯形ODPE S△PAE S△AOD
S△PCD=S梯形ODPE+S△ODC S△PCE
∴ 解得a= 5，
∴P( 5， 2)；
②当P在x轴的上方时，如图2，设P(a，a+3)，作PE⊥y轴于E，
S△PAD=S△PED+S△ABD S△PEB
，
S△PCD=S梯形OCPE+S△ODC S△PDE
∴ 解得a= ，
∴
综上，在直线AB上存在一点P，使得 ，
此时P的坐标为 ，
【分析】分两种情况分别讨论：①当P在x轴的下方时，设P（a，a+3），根据S△PAD=S梯形ODPE-S△PAE-S△AOD=S△PCD=S梯形ODPE+S△ODC-S△PCE，列出关于a的方程，解方程即可；②当P在x轴的上方时，设P（a，a+3），根据S△PAD=S△PED+S△ABD-S△PEB=S△PCD=S梯形OCPE+S△ODC-S△PDE列出关于a的方程，解方程即可．
三、解答题
13．（2024八上·新昌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标及的面积．
（2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：
解得．
∴．
把代入得．
∴．
∴
（2）解：存在．
如图1：设，则．
∴．
∵轴交y轴于点H，
∴．
∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：或
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图2：
∵，当．
．
∴．
过点B作与AM的延长线交于点N．
∴是等腰直角三角形．
∴．
过点N作NF⊥x轴于点F．过点A作AG⊥x轴于点G．
易证．
∴，．
∵，．
∴，．
∴．
∴．
设NA的直线解析式为，
把，的坐标分别代入
得，
解得：
∴
令，得．
∴．
如图3：点E坐标为（0，3）由对称性可知．
综上所述：或．
【分析】（1）联立函数表达式得到关于x和y的二元一次方程组，求解即得A点坐标；把y=0代入y=2x-3，即得点B坐标，即可求△AOB面积；
（2）设出P点坐标，根据题意可得点D和点H的坐标，于是可得PH和PD，根据是以P为直角顶点的等腰直角三角形 ，令PH=PD，即可求出点H坐标；
（3）根据 和∠EAO=45°，得到∠MAB=45°，于是以B为直角顶点，以AB为腰构造等腰直角三角形ABN，再作NF⊥x轴，AG⊥x轴，构造一线三直角模型，根据A，B两点的坐标即可得到G，F，N点坐标。再求直线AN的函数表达式，令x=0，即可得M点坐标，根据对称性，可得到另一个坐标.
14．（2024八上·武义期末）已知直线的函数表达式为为常数，点，点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连结，将沿直线翻折，得，点，，的对应点分别为点，，．
（1）求点的坐标．
（2）当点在轴上时，求的值．
（3）当与轴有交点时，求的取值范围．
【答案】（1）解：过作，过作，
绕点顺时针旋转得线段，
，，
，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，，
；
（2）解：点在轴上，
设点，
沿直线翻折，得，
点在上，且，
，
解得：，
当时，，
，
解得：；
（3）解：与轴有交点，
，
当点在轴上时，设点，
沿直线翻折，得，
点在上，且，
，
解得：，
，
解得：，
当点在轴上时，设点，
沿直线翻折，得，
点在上，且，
，
解得：，
，
解得：，
．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）题利用旋转和边角关系，证明出≌，即可得出C点的坐标；（2）题利用翻折特点和勾股定理，即可求出b的值；（3）题需要分当点在轴上和当点在轴上两种情况，利用翻折和勾股定理求出对应b的值，中间的部分就是b的范围。
15．（2023八上·金华月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+15分别交x轴、y轴于点A，B，交直线y＝x于点M．动点D以每秒a个单位的速度从点O沿OA的方向运动，设运动时间为t秒，C点在线段AB上，且C坐标为（）．
（1）求点A的坐标和AM的长．
（2）当t＝5时，线段CD交OM于点P，且PC＝PD，求a的值．
（3）利用（2）的结论，以C为直角顶点作等腰直角△CDE（点C，D，E按逆时针顺序排列）．当OM与△CDE的一边平行时，求所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：令y=0，则，
解得：，
解得：，
，
（2）解：当t=5时，点D为(5a，0）
，
∴PC=PD，此时P为CD的中点，
，
点P在OM上，
，
解得：；

（3）解：过点C作CK⊥x轴于点K，
，
，
∵OM在直线y=x上，
；
当时，
，
当时，，
，
当时，，
，
C点在不在线段上，
（舍去），
当时，过点E作轴于点H，过点C作CG∥x轴轴交HE的延长线于点G，
，
，
综上可得：，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；一次函数中的动态几何问题；求正切值
【解析】【分析】（1）令y=0，求得点A的坐标，联立两个解析式，求出交点M的坐标，再利用两点之间的距离公式即可求解；
（2）设D（5a，0），先确定C的坐标，再根据中点坐标公式表示出点P点的坐标，根据点P在直线OM上，建立方程，求解即可；
（3）过点C作CK⊥x轴于点K，分三种情况：当CD∥OM时，当CE∥OM时，当DE∥OM时，根据平行线分线段成比例，正切的定义式求解即可。
16．（2021八上·平阳期中）已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A．
（1）可以通过把函数表达式作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，求出定点A的坐标．
（2）如图，已知△BCD各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值．
【答案】（1）解：∵ y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，
∴x+3=0，y=1，
即当x=-3时，y=1，
∴定点A的坐标为（-3，1）.
（2）解：如图，设直线l与CD交于E点，
∵BD=4-1=3，BC=4，AC=-3-(-4)=1，
∴CD==5，
∴△BCD的周长=3+4+5=12，
∴CE=12×-1=，
∴E为CD的中点，
∴E（，），即（-2，），
∵点E在直线l上，
∴=k(-2+3)+1，
解得k=1.5；
如图，设直线l与BD交于F点，
∵AB=3，
当AB+BF=×12=时，
∴BF=-AB=，
∴F（0，），
设直线AF的解析式为y=kx+，
∴1=-3k+，
∴k=，
综上，k的值为或1.5.
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)直线经过定点，则知该定点与k值无关，先把含k项合并，令x+3=0，即可解答；
(2)分两种情况讨论，即设直线l与CD交于E点，设直线l与BD交于F点，根据直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求出有关线段的长，求出分点的坐标，然后利用待定系数求l的解析式，即可得出结果.
17．（2021八上·东阳期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0， ）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）.
（1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式.
（2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）.
（3）在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝ x+ 上时，求m的值.
【答案】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，如图：
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠NCA=∠NAC+∠MAB=90°，
∴∠NCA=∠MAB，
∵CA= AB，
∴Rt△NCA Rt△MAB，
∴NC= MA，NA= MB，
∵点B的横坐标为 ，
∴点B的坐标为（9， ），
∴NC= MA= MO- OA=9-4=5，NA= MB= ，ON= OA - NA= ，
∴点C的坐标为（ ， ），
设直线BC的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，如图：
同理可证Rt△FAB Rt△EBD，
∴AF= BE，FB= DE，
∵点B的横坐标为 ，
∴AF= BE= ，FB= DE= ，
∴点D的坐标为（ ， ），即D（ ， ），
∴ ；
（3）①当∠ABP=90°时，
由（2）可知D与P重合，
∴点P的坐标为（ ， ），
由题意得，点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
②当∠BAP=90°时，如图：
同理可证明Rt△HAP Rt△GPA，
∵点B的坐标为（ ， ），
∴PH=AG= ，AH=BG= ，
∴点P的坐标为（ ， ），即（ ， ），
点P在直线 上，
∴ ，
解得： ；
综上，m的值为 或 .
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）作CN⊥ 轴于N，BM⊥ 轴于M，易证Rt△NCA Rt△MAB，可求得点C的坐标为（ ， ），再利用待定系数法即可求解；
（2）过B作直线EF⊥ 轴于F，过D作DE⊥EF交直线EF于E，易证Rt△FAB Rt△EBD，可求得点D的坐标为（ ， ），再利用三角形面积公式即可求解；
（3）题中只给定了AB为直角边，所以分①∠ABP=90°、②∠BAP=90°两种情况讨论，即可求解.
18．（2018八上·婺城期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点 、 ，点P在x轴上运动，连接PB，将 沿直线BP折叠，点O的对应点记为 ．
（1）求k、b的值；
（2）若点 恰好落在直线AB上，求 的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转 得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得 为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： 点 、 在直线 上，
，
解得： ， ；
（2）解：存在两种情况： 如图1，当P在x轴的正半轴上时，点 恰好落在直线AB上，则 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由折叠得： ， ， ≌ ， ∴ ， ∴ ， Rt△ 中， ， ；
如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得： ， ， ， ， ；
（3）解：分4种情况： 当 时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为 ； 当 时，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ； 当 时，如图4，此时Q与C重合， ， ， 中， ， ， ， ， ， ；
当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
此时 ；
综上，点P的坐标是 或 或 或 ．
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 用待定系数法直接求出； 分P在x轴的正半轴和负半轴： 当P在x轴的正半轴时，求 ，根据三角形面积公式可得结论； 当P在x轴的负半轴时，同理可得结论； 分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论： 当 时，如图2，P与O重合， 当 时，如图3， 当 时，如图4，此时Q与C重合 当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P的坐标．
19．（2016八上·平阳期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），点P是直线AB上的一个动点，记点P关于y轴对称的点为P′．
（1）当b=3时（如图1），
①求直线AB的函数表达式．
（2）②在x轴上找一点Q（点O除外），使△APQ与△AOB全等，直接写出点Q的所有坐标　 　
（3）若点P在第一象限（如图2），设点P的横坐标为a，作PC⊥x轴于点C，连结AP′，CP′．当△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形时，求出a，b的值．
（4）当线段OP′恰好被直线AB垂直平分时（如图3），直接写出b=　 　．
【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，3）
∴有 ，解得： ．
故直线AB的函数表达式为y= x+3．
（2）（﹣9，0）、（﹣8，0）或（1，0）
（3）解：过P′作PD⊥x轴于点D，如图所示．
∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），
∴直线AB的斜率为 = ，
即直线AB的解析式为y= x+b．
∵点P在直线AB上，
∴点P的坐标为（a， a+b），则点P′的坐标为（﹣a， a+b），点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（﹣a，0），
∴P′D= a+b，AC=a+4，AD=4﹣a．
∵点P为第一象限的点，
∴a＞0．
∵△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形，
∴有 ，即 ，
解得：
（4）
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）①设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，3）
∴有 ，解得： ．
故直线AB的函数表达式为y= x+3．
②∵点P是直线AB上的一个动点，点Q为x轴上一点（点O除外），
∴设点Q的坐标为（m，0），∠PAQ=∠BAO，
∴AQ=|m+4|．
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB= =5．
△APQ与△AOB全等有两种情况：
当AQ=AO时，即|m+4|=4，
解得：m=0（舍去），或m=﹣8，
此时点Q的坐标为（﹣8，0）；
当AQ=AB时，即|m+4|=5，
解得：m=﹣9，或m=1，
此时点Q的坐标为（﹣9，0）或（1，0）．
综上所述：点Q的所有坐标为（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．
故答案为：（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．（4）由（3）可知：点P的坐标为（a， a+b），则点P′的坐标为（﹣a， a+b），直线AB的解析式为y= x+b．
则OP′的中点坐标为（﹣ ， ），直线OP′的斜率为 =﹣ ﹣ ．
∵线段OP′恰好被直线AB垂直平分，
∴有 ，
解得： ，或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】（1）①由待定系数法可求出一次函数解析式；（2）②设出Q点坐标（m，0），由全等可得出关于m的一次方程，解方程即可得出结论；（3）根据点斜式写出直线AB的解析式，由此可得出P点、C点和P′点的坐标，由等腰直角三角形的性质可得出各边的关系，由此得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（4）结合（3）直线的解析式和P、P′点的坐标，由线段OP′恰好被直线AB垂直平分可得知OP′的斜率与AB斜率互为负倒数，且OP′的中点在直线AB上，由此可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．
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