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一次函数之动点问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4.动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是(　　).
A． B．
C． D．
2．（2024八上·衢江期末）如图，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为，下列图象中能表示的面积关于的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·舟山期末）如图，正方形的边长为4，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反应与的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022八上·嵊州期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BCx轴，直线y＝x-3沿x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m.图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．12
5．（2022八上·东阳期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC-CB运动，到达点B停止.设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（　　）
A．6+2 B．4+2 C．12+4 D．6+4
6．（2021八上·衢州期末）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2019八上·温州期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD.动点P从点B出发沿折线B→A→D→C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（　　）
A．10 B． C．8 D．
8．（2024八上·衢州期末）如图1，在中，，点P以的速度从点A出发，到达C点后再以的速度到达B点停止，点P的高度记为，点P的运动时间记为，y关于x的函数图象如图2所示，经过时间m秒P在上，经过时间n秒时P在上，若这两个时刻点P的高度恰好一样，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题
9．（2025八上·西湖期末）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为　 　，周长为　 　．
10．（2022八上·安吉期末）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长y，且y与x的函数关系如图②所示，则四边形ABCD的周长是　 　.
11．（5.2课时3 函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）如图(1)，点 P 从△ABC的顶点 B 出发，沿 B→C→A 的方向匀速运动到点A，图(2)是点 P 运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点.根据图象回答下列问题：
（1）BC=　 　；
（2）△ABC 的面积为　 　.
12．（2018八上·西湖期末）如图，点A的坐标为（4，0），点B从原点出发，沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连结EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，经过t秒时，点E的坐标是　 　（用含t的代数式表示），PB的长是　 　．
三、解答题
13．（2022八上·金东期末）如图1，已知四边形OABC的顶点O在坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，轴，动点P从点O出发，以每秒1单位的速度，沿运动一周，顺次连结P，O，C三点所围成图形的面积为S，点P的运动时间为t秒，S与t之间的函数关系如图2中折线 ODEFG所示已知，点D，点F横坐标分别为8和22.
（1）求a和b的值.
（2）求直线EF的函数解析式.
（3）当P在BC上时，用t表示P点的纵坐标.
14．（2025八上·余姚期末）过等腰Rt 的直角顶点 作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，研究图形，不难发现 ： ．
（1）如图 2，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，求 点坐标；
（2）如图 3，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，将直线 绕点 颁时针旋转 得到 ，求 的函数表达式；
（3）如图 4，直线 分别交 轴， 轴于点 ，直线 过点 交 轴于点 ，且 。若点 是直线 上且位于第三象限图象上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，当以点 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点 和点 的坐标．
15．（2024八上·金华期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象．
（1）根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值；
（2）设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式；
（3）当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形．
16．（2020八上·余姚期末）如图，在 中， 是 的中点， 是边 上一动点，连结 ，取 的中点 ，连结 .小梦根据学习函数的经验，对 的面积与 的长度之间的关系进行了探究：
（1）设 的长度为 ， 的面积 ，通过取 边上的不同位置的点 ，经分析和计算，得到了 与 的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
根据上表可知， 　 　， 　 　.
（2）在平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3）在（1）的条件下，令 的面积为 .
①用 的代数式表示 .
②结合函数图象.解决问题：当 时， 的取值范围为　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当0≤x≤4时，P点从B点运动到C点，则y=×3×4=6；
当4＜x≤7时，P点从C点运动到D点，则y=DP·AD=×4（7-x）=14-2x；
故答案为：D.
【分析】分两段分别计算出0≤x≤4和4＜x≤7时y关于x的函数，即可求得图象.
2．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P由A运动到B点时，即，
，
当点P由B运动到C点时，即，
，
符合题意的函数关系的图象是
，
故答案为：A．
【分析】分为当点P由A运动到B点时，即和当点P由B运动到C点时，即，利用三角形的面积公式列函数关系式，然后根据图象逐一判断即可．
3．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P由点A向点B运动，即0≤x≤4时，y的值为0；
当点P在BC上运动，即4当点P在CD上运动，即8当点P在DA上运动，即12据此可知函数图象应该分为4段，故只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据动点从点A出发，首先向点B运动，此时y的值为0，当点在BC上运动时，y随着x的增大而增大，当点在CD上运动时，y值不变，当点P在DA上运动时，y随着x的增大而减小，据此逐项分析即可求解.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图1所示，过点B、D分别作yx-3的平行线，交CD、AB于点E、F.
由图象和题意可得AD＝7-5＝2，BE＝DF，
则AF1，
直线在AB上移动的距离与在AD上移动的距离比为AF：AD=1：2，即直线与长方形的边的交点在垂直方向的移动的距离等于水平方向移动的距离，
∴BF＝（11-7）2，
∴AB＝AF+BF＝1+2＝3，
∴矩形ABCD的面积为AB AD＝3×2＝6.
故答案为：B.
【分析】由函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长AD的长，进而根据勾股定理算出AF的长，从而可得直线在AB上移动的距离与在AD上移动的距离比为AF：AD=1：2，即直线与长方形的边的交点在垂直方向的移动的距离等于水平方向移动的距离，据此可得BF的长，从而根据AF+BF=AB，求出AB的长，最后根据矩形面积计算方法求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设BC=x，在Rt△ABC中，有∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=2x，
∴利用勾股定理可得：，
由图②可知△ADP的最大面积为，
∵D点AB中点，
∴AD=BD，
由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，
此时根据AD=BD，可得，
即有，
又∵在Rt△ABC中，，
即有，
解得x=2（负值舍去），即BC=2，AB=4，，
则△ABC的周长为：，
故答案为：A.
【分析】设BC=x，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=2x，利用勾股定理可得AC，由图②可知△ADP的最大面积为，由中点的概念可得AD=BD，由图①易知：当P点行至C点时，△ADP的面积最大，此时有S△ABC=2S△ADP，结合三角形的面积公式可得x，据此可得BC、AB、AC，进而可得△ABC的周长.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s＝ ，
当2＜x≤3，s＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是直线一部分，最后为水平直线的一部分.
故答案为：C.
【分析】由题意知：当0＜x≤2，s＝x；当2＜x≤3，s＝1，据此判断.
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当t=5时，点P到达A处，根据图象可知AB=5，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，
∴DE=CE= CD，
当s=40时，点P到达点D处，
则S= CD BC= （2AB） BC=5×BC=40，
∴BC=8，
∴AD=AC= 。
故答案为：B。
【分析】根据图象提供的信息解决问题，由于在P运动的过程中，三角形BCP的底边始终没有变化，点P在AB上运动的时候，高逐渐增大，到达点A的时候达到BP=BA，点P在AD上运动的时候高继续增大，到达D点的时候达到最大等于DC，在DC上运动的时候，逐渐减小，达到C点的时候达到最小0；从而得出当t=5时，点P到达A处，根据图象可知AB=5，过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，根据等腰三角形的三线合一得出DE=CE= CD，当s=40时，点P到达点D处，从而根据三角形的面积计算公式列出方程，求解算出BC的长，最后根据勾股定理即可算出AD的长。
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；动点问题的函数图象；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵点P以的速度从点A出发，到达C点，且运动时间为2秒，
∴
作交AB与点M，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∵经过时间m秒P在上，经过时间n秒时P在上，分别到达点，则有：
作
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查动点函数图象问题，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质.根据 点P以的速度从点A出发，到达C点，且运动时间为2秒，可得， 作交AB与点M， 进而可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得：，再利用勾股定理可求出， 作 进而可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得：，进而可推出利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可列出方程，再进行化简可求出答案.
9．【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】由题意得，当x=7时，△ACP面积最大，此时
AP=AB=7×1=7(cm)；当x=11时，△ACP面积为0，此时可得BC=4×1=4(cm).
又∵∠ACB=90°，
∴(cm)
∴△ABC的面积为：(cm2)，周长为(cm)，
故答案为：；.
【分析】依据题意，由x=7时和x=11，分别求出AB、BC，再由∠ACB=90°，可得，进而可以计算得解．
10．【答案】12+2
【知识点】等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过A、C、D分别作直线l的平行线，延长BC交直线c于点F，设直线a交BC于点M，直线b交AD于点N，
①当直线l在直线a的位置时，AM＝EF＝2，BM＝4，
∵∠BAM=90°，
∴sinB＝＝，
∴∠B＝30°，∠BMA＝∠DFC=60°；
∴AB＝BM·osc30°＝2，
②直线l经过a后平移到直线b处时，MC＝AN＝6-4＝2，即BC＝MB+MC＝4+2＝6，
③当直线l到达直线c的位置时，CF＝ND＝8-6＝2，则AD＝AN+ND＝2+2＝4，
∵∠DCF＝60°，CF＝DF＝EF＝2，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD＝2，
四边形ABCD的周长＝AB+AD+BC+CD＝2+4+6+2＝12+2，
故答案为：12+2.
【分析】过A、C、D分别作直线l的平行线，延长BC交直线c于点F，设直线a交BC于点M，直线b交AD于点N，①当直线l在直线a的位置时，AM＝EF＝2，BM＝4，求出sin∠B的值，得到∠B＝30°，∠BMA＝∠DFC=60°，然后根据三角函数的概念可得AB；②直线l经过a后平移到直线b处时，MC＝AN＝2，然后根据BC＝MB+MC进行计算；③当直线l到达直线c的位置时，CF＝ND＝2，则AD＝AN+ND＝4，进而推出△CDF为等边三角形，得到CD＝2，据此不难求出四边形ABCD的周长.
11．【答案】（1）30
（2）336
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：(1)根据图象可得，点 P 从B→C时，BP 的长度y随时间x的增加而增大，从C→A 时，y随x的增加先减小后增大，所以BC=30，
故答案为：30.
(2)由图象可得点 P 从 C→A 时，当BP⊥AC时，BP 的长度最小，最小为24，当点 P 与点A重合时，BP=AB=26.当 BP⊥AC时，如图所示.
在 Rt△BCP中， 在 Rt △ABP 中， AP = 所以AC=CP+AP=18+10=28，所以 28×24=336.
故答案为：336.
【分析】(1)根据动点运动规律和函数图象的性质即可求解；
(2)根据函数图象的性质可得AB， BC， BP的值，根据勾股定理可得AC的值，根据几何图形的面积计算方法即可求解.
12．【答案】（t，﹣4﹣t）；2
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】如图，作EG⊥y轴于G，
∵∠AOB=∠ABE=∠BGE=90°，
∴∠GBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠GBE=∠BAO，
在△ABO和△BEG中，
∵ ，
∴△ABO≌△BEG(AAS)，
∴EG=OB=t，BG=AO=4，
∴OG=OB+BG=4+t，
则E点的坐标是（t，﹣4﹣t）.
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴BF=OB，
∴BF=GE，
在△FBP和△EGP中，
∵ ，
∴△FBP≌△EGP(AAS)，
∵BG=AO=4，
∴BP=GP= BG= ×4=2.
故答案为（t，﹣4﹣t）；2.
【分析】先通过角角边证得△ABO≌△BEG，从而可得GE=OB，GB=OA，从而结合点E所在第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数即可求得点E的坐标；通过角角边证得△FBP≌△EGP，从而可得BG=AO=4，BP=GP=，又点P在y轴，从而可求得点P的坐标.
13．【答案】（1）解：如图，过点B作 轴于点M，
综合图 、图可知，OD段点P在线段OA上运动时，S与t之间的函数关系；DE段是点P在线段AB上运动时，S与t之间的函数关系；EF段是点P在线段BC上运动时，S与t之间的函数关系；
，动点P以每秒1单位的速度运动，
，
；
又OD段对应的时间是8s，EF段对应的时间为22s-12s=10s
，.
在中， 轴，，
，
，
；
；
，.
（2）解：设直线EF的函数解析式为，
，，
E(12，40)；
设直线EF的函数解析式为过E (12，40)，F(22，0)，
解得
直线EF的函数解析式
（3）解：设点P的纵坐标为，如图4，
直线EF的函数解析式，
，
P点的纵坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥x轴于点M，综合图1 、图2可知：OD段点P在线段OA上运动时，S与t之间的函数关系；DE段是点P在线段AB上运动时，S与t之间的函数关系；EF段是点P在线段BC上运动时，S与t之间的函数关系，由题意可得a-8=4，OA=8，BC=10，利用勾股定理可得CM，然后求出OC，据此解答；
（2）设直线EF的函数解析式为s=kt+b，根据a、b的值可得点E的坐标，将E、F的坐标代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式；
（3）设点P的纵坐标为yP，根据三角形的面积公式可得S△POC=5yP，S△POC=-4t+88，联立可得yP与t的关系式，据此解答.
14．【答案】（1）解：当x=0时， 直线 的y值为y=-1，此时C点坐标为（0，-1）；当y=0时，此时A点的横坐标列式为，解得x=2，因此此时A点的坐标为（2，0）。
∵BC⊥AC，∴BC所在的直线的斜率为-1÷=-2，
因此BC所在的直线为y=-2x-1.
设B点的坐标为（x0，y0），∴y0=-2x0-1，
∵ 将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，∴BC=AC，
，解得x0=±1，
∵B点在第二象限，∴x0=-1，y0=-2x0-1=-2×（-1）-1=1，
因此B点的坐标为（-1，1）。
（2）解：∵ 直线 分别与 轴， 轴交于点 ，∴tan∠ABO=2，且A点坐标为（0，6），
∵ 将直线 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴l2对应的直线斜率为tan(∠ABO-45°），
即tan(∠ABO-45°）=，
∴ 的函数表达式为.
（3）解：直线y=2x+2分别交x轴和y轴于A、C两点，∴A（-1，0），C（0，2），
∵∠CBA=45°，∴OB=OC=2，即B（2，0）。
设M(0，m），Q（n，2n+2），
①如图所示，当∠BMQ=90°，即MQ=MB时，此时M在x轴上方，
分别过Q、B点作y轴的平行线QC、HB，过M点作x轴的平行线分别交GQ、HB于点G、H，
∠GQM+∠GMQ=90°，而∠GMQ+∠HMB=90°，∴∠CQM=∠HMB，而∠G=∠H=90°，MQ=MB，
∴△GQM≌△HMB(AAS)，
∴GQ=HM，HB=GM，即，解得，因此点M（0，），点Q（）；
同理当M在x轴下方，即，解得m=n=0（舍去）
②当∠MQB=90°时，即MQ=QB，如图所示，同理可得，解得，∴M（0，-6），Q（-2，-2）；
③当∠QBM=90°时，即MB=QB，如图所示同理可得，解得，∴M（0，4），Q（-2，-2）；
综上可得，M（0，），Q（）；或M（0，-6），Q（-2，-2）；或M（0，4），Q（-2，-2）。
【知识点】旋转的性质；动点问题的函数图象；坐标系中的两点距离公式；正切的概念
【解析】【分析】（1）题首先求出C点和A点的坐标，然后利用垂直对应的斜率，即可求出BC所在直线的关系式，最后利用两点之间的距离公式列式，和B点的象限性质，即可求出B点的坐标；
（2）题利用选择45°的特点和正切值的计算公式，即可求出l2对应的直线的斜率，然后即可列出表达式；
（3）题首先根据条件用m和n来表示M和Q点的坐标，然后分三种情况列式求出m和n的值即可。
15．【答案】（1），，，；
（2）解：前8秒速度为1cm/s，故；
8秒后速度为，∴，
因此；
（3）解：如图③当时，
中，，
∴，
∴.
同理当时，
中，，
∴，
，
当时，
在的垂直平分线上，
即为的中点，
，
∴，
，
即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒，
此时点P在线段AB上，
∴图①中，，
即，
∴，
∵在上运动时，面积不变，
∴图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系，
∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即，
∴.
在上速度为，，
∴.
当运动到时停止，此时，即对应图②中秒，
在上速度为，，
∴，
故答案为：，，，.
【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值；
（2）分前8秒和后8秒，分别确定与的等量关系并列出关系式即可；
（3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是，分类讨论即可．
（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒，
∴图①中，，
即，
∴，
∵在上运动时，
面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系，
∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即，
∴，
在上速度为，
，
∴，
当运动到时停止，此时，即对应图②中秒，
在上速度为，
，
∴，
即，，，；
（2）解：前8秒速度为，
，8秒后速度为，
∴，
因此；
（3）解：如图③当时，
中，
∴，
∴，
同理当时，
中，，
∴，
，
当时，
在的垂直平分线上，
即为的中点，
，
∴，
，
即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形．
16．【答案】（1）2；1
（2）解：
（3）解：①由题意可得在 ，边 上的高为2. ∴ . ∵F是AE的中点 ∴ . ；
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）设 中DE边上的高为h
当 时， 可知
当 时， ，∴
∴当 时， ，
∴当 时， ，
∴ ，
故答案为：2，1；
（ 3 ）②如图
根据图象可知当 时， 的取值范围为
故答案为：.
【分析】（1）先通过表中的已知数据得出 的高，然后再代入到面积公式中即可得出答案；（2）根据表中的数据描点，连线即可；
（3）①直接利用面积公式及中线的性质即可得出答案；②将两个图象画在同一个直角坐标系中，从图象中即可得出答案.
1 / 1一次函数之动点问题——浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4.动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当0≤x≤4时，P点从B点运动到C点，则y=×3×4=6；
当4＜x≤7时，P点从C点运动到D点，则y=DP·AD=×4（7-x）=14-2x；
故答案为：D.
【分析】分两段分别计算出0≤x≤4和4＜x≤7时y关于x的函数，即可求得图象.
2．（2024八上·衢江期末）如图，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为，下列图象中能表示的面积关于的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P由A运动到B点时，即，
，
当点P由B运动到C点时，即，
，
符合题意的函数关系的图象是
，
故答案为：A．
【分析】分为当点P由A运动到B点时，即和当点P由B运动到C点时，即，利用三角形的面积公式列函数关系式，然后根据图象逐一判断即可．
3．（2024八上·舟山期末）如图，正方形的边长为4，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点为顶点的三角形的面积是，则下列图象能大致反应与的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P由点A向点B运动，即0≤x≤4时，y的值为0；
当点P在BC上运动，即4当点P在CD上运动，即8当点P在DA上运动，即12据此可知函数图象应该分为4段，故只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据动点从点A出发，首先向点B运动，此时y的值为0，当点在BC上运动时，y随着x的增大而增大，当点在CD上运动时，y值不变，当点P在DA上运动时，y随着x的增大而减小，据此逐项分析即可求解.
4．（2022八上·嵊州期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD在第一象限，且BCx轴，直线y＝x-3沿x轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形ABCD截得的线段长为l，直线在x轴上平移的距离为m.图2是l与m之间的函数图象，则长方形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图1所示，过点B、D分别作yx-3的平行线，交CD、AB于点E、F.
由图象和题意可得AD＝7-5＝2，BE＝DF，
则AF1，
直线在AB上移动的距离与在AD上移动的距离比为AF：AD=1：2，即直线与长方形的边的交点在垂直方向的移动的距离等于水平方向移动的距离，
∴BF＝（11-7）2，
∴AB＝AF+BF＝1+2＝3，
∴矩形ABCD的面积为AB AD＝3×2＝6.
故答案为：B.
【分析】由函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长AD的长，进而根据勾股定理算出AF的长，从而可得直线在AB上移动的距离与在AD上移动的距离比为AF：AD=1：2，即直线与长方形的边的交点在垂直方向的移动的距离等于水平方向移动的距离，据此可得BF的长，从而根据AF+BF=AB，求出AB的长，最后根据矩形面积计算方法求出答案.
5．（2022八上·东阳期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC-CB运动，到达点B停止.设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（　　）
A．6+2 B．4+2 C．12+4 D．6+4
【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设BC=x，在Rt△ABC中，有∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=2x，
∴利用勾股定理可得：，
由图②可知△ADP的最大面积为，
∵D点AB中点，
∴AD=BD，
由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，
此时根据AD=BD，可得，
即有，
又∵在Rt△ABC中，，
即有，
解得x=2（负值舍去），即BC=2，AB=4，，
则△ABC的周长为：，
故答案为：A.
【分析】设BC=x，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=2x，利用勾股定理可得AC，由图②可知△ADP的最大面积为，由中点的概念可得AD=BD，由图①易知：当P点行至C点时，△ADP的面积最大，此时有S△ABC=2S△ADP，结合三角形的面积公式可得x，据此可得BC、AB、AC，进而可得△ABC的周长.
6．（2021八上·衢州期末）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s＝ ，
当2＜x≤3，s＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是直线一部分，最后为水平直线的一部分.
故答案为：C.
【分析】由题意知：当0＜x≤2，s＝x；当2＜x≤3，s＝1，据此判断.
7．（2019八上·温州期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD.动点P从点B出发沿折线B→A→D→C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（　　）
A．10 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当t=5时，点P到达A处，根据图象可知AB=5，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，
∴DE=CE= CD，
当s=40时，点P到达点D处，
则S= CD BC= （2AB） BC=5×BC=40，
∴BC=8，
∴AD=AC= 。
故答案为：B。
【分析】根据图象提供的信息解决问题，由于在P运动的过程中，三角形BCP的底边始终没有变化，点P在AB上运动的时候，高逐渐增大，到达点A的时候达到BP=BA，点P在AD上运动的时候高继续增大，到达D点的时候达到最大等于DC，在DC上运动的时候，逐渐减小，达到C点的时候达到最小0；从而得出当t=5时，点P到达A处，根据图象可知AB=5，过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，根据等腰三角形的三线合一得出DE=CE= CD，当s=40时，点P到达点D处，从而根据三角形的面积计算公式列出方程，求解算出BC的长，最后根据勾股定理即可算出AD的长。
8．（2024八上·衢州期末）如图1，在中，，点P以的速度从点A出发，到达C点后再以的速度到达B点停止，点P的高度记为，点P的运动时间记为，y关于x的函数图象如图2所示，经过时间m秒P在上，经过时间n秒时P在上，若这两个时刻点P的高度恰好一样，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；动点问题的函数图象；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵点P以的速度从点A出发，到达C点，且运动时间为2秒，
∴
作交AB与点M，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∵经过时间m秒P在上，经过时间n秒时P在上，分别到达点，则有：
作
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查动点函数图象问题，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质.根据 点P以的速度从点A出发，到达C点，且运动时间为2秒，可得， 作交AB与点M， 进而可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得：，再利用勾股定理可求出， 作 进而可证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得：，进而可推出利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可列出方程，再进行化简可求出答案.
二、填空题
9．（2025八上·西湖期末）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为　 　，周长为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】由题意得，当x=7时，△ACP面积最大，此时
AP=AB=7×1=7(cm)；当x=11时，△ACP面积为0，此时可得BC=4×1=4(cm).
又∵∠ACB=90°，
∴(cm)
∴△ABC的面积为：(cm2)，周长为(cm)，
故答案为：；.
【分析】依据题意，由x=7时和x=11，分别求出AB、BC，再由∠ACB=90°，可得，进而可以计算得解．
10．（2022八上·安吉期末）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长y，且y与x的函数关系如图②所示，则四边形ABCD的周长是　 　.
【答案】12+2
【知识点】等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过A、C、D分别作直线l的平行线，延长BC交直线c于点F，设直线a交BC于点M，直线b交AD于点N，
①当直线l在直线a的位置时，AM＝EF＝2，BM＝4，
∵∠BAM=90°，
∴sinB＝＝，
∴∠B＝30°，∠BMA＝∠DFC=60°；
∴AB＝BM·osc30°＝2，
②直线l经过a后平移到直线b处时，MC＝AN＝6-4＝2，即BC＝MB+MC＝4+2＝6，
③当直线l到达直线c的位置时，CF＝ND＝8-6＝2，则AD＝AN+ND＝2+2＝4，
∵∠DCF＝60°，CF＝DF＝EF＝2，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD＝2，
四边形ABCD的周长＝AB+AD+BC+CD＝2+4+6+2＝12+2，
故答案为：12+2.
【分析】过A、C、D分别作直线l的平行线，延长BC交直线c于点F，设直线a交BC于点M，直线b交AD于点N，①当直线l在直线a的位置时，AM＝EF＝2，BM＝4，求出sin∠B的值，得到∠B＝30°，∠BMA＝∠DFC=60°，然后根据三角函数的概念可得AB；②直线l经过a后平移到直线b处时，MC＝AN＝2，然后根据BC＝MB+MC进行计算；③当直线l到达直线c的位置时，CF＝ND＝2，则AD＝AN+ND＝4，进而推出△CDF为等边三角形，得到CD＝2，据此不难求出四边形ABCD的周长.
11．（5.2课时3 函数的图象—【初中必刷题】浙教版（2025版）数学八年级上册）如图(1)，点 P 从△ABC的顶点 B 出发，沿 B→C→A 的方向匀速运动到点A，图(2)是点 P 运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点.根据图象回答下列问题：
（1）BC=　 　；
（2）△ABC 的面积为　 　.
【答案】（1）30
（2）336
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：(1)根据图象可得，点 P 从B→C时，BP 的长度y随时间x的增加而增大，从C→A 时，y随x的增加先减小后增大，所以BC=30，
故答案为：30.
(2)由图象可得点 P 从 C→A 时，当BP⊥AC时，BP 的长度最小，最小为24，当点 P 与点A重合时，BP=AB=26.当 BP⊥AC时，如图所示.
在 Rt△BCP中， 在 Rt △ABP 中， AP = 所以AC=CP+AP=18+10=28，所以 28×24=336.
故答案为：336.
【分析】(1)根据动点运动规律和函数图象的性质即可求解；
(2)根据函数图象的性质可得AB， BC， BP的值，根据勾股定理可得AC的值，根据几何图形的面积计算方法即可求解.
12．（2018八上·西湖期末）如图，点A的坐标为（4，0），点B从原点出发，沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连结EF交y轴于P点，当点B在y轴上运动时，经过t秒时，点E的坐标是　 　（用含t的代数式表示），PB的长是　 　．
【答案】（t，﹣4﹣t）；2
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】如图，作EG⊥y轴于G，
∵∠AOB=∠ABE=∠BGE=90°，
∴∠GBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠GBE=∠BAO，
在△ABO和△BEG中，
∵ ，
∴△ABO≌△BEG(AAS)，
∴EG=OB=t，BG=AO=4，
∴OG=OB+BG=4+t，
则E点的坐标是（t，﹣4﹣t）.
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴BF=OB，
∴BF=GE，
在△FBP和△EGP中，
∵ ，
∴△FBP≌△EGP(AAS)，
∵BG=AO=4，
∴BP=GP= BG= ×4=2.
故答案为（t，﹣4﹣t）；2.
【分析】先通过角角边证得△ABO≌△BEG，从而可得GE=OB，GB=OA，从而结合点E所在第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数即可求得点E的坐标；通过角角边证得△FBP≌△EGP，从而可得BG=AO=4，BP=GP=，又点P在y轴，从而可求得点P的坐标.
三、解答题
13．（2022八上·金东期末）如图1，已知四边形OABC的顶点O在坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，轴，动点P从点O出发，以每秒1单位的速度，沿运动一周，顺次连结P，O，C三点所围成图形的面积为S，点P的运动时间为t秒，S与t之间的函数关系如图2中折线 ODEFG所示已知，点D，点F横坐标分别为8和22.
（1）求a和b的值.
（2）求直线EF的函数解析式.
（3）当P在BC上时，用t表示P点的纵坐标.
【答案】（1）解：如图，过点B作 轴于点M，
综合图 、图可知，OD段点P在线段OA上运动时，S与t之间的函数关系；DE段是点P在线段AB上运动时，S与t之间的函数关系；EF段是点P在线段BC上运动时，S与t之间的函数关系；
，动点P以每秒1单位的速度运动，
，
；
又OD段对应的时间是8s，EF段对应的时间为22s-12s=10s
，.
在中， 轴，，
，
，
；
；
，.
（2）解：设直线EF的函数解析式为，
，，
E(12，40)；
设直线EF的函数解析式为过E (12，40)，F(22，0)，
解得
直线EF的函数解析式
（3）解：设点P的纵坐标为，如图4，
直线EF的函数解析式，
，
P点的纵坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥x轴于点M，综合图1 、图2可知：OD段点P在线段OA上运动时，S与t之间的函数关系；DE段是点P在线段AB上运动时，S与t之间的函数关系；EF段是点P在线段BC上运动时，S与t之间的函数关系，由题意可得a-8=4，OA=8，BC=10，利用勾股定理可得CM，然后求出OC，据此解答；
（2）设直线EF的函数解析式为s=kt+b，根据a、b的值可得点E的坐标，将E、F的坐标代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式；
（3）设点P的纵坐标为yP，根据三角形的面积公式可得S△POC=5yP，S△POC=-4t+88，联立可得yP与t的关系式，据此解答.
14．（2025八上·余姚期末）过等腰Rt 的直角顶点 作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，研究图形，不难发现 ： ．
（1）如图 2，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，求 点坐标；
（2）如图 3，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，将直线 绕点 颁时针旋转 得到 ，求 的函数表达式；
（3）如图 4，直线 分别交 轴， 轴于点 ，直线 过点 交 轴于点 ，且 。若点 是直线 上且位于第三象限图象上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，当以点 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点 和点 的坐标．
【答案】（1）解：当x=0时， 直线 的y值为y=-1，此时C点坐标为（0，-1）；当y=0时，此时A点的横坐标列式为，解得x=2，因此此时A点的坐标为（2，0）。
∵BC⊥AC，∴BC所在的直线的斜率为-1÷=-2，
因此BC所在的直线为y=-2x-1.
设B点的坐标为（x0，y0），∴y0=-2x0-1，
∵ 将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，∴BC=AC，
，解得x0=±1，
∵B点在第二象限，∴x0=-1，y0=-2x0-1=-2×（-1）-1=1，
因此B点的坐标为（-1，1）。
（2）解：∵ 直线 分别与 轴， 轴交于点 ，∴tan∠ABO=2，且A点坐标为（0，6），
∵ 将直线 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴l2对应的直线斜率为tan(∠ABO-45°），
即tan(∠ABO-45°）=，
∴ 的函数表达式为.
（3）解：直线y=2x+2分别交x轴和y轴于A、C两点，∴A（-1，0），C（0，2），
∵∠CBA=45°，∴OB=OC=2，即B（2，0）。
设M(0，m），Q（n，2n+2），
①如图所示，当∠BMQ=90°，即MQ=MB时，此时M在x轴上方，
分别过Q、B点作y轴的平行线QC、HB，过M点作x轴的平行线分别交GQ、HB于点G、H，
∠GQM+∠GMQ=90°，而∠GMQ+∠HMB=90°，∴∠CQM=∠HMB，而∠G=∠H=90°，MQ=MB，
∴△GQM≌△HMB(AAS)，
∴GQ=HM，HB=GM，即，解得，因此点M（0，），点Q（）；
同理当M在x轴下方，即，解得m=n=0（舍去）
②当∠MQB=90°时，即MQ=QB，如图所示，同理可得，解得，∴M（0，-6），Q（-2，-2）；
③当∠QBM=90°时，即MB=QB，如图所示同理可得，解得，∴M（0，4），Q（-2，-2）；
综上可得，M（0，），Q（）；或M（0，-6），Q（-2，-2）；或M（0，4），Q（-2，-2）。
【知识点】旋转的性质；动点问题的函数图象；坐标系中的两点距离公式；正切的概念
【解析】【分析】（1）题首先求出C点和A点的坐标，然后利用垂直对应的斜率，即可求出BC所在直线的关系式，最后利用两点之间的距离公式列式，和B点的象限性质，即可求出B点的坐标；
（2）题利用选择45°的特点和正切值的计算公式，即可求出l2对应的直线的斜率，然后即可列出表达式；
（3）题首先根据条件用m和n来表示M和Q点的坐标，然后分三种情况列式求出m和n的值即可。
15．（2024八上·金华期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象．
（1）根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值；
（2）设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式；
（3）当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】（1），，，；
（2）解：前8秒速度为1cm/s，故；
8秒后速度为，∴，
因此；
（3）解：如图③当时，
中，，
∴，
∴.
同理当时，
中，，
∴，
，
当时，
在的垂直平分线上，
即为的中点，
，
∴，
，
即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒，
此时点P在线段AB上，
∴图①中，，
即，
∴，
∵在上运动时，面积不变，
∴图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系，
∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即，
∴.
在上速度为，，
∴.
当运动到时停止，此时，即对应图②中秒，
在上速度为，，
∴，
故答案为：，，，.
【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值；
（2）分前8秒和后8秒，分别确定与的等量关系并列出关系式即可；
（3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是，分类讨论即可．
（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒，
∴图①中，，
即，
∴，
∵在上运动时，
面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系，
∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即，
∴，
在上速度为，
，
∴，
当运动到时停止，此时，即对应图②中秒，
在上速度为，
，
∴，
即，，，；
（2）解：前8秒速度为，
，8秒后速度为，
∴，
因此；
（3）解：如图③当时，
中，
∴，
∴，
同理当时，
中，，
∴，
，
当时，
在的垂直平分线上，
即为的中点，
，
∴，
，
即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形．
16．（2020八上·余姚期末）如图，在 中， 是 的中点， 是边 上一动点，连结 ，取 的中点 ，连结 .小梦根据学习函数的经验，对 的面积与 的长度之间的关系进行了探究：
（1）设 的长度为 ， 的面积 ，通过取 边上的不同位置的点 ，经分析和计算，得到了 与 的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
根据上表可知， 　 　， 　 　.
（2）在平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3）在（1）的条件下，令 的面积为 .
①用 的代数式表示 .
②结合函数图象.解决问题：当 时， 的取值范围为　 　.
【答案】（1）2；1
（2）解：
（3）解：①由题意可得在 ，边 上的高为2. ∴ . ∵F是AE的中点 ∴ . ；
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）设 中DE边上的高为h
当 时， 可知
当 时， ，∴
∴当 时， ，
∴当 时， ，
∴ ，
故答案为：2，1；
（ 3 ）②如图
根据图象可知当 时， 的取值范围为
故答案为：.
【分析】（1）先通过表中的已知数据得出 的高，然后再代入到面积公式中即可得出答案；（2）根据表中的数据描点，连线即可；
（3）①直接利用面积公式及中线的性质即可得出答案；②将两个图象画在同一个直角坐标系中，从图象中即可得出答案.
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