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四川省眉山市东坡区2025届高三上学期一诊模拟联考数学试题
1．（2024高三上·东坡期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（　　）
A． B． C．1 D．2
2．（2024高三上·东坡期中）函数 的导函数 的图象如图所示，则在函数 的图象上 ， 的对应点附近，有（　　）
A． 处下降， 处上升 B． 处上升， 处下降
C． 处下降， 处下降 D． 处上升， 处上升
3．（2024高三上·东坡期中）已知函数 是奇函数，则曲线 在点 处的切线方程是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·东坡期中）已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若是函数f(x)的导函数，则关于x的不等式的解集为
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·东坡期中）若函数，满足且，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024高三上·东坡期中）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A．1 B． C． D．
7．（2024高三上·东坡期中）函数，，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·东坡期中）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·东坡期中）函数的一个单调递减区间是（　　）
A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1）
10．（2024高三上·东坡期中）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高三上·东坡期中）若函数，则满足的的取值范围可能为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024高三上·东坡期中）函数在上有唯一零点，则（　　）
A． B． C． D．
13．（2024高三上·东坡期中）函数的极小值为　 　．
14．（2024高三上·东坡期中）已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为 　 　.
15．（2024高三上·东坡期中）若 在上单调递减，则实数的取值范围是　 　.
16．（2024高三上·东坡期中）等比数列中，，，函数，则等于　 　．
17．（2024高三上·东坡期中）已知函数.
（1）求函数 在区间 上的平均变化率；
（2）求函数 的图象在点 处的切线方程.
18．（2024高三上·东坡期中）设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
19．（2024高三上·东坡期中）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．
20．（2024高三上·东坡期中）设， ，如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围.
21．（2024高三上·东坡期中）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
22．（2024高三上·东坡期中）已知函数.
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴在 时的瞬时速度为
故答案为：.
【分析】要解决瞬时速度问题，需利用瞬时变化率的定义：瞬时速度是位移函数在该时刻的导数，即通过计算来求解.具体思路是先求出位移的增量，再计算平均变化率，最后取时的极限.
2．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：∵所给图象是导函数的图象，且点A处导数小于0，点B处导数大于0，
∴原函数图象在 处下降， 处上升
故答案为：.
【分析】若导函数，则原函数在该区间单调递增；若，则原函数在该区间单调递减.解题思路是先判断导函数在、处的符号，再对应原函数的单调性.
3．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】∵ 是奇函数，
∴ ，
∴ ， ，
是奇函数， ， ， ，
切线方程为 ，即 ．
故答案为：B．
【分析】由奇函数的定义可求解a=1，进而求得f(x)的解析式，再利用导数求解切线斜率，进而得到切线方程。
4．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由图可知，所以即解0，当时，等价于0，
故满足条件的为，
当时，等价于0，故满足条件的为，
所以综合可得的解集为
故答案为：.
【分析】首先明确，将不等式转化为，然后分和两种情况，根据导函数的符号（由原函数的单调性判断）求解.
5．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解： 函数，满足且，
当时，有，即，
又因为所以，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，先取，得与之间的关系，再根据导数的运算直接求导代值计算即可.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题可知，直线与交于，与交于（），
则.不妨设（），
求的最小值即求的最小值.
对求导：.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此，当时，取得最小值，即达到最小.
故答案为：.
【分析】先根据题意构造出表示的函数，再利用导数研究该函数的单调性，进而找到其最小值点.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 定义域为，，
由可得，
由可得，
所以在单调递减，在单调递增，
因为，所以即，
因为，而，
所以，
故答案为：.
【分析】先通过求导确定函数的单调区间，再根据自变量所在的单调区间判断函数值的大小关系，同时结合函数值的正负进一步比较.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 由题意，设函数，则
因为，可得，所以为单调递增函数，
可得，即，所以.
故答案为：.
【分析】构造新函数，利用导数研究其单调性.通过分析题干条件，构造（），然后求导判断其单调性，再结合单调性比较函数值大小，从而得出与的关系.
9．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 的定义域为，
，
所以在区间上，递减，
所以AD选项符合题意.
故答案为：.
【分析】先确定函数定义域，再求导，最后解导数小于的不等式，结合定义域确定单调递减区间，进而匹配选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：选项A：假设是的图象，当时，则（）在上单调递增；当时，则在上单调递减，与的图象特征一致，故A正确.
选项B：假设是的图象，恒成立，则（）应单调递增，与的图象特征一致，故B正确.
选项C：假设是的图象，恒成立，则（）应单调递增，与的图象特征一致，故C正确.
选项D：若是的图象，其符号有正有负，则（）应既有增区间又有减区间，但图象不符；若是的图象，其符号有正有负，（）也应既有增区间又有减区间，图象同样不符，故D错误.
故答案为：.
【分析】若导函数，原函数单调递增；若，原函数单调递减.通过逐一分析每个选项中导函数与原函数的图象是否符合这一逻辑关系来解题.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵，定义域为，∴，
∴为上的奇函数.
∵，
当且仅当，即时，等号成立.
∵时，，
∴恒成立，即为上的增函数.
由得，
∴，解得或，即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先判断函数的奇偶性，再通过求导分析函数的单调性，最后利用奇偶性和单调性将不等式等价变形，进而求解取值范围.
12．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由得，，即，由题意得，直线与函数图象有唯一交点.
令，则，
∴在上为增函数，则.
令，则.
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴.
记，根据复合函数单调性可得函数在上为减函数，在上为增函数，且.
当时，，当时，，的图象如下：
∵直线与函数图象有唯一交点，∴，选项C、D错误.
由分析得，，即，选项A正确.
∵，，
∴，
由在上为增函数得，选项B正确.
故答案为：AB.
【分析】将零点问题转化为函数交点问题，通过构造新函数，利用导数分析其单调性和最值.首先把变形为关于的表达式，再构造两个函数，分别研究它们的单调性，进而结合唯一交点的条件判断选项.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： 由题意可知，函数的定义域为，
则；
令，得或；
所以当或时，，即在，上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极小值，
即函数的极小值为.
故答案为：
【分析】通过求导确定函数的单调区间，再根据极值的定义找到极小值点并计算极小值.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 由题意，
令，则其在区间上的解集为，
所以f(x)的单调递增区间为.
故答案为：.
【分析】先对函数求导，再解导数大于的不等式，结合给定区间确定单调递增区间.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵，∴.
∵ 在上单调递减，∴在上恒成立，
∴，解得.
故答案为：.
【分析】若函数在区间上单调递减，则其导函数在该区间上小于等于0恒成立.通过对导函数进行分析，结合区间端点的取值，求解实数的取值范围.
16．【答案】4096
【知识点】导数的四则运算；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 在等比数列中，，，
则，
令
，
，
因此，.
故答案为：4096
【分析】利用导数的乘法法则求导，再结合等比数列的性质简化计算.先将函数拆分为与另一个函数的乘积，通过求导法则得到，然后代入，利用等比数列的下标和性质计算乘积.
17．【答案】（1）解：函数 在区间 上的平均变化率为 .
（2）解：设函数 的图象在点 处的切线斜率为，
∵，∴，
∴，
∵ ，
∴切线方程为 ，即 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平均变化率
【解析】【分析】（1）对于函数在区间上的平均变化率为，直接代入区间端点计算即可.
（2）先对函数求导，将切点横坐标代入导数得到切线斜率，再求出切点纵坐标，最后利用点斜式推导切线方程.
（1）函数 在区间 上的平均变化率为 .
（2）设函数 的图象在点 处的切线斜率为，
∵，∴，
∴，
∵ ，
∴切线方程为 ，即 .
18．【答案】解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f'(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f'(1)＝f'(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝ ，b＝ .
(2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x，且函数f(x)＝ln xx2＋x的定义域是(0，＋∞)，
f'(x)＝x－1x＋1＝ .
当x∈(0，1)时，f'(x)＜0；当x∈(1，2)时，f'(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＜0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用极值点处导数为零的性质，先对函数求导，再将两个极值点代入导函数，得到关于、的方程组，进而求解、的值.
（2）通过分析导函数在极值点两侧的符号，确定函数的单调性，从而判断是极大值点还是极小值点.
19．【答案】解：（1）由题可知，的定义域为.
当时，，
，
令，而，则，解得：，
令，而，则，解得：，
的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由于，的定义域为，
因为函数在区间上为减函数，
对恒成立，即对恒成立，
令，则，
可知，当时，，即，即在区间上，故在区间上单调递增，
则，所以，
即实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，再通过解导数的不等式确定单调区间.将代入函数后求导，分别解导数大于0和小于0的不等式，得到函数的单调增、减区间.
（2）将函数单调递减转化为导函数小于等于0恒成立，再通过分离参数、构造新函数求最值.由函数在上为减函数，得导函数在该区间恒成立，分离参数后构造函数，分析其单调性求最小值，进而得到的取值范围.
20．【答案】解：因为对任意的， ，有，则 ，
，
当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.
又，，故当时，.
所以当时，恒成立，即恒成立.
令，，所以，
令， ，所以 ，在上单调递减，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，故.
所以实数 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】先求在区间上的最大值，将问题转化为对任意恒成立，再通过分离参数、构造新函数并利用导数求其最大值，从而确定实数的取值范围.
21．【答案】（1）解：若，则，所以，
令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）解：当时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，即.
设，则，
令，则，当时，，当时，，故，
所以，当且仅当时等号成立，
所以在上恒成立，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）通过求导分析导函数的符号，进而确定函数的单调区间.将代入函数后求导，根据导函数大于0和小于0的区间，分别得到函数的单调递增和递减区间.
（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.先对原不等式进行变形，分离参数，构造新函数，再通过求导分析新函数的单调性，进而求出其最大值，最终确定的取值范围.
（1）若，则，
所以，
令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）当时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，即
设，则，
令，则，
当时，，当时，，
故，所以，当且仅当时等号成立，
所以在上恒成立，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以.
22．【答案】解：（1）的定义域为，.
因为是的极值点，所以，解得，
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），则，
令，得或.
①当，即时，在上为增函数，；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
③当，即时，在上为减函数，所以.
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用极值点处导数为零求出参数，再通过导函数的符号确定函数的单调区间.先对求导，将极值点代入导函数求出，再分析导函数在不同区间的符号，得到单调区间.
（2）对求导后，根据导数的零点对参数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，进而求出不同情况下的最小值.
1 / 1四川省眉山市东坡区2025届高三上学期一诊模拟联考数学试题
1．（2024高三上·东坡期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】瞬时变化率
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴在 时的瞬时速度为
故答案为：.
【分析】要解决瞬时速度问题，需利用瞬时变化率的定义：瞬时速度是位移函数在该时刻的导数，即通过计算来求解.具体思路是先求出位移的增量，再计算平均变化率，最后取时的极限.
2．（2024高三上·东坡期中）函数 的导函数 的图象如图所示，则在函数 的图象上 ， 的对应点附近，有（　　）
A． 处下降， 处上升 B． 处上升， 处下降
C． 处下降， 处下降 D． 处上升， 处上升
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：∵所给图象是导函数的图象，且点A处导数小于0，点B处导数大于0，
∴原函数图象在 处下降， 处上升
故答案为：.
【分析】若导函数，则原函数在该区间单调递增；若，则原函数在该区间单调递减.解题思路是先判断导函数在、处的符号，再对应原函数的单调性.
3．（2024高三上·东坡期中）已知函数 是奇函数，则曲线 在点 处的切线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】∵ 是奇函数，
∴ ，
∴ ， ，
是奇函数， ， ， ，
切线方程为 ，即 ．
故答案为：B．
【分析】由奇函数的定义可求解a=1，进而求得f(x)的解析式，再利用导数求解切线斜率，进而得到切线方程。
4．（2024高三上·东坡期中）已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若是函数f(x)的导函数，则关于x的不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由图可知，所以即解0，当时，等价于0，
故满足条件的为，
当时，等价于0，故满足条件的为，
所以综合可得的解集为
故答案为：.
【分析】首先明确，将不等式转化为，然后分和两种情况，根据导函数的符号（由原函数的单调性判断）求解.
5．（2024高三上·东坡期中）若函数，满足且，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解： 函数，满足且，
当时，有，即，
又因为所以，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，先取，得与之间的关系，再根据导数的运算直接求导代值计算即可.
6．（2024高三上·东坡期中）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题可知，直线与交于，与交于（），
则.不妨设（），
求的最小值即求的最小值.
对求导：.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此，当时，取得最小值，即达到最小.
故答案为：.
【分析】先根据题意构造出表示的函数，再利用导数研究该函数的单调性，进而找到其最小值点.
7．（2024高三上·东坡期中）函数，，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 定义域为，，
由可得，
由可得，
所以在单调递减，在单调递增，
因为，所以即，
因为，而，
所以，
故答案为：.
【分析】先通过求导确定函数的单调区间，再根据自变量所在的单调区间判断函数值的大小关系，同时结合函数值的正负进一步比较.
8．（2024高三上·东坡期中）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 由题意，设函数，则
因为，可得，所以为单调递增函数，
可得，即，所以.
故答案为：.
【分析】构造新函数，利用导数研究其单调性.通过分析题干条件，构造（），然后求导判断其单调性，再结合单调性比较函数值大小，从而得出与的关系.
9．（2024高三上·东坡期中）函数的一个单调递减区间是（　　）
A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1）
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 的定义域为，
，
所以在区间上，递减，
所以AD选项符合题意.
故答案为：.
【分析】先确定函数定义域，再求导，最后解导数小于的不等式，结合定义域确定单调递减区间，进而匹配选项.
10．（2024高三上·东坡期中）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：选项A：假设是的图象，当时，则（）在上单调递增；当时，则在上单调递减，与的图象特征一致，故A正确.
选项B：假设是的图象，恒成立，则（）应单调递增，与的图象特征一致，故B正确.
选项C：假设是的图象，恒成立，则（）应单调递增，与的图象特征一致，故C正确.
选项D：若是的图象，其符号有正有负，则（）应既有增区间又有减区间，但图象不符；若是的图象，其符号有正有负，（）也应既有增区间又有减区间，图象同样不符，故D错误.
故答案为：.
【分析】若导函数，原函数单调递增；若，原函数单调递减.通过逐一分析每个选项中导函数与原函数的图象是否符合这一逻辑关系来解题.
11．（2024高三上·东坡期中）若函数，则满足的的取值范围可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵，定义域为，∴，
∴为上的奇函数.
∵，
当且仅当，即时，等号成立.
∵时，，
∴恒成立，即为上的增函数.
由得，
∴，解得或，即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先判断函数的奇偶性，再通过求导分析函数的单调性，最后利用奇偶性和单调性将不等式等价变形，进而求解取值范围.
12．（2024高三上·东坡期中）函数在上有唯一零点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由得，，即，由题意得，直线与函数图象有唯一交点.
令，则，
∴在上为增函数，则.
令，则.
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴.
记，根据复合函数单调性可得函数在上为减函数，在上为增函数，且.
当时，，当时，，的图象如下：
∵直线与函数图象有唯一交点，∴，选项C、D错误.
由分析得，，即，选项A正确.
∵，，
∴，
由在上为增函数得，选项B正确.
故答案为：AB.
【分析】将零点问题转化为函数交点问题，通过构造新函数，利用导数分析其单调性和最值.首先把变形为关于的表达式，再构造两个函数，分别研究它们的单调性，进而结合唯一交点的条件判断选项.
13．（2024高三上·东坡期中）函数的极小值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： 由题意可知，函数的定义域为，
则；
令，得或；
所以当或时，，即在，上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极小值，
即函数的极小值为.
故答案为：
【分析】通过求导确定函数的单调区间，再根据极值的定义找到极小值点并计算极小值.
14．（2024高三上·东坡期中）已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为 　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 由题意，
令，则其在区间上的解集为，
所以f(x)的单调递增区间为.
故答案为：.
【分析】先对函数求导，再解导数大于的不等式，结合给定区间确定单调递增区间.
15．（2024高三上·东坡期中）若 在上单调递减，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵，∴.
∵ 在上单调递减，∴在上恒成立，
∴，解得.
故答案为：.
【分析】若函数在区间上单调递减，则其导函数在该区间上小于等于0恒成立.通过对导函数进行分析，结合区间端点的取值，求解实数的取值范围.
16．（2024高三上·东坡期中）等比数列中，，，函数，则等于　 　．
【答案】4096
【知识点】导数的四则运算；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 在等比数列中，，，
则，
令
，
，
因此，.
故答案为：4096
【分析】利用导数的乘法法则求导，再结合等比数列的性质简化计算.先将函数拆分为与另一个函数的乘积，通过求导法则得到，然后代入，利用等比数列的下标和性质计算乘积.
17．（2024高三上·东坡期中）已知函数.
（1）求函数 在区间 上的平均变化率；
（2）求函数 的图象在点 处的切线方程.
【答案】（1）解：函数 在区间 上的平均变化率为 .
（2）解：设函数 的图象在点 处的切线斜率为，
∵，∴，
∴，
∵ ，
∴切线方程为 ，即 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平均变化率
【解析】【分析】（1）对于函数在区间上的平均变化率为，直接代入区间端点计算即可.
（2）先对函数求导，将切点横坐标代入导数得到切线斜率，再求出切点纵坐标，最后利用点斜式推导切线方程.
（1）函数 在区间 上的平均变化率为 .
（2）设函数 的图象在点 处的切线斜率为，
∵，∴，
∴，
∵ ，
∴切线方程为 ，即 .
18．（2024高三上·东坡期中）设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【答案】解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f'(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f'(1)＝f'(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝ ，b＝ .
(2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x，且函数f(x)＝ln xx2＋x的定义域是(0，＋∞)，
f'(x)＝x－1x＋1＝ .
当x∈(0，1)时，f'(x)＜0；当x∈(1，2)时，f'(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＜0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用极值点处导数为零的性质，先对函数求导，再将两个极值点代入导函数，得到关于、的方程组，进而求解、的值.
（2）通过分析导函数在极值点两侧的符号，确定函数的单调性，从而判断是极大值点还是极小值点.
19．（2024高三上·东坡期中）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）由题可知，的定义域为.
当时，，
，
令，而，则，解得：，
令，而，则，解得：，
的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由于，的定义域为，
因为函数在区间上为减函数，
对恒成立，即对恒成立，
令，则，
可知，当时，，即，即在区间上，故在区间上单调递增，
则，所以，
即实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，再通过解导数的不等式确定单调区间.将代入函数后求导，分别解导数大于0和小于0的不等式，得到函数的单调增、减区间.
（2）将函数单调递减转化为导函数小于等于0恒成立，再通过分离参数、构造新函数求最值.由函数在上为减函数，得导函数在该区间恒成立，分离参数后构造函数，分析其单调性求最小值，进而得到的取值范围.
20．（2024高三上·东坡期中）设， ，如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】解：因为对任意的， ，有，则 ，
，
当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.
又，，故当时，.
所以当时，恒成立，即恒成立.
令，，所以，
令， ，所以 ，在上单调递减，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，故.
所以实数 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】先求在区间上的最大值，将问题转化为对任意恒成立，再通过分离参数、构造新函数并利用导数求其最大值，从而确定实数的取值范围.
21．（2024高三上·东坡期中）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：若，则，所以，
令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）解：当时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，即.
设，则，
令，则，当时，，当时，，故，
所以，当且仅当时等号成立，
所以在上恒成立，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）通过求导分析导函数的符号，进而确定函数的单调区间.将代入函数后求导，根据导函数大于0和小于0的区间，分别得到函数的单调递增和递减区间.
（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.先对原不等式进行变形，分离参数，构造新函数，再通过求导分析新函数的单调性，进而求出其最大值，最终确定的取值范围.
（1）若，则，
所以，
令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）当时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，即
设，则，
令，则，
当时，，当时，，
故，所以，当且仅当时等号成立，
所以在上恒成立，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以.
22．（2024高三上·东坡期中）已知函数.
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】解：（1）的定义域为，.
因为是的极值点，所以，解得，
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），则，
令，得或.
①当，即时，在上为增函数，；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
③当，即时，在上为减函数，所以.
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用极值点处导数为零求出参数，再通过导函数的符号确定函数的单调区间.先对求导，将极值点代入导函数求出，再分析导函数在不同区间的符号，得到单调区间.
（2）对求导后，根据导数的零点对参数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，进而求出不同情况下的最小值.
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