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四川省绵阳南山中学2025届高三上学期期中考试数学试题
1．（2024高三上·绵阳期中）等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），中值为正数的个数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·绵阳期中）抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·绵阳期中）若 ，则 的大小关系为（　　）.
A． B． C． D．
4．（2024高三上·绵阳期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·绵阳期中）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若tan∠F1MF2＝2，又e为双曲线的离心率，则e2的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·绵阳期中）如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·绵阳期中）设函数，若是的极大值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·绵阳期中）若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·绵阳期中）经过点的抛物线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·绵阳期中）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高三上·绵阳期中）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（　　）
A． B． C．1 D．0
12．（2024高三上·绵阳期中）民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为　 　平方米.
13．（2024高三上·绵阳期中）记面积为，，，则　 　.
14．（2024高三上·绵阳期中）某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有2个零点．则正确结论的序号是　 　．
15．（2024高三上·绵阳期中）已知椭圆：经过点，且离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值.
16．（2024高三上·绵阳期中）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分.
（1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率；
（2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率；
（3）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.
17．（2024高三上·绵阳期中）某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，.
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.
18．（2024高三上·绵阳期中）2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人．
（1）求；
（2）现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率．
19．（2024高三上·绵阳期中）已知函数，在点处的切线方程是.
（1）求的值；
（2）设函数，若函数只有1个零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 等比数列中，公比，故奇数项为正数，偶数项为负数．
所以，
所以有个正数.
故答案为：B
【分析】要判断、、、的正负，需先分析等比数列各项的正负性，再根据乘积中负项的个数（奇偶性）来确定乘积的正负.
2．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及p=2，再直接代入即可求出其准线方程.
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为 ， ，
即 ，
故答案为：D.
【分析】由指数函数，对数函数的单调性，求出 的大致范围即可得解.
4．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解： 设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，
面积，
墙长，所以，解得，
对称轴方程，
抛物线开口向下，，函数在上递减，
当时，最大为（）.
故答案为：.
【分析】要解决这个长方形活动区的最大面积问题，需先设出垂直于墙的边长，进而表示出平行于墙的边长，建立面积的二次函数模型，再结合墙长的限制条件确定自变量的取值范围，最后根据二次函数的单调性求出最大值.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：
|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝t，则|MF1|＝2a+t，∵sin∠MF1F2，
若tan∠F1MF2＝2，则sin∠F1MF2，cos∠F1MF2，
在△MF1F2中，由正弦定理得，即，
∴ta，∴|MF2|a，|MF1|＝（2）a，
由余弦定理得4c2＝5a2+（9+4）a2﹣2a×（2）a，
4c2＝（10+2）a2，∴c2═a2，∴e2.
故答案为：.
【分析】本题可先利用双曲线的定义表示出与的关系，再结合圆的切线性质得到角的三角函数关系，最后通过正弦定理、余弦定理建立关于、的方程，从而求出离心率的平方.
6．【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，（热气球离地面高度）.
由，可得.
在中，，，
则.
根据正弦定理，代入，，，
可得：.
在中，，由，
可得：.
故答案为：.
【分析】首先在含俯角的直角三角形中求出的长度，再在中利用正弦定理求出，最后在含的直角三角形中求出.
7．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
求导得.因为是的极值点，
所以，解得.
将代入导数得：.
当时，在上恒成立.
令，则，即；令，则，即.
所以在上单调递增，在上单调递减，此时是的极大值点，符合条件.
当时，令，解得或（）.
因为是极大值点，所以需满足，解得.
综合以上两种情况，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】要确定的取值范围，需先求函数的导数，结合是极大值点的条件，对进行分类讨论，分析导数的符号变化，从而判断极值点的情况.
8．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： 因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题需要分别分析分段函数两段的单调性，找到函数在不同区间的最大值情况，再结合最大值为的条件，确定的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：情况一：焦点在轴上，设抛物线方程为，将代入得，即，解得，方程为.
情况二：焦点在轴上，设抛物线方程为，将代入得，
即，解得，方程为.
故答案为：AC.
【分析】本题需分抛物线焦点在轴和轴两种情况，分别设出标准方程，代入点求解.
10．【答案】A,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程，可得，，则，
所以左、右焦点分别为，.
因为，即，所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为.
椭圆的短半轴，即圆完全在椭圆内部，
所以对于点，有，故选项正确，错误.
将化为标准椭圆方程：，其长半轴，
即椭圆完全在圆内部，
所以对于点，有，故选项正确，错误.
故答案为：AD.
【分析】本题需要先确定点的轨迹，再分别分析点与两个椭圆（和）的位置关系.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：幂函数在上单调递减，故在上单调递增，
且当时，；当时，.
对数函数在上单调递减，故在上单调递减，且，
当时，.二次函数，其图象开口向下，
对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减，，
当时，.画出函数的图象后，可知：
当时，与在和上各有一个交点，共两个交点；
当时，与在（处）和（或处）有两个交点；
当或时，与的交点个数不为两个.所以实数不可能是、、.
故答案为：.
【分析】要确定实数不可能的取值，需先分别分析分段函数各段的单调性与取值范围，画出函数的图象，再根据恰有两个零点（即与有两个交点）的条件，结合图象判断的取值范围，进而找出不可能的取值.
12．【答案】80
【知识点】不等关系与不等式；不等式的解集
【解析】【解答】解： 设改造前的民宿窗户面积为平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为平方米，
则地板增加的面积为平方米，.
依题意得，
即，解得：，
故改造前的窗户面积最大为80平方米，
故答案为：.
【分析】本题可通过设改造前窗户面积和窗户增加的面积，分别表示出改造前后窗户与地板面积的比值，根据改造后采光效果不逊于改造前的条件列出不等式，进而求解改造前窗户面积的最大值.
13．【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
【分析】本题需要先利用三角形面积公式求出的值，再结合已知条件求出的值，最后通过余弦定理求出的值.
14．【答案】①②③④
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于①，，即，①正确；
对于②，当时，，则，，
当时，由①知，因此函数的值域是，②正确；
对于③，当时，，在上单调递增，由①知在上也单调递增，
于是在上单调递增，因此若，则一定有，③正确；
对于④，由，得，解得或，因此函数在上有2个零点，④正确，
所以正确结论的序号是①②③④.
故答案为：.
【分析】对函数进行分段讨论（和），结合奇偶性、单调性的定义以及零点的求解方法逐一判断.
15．【答案】解：（1）由椭圆经过点得，.
设半焦距为，由离心率为得，.
又因为，所以，解得.
故椭圆的方程为.
（2）因为直线过点且与轨迹有两个不同交点.
所以直线的斜率一定存在且大于零.
于是可设直线的方程为.
代入并整理得.
.
设，，则，.
设直线和的斜率分别为和，
则
为定值，此题得证.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的基本性质，利用椭圆过定点、离心率公式以及的关系来确定椭圆方程；
（2）先设出直线BC的方程（考虑斜率存在的情况），联立椭圆方程，借助韦达定理表示出交点坐标的和与积，再表示出直线AB和AC的斜率，通过代数运算证明其和为定值.
16．【答案】（1）解：甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故.
（2）解：乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间，共有10个样本点，
设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.
（3）解：由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，
丙丁总分刚好得18分的情况包含：事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，
则；
事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，
则；
事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，
则；
所以丙丁总分刚好得18分的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型，计算随机选一个选项猜对的概率；
（2）列举多选的所有可能情况，找出得4分的情况数，再用古典概型计算概率；
（3）分析丙丁总分18分的所有组合情况，分别计算概率后求和.
（1）甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故.
（2）乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间，共有10个样本点，
设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.
（3）由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，
丙丁总分刚好得18分的情况包含：
事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，
则；
事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，
则；
事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，
则；
所以丙丁总分刚好得18分的概率.
17．【答案】解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件，；
设表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则.
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件、、，
则，，.
（3）设表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，则.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件概率公式，求“甲第一次合格且乙第一次不合格”的概率.
（2）对于每人，需两次选拔都合格（独立事件），用乘法公式计算各自合格概率.
（3）“恰有一人合格”包含“只有甲合格” “只有乙合格” “只有丙合格”三种互斥情况，分别计算后相加.
18．【答案】（1）解：根据频率分布直方图知：第一组的频率为，因此，.
（2）解：根据频率分布直方图知，第四组的人数为，第五组的人数为，
根据分层抽样可知：第四组应抽取人，记这4人分别为，
第五组应抽取人，记这2人分别为，
再从这6人随机抽取2人，
则样本空间为，
共计15个样本点，事件“2位幸运答题者恰有1位来自第五组的”包含的样本点为
，共计8个
由古典概型概率公式得：，
所以这2位幸运答题者恰有1位来自第五组的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中“频率 = 组距×组宽”先求第一组频率，再结合“频数 = 频率×总数”的关系求.
（2）先通过分层抽样确定第四组和第五组抽取的人数，再列举所有抽取情况，结合古典概型概率公式求“恰有1人来自第五组”的概率.
（1）根据频率分布直方图知：第一组的频率为，
因此，.
（2）根据频率分布直方图知，第四组的人数为，
第五组的人数为，
根据分层抽样可知：第四组应抽取人，记这4人分别为，
第五组应抽取人，记这2人分别为，
再从这6人随机抽取2人，
则样本空间为，
共计15个样本点，事件“2位幸运答题者恰有1位来自第五组的”包含的样本点为
，共计8个
由古典概型概率公式得：，
所以这2位幸运答题者恰有1位来自第五组的概率为.
19．【答案】（1）解：，则，，
解方程组，可得，即，；
（2）解： 由，，故，，
，
故当或时，，当时，，
即在、上单调递增，在上单调递减，
又，，
若函数只有1个零点，则有或，
即或.
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义：函数在某点的导数值是切线斜率，且该点在函数和切线上，据此列方程求.
（2）先求的导数，分析其单调性，找到极值点，再根据“只有1个零点”的条件，结合极值的符号列不等式求的范围.
（1），则，
，解方程组，可得，
即，；
（2）由，，故，，
，
故当或时，，当时，，
即在、上单调递增，在上单调递减，
又，，
若函数只有1个零点，则有或，
即或.
1 / 1四川省绵阳南山中学2025届高三上学期期中考试数学试题
1．（2024高三上·绵阳期中）等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积），中值为正数的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 等比数列中，公比，故奇数项为正数，偶数项为负数．
所以，
所以有个正数.
故答案为：B
【分析】要判断、、、的正负，需先分析等比数列各项的正负性，再根据乘积中负项的个数（奇偶性）来确定乘积的正负.
2．（2024高三上·绵阳期中）抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及p=2，再直接代入即可求出其准线方程.
3．（2024高三上·绵阳期中）若 ，则 的大小关系为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为 ， ，
即 ，
故答案为：D.
【分析】由指数函数，对数函数的单调性，求出 的大致范围即可得解.
4．（2024高三上·绵阳期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解： 设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，
面积，
墙长，所以，解得，
对称轴方程，
抛物线开口向下，，函数在上递减，
当时，最大为（）.
故答案为：.
【分析】要解决这个长方形活动区的最大面积问题，需先设出垂直于墙的边长，进而表示出平行于墙的边长，建立面积的二次函数模型，再结合墙长的限制条件确定自变量的取值范围，最后根据二次函数的单调性求出最大值.
5．（2024高三上·绵阳期中）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若tan∠F1MF2＝2，又e为双曲线的离心率，则e2的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：
|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝t，则|MF1|＝2a+t，∵sin∠MF1F2，
若tan∠F1MF2＝2，则sin∠F1MF2，cos∠F1MF2，
在△MF1F2中，由正弦定理得，即，
∴ta，∴|MF2|a，|MF1|＝（2）a，
由余弦定理得4c2＝5a2+（9+4）a2﹣2a×（2）a，
4c2＝（10+2）a2，∴c2═a2，∴e2.
故答案为：.
【分析】本题可先利用双曲线的定义表示出与的关系，再结合圆的切线性质得到角的三角函数关系，最后通过正弦定理、余弦定理建立关于、的方程，从而求出离心率的平方.
6．（2024高三上·绵阳期中）如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，（热气球离地面高度）.
由，可得.
在中，，，
则.
根据正弦定理，代入，，，
可得：.
在中，，由，
可得：.
故答案为：.
【分析】首先在含俯角的直角三角形中求出的长度，再在中利用正弦定理求出，最后在含的直角三角形中求出.
7．（2024高三上·绵阳期中）设函数，若是的极大值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
求导得.因为是的极值点，
所以，解得.
将代入导数得：.
当时，在上恒成立.
令，则，即；令，则，即.
所以在上单调递增，在上单调递减，此时是的极大值点，符合条件.
当时，令，解得或（）.
因为是极大值点，所以需满足，解得.
综合以上两种情况，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】要确定的取值范围，需先求函数的导数，结合是极大值点的条件，对进行分类讨论，分析导数的符号变化，从而判断极值点的情况.
8．（2024高三上·绵阳期中）若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： 因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题需要分别分析分段函数两段的单调性，找到函数在不同区间的最大值情况，再结合最大值为的条件，确定的取值范围.
9．（2024高三上·绵阳期中）经过点的抛物线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：情况一：焦点在轴上，设抛物线方程为，将代入得，即，解得，方程为.
情况二：焦点在轴上，设抛物线方程为，将代入得，
即，解得，方程为.
故答案为：AC.
【分析】本题需分抛物线焦点在轴和轴两种情况，分别设出标准方程，代入点求解.
10．（2024高三上·绵阳期中）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程，可得，，则，
所以左、右焦点分别为，.
因为，即，所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为.
椭圆的短半轴，即圆完全在椭圆内部，
所以对于点，有，故选项正确，错误.
将化为标准椭圆方程：，其长半轴，
即椭圆完全在圆内部，
所以对于点，有，故选项正确，错误.
故答案为：AD.
【分析】本题需要先确定点的轨迹，再分别分析点与两个椭圆（和）的位置关系.
11．（2024高三上·绵阳期中）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（　　）
A． B． C．1 D．0
【答案】A,B,C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：幂函数在上单调递减，故在上单调递增，
且当时，；当时，.
对数函数在上单调递减，故在上单调递减，且，
当时，.二次函数，其图象开口向下，
对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减，，
当时，.画出函数的图象后，可知：
当时，与在和上各有一个交点，共两个交点；
当时，与在（处）和（或处）有两个交点；
当或时，与的交点个数不为两个.所以实数不可能是、、.
故答案为：.
【分析】要确定实数不可能的取值，需先分别分析分段函数各段的单调性与取值范围，画出函数的图象，再根据恰有两个零点（即与有两个交点）的条件，结合图象判断的取值范围，进而找出不可能的取值.
12．（2024高三上·绵阳期中）民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为　 　平方米.
【答案】80
【知识点】不等关系与不等式；不等式的解集
【解析】【解答】解： 设改造前的民宿窗户面积为平方米，改造后的民宿窗户增加的面积为平方米，
则地板增加的面积为平方米，.
依题意得，
即，解得：，
故改造前的窗户面积最大为80平方米，
故答案为：.
【分析】本题可通过设改造前窗户面积和窗户增加的面积，分别表示出改造前后窗户与地板面积的比值，根据改造后采光效果不逊于改造前的条件列出不等式，进而求解改造前窗户面积的最大值.
13．（2024高三上·绵阳期中）记面积为，，，则　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
【分析】本题需要先利用三角形面积公式求出的值，再结合已知条件求出的值，最后通过余弦定理求出的值.
14．（2024高三上·绵阳期中）某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有2个零点．则正确结论的序号是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于①，，即，①正确；
对于②，当时，，则，，
当时，由①知，因此函数的值域是，②正确；
对于③，当时，，在上单调递增，由①知在上也单调递增，
于是在上单调递增，因此若，则一定有，③正确；
对于④，由，得，解得或，因此函数在上有2个零点，④正确，
所以正确结论的序号是①②③④.
故答案为：.
【分析】对函数进行分段讨论（和），结合奇偶性、单调性的定义以及零点的求解方法逐一判断.
15．（2024高三上·绵阳期中）已知椭圆：经过点，且离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值.
【答案】解：（1）由椭圆经过点得，.
设半焦距为，由离心率为得，.
又因为，所以，解得.
故椭圆的方程为.
（2）因为直线过点且与轨迹有两个不同交点.
所以直线的斜率一定存在且大于零.
于是可设直线的方程为.
代入并整理得.
.
设，，则，.
设直线和的斜率分别为和，
则
为定值，此题得证.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的基本性质，利用椭圆过定点、离心率公式以及的关系来确定椭圆方程；
（2）先设出直线BC的方程（考虑斜率存在的情况），联立椭圆方程，借助韦达定理表示出交点坐标的和与积，再表示出直线AB和AC的斜率，通过代数运算证明其和为定值.
16．（2024高三上·绵阳期中）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分.
（1）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率；
（2）考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率；
（3）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.
【答案】（1）解：甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故.
（2）解：乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间，共有10个样本点，
设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.
（3）解：由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，
丙丁总分刚好得18分的情况包含：事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，
则；
事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，
则；
事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，
则；
所以丙丁总分刚好得18分的概率.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用古典概型，计算随机选一个选项猜对的概率；
（2）列举多选的所有可能情况，找出得4分的情况数，再用古典概型计算概率；
（3）分析丙丁总分18分的所有组合情况，分别计算概率后求和.
（1）甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故.
（2）乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间，共有10个样本点，
设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故.
（3）由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，
丙丁总分刚好得18分的情况包含：
事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，
则；
事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，
则；
事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，
则；
所以丙丁总分刚好得18分的概率.
17．（2024高三上·绵阳期中）某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，.
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.
【答案】解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件，；
设表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则.
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件、、，
则，，.
（3）设表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，则.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件概率公式，求“甲第一次合格且乙第一次不合格”的概率.
（2）对于每人，需两次选拔都合格（独立事件），用乘法公式计算各自合格概率.
（3）“恰有一人合格”包含“只有甲合格” “只有乙合格” “只有丙合格”三种互斥情况，分别计算后相加.
18．（2024高三上·绵阳期中）2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人．
（1）求；
（2）现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图知：第一组的频率为，因此，.
（2）解：根据频率分布直方图知，第四组的人数为，第五组的人数为，
根据分层抽样可知：第四组应抽取人，记这4人分别为，
第五组应抽取人，记这2人分别为，
再从这6人随机抽取2人，
则样本空间为，
共计15个样本点，事件“2位幸运答题者恰有1位来自第五组的”包含的样本点为
，共计8个
由古典概型概率公式得：，
所以这2位幸运答题者恰有1位来自第五组的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中“频率 = 组距×组宽”先求第一组频率，再结合“频数 = 频率×总数”的关系求.
（2）先通过分层抽样确定第四组和第五组抽取的人数，再列举所有抽取情况，结合古典概型概率公式求“恰有1人来自第五组”的概率.
（1）根据频率分布直方图知：第一组的频率为，
因此，.
（2）根据频率分布直方图知，第四组的人数为，
第五组的人数为，
根据分层抽样可知：第四组应抽取人，记这4人分别为，
第五组应抽取人，记这2人分别为，
再从这6人随机抽取2人，
则样本空间为，
共计15个样本点，事件“2位幸运答题者恰有1位来自第五组的”包含的样本点为
，共计8个
由古典概型概率公式得：，
所以这2位幸运答题者恰有1位来自第五组的概率为.
19．（2024高三上·绵阳期中）已知函数，在点处的切线方程是.
（1）求的值；
（2）设函数，若函数只有1个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：，则，，
解方程组，可得，即，；
（2）解： 由，，故，，
，
故当或时，，当时，，
即在、上单调递增，在上单调递减，
又，，
若函数只有1个零点，则有或，
即或.
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义：函数在某点的导数值是切线斜率，且该点在函数和切线上，据此列方程求.
（2）先求的导数，分析其单调性，找到极值点，再根据“只有1个零点”的条件，结合极值的符号列不等式求的范围.
（1），则，
，解方程组，可得，
即，；
（2）由，，故，，
，
故当或时，，当时，，
即在、上单调递增，在上单调递减，
又，，
若函数只有1个零点，则有或，
即或.
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