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广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高一上学期第二次段考（12月）数学试题
1．（2024高一上·东莞期中）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： 由，，得.
故答案为：D.
【分析】本题需要先求解集合，再根据并集的定义求出.并集是把两个集合中的所有元素合并在一起组成的集合（重复元素只算一次）.
2．（2024高一上·东莞期中）已知命题，则命题的否定为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：已知命题，按照存在量词命题否定的规则，将“”改为“”，“”否定为“”，所以命题的否定为.
故答案为：C.
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，需将存在量词“”改为全称量词“”，并否定结论.
3．（2024高一上·东莞期中）下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解 对于A，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于B，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于C，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于D，和定义域均为，，所以两个函数为相同函数.
故答案为：D.
【分析】分别分析每个选项中两个函数的定义域和对应关系，若两者都相同，则为相同函数，否则不是.
4．（2024高一上·东莞期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解： 由图象可知，为奇函数且定义域为，
对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合；
对于B：定义域为，不符合；
对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合；
对于D：定义域为，不符合.
故答案为：C.
【分析】先从函数图象获取关键特征，确定函数应满足的定义域和奇偶性，再依次分析每个选项中函数的定义域是否符合，以及通过计算并与比较，判断奇偶性是否符合，从而筛选出正确选项。
5．（2024高一上·东莞期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： 且，且且，，即且，
，，，所以
故.
故答案为：B
【分析】先分别分析、、与的大小关系，确定大于，、小于；再将、转化为以为底的对数形式，利用对数函数单调性比较、的大小，进而得出三者的大小顺序.
6．（2024高一上·东莞期中）已知函数的值域为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解： 由题意得的值域为，
当时，的值域为，符合题意，
当时，，解得；
综上：的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】要确定的取值范围，需考虑函数的值域情况.因为原函数的值域为，所以的值域必须包含.
分和两种情况讨论，时函数为一次函数，时函数为二次函数，利用二次函数的性质（开口方向、判别式）来分析
7．（2024高一上·东莞期中）已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 由函数定义域可知，，
当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解，
所以，即在时有解，
作出函数的图象如图，
由图象可知，若和的图象有一个交点，则，得，
当时，与有一个交点，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】已知函数图象上存在两个点关于原点对称，可将其转化为时函数部分关于原点的对称图象与时函数部分有交点.先确定的初步范围，再通过构造函数，将问题转化为两个函数图象有交点，结合函数单调性与图象特征求解的取值范围.
8．（2024高一上·东莞期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；指数型复合函数的性质及应用；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 对于A选项，设，该函数的定义域为，
所以函数为偶函数，
当时，内层函数单调递增，外层函数也为增函数，
所以，函数在区间上单调递增，A选项合乎要求；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
所以函数为奇函数，B选项不合乎要求；
对于C，由，定义域关于原点对称，
得是偶函数.
当时，，故在上单调递增，C正确
对于D选项，为偶函数，但该函数在区间上递减，D选项不合乎要求.
故答案为：AC.
【分析】根据偶函数的定义（，定义域关于原点对称）和函数单调性的定义或复合函数单调性法则，对每个选项逐一分析.
9．（2024高一上·东莞期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A,B
【知识点】函数的值域；不等式的解集
【解析】【解答】解： 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，即函数在的值域为，
由于函数的值域为，
则函数在上的值域包含，
所以，，解得，
故答案为：AB
【分析】确定的取值，需先分析时函数的值域，再根据整个函数值域为R，得出时函数的值域需包含，进而列出不等式组求解.
10．（2024高一上·东莞期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： A选项，由题意得是的两个根，
故，消去得，A正确；
B选项，，
，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
则，故，B正确；
C选项，，
由基本不等式得
，当且仅当，
即时，等号成立，C正确；
D选项，，解得，
，故当时，取得最小值D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，利用韦达定理得出、的关系式，判断选项A；再分别对选项B、C、D，结合基本不等式或二次函数性质来分析最值，从而判断对错.
11．（2024高一上·东莞期中）已知函数，则函数的定义域为　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解： 函数的定义需满足，得，所以函数的定义域为.
故答案为：
【分析】要确定函数的定义域，需考虑函数中对数部分和根式部分的限制条件.对数的真数必须大于，同时根式内的表达式必须大于，所以需要分别列出这两个不等式，然后求解它们的交集，即为函数的定义域.
12．（2024高一上·东莞期中）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 由题意得，函数在上单调递减，且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，
由得，，解得：
故不等式的解集为.
故答案为：
【分析】先依据奇函数的性质，判断出函数在整个定义域上的单调性；再根据函数的定义域以及单调性，列出关于的不等式组，求解该不等式组得到不等式的解集.
13．（2024高一上·东莞期中）已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 作出函数的图象，
由有5个零点，
得或.
令，则，
即的两个零点分别在区间和内，
因为，所以只需要满足：，
另解：，令，
根据对勾函数图象以及结合题意可得：
故答案为：.
【分析】先将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，通过令，把问题转化为二次方程的根的分布问题.再结合的图象，分析的取值范围，进而确定的取值范围.
14．（2024高一上·东莞期中）回答下面两个题
（1）计算：.
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解： 因为，所以
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）利用对数的性质（）、换底公式以及对数运算法则（）来逐步计算式子的值.
（2）先对进行因式分解（利用立方和公式），再将代入化简后的式子，结合指数运算法则计算出结果.
（1）；
（2）因为，所以
.
15．（2024高一上·东莞期中）已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解： 由，可得，
解得，即，
当时，即，解得，
即，故.
于是.
（2）解： 由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集.
因，由可知，
故得，解得.
故实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求解分式不等式得到集合，再将代入求解一元二次不等式得到集合，接着求出的补集，最后求与的交集.
（2）根据必要非充分条件的定义，可知是的真子集。先分析集合的形式（由二次函数性质判断区间范围），再结合的范围列出关于的不等式组，求解得到的取值范围.
（1）由，可得，
解得，即，
当时，即，解得，
即，故.
于是.
（2）由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集.
因，由可知，
故得，解得.
故实数的取值范围为.
16．（2024高一上·东莞期中）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：）
【答案】（1）解： 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为，
又点在曲线上，所以，则，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为.
（2）解： 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，
则，所以，所以，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）分药物释放过程中（）和释放完毕后（）两段来确定函数关系式.药物释放过程中含药量与时间成正比，用正比例函数模型；释放完毕后用给定的指数函数模型，再利用图象过的点求出未知参数.
（2）学生能进入教室的条件是空气中每立方米含药量降低到毫克及以下，由于药物释放过程中含药量在增加，所以只需考虑药物释放完毕后（）的情况.将含药量代入释放完毕后的函数关系式，结合指数与对数的关系求解的最小值.
（1）由图，直线过点，所以图象中线段的方程为，
又点在曲线上，所以，则，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为.
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，
则，所以，所以，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室.
17．（2024高一上·东莞期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解： 因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得，所以函数，
检验：，函数为奇函数.
故.
（2）解： 在上单调递增.证明如下：
设，
则，
其中，
则，即，
所以函数在上单调递增.
（3）解： 设，，
在上单调递增，可得，
又，由在上单调递增，则，
即，且当时取到最大值.
要使不等式在上恒成立，
则，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质，再结合已知，联立方程求解、的值，最后验证函数的奇偶性.
（2）用函数单调性的定义来判断。任取上的两个自变量、（），计算，通过分析其符号来确定单调性.
（3）先根据的单调性求出的值域，再令，将转化为，结合的单调性求出的最大值，最后根据不等式恒成立的条件确定的取值范围.
（1）因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得，所以函数，
检验：，函数为奇函数.
故.
（2）在上单调递增.证明如下：
设，
则，
其中，
则，即，
所以函数在上单调递增.
（3）设，，
在上单调递增，可得，
又，由在上单调递增，则，
即，且当时取到最大值.
要使不等式在上恒成立，
则，即实数的取值范围为.
18．（2024高一上·东莞期中）设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间D上的“和值”为.
（1）判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由；
（2）若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围；
（3）若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值.
【答案】（1）解： 函数在上的“和值”不为0，理由如下：
若函数在上的“和值”为0，
由于，不妨令，此时无解，矛盾，
从而函数在上的“和值”不为0；
（2）解： ，则，，
由于对任意，都存在，使得，
那么，于是，解得；
（3）解： 解法1：，则，
若，则在单调递增，则，
则，
于是，则，
其中，故，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，
又时，，时，，故，
则，
于是，解得，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，在上单调递增，
则时，取最小值；
当时，此时的最小值为，
故，
于是，无解，则无解；
当时，中，时，，时，，
由于，故，
其中，
当时，，即，
故，
于是，解得，
要想有唯一“和值，则，解得；
当时，，即，
故，
于是，而，故无解，则无解；
若，由于，故，
那么，解得，
要想有唯一“和值，则，解得，负值舍去，
综上，或；
解法2：由于，的最值只可能在中取，
因此的最小值为0，于是必然，则，
而的值唯一，那么，于是的最大值必然等于2，否则不唯一，
若最大值在处取，则，此时，符合；
若最大值在处取，则，则，
若，此时，矛盾；
若，此时符合，
综上所述：或.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据“和值”的定义，假设函数在上的“和值”为，然后选取一个特定的，看是否存在对应的满足，若不存在，则“和值”不为.
（2）根据“和值”的定义，对于，存在，使得，即.先确定的范围，再结合的范围，根据集合的包含关系列出不等式组求解的取值范围.
（3）先分析函数在区间上的单调性和值域情况，再根据“和值”唯一的条件，分情况讨论的取值，结合函数的最值等性质确定的值.
（1）函数在上的“和值”不为0，理由如下：
若函数在上的“和值”为0，
由于，不妨令，此时无解，矛盾，
从而函数在上的“和值”不为0；
（2），则，，
由于对任意，都存在，使得，
那么，于是，解得；
（3）解法1：，则，
若，则在单调递增，则，
则，
于是，则，
其中，故，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，
又时，，时，，故，
则，
于是，解得，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，在上单调递增，
则时，取最小值；
当时，此时的最小值为，
故，
于是，无解，则无解；
当时，中，时，，时，，
由于，故，
其中，
当时，，即，
故，
于是，解得，
要想有唯一“和值，则，解得；
当时，，即，
故，
于是，而，故无解，则无解；
若，由于，故，
那么，解得，
要想有唯一“和值，则，解得，负值舍去，
综上，或；
解法2：由于，的最值只可能在中取，
因此的最小值为0，于是必然，则，
而的值唯一，那么，于是的最大值必然等于2，否则不唯一，
若最大值在处取，则，此时，符合；
若最大值在处取，则，则，
若，此时，矛盾；
若，此时符合，
综上所述：或.
1 / 1广东省东莞市东莞中学松山湖学校2024-2025学年高一上学期第二次段考（12月）数学试题
1．（2024高一上·东莞期中）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·东莞期中）已知命题，则命题的否定为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·东莞期中）下列各组函数中，与是相同函数的是（为自然对数的底数）（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·东莞期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·东莞期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·东莞期中）已知函数的值域为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·东莞期中）已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·东莞期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·东莞期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（　　）
A．0 B． C．1 D．
10．（2024高一上·东莞期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2024高一上·东莞期中）已知函数，则函数的定义域为　 　.
12．（2024高一上·东莞期中）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为　 　.
13．（2024高一上·东莞期中）已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是　 　.
14．（2024高一上·东莞期中）回答下面两个题
（1）计算：.
（2）若，求的值.
15．（2024高一上·东莞期中）已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.
16．（2024高一上·东莞期中）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：）
17．（2024高一上·东莞期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．（2024高一上·东莞期中）设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间D上的“和值”为.
（1）判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由；
（2）若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围；
（3）若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： 由，，得.
故答案为：D.
【分析】本题需要先求解集合，再根据并集的定义求出.并集是把两个集合中的所有元素合并在一起组成的集合（重复元素只算一次）.
2．【答案】C
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：已知命题，按照存在量词命题否定的规则，将“”改为“”，“”否定为“”，所以命题的否定为.
故答案为：C.
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，需将存在量词“”改为全称量词“”，并否定结论.
3．【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解 对于A，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于B，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于C，定义域为，定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是相同函数；
对于D，和定义域均为，，所以两个函数为相同函数.
故答案为：D.
【分析】分别分析每个选项中两个函数的定义域和对应关系，若两者都相同，则为相同函数，否则不是.
4．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解： 由图象可知，为奇函数且定义域为，
对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合；
对于B：定义域为，不符合；
对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合；
对于D：定义域为，不符合.
故答案为：C.
【分析】先从函数图象获取关键特征，确定函数应满足的定义域和奇偶性，再依次分析每个选项中函数的定义域是否符合，以及通过计算并与比较，判断奇偶性是否符合，从而筛选出正确选项。
5．【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： 且，且且，，即且，
，，，所以
故.
故答案为：B
【分析】先分别分析、、与的大小关系，确定大于，、小于；再将、转化为以为底的对数形式，利用对数函数单调性比较、的大小，进而得出三者的大小顺序.
6．【答案】A
【知识点】函数的值域；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解： 由题意得的值域为，
当时，的值域为，符合题意，
当时，，解得；
综上：的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】要确定的取值范围，需考虑函数的值域情况.因为原函数的值域为，所以的值域必须包含.
分和两种情况讨论，时函数为一次函数，时函数为二次函数，利用二次函数的性质（开口方向、判别式）来分析
7．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 由函数定义域可知，，
当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解，
所以，即在时有解，
作出函数的图象如图，
由图象可知，若和的图象有一个交点，则，得，
当时，与有一个交点，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】已知函数图象上存在两个点关于原点对称，可将其转化为时函数部分关于原点的对称图象与时函数部分有交点.先确定的初步范围，再通过构造函数，将问题转化为两个函数图象有交点，结合函数单调性与图象特征求解的取值范围.
8．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；指数型复合函数的性质及应用；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 对于A选项，设，该函数的定义域为，
所以函数为偶函数，
当时，内层函数单调递增，外层函数也为增函数，
所以，函数在区间上单调递增，A选项合乎要求；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
所以函数为奇函数，B选项不合乎要求；
对于C，由，定义域关于原点对称，
得是偶函数.
当时，，故在上单调递增，C正确
对于D选项，为偶函数，但该函数在区间上递减，D选项不合乎要求.
故答案为：AC.
【分析】根据偶函数的定义（，定义域关于原点对称）和函数单调性的定义或复合函数单调性法则，对每个选项逐一分析.
9．【答案】A,B
【知识点】函数的值域；不等式的解集
【解析】【解答】解： 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，即函数在的值域为，
由于函数的值域为，
则函数在上的值域包含，
所以，，解得，
故答案为：AB
【分析】确定的取值，需先分析时函数的值域，再根据整个函数值域为R，得出时函数的值域需包含，进而列出不等式组求解.
10．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： A选项，由题意得是的两个根，
故，消去得，A正确；
B选项，，
，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
则，故，B正确；
C选项，，
由基本不等式得
，当且仅当，
即时，等号成立，C正确；
D选项，，解得，
，故当时，取得最小值D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，利用韦达定理得出、的关系式，判断选项A；再分别对选项B、C、D，结合基本不等式或二次函数性质来分析最值，从而判断对错.
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解： 函数的定义需满足，得，所以函数的定义域为.
故答案为：
【分析】要确定函数的定义域，需考虑函数中对数部分和根式部分的限制条件.对数的真数必须大于，同时根式内的表达式必须大于，所以需要分别列出这两个不等式，然后求解它们的交集，即为函数的定义域.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 由题意得，函数在上单调递减，且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，
由得，，解得：
故不等式的解集为.
故答案为：
【分析】先依据奇函数的性质，判断出函数在整个定义域上的单调性；再根据函数的定义域以及单调性，列出关于的不等式组，求解该不等式组得到不等式的解集.
13．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 作出函数的图象，
由有5个零点，
得或.
令，则，
即的两个零点分别在区间和内，
因为，所以只需要满足：，
另解：，令，
根据对勾函数图象以及结合题意可得：
故答案为：.
【分析】先将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，通过令，把问题转化为二次方程的根的分布问题.再结合的图象，分析的取值范围，进而确定的取值范围.
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解： 因为，所以
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）利用对数的性质（）、换底公式以及对数运算法则（）来逐步计算式子的值.
（2）先对进行因式分解（利用立方和公式），再将代入化简后的式子，结合指数运算法则计算出结果.
（1）；
（2）因为，所以
.
15．【答案】（1）解： 由，可得，
解得，即，
当时，即，解得，
即，故.
于是.
（2）解： 由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集.
因，由可知，
故得，解得.
故实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求解分式不等式得到集合，再将代入求解一元二次不等式得到集合，接着求出的补集，最后求与的交集.
（2）根据必要非充分条件的定义，可知是的真子集。先分析集合的形式（由二次函数性质判断区间范围），再结合的范围列出关于的不等式组，求解得到的取值范围.
（1）由，可得，
解得，即，
当时，即，解得，
即，故.
于是.
（2）由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集.
因，由可知，
故得，解得.
故实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解： 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为，
又点在曲线上，所以，则，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为.
（2）解： 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，
则，所以，所以，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）分药物释放过程中（）和释放完毕后（）两段来确定函数关系式.药物释放过程中含药量与时间成正比，用正比例函数模型；释放完毕后用给定的指数函数模型，再利用图象过的点求出未知参数.
（2）学生能进入教室的条件是空气中每立方米含药量降低到毫克及以下，由于药物释放过程中含药量在增加，所以只需考虑药物释放完毕后（）的情况.将含药量代入释放完毕后的函数关系式，结合指数与对数的关系求解的最小值.
（1）由图，直线过点，所以图象中线段的方程为，
又点在曲线上，所以，则，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为.
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，
则，所以，所以，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室.
17．【答案】（1）解： 因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得，所以函数，
检验：，函数为奇函数.
故.
（2）解： 在上单调递增.证明如下：
设，
则，
其中，
则，即，
所以函数在上单调递增.
（3）解： 设，，
在上单调递增，可得，
又，由在上单调递增，则，
即，且当时取到最大值.
要使不等式在上恒成立，
则，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质，再结合已知，联立方程求解、的值，最后验证函数的奇偶性.
（2）用函数单调性的定义来判断。任取上的两个自变量、（），计算，通过分析其符号来确定单调性.
（3）先根据的单调性求出的值域，再令，将转化为，结合的单调性求出的最大值，最后根据不等式恒成立的条件确定的取值范围.
（1）因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得，所以函数，
检验：，函数为奇函数.
故.
（2）在上单调递增.证明如下：
设，
则，
其中，
则，即，
所以函数在上单调递增.
（3）设，，
在上单调递增，可得，
又，由在上单调递增，则，
即，且当时取到最大值.
要使不等式在上恒成立，
则，即实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解： 函数在上的“和值”不为0，理由如下：
若函数在上的“和值”为0，
由于，不妨令，此时无解，矛盾，
从而函数在上的“和值”不为0；
（2）解： ，则，，
由于对任意，都存在，使得，
那么，于是，解得；
（3）解： 解法1：，则，
若，则在单调递增，则，
则，
于是，则，
其中，故，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，
又时，，时，，故，
则，
于是，解得，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，在上单调递增，
则时，取最小值；
当时，此时的最小值为，
故，
于是，无解，则无解；
当时，中，时，，时，，
由于，故，
其中，
当时，，即，
故，
于是，解得，
要想有唯一“和值，则，解得；
当时，，即，
故，
于是，而，故无解，则无解；
若，由于，故，
那么，解得，
要想有唯一“和值，则，解得，负值舍去，
综上，或；
解法2：由于，的最值只可能在中取，
因此的最小值为0，于是必然，则，
而的值唯一，那么，于是的最大值必然等于2，否则不唯一，
若最大值在处取，则，此时，符合；
若最大值在处取，则，则，
若，此时，矛盾；
若，此时符合，
综上所述：或.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据“和值”的定义，假设函数在上的“和值”为，然后选取一个特定的，看是否存在对应的满足，若不存在，则“和值”不为.
（2）根据“和值”的定义，对于，存在，使得，即.先确定的范围，再结合的范围，根据集合的包含关系列出不等式组求解的取值范围.
（3）先分析函数在区间上的单调性和值域情况，再根据“和值”唯一的条件，分情况讨论的取值，结合函数的最值等性质确定的值.
（1）函数在上的“和值”不为0，理由如下：
若函数在上的“和值”为0，
由于，不妨令，此时无解，矛盾，
从而函数在上的“和值”不为0；
（2），则，，
由于对任意，都存在，使得，
那么，于是，解得；
（3）解法1：，则，
若，则在单调递增，则，
则，
于是，则，
其中，故，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，
又时，，时，，故，
则，
于是，解得，与有唯一“和值矛盾；
若，则在单调递减，在上单调递增，
则时，取最小值；
当时，此时的最小值为，
故，
于是，无解，则无解；
当时，中，时，，时，，
由于，故，
其中，
当时，，即，
故，
于是，解得，
要想有唯一“和值，则，解得；
当时，，即，
故，
于是，而，故无解，则无解；
若，由于，故，
那么，解得，
要想有唯一“和值，则，解得，负值舍去，
综上，或；
解法2：由于，的最值只可能在中取，
因此的最小值为0，于是必然，则，
而的值唯一，那么，于是的最大值必然等于2，否则不唯一，
若最大值在处取，则，此时，符合；
若最大值在处取，则，则，
若，此时，矛盾；
若，此时符合，
综上所述：或.
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