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第二十一章 一元二次方程
河北特色题型专练一
题型1 缺失内容求解类问题
1. 嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 .
（1）若“”表示常数 ，请你解这个方程；
解： ，
移项，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得或 ，
解得， .
（2）若“”表示一个数字，且一元二次方程 有实数根,
求“ ”的最大值.
解：设“”为，则有 .
由题意，得 ，
解得， “ ”的最大值为9.
返回
题型2 过程辨析类问题
2.［2025石家庄校级月考］老师设计了接力游戏，用合作的方式完成用
配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行
一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
B
A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁
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3.在解方程 时，嘉淇同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得
两边都除以，得
解得
（1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是____；（填序号）
②
（2）请给出正确的解答过程.
解： ，
将方程左边分解因式，得 .
移项,得 .
因式分解,得 ，
即 ,
或 ，
解得， .
返回
题型3 结论辨析类问题
4.已知实数，现有甲、乙、丙、丁四人对关于 的方程
进行了讨论：
甲：这一定是关于 的一元二次方程；
乙：这有可能是关于 的一元一次方程；
丙：当 时，该方程有实数根；
丁：只有当且 时，该方程有实数根.
下列判断正确的是( )
A
A.乙和丙说的对 B.甲和丁说的对 C.甲和丙说的对 D.乙和丁说的对
返回
题型4 方法辨析类问题
5.已知，是方程 的两根，求代数式
的值.嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思
路，下列判断正确的是( )
A.嘉嘉、淇淇都对 B.嘉嘉对，淇淇不对
C.嘉嘉不对，淇淇对 D.嘉嘉、淇淇都不对
续表
√
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第二十一章 一元二次方程
专项突破2 根的判别式的应用
类型1 不解方程判断方程根的情况
1.［2024自贡中考］关于的一元二次方程 的根的情况
是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
返回
2.［2025保定月考］下列方程中，没有实数根的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.已知函数 的图象如图所示，则一元二次方程
的根的情况是____________.
没有实数根
返回
类型2 根据方程根的情况，求字母（代数式）的值或取值范围
4.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
( )
D
A. B.4 C. D.1
返回
5. 规定：对于任意实数，，，有【， 】★
，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★
.若关于的方程【，】★ 有两个不相
等的实数根，则 的取值范围为( )
D
A. B.
C. D.且
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6. 若关于的方程 有两个相等的实数根，
则代数式 的值为___.
7
返回
类型3 根与系数关系的综合应用
7.［2025沧州月考］已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根和 .
（1）求实数 的取值范围；
解： 关于的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，
， .
（2）当时，求 的值.
解：由题意知 ，
，
，
，
解得， （舍去），
的值为0.
返回
类型4 根的判别式与几何图形的综合应用
8.［2025石家庄月考］已知的两邻边，的长是关于 的方
程 的两个实数根.
（1）当为何值时， 是菱形？
解：当时，是菱形，即关于 的方程
有两个相等的实数根，
，
解得， .
， 的值为8.
（2）若的长为3，求 的周长.
解： ，
， ，
，解得 ，
的周长 .
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题、握手问题与数字
问题
知识点1 传播问题
1.有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有___人患了流感；
第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了____人，第二轮过
后共有____人患了流感.
7
42
49
返回
2.［2025保定月考］［教材习题 变式］某树主干长出若干数目的
支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是
31.若设主干长出 个支干，则所列方程正确的是( )
B
A. B.
C. D.
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3.［教材 探究1变式］冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，
经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了
( )
B
A.10个人 B.11个人 C.12个人 D.13个人
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4.化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，
回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验
的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这
个实验了.问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
解：设一个人每节课手把手教会了 名同学，由题意得
，解得， （不合题意，舍去）.
答：一个人每节课手把手教会了6名同学.
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知识点2 握手问题
5.［教材习题 变式］问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，
所有人共握手10次，有多少个人参加聚会？
解题方案：设有 个人参加聚会.第1个人分别与其他________个人握手，
第2个人分别与其他________个人握手……依次类推，共 个人，如此共
握手_________次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因
此， 个人每两人之间握一次手共握了__________次，我们就得到方程：
_______________,像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”.
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6. 2024年10月10日全国残疾人冰壶锦标赛在北京开幕.某
学校组织女子冰壶比赛，有 支队伍参加了比赛，共比赛了45场，每两
队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
B
A. B.
C. D.
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7. 石家庄市城市轨道交通5号线一期工程已批准建设，全长
约，站点设置依次为宫北路站-红旗南大街站-红旗桥站
谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计342种往返车
票，则这条线路共有站点( )
C
A.17个 B.18个 C.19个 D.20个
返回
8.［2025唐山期中］某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，
每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了420
本图书，则全组共有同学( )
B
A.20名 B.21名 C.22名 D.24名
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知识点3 数字问题
9.两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为 ,则可列方程为( )
B
A. B. C. D.
返回
10.［2025沧州月考］若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平
方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是( )
A
A.23 B.34 C.23或34 D.或
返回
11. 如图是某月的月
历表，在此月历表上可以用一个矩形圈
出 个位置相邻的数（如6，7，8，
13，14，15，20，21，22）.如果圈出的
9个数中，最小数与最大数的积为161，
则这个最小数是___.
7
返回
12.有1只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，那么经过两轮传染后有
81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过三轮传染后，共有_____
只鸡患上该种传染病.
729
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13.一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的
左边组成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边组成的三位
数大252，则这个两位数为________.
16或49
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14.我们都知道连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段是多边形的对
角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条.
（1）六边形的对角线有___条,七边形的对角线有____条；
9
14
（2）多边形的对角线可以共有20条吗？如果可以，求出这个多边形的
边数；如果不可以，请说明理由.
解：可以.设这个多边形的边数为 ，
由题意，得 ，
整理，得 .
解得， （不合题意，舍去）.
答：多边形的对角线可以共有20条，这个多边形的边数为8.
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15.某中学九年级（1）班共有48名同学，网课期间，全班每两名同学都
通一次电话且仅通一次电话，那么全班同学共通了多少次电话呢？我们
可以用下面的方式来解决问题.
用点，，， ， 分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同
学、…、第48名同学，把该班人数与通电话次数 之间的关系用如图所
示的模型表示.
（1）图中时，的值为____，时， 的值为____；
（2）通过探索发现，通电话次数与该班人数 之间的关系式为_______
_____，当时，对应的 _______;
10
15
1 128
（3）若九年级（1）班全体女生相互之间共通电话190次，则该班共有
多少名女生？
解：设该班共有名女生，依题意，得 .
化简，得.解得， （不合题意，舍
去）.
答：该班共有20名女生.
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 平均变化率问题与营销问题
知识点1 平均变化率问题
1.某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，对某款纯电动的
新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为 .已知这种新能源
汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价为__________万
元，第二次降价后每辆的售价为___________万元.若经过两次降价后这
种新能源汽车每辆的售价为16万元，则可列方程为________________.
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2.［2024重庆中考改编］重庆在低空经济领域实现了新的突破.2024年第
一季度低空飞行航线安全运行了200架次，第三季度低空飞行航线安全
运行达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为
，根据题意，可列方程为___________________.
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3.［2025邯郸期中］为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，
某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则平均每次降价的
百分率是( )
C
A. B. C. D.
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4. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射升空.某纪
念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.
已知该模型10月售出256件，11月、12月销量持续走高，12月售出400件，
求11月、12月这两个月的月平均增长率.
解：设11月、12月这两个月的月平均增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得， （不合题意，舍去）.
答：11月、12月这两个月的月平均增长率为 .
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知识点2 营销问题
5. “八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意.”每
年中秋节前是购买月饼的高峰期，某商场平均每天可销售月饼100盒，
每盒可盈利20元.中秋节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则
每天可多售出2盒.
设每盒降价 元，则降价后每盒盈利_________元，每天可多售出____盒，
每天一共售出___________盒，所以每天可获利___________________元，
若要每天盈利1 650元，则可列方程为___________________________.
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6. 第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在
哈尔滨举行，吉祥物正在热销中.某商场经销一种成本为每套40元的吉
祥物“滨滨和妮妮”，据市场分析，若按每套50元销售，一个月能售出
500套；销售单价每涨1元，月销售量就减少10套.为了使每月销售利润
为8 000元，则每套吉祥物的售价应定为多少元？
（1）解法1：设每套吉祥物涨价 元，可列方程为___________________
_______________；
解法2：设每套吉祥物的售价应定为元 ，可列方程为________
___________________________；
（2）请选择（1）中的一种解法完成解答.
解：选择解法，解得 ，
.
当时， ；
当时， .
答：每套吉祥物的售价应定为60元或80元.
选择解法，解得 ，
.
答：每套吉祥物的售价应定为60元或80元.
（选择其中一种解法即可）
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7.某社区为改善环境，决定加大绿化投入.四月份绿化投入25万元，四至
六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平
均增长率相同.设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为 ，根据题
意所列方程为_________________________________.
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8. “这么近，那么美，周末到河北.”我省各市依托独有的地貌
特征发展当地旅游业，同时也促进了旅游地周边的发展.某特产销售店购
进一批景点贝壳画，进价为10元/幅，市场部门规定售价不能超过进价的3
倍，店长整理了几天的销售情况，发现该贝壳画每天的销售量 （幅）与
销售单价 （元/幅）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下.
… 15 25 …
… 600 400 …
（1）与 之间的函数关系式为________________；
（2）若销售该贝壳画每天的利润要达到5 000元，求该贝壳画的销售单价.
解：由题意，得，解得 ，
.
，舍去， .
答：该贝壳画的销售单价为20元/幅.
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9. ［2025保定校级月考］保定市的西大街是具有民国风貌特
色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地.据统计，2024年国庆小长
假第一天西大街游客人数为6 000人次，第三天游客人数达到7 260人次.
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率；
解：设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为 ，
依题意，得，解得，
（不合题意，舍去）.
答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为 .
（2）街区内某商店推出了特色木质团扇，每把扇子的成本为7元.根据
销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把.若每把扇子
的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.设每把扇子降价 元.请解答
以下问题：
①填空：每天可售出扇子_____________把（用含 的代数式表示）；
②若该商店想通过售出这批扇子每天获得5 760元的利润，又想尽可能
地减少库存，每把扇子应降价多少元？
[答案] 依题意，得，解得 ，
.
想尽可能地减少库存，
每把扇子应降价6元.
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10.某商店以20元/千克的单价新进一批商品，
经调查发现，在一段时间内，销售量 （千克）
与销售单价（元/千克） 之间的函数
关系如图所示.
（1）与 之间的函数关系式是_____________；
（2）若该商品的销售单价为50元/千克，则销售利润为_____元；
900
（3）现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到800元，求销售单价应
定为多少；
解：当销售利润达到800元时， ，即
，解得， .
要尽快售完该商品，舍去， .
答：销售单价应定为40元/千克.
（4）销售利润能达到1 000元吗？若能，则出此时的销售单价；若不能，
请说明理由.
解：销售利润不能达到1 000元.
理由：当销售利润达到1 000元时，
，即 ，
整理，得 .
， 方程没有实数
根，
销售利润不能达到1 000元.
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
知识点1 形如 的方程的解法
1.一元二次方程 的解是( )
B
A. B.,
C. D.
返回
2.一元二次方程 的根是( )
C
A. B.，
C.， D.
返回
3.若一元二次方程的根分别是，，且，则 的值为
____.
返回
4.用直接开平方法解下列方程：
（1） ;
解：移项，得，即 .
两边直接开平方，得， .
（2） ；
解：移项、合并同类项，得 ，
即 .
两边直接开平方，得， .
（3） ；
解：移项、合并同类项，得 ，
即 .
两边直接开平方，得， .
（4）［教材练习T（6）变式］ .
解：移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
对于任意实数，都有 ，
原方程无实数根.
返回
知识点2 形如 的方程的解法
5.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，其中一个
一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为( )
D
A. B. C. D.
返回
6.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
返回
7.用直接开平方法解一元二次方程 的步骤如下：
，， .
其中开始出错的步骤是____.（填序号）
②
返回
8.解下列方程：
（1）［2024无锡中考］ ；
解：移项，得 .
两边直接开平方，得或 ，
解得， .
（2） ；
解：移项，得 ，
即 .
两边直接开平方，得或，解得 ，
.
（3） .
解：两边直接开平方，得或，解得 ，
.
返回
9.若关于的方程的一个根是2，则 的值为( )
D
A. B. C.或 D.或
返回
10.若一元二次方程的两根分别是与 ，则这
两根分别是( )
C
A.1，4 B.1， C.2， D.3，0
返回
11.已知某三角形的两边长分别是5和6，第三边的长是方程
的根，则此三角形的周长为( )
C
A.18 B.12 C.16 D.12或16
返回
12.［2025保定校级期末］若关于的一元二次方程 的两个
根均为正整数，写出满足条件的一个 的值为_________________.
4（答案不唯一）
返回
13. 已知，则 ____.
返回
14.解下列方程：
（1）［教材练习变式］ ；
解：整理，得 .
两边直接开平方，得，解得， .
（2） ；
解：整理，得 .
两边直接开平方，得 ，
解得 .
（3） ；
解：移项、合并同类项，得，即 .
两边直接开平方，得 ，
解得， .
（4） .
解：两边直接开平方，得 ，
或，解得， .
返回
15. 【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于
的一元二次方程的两个根是， ，求关
于的一元二次方程 的根.他用“换元法”解决了这
个问题.我们一起来看看小明同学的具体做法.
解：在方程中，令 ，则方程可变形为
.
根据关于的一元二次方程的两个根是 ,
,
可得方程的两个根是， .
把代入，得 ，
解得 ；
把代入，得 ，
解得 .
所以方程的两个根是， .
【应用】若关于的一元二次方程 的两个根是
,,求关于的一元二次方程 的根.
解：在方程中，令 ，则方程
可变形为 .
根据关于的一元二次方程的两个根是 ，
，
可得方程的两个根是， .
把代入 ，
得，解得 ；
把代入 ，
得，解得 .
所以方程的两个根是 ，
.
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形问题
知识点1 面积问题
1.［教材习题变式］一个直角三角形的两条直角边长相差 ，
面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可
列出方程为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿
化后一边减少了,相邻的一边减少了 ,剩余部分
是面积为 的矩形空地，则原正方形空地的边长
为( )
C
A. B. C. D.
返回
3.如图，有一张长，宽 的矩形纸片，在它的四个角各剪去一
个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的
底面（图中阴影部分）面积是 ，则剪去的小正方形的边长为___
.
1
（第3题）
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知识点2 边框与甬道问题
4. 指尖上的非遗——麻柳刺绣，
针线勾勒之间，绣出世间百态.在一幅长
，宽 的刺绣风景画的四周镶一
条金色纸边（风景画四周的金色纸边宽度相
同），制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整
个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽
度为 ，则列出的方程为( )
C
A. B.
C. D.
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（第5题）
5.［2025秦皇岛月考］如图，在宽，长 的
矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种
植花卉，且种植花卉的面积为 ，则铺设的石
子路的宽为( )
A
A. B. C. D.
返回
知识点3 围墙问题
（第6题）
6.如图，空地上（空地足够大）有一段长为
的旧墙 ，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形
菜园，已知木栏总长 ，矩形菜园
的面积为.若设 ，则可列
方程为( )
B
A. B.
C. D.
返回
7.［2025保定定州期中］如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成
一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为 ，在
鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则 的长为
___ .
5
（第7题）
返回
8.如图，一根长为 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两
个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为___ .
4
（第8题）
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9.［教材习题 变式］［2025唐山期中］
校园内有一块长，宽 的矩形场
地，计划在这块场地上修建等宽的道路
（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平
行），剩余部分种上草坪.
（1）如图①，测得草坪的面积是 ，求道路的宽度；
解：设道路的宽度为 ，
根据题意，得 ，
解得， （不合题意，舍去）.
答：道路的宽度为 .
（2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，决定对这块矩形场地重
新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图②，剩余部分作为学生综
合实践种植园.若种植园的面积是矩形场地面积的 ，求道路的宽度.
解：设道路的宽度为 ，
根据题意，得，解得 ，
（不合题意，舍去）.
答：道路的宽度为 .
返回
10.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形
苗圃，苗圃的一面靠墙（墙可用长度为 ），另外三边用木栏
围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在
如图所示的两个区域中各留 宽的门（门不用木栏），修建所用木栏
总长为，设矩形苗圃的一边长为 .
（1）求矩形苗圃的另一边长是多少米；（用含 的代数式表示）
解： 修建所用木栏总长为，且两个区域中各留 宽的门
（门不用木栏），
.
（2）矩形苗圃的面积能否为？若能，求出 的长；若不
能，请说明理由.
解：矩形苗圃的面积能为 ，
根据题意，得 ，
整理，得，解得， .
当时， ，不合题意，舍去；
当时， ，符合题意.
的长为 .
返回
11.如图，在中， ， ，
.点从点开始沿边向点以 的速
度匀速运动，同时点从点开始沿边向点 以
的速度匀速运动.当其中一点到达终点时，另一
点也随之停止运动.设运动时间为 .
解：由题意，得，， .
（1）___后，的面积为 ；
1
（2）几秒后，的长度为 ？
[答案] 由，得 ，整理，得
，
解得（不合题意，舍去）， .
答：后，的长度为 .
（3）的面积能否为 ？请说明理由.
[答案] 不能.
理由：由题意，得 ，
整理，得 .
，
此方程无实数根，
的面积不能为 .
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.由方程 可以得到的方程是( )
A
A.或 B.
C. D.
返回
2.方程 的根是( )
D
A. B.
C.， D.，
返回
3.用因式分解法解一元二次方程 时，要转化成两个一元
一次方程求解，其中的一个方程是 ，则另一个方程是
_______________，所以一元二次方程 的解是________
__________.
，
返回
4.用因式分解法解下列方程：
（1） ;
解：因式分解，得 ，
于是得或 ，
解得， .
（2） ；
解：因式分解，得 ,
于是得或 ，
解得， .
（3） ;
解：整理得.因式分解，得 ，解得
.
（4） ；
解：因式分解，得,于是得 或
，
解得， .
（5） ；
解：因式分解，得，于是得 或
，解得， .
（6） .
解：移项，得 .
因式分解，得 ，
即 ，
于是得或 ，
解得， ．
返回
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
5.［2025邯郸月考］解方程 的最佳方法是( )
D
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
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6.在下列各题的横线上填写适当的解法.
（1）解方程 ,用______法较适宜；
（2）解方程 ,用__________法较适宜.
公式
因式分解
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7.用适当的方法解下列方程：
（1） ；
解：整理，得 .
开平方，得 .
解得， .
（2） ;
解：移项，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得 ，
解得， .
（3） ；
解：，， ，
，
,， .
（4） .
解：整理，得 ，
因式分解，得 ，
于是得或 ，
解得， .
返回
8.［2025张家口期中］某节数学课上，甲、乙两名同学都在黑板上解方
程 ，解答过程如下表所示，其中完全正确的是
( )
甲
乙
B
A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.都不正确
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9.若矩形的两邻边长分别为一元二次方程 的两
个实数根，则矩形 的对角线长为( )
C
A. B.4 C.5 D.10
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10.若某三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程
的根，则此三角形的周长为( )
A
A.16 B.18 C.15或17 D.16或18
返回
11.用因式分解法解一元二次方程时，若 是该方程
左边二次三项式的一个因式，则 的值是___.
1
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12.用因式分解法解下列方程：
（1） ；
解：因式分解，得 ，即
，
于是得或 ，
解得， .
（2） ；
解：移项，得 .
因式分解，得，即 ，
于是得或 ，
解得， .
（3） .
解：移项，得 .
因式分解，得 ，
即 ，
于是得或 ，
解得， .
返回
13.［教材练习 变式］如图，把小圆形场地的半径增加
得到大圆形场地，大圆形场地的面积是原来场地面积的2
倍.求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为，则大圆形场地的半径为 ，由
题意，得，解得，
（舍去）.
答：小圆形场地的半径为 .
微专项2 用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程
例： （1）将 进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：
解：①竖分二次项与常数项：， .
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，
其结果须等于多项式中的一次项）
③横向写出两因式：
（2）根据乘法原理：若，则或 .
试用上述方法和原理解下列方程：
.
我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法.
① ；
解：因式分解，得 ，
或，， .
② ;
解：因式分解，得 ，
或，， .
③ ；
解：因式分解，得 ，
或 ，
， .
④ .
解：因式分解，得 ，
或 ，
， .
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第二十一章 一元二次方程
培优拔高练 用数学思想解方程
类型1 转化思想
1.用“转化”的数学思想，我们可以解一些新的方程.例如，一元三次方程
，可以通过因式分解把它转化为 ，
解方程和，可得方程 的解.
（1）问题：方程的解是，__，
_______________________；
（前后顺序可对调）
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
解：由题意，得, ，
即 .
方程两边同时平方，得 ，
解得, （舍去），
方程的解为 .
（3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽 ，
点在上，小华把一根长为的绳子一端固定在点 ，
拉直绳子并固定在点，再拉直，绳子的另一端恰好落在点，求 的长.
解： 四边形 是矩形，
， .
设，则 .
，
，
，
，
，
两边平方，得 ，
整理，得 ，
两边平方并整理，得 ，
解得，（此时 ,不合题意，舍去）.
经检验， 是原方程的解.
答：的长为 .
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类型2 从特殊到一般的思想
2.［教材 数学活动变式］阅读下面材料，并解决相
关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中
第一行有1个点，第二行有2个点……第行有 个
点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为____，前15行的点数之和为
_____，前 行的点数之和为___________；
（2）体验：三角点阵中前 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为
500；
36
120
不能
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆
同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排
盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
解：由题意可知前 排的盆数之和为
，
则，整理，得 ，
解得， （舍去）.
答：一共能摆放20排.
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第二十一章 一元二次方程
专项突破1 一元二次方程的解法
方法1 形如或 的方程，可
用直接开平方法求解
1.用直接开平方法解下列方程：
（1） ；
解：直接开平方，得 ，
即， .
（2） ；
解：移项、合并同类项，得 ，
直接开平方，得 ，
解得， .
（3） ；
解：直接开平方，得 ，
解得， .
（4） .
解：方程可化为 .
直接开平方，得或 ，
解得， ．
返回
方法2 方程一边化为0后，另一边能因式分解的方程，可用因式分
解法求解
2.用因式分解法解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 .
因式分解，得 ，
于是得或 ，
解得， .
（2） ；
解：因式分解，得 .
于是得或 ，
解得， .
（3） ；
解：移项，得 .
因式分解，得 ，
于是得或 ，
解得， .
（4） .
解：因式分解，得 ，即
，
于是得或 ，
解得， .
返回
方法3 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法求解
3.用配方法解下列方程：
（1）［2024安徽中考］ ；
解：配方，得 ，
即.开平方，得 ，
解得， .
（2） .
解：移项，得 .
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
解得， .
返回
方法4 方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解
4.用公式法解下列方程：
（1） ；
解：，, ，
，
.
（2） ；
解：方程化为一般形式为 ，
则，， ，
，
，即, .
（3） .
解：方程整理得 ，
则，， ，
，
，, .
返回
方法5 分类讨论解含绝对值的一元二次方程
5. 阅读下面的材料，解答问题.
材料：解含绝对值的方程： .
解：分两种情况：
①当时，原方程可化为，解得，
（舍去）；
②当时，原方程可化为，解得，
（舍去）.
综上所述，原方程的解是， .
请参照上述方法解方程： .
解：分两种情况：
①当，即 时，
原方程可化为 ，
整理，得 ，
解得， ；
②当，即 时，
原方程可化为 ，
整理，得 ，
解得（舍去）， （舍去）.
综上所述，原方程的解是， .
返回
方法6 用换元法解一元二次方程
6.阅读材料，解答问题.
解方程： .
解：把视为一个整体，设 ，则原方程化为
，
解得， .
或 .
， .
以上方法就叫做“换元法”，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想.
（1）解方程： ;
解：设，则原方程化为，解得， .
当时，，；当时，，无实数根.
原方程的解为， .
（2）解方程： ;
解：设，则原方程化为，解得 ，
.当时，，解得， ;当
时，,解得 .综上所述，原方程的解为
，， .
（3）已知，求 的值.
解：令，则 ，
原方程可化为，即 ，
因式分解，得 ，
解得（舍去）， ，
的值为1.
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期末提分练案
期末提分一 一元二次方程
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
( )
D
A.1，4，5 B.0，， C.1，，5 D.1，，
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2.［2025沧州期中］用配方法解方程 ，变形后结果正确
的是( )
B
A. B. C. D.
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3.［2025廊坊安次区期中］关于的方程 的两根为1和
，则， 的值分别为( )
B
A.， B.，
C.， D.，
返回
4. 我国古代著作《四元玉鉴》记载了“买椽多少”问题：
“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”
其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的
运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱.根据题意可列方程，其中 表示( )
B
A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量 C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱
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5.［2024潍坊中考］已知关于 的一元二次方程
，其中，满足 ，关于该方
程根的情况，下列判断正确的是( )
C
A.无实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
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6.［2025邯郸永年区期中］如图，在中， ，
，.以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点 ，
以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点 .下列线段的长度中
是方程 的一个根的是( )
C
A.线段的长 B.线段的长 C.线段的长 D.线段 的长
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二、填空题（每小题5分，共20分）
7.如果关于的方程有两个相等的实数根，则 ___.
1
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8.若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程 的
两根，则这个等腰三角形的周长是____.
10
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9. 2024年世界互联网大会·乌镇峰会于11月19日至22日在
浙江乌镇举行.本次峰会全面聚焦人工智能，目前人工智能技术涵盖基
础学习类、语言处理类、视觉处理类和其他技术类等几大领域.某高校
开设了人工智能相关选修课程（一年修满学分），已知2022年和2024年
报名的学生分别有100人和169人，2023年和2024年每年报名的学生人数
的平均增长率相同，则这个年平均增长率为______.
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10.对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示， 中较
大的数.如： .
（1）方程 的解为_________________；
（2）方程 的解为______.
，
返回
三、解答题（共50分）
11.（21分）解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 .
二次项系数化为1，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得 .
， .
（2） ；
解：原方程可化为 .
，
，
即， .
（3） .
解：因式分解，得 或
.
， ．
返回
12.（12分）已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
证明： ，
无论 为何值，方程总有实数根.
（2）若，是方程的两个实数根，且，求 的值.
解：由题意知， .
， ，
解得， .
经检验，， 是原方程的解.
的值为1或 .
返回
13.（17分） 综合实践：如何用
最少的材料设计花园？
【背景】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花
园，其中一边靠墙，墙长为 ，现可
用的篱笆总长为，设的长为
【项目解决】
目标1： 确定面积与边长的关系.
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为时，求 的长.
解：的长为，矩形花园的面积为， .
现可用的篱笆总长为 ，且篱笆全部用完，
，
，即 ，
解得， ，
或 .
又 墙长为， ，不合题意，舍去，
.
目标2： 探究最少的材料方案.
现要围面积为的矩形花园，设所用的篱笆为 .
（1）若，能成功围成吗？若能，求出 的长；若不能，请说明
理由；
[答案] 不能成功围成.理由如下：
的长为，矩形花园面积为， .
所用的篱笆为 ，
，，即 .
，
方程无实数解，故不能成功围成.
（2）若要成功围成，则的最小值为____，此时，__ .
18
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
知识点1 一元二次方程根的判别式
1.［2025石家庄期中］一元二次方程 的根的判别式的值
是( )
B
A.28 B.4 C.25 D.16
返回
2.关于的方程 的根的判别式的值是( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点2 利用根的判别式判断根的情况
3.［2025沧州期中］一元二次方程 的根的情况是
( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法确定
返回
4.［2024上海中考］以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.［教材习题 变式］不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） ；
解：，， ，
，
方程有两个相等的实数根.
（2） ；
解：方程整理得 ，
则，， ，
，
方程有两个不相等的实数根.
（3） ；
解：，, ,
， 方程无实数根.
（4） .
解：方程整理得 ，
则，, ,
， 方程无实数根.
返回
知识点3 用公式法解一元二次方程
6.用公式法解方程时，，， 的值依次是( )
B
A.0，, B.1，3， C.1，, D.1，,
返回
7.［2025邢台襄都区月考］若某一元二次方程的根为 ，
则该一元二次方程可以为( )
A
A. B.
C. D.
返回
8.用公式法解方程： .
解：方程化为一般形式，得_________________.
___,___, ____.
________.
方程有____________实数根，为_ ______ _____，
即__, ____.
2
3
两个不等的
返回
9.［教材 例2变式］用公式法解下列方程：
（1） ;
解：，， ，
，
，
， .
（2） ;
解：，， ，
，
.
（3） .
解：方程化为一般形式得 ，
则，， ，
，
方程无实数根.
返回
10.［2024北京中考］若关于的一元二次方程 有两个相
等的实数根，则实数 的值为( )
C
A. B. C.4 D.16
返回
11.［2025邯郸丛台区月考］嘉琪在解一元二次方程● 时，
不小心把二次项系数沾上了墨水，若这个一元二次方程无实数根，则被
沾上了墨水的二次项系数可能是( )
D
A. B.1 C.2 D.3
返回
12.［2024河北中考］淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求
得的答案比正确答案小1，则 ( )
C
A.1 B. C. D.1或
返回
13.若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于 的一元二次方
程 的根的情况是( )
A
A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
返回
14.已知，，分别是三角形的三边长，且关于 的方程
有两个相等的实数根，则该三角形是
______三角形.
直角
返回
15.已知关于的一元二次方程 .
（1）试判断方程的根的情况；
解：，， ，
（2）若此方程有一个根大于0且小于1，求 的取值范围.
解：方程的根为，即， 此方程有
一个根大于0且小于1，， .
，
此方程总有两个实数根.
返回
16.［2024南充中考］已知，是关于 的方程
的两个不等的实数根.
（1）求 的取值范围；
解： 关于的方程 有两个不等的实数根，
，
解得 .
（2）若，且，，都是整数，求 的值.
解：由（1）得 ，
， 整数 的值有2，3，4.
当时，方程为 ，
解得， （都是整数，符合题意）；
当时，方程为 ，
解得 （不是整数，舍去）；
当时，方程为 ，
解得 （不是整数，舍去）.
综上所述， 的值为2.
返回
17. 我们规定：对于任意实数,,, ，有
,其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：
.
（1）求 的值；
解： .
（2）已知关于的方程 有两个实数根，求
的取值范围.
解：根据题意，得 ，
整理得 .
关于的方程 有两个实数根，
且，解得且 ．
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第二十一章 一元二次方程
阶段练习（21.1-21.2）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列方程中，一定属于一元二次方程的是( )
B
A.（是常数） B.
C. D.
返回
2.一元二次方程 的解是( )
C
A.， B.，
C.， D.无实数解
返回
3.一元二次方程化为的形式时，得到 的值
为2， 的值为6，则所得结果( )
B
A.正确 B.错误，的值应为
C.错误，的值应为2 D.错误， 的值应为4
返回
4.若关于的一元二次方程的一个根是 ，
则 的值为( )
A
A.2 B. C.2或 D.
返回
5.［2024济南中考］若关于的方程 有两个不相等的实数
根，则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.［2024乐山中考］若关于的一元二次方程 两根为
，，且，则 的值为( )
A
A. B. C. D.6
返回
7.等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个
三角形的周长为( )
C
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
返回
8.［2025邯郸月考］如图，四边形 是边长为5的菱形，对角线
，的长度分别是一元二次方程 的两个实数根，
是边上的高，则 的长为( )
D
A.4.8 B.3.6 C.2.4 D.1.2
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.一元二次方程 的二次项系数是4，则常数项是_____.
返回
10.［2024湖南中考］若关于的一元二次方程 有两个
相等的实数根，则 的值为___.
2
返回
11.［2024烟台中考］若一元二次方程的两根为， ，
则 的值为___.
6
返回
12.［2024广州中考］定义新运算： 例如：
，.若，则 的
值为_______.
或
返回
三、解答题（共40分）
13.（8分）解下列方程：
（1） ；
解：整理，得 ,
解得， .
（2） ；
解：配方，得 ，
即 .
开平方，得 ，
, .
（3） ；
解：,, ,
，
，
即， .
（4） .
解：因式分解，得 ,
即 ,
或 ，
解得, .
返回
14.（10分）［2025石家庄长安区月考］嘉嘉同学解一元二次方程
的过程如下.
解：，， ，①
，②
，③
（1）嘉嘉解方程的方法是________，他的求解过程从第____步开始出
现错误；
公式法
①
（2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根.
解：方程变形为 .
，， ，
，
，
即， .
返回
15.（10分）已知关于的一元二次方程 有两个实数根.
（1）求 的取值范围；
解：根据题意，得 ，
解得 .
（2）设是方程的一个实数根，且满足 ，求
的值.
解：是方程的一个实数根， ，
，
，即 ，
解得（舍去）， .
故的值为 .
返回
16.（12分）已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
证明： ，
无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）当矩形的对角线长为，且矩形两条边和 恰
好是这个方程的两个根时，求矩形 的周长.
解： 矩形两条边和 恰好是这个方程的两个根，
， .
在中， ，
.
， ，
解得 .
当时， ，
；
当时， ，不合题意，舍去.
故矩形 的周长为10.
返回(共23张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.［2025保定竞秀区月考］已知一元二次方程 的两根分
别为，，则 的值是( )
D
A. B.2 C. D.5
返回
2.若，是方程的两个根，则 的值为
( )
B
A. B. C.2 D.6
返回
3.以2和 为根的一元二次方程可以是( )
C
A. B.
C. D.
返回
4.［教材 例4变式］不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） ；
解：， .
（2） ；
解： ，
.
（3） ；
解：方程化为 ，
， .
（4） .
解：方程化为 ，
， .
返回
知识点2 根与系数关系的应用
5.已知，是关于的方程的两个根，且 ，
则 ( )
C
A. B.1 C. D.4
返回
6.［2025秦皇岛海港区月考］已知方程的一个根为 ，
则方程的另一个根为( )
C
A. B.5 C. D.2
返回
7.若，是方程的两个根，则 的值是
( )
A
A. B.0 C.1 D.2
返回
8.已知 ， 分别是方程的两个根，则代数式
的值为( )
B
A.16 B.18 C.20 D.22
返回
9.若关于的一元二次方程 的两实数根之积为负数，
则实数 的取值范围是_______.
返回
10.已知，是一元二次方程 的两个根，不解方程，
求下列各式的值：
解：由题意得， .
（1） ；
[答案] .
（2） .
[答案] .
返回
11.［2024日照中考］已知实数，是关于 的方程
的两个根，若，则 的值为( )
B
A.1 B. C. D.
返回
12.若一矩形的长和宽是方程 的两根，则该矩形的对
角线长为( )
A
A.10 B.12 C.14 D.16
返回
13.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过
程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中
写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 ，则原来的方
程是( )
B
A. B.
C. D.
返回
14. ［2024内江中考节选］已知关于 的一元二次方程
（为常数）有两个不等的实数根和 ，且
，则 的值为___.
3
返回
15.［2024成都中考］若，是一元二次方程 的两个实
数根，则 的值为___.
7
返回
16.［2024遂宁中考］已知关于 的一元二次方程
.
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
证明： .
无论取何值， 恒成立，
无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求 的值.
解：，是方程 的两个实数根，
， ，
，
解得， .
返回
17.阅读材料，解答问题：
若实数，满足，，且 ，则
，是方程 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系
就可以知道与的和、与 的积.
（1）【材料理解】
___， ____；
1
（2）【类比应用】
已知实数，满足，，且 ，求
的值；
解： 实数，满足，，且 ，
实数，是关于的方程 的两个不相等的实数根，
， ，
.
（3）【思维拓展】
已知实数，满足，，且 ，求
的值.
解：当时，， .
， .
， .
又 ，
，是关于的方程 的两个不相等的实数根，
，即 ，
，
.
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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A
A. B. C. D.
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2.［2025邯郸邯山区月考］若方程 是一元二次方程，
则 的值为( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
返回
3.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值
范围是_______.
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知识点2 一元二次方程的一般形式
4.一元二次方程 的二次项系数是( )
B
A.2 B.3 C.4 D.
返回
5.［2025保定月考］将一元二次方程 化成一般形式后，二
次项系数和一次项系数分别为( )
C
A.3， B.3，4 C.3， D.，
返回
6.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、
一次项系数及常数项.
（1） ；
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是9，一次项系数
是0，常数项是 .
（2） ；
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系
数是，常数项是 .
（3） ；
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是6，一次项
系数是2，常数项是 .
（4） .
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系
数是，常数项是 .
返回
知识点3 一元二次方程的根
7.下列各数中，是一元二次方程 的根的是( )
A
A. B.0 C.2 D.3
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8.已知是关于的一元二次方程 的一个根，则下列
等式正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
9.［2024深圳中考］已知一元二次方程 的一个根为1，
则 ___.
2
返回
10. 已知是方程的一个根，则
___.
1
返回
知识点4 根据实际问题列一元二次方程
11.某校准备修建一个面积为 的矩形活动场地，它的长比宽多
，设场地的宽为 ，则可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
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12. ［教材 问题2变式］我国的乒乓球“梦之队”2024年
在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段包括团体赛
和单打预赛，其中团体赛比赛赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）.
计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请 个球队参加比赛，则可
列方程为_______________.
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13.在下列方程中，一元二次方程有( )
；； ；
.
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
14. 若关于的一元二次方程 化为一般
形式后不含一次项，则 的值为( )
D
A.0 B. C.3 D.
返回
15. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率
七，乙行率三.乙东行，甲南行十而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何？”
大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的
速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段
后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到
相遇的时间为 ，根据题意，下列方程正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
16.［2024南充中考］已知是方程 的一个根，则
的值为____.
返回
17. ［2025廊坊期中］定义：对于一元二次方程
，若满足 ，则称这个方程为“和
谐”方程；若满足 ，则称这个方程为“友善”方程.已知关于
的方程 既是“和谐”方程，又是“友善”方程，
则方程的两根的数量关系是____________.
互为相反数
返回
18.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元
二次方程的一般形式.
（1）某班之间为相互鼓励，每两人之间进行一次
击掌，共击掌595次，求本班有多少名同学；
解：设本班有 名同学.
依题意，得 ，
化成一般形式为 .
（2）如图，用长的围栏围成总面积为 的三个大小相同的
矩形羊圈，羊圈的一面靠墙（墙足够长），求 的长.
解：设的长为 .
由题意，得，化成一般形式为 .
返回
19. 如图，点、点与点 表
示的数分别为0，1和3，宸宸在数轴上以 为
直角顶点作，使，再以点
为圆心，长为半径画弧，交数轴于，两点（点在点 右侧）.若
，表示的数分别为和，莲莲说：“我发现 是一元二次方程
的一个根.”琮琮说： “ 一定不是一元二次方程
的根.”已知莲莲的说法正确.
（1）求出与 的值；
解：在中， ，
， ，
.
，，，
点表示的数为，即；点表示的数为 ，即
.
（2）求出 的值；
解：由（1）知，把代入方程 ，
得，解得 .
（3）你认为琮琮说得对吗？请说明理由.
解：琮琮说得不对.理由如下：
把代入一元二次方程 的左边,得左边
右边， 左边右边，一定是一元二次方程
的根,故琮琮说得不对.
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第二十一章 一元二次方程
章末整合练
知识结构
核心考点巩固
考点1 一元二次方程及相关概念
1.［2025保定月考］下列方程中，是一元二次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二
次方程可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.若关于的一元二次方程 的一个解为
，则 ____.
返回
考点2 一元二次方程的解法
4. 已知方程 ，等号右侧的数字印刷不
清楚，若可以将其配方成 的形式，则印刷不清楚的数字是
( )
C
A.6 B.9 C.2 D.
返回
5.如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入 的值为( )
C
A. B.
C.或 D.无法确定
返回
6.甲、乙、丙三名同学探讨关于 的一元二次方程
总有实数根的条件，并给出结论.甲：， 同
号；乙：；丙： .下列说法正确的是( )
B
A.甲、乙、丙都正确 B.只有甲不正确
C.甲、乙、丙都不正确 D.只有乙正确
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7.解下列方程：
（1） ；
解：直接开平方，得 .
， .
（2） ;
解：移项，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得 ，
， .
（3） ；
解：，， ，
，
，
即， .
（4） .
解：移项，得 .
因式分解，得 ,
或 ，
, .
返回
考点3 一元二次方程根的判别式
8.某同学在解关于的方程时，只抄对了 ，
，解出其中一个根是.他核对时发现所抄的是原方程中
的相反数，则原方程的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有一个根是 D.不存在实数根
返回
9.［2024泰安中考］关于的一元二次方程 有实数根，
则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
返回
10. ［2024南通中考］已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的 的值：
___________________.
0（答案不唯一）
返回
11. ［2025保定高碑店月考］若一个一元二次方程有一个
实数根为1，则称该方程为“归一方程”.例如： 就是“归
一方程”.
（1）一元二次方程 ____“归一方程”；（填“是”或“不是”）
是
（2）若关于的一元二次方程 为“归一方程”，且方程
有两个相等的实数根，求和 的值.
解： 为“归一方程”，
有一个实数根为1，
， .
方程 有两个相等的实数根，
，整理，得
，
， .
返回
考点4 一元二次方程的根与系数的关系
12.若关于的一元二次方程 有两个根，其中一个根为
，则这两根之积为( )
D
A. B. C.1 D.
返回
13.若一元二次方程有两个不相等的实数根 ,
，且，则 的值是( )
B
A. B.3 C.3或 D. 或1
返回
14.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于 的一元二次方程
的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为
( )
C
A. B. C. D.
返回
15.若，且， ，则
（1） 的值为___；
（2） 的值为___.
4
1
返回
考点5 一元二次方程的实际应用
16.毕业前夕，班主任王老师让每一名同学给班级的其他同学发送祝福
短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是( )
B
A.40 B.30 C.29 D.39
返回
17.如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地 上，修建
若干条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与 平行，其余部分
种草.已知种草部分的总面积为，设小路宽，若 满足方程
，则修建的示意图是( )
C
A. B. C. D.
返回
18.［2024青岛中考］如图，某小区要在长，宽 的矩形空地上
建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面
积的一半，则小路的宽为___ .
2
返回
19.［2024淄博中考］“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健
康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的
32万人增加到2023年的50万人.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为 ，
由题意，得 ，
解得， （不合题意，舍去）.
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为 .
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器
材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，
每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1 000元.已知
市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
解：（元），16万元 万元，
购买的这种健身器材的套数大于100套.
设购买的这种健身器材的套数为 套，
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得， .
当时，每套售价为 （元）；
当时，每套售价为（元）
（元），不合题意，舍去.
答：购买的这种健身器材的套数为200套.
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
知识点1 二次三项式的配方
1.［教材练习 变式］用适当的数填空：
（1）（___） ；
（2）____（___） ；
（3）___（__） ；
（4）___（__） .
1
25
5
返回
2.若二次三项式是一个完全平方式，则 的值为( )
C
A.2 B.3 C.4 D.
返回
知识点2 解二次项系数为1的一元二次方程
3.［2025邯郸峰峰矿区期中］用配方法解方程 时，左、
右两边需同时加上( )
C
A.4 B.8 C.16 D.64
返回
4.用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
5.用配方法解方程： .
解：移项，得 .
两边同时加上_____，
得_____ _____，
即（__） ___.
开平方，得_____________，
解得______， ______.
返回
6.解下列方程：
（1）［2024徐州中考］ ；
解：移项，得 .
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
解得， .
（2） ；
解：移项，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得 ，
解得， .
（3） .
解：移项，得 .
配方，得，即 .
， 原方程无实数根.
返回
知识点3 解二次项系数不为1的一元二次方程
7.把方程 的二次项系数化为1，可得( )
C
A. B.
C. D.
返回
8.用配方法解方程 时，可以将方程化为( )
A
A. B.
C. D.
返回
9.下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是
( )
D
A.① B.② C.③ D.④
返回
10.解下列方程：
（1） ；
解：二次项系数化为1，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得 ，
解得， .
（2） ；
解：移项，得 .
二次项系数化为1，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得 .
解得， .
（3） ；
解：移项，得 .
二次项系数化为1，得 .
配方，得 ，
即 .
， 原方程无实数根.
（4） .
解：移项、合并同类项，得 .
二次项系数化为1，得 .
配方，得 ，
即 .
开方，得 .
解得， .
返回
11.［2025邯郸校级期中］如图是嘉嘉和淇淇对方程 的配方
过程，下列说法正确的是( )
C
A.嘉嘉的对，淇淇的错 B.淇淇的对，嘉嘉的错
C.两人都对 D.两人都不对
返回
12.若关于的一元二次方程 配方后得到方程
，则 的值为( )
C
A. B.0 C.3 D.9
返回
13.若关于的一元二次方程 通过配方法可以化成
的形式，则 的值不可能是( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
14.若方程用配方法可配成 的形式，则直线
不经过( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
15.若关于的一元二次方程 配方后得到方程
，则 的值为____.
11
返回
16.用配方法解下列方程：
（1） ；
解：整理得,移项，得 ,配方，得
,即， ，
， .
（2） .
解：整理得,配方，得,即 ，
,， .
返回
微专项1 配方法的应用
阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数
式 的最小值.方法如下：
，由 ，得
， 代数式 的最小值是4.
请仿照上述方法解决问题：
1.代数式 有( )
D
A.最小值 B.最小值 C.最大值5 D.最大值13
返回
2.已知关于的多项式的最小值为，则 的值为( )
A
A.1 B. C. D.
返回
3.若，，则与 的大小关系为
( )
C
A. B. C. D.
返回

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