资源简介

(共24张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数的图象
和性质
第2课时 二次函数 的图象和
性质
知识点1 二次函数 的图象和性质
1.［2025保定月考］已知二次函数 ，则它的图象大致为
( )
B
A. B. C. D.
返回
2.下列二次函数的图象中，开口向下的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 下列二次函数中，其图象的对称轴为直线 的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
4.对于二次函数 ，其图象的顶点坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
5.二次函数 的最大值是( )
A
A.0 B. C.3 D.
返回
6.对于二次函数 ，下列结论正确的是( )
D
A.随 的增大而增大
B.当时，随 的增大而增大
C.当时，随 的增大而增大
D.当时，随 的增大而增大
返回
7.［2025秦皇岛校级期末］若点， 在抛物线
上，则， 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
返回
8.抛物线与抛物线 的相同点是( )
C
A.对称轴相同 B.顶点相同
C.顶点都在 轴上 D.形状相同
返回
9.已知二次函数，当______时，随 的增大而减小，当
____时，函数有最____值，为___.
小
0
返回
知识点2 抛物线与 的关系
10.把抛物线 向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是
( )
A
A. B. C. D.
返回
11.将抛物线 向____平移___个单位长度，得到抛物线
.抛物线 的对称轴是直线______，顶点坐标
是______.
右
1
返回
12.已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线 的都相同，顶点
与抛物线 的相同.
（1）写出这条抛物线的解析式；
解：这条抛物线的解析式为 .
（2）将（1）中的抛物线向右平移4个单位长度，写出平移后的抛物线
的解析式.
解：平移后的抛物线的解析式为 .
返回
13.若二次函数 的图象如图所示，则坐标原点可能是
( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
14.已知二次函数，当时，随 的增大而增大，当
时，随的增大而减小，当时， 的值为( )
D
A.2 B. C.4 D.
返回
15.若抛物线向右平移个单位长度后经过点，则
的值为( )
B
A. B.或4 C.2或4 D.2或
返回
16.若点在抛物线 上，则下列各点在抛物线
上的是( )
B
A. B. C. D.
返回
17.［2025石家庄校级期末］已知二次函数，当 时，
随的增大而增大，则 的取值范围是_______.
返回
18. 已知二次函数为常数，当自变量
满足时，与其对应的函数值的最大值为，则 的值为
_______.
1或6
返回
19.已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且过点
.
（1）求这个二次函数的解析式；
解： 二次函数的图象的顶点坐标为 ,
， 二次函数的解析式为.把点 代入
，得，解得， 这个二次函数
的解析式为 .
（2）点 在这个函数图象上吗？若不在，你能通过左、右平移
函数图象，使它过点 吗？若能，请写出平移方案.
解：把代入,得 .
点 不在这个函数图象上.
根据题意,设平移后图象的函数解析式为 .
把点代入上式,得,解得 或
将原函数图象向右平移1个单位长度或5个单位长度后可过点
.
返回
20. 如图，已知二次函数
的图象与轴交于点，与轴交于点，连接 .
（1）求 的面积；
解：在中，当时， ,
点的坐标为， .
当时， ，
点的坐标是， ，
.
（2）写出此二次函数图象的对称轴；
解：此二次函数图象的对称轴为直线 .
（3）在对称轴上是否存在一点，使以点，，， 为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：对称轴上存在点，使以点,,, 为顶点的四边形为平行四边形.
当点的坐标是时，，，四边形 是
平行四边形；
当点的坐标是时，，，四边形 是
平行四边形．
综上所述,点的坐标为或 .
返回(共18张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 图形面积问题
知识点 图形面积的问题
1.［教材习题变式］已知一个直角三角形两条直角边的和为 ，
则这个直角三角形的最大面积为( )
B
A. B. C. D.不确定
返回
（第2题）
2.如图是一个长为，宽为 的矩形花园，
根据需要将它的长缩短，宽增加 ，要使修
改后的花园面积达到最大，则 的值为( )
C
A.1 B.1.5 C.2 D.4
返回
3.［教材 探究1变式］［2024泰安中考改编］如图，小明的父亲想用
长为 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋
外墙长 ，则可围成的菜园的最大面积是( )
B
（第3题）
A. B. C. D.
返回
4.如图，在长，宽 的矩形花圃里建有等宽的十字形小路，若
小路的宽不超过 ,则花圃中阴影部分的面积( )
A
A.有最小值 B.有最小值
C.有最大值 D.有最大值
返回
5.［教材习题 变式］如图，小轩同学想做一个菱形风筝，现在有
一根长 的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨
（即菱形的对角线，），请你帮他设计一下，当____ 时，
菱形的面积最大，最大为_______ .
60
1 800
返回
6.［2025邯郸校级月考］如图，在中， ，
，，动点从点出发沿边向点以
的速度移动，动点从点出发沿边向点以 的速度移动，如
果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为 .
（1）__________，____；（用含 的代数式表示）
（2）为何值时，的面积为 ？
解： 的面积
，
由，解得， ，
当或4时，的面积是 .
（3）为何值时， 的面积最大？最大面积是多少？
解：设的面积为 ，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是 .
返回
（第7题）
7.用总长为 米的材料做成如图①所示的矩
形窗框，设窗框的一边长为 米，窗框的
面积为平方米，关于 的函数图象如图
②所示，则 的值是( )
B
A.16 B.12 C.8 D.4
返回
（第8题）
8.［2025衡水校级期中］如图，在矩形 中，
，，动点从点 出发，以
的速度沿向终点 移动，设移动时间为
.连接，以为一边作正方形 ，连接
，，则 面积的最小值为_______.
返回
9.把边长为 的正方形硬纸板
（如图①）在四个顶点处分别剪掉一个
相同的小正方形，折成一个长方体无盖
盒子（如图②，纸板厚度忽略不计）.
（1）要使折成的盒子的底面积为
解：设剪掉的小正方形的边长为，则 ，
即，解得（不合题意，舍去）， ，
剪掉的小正方形的边长为 .
，剪掉的小正方形的边长应是多少厘米？
（2）折成的长方体盒子的侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大
值？如果没有，说明理由；如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉
的小正方形的边长.
解：侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为 ，
则与的函数关系式为，即 ，
.
，自变量的取值范围为 ，
当时， 有最大值，最大值为968，
当剪掉的小正方形的边长为 时，长方体盒子的侧面积最大，最
大值为 .
返回
10. 某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为
）和 长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形农场.某数学兴趣小组
设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙），请根据设计的方案
回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度
（）为的矩形水池，且需保证总种植面积为 ，试确定
的长；
解：由题意得 ，
Ⅰ，Ⅱ两块矩形的面积为 .
设水池的长为，则水池的面积为 ，
，解得 ，
， .
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形农场的总种植面积最大，请
问 应设计为多长？此时最大面积为多少？
解：设，总种植面积为，则 ，
.
，且易知 ，
当时， 有最大值，最大值为192，
即应设计为，总种植面积最大，最大面积为 .
（3）方案三：如图③，在图中所示三处位置各留 宽的门，且使围成
的两块矩形农场的总种植面积最大，请问 应设计为多长？此时最大
面积为多少？
解：设，总种植面积为，则 ，
，
，
易得当时，有最大值，最大值为 ，
即应设计为，总种植面积最大，最大面积为 .
返回(共24张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数 的图
象和性质
知识点1 二次函数与 的关系
1.用配方法将二次函数化成 的形式为
( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.若可配方为，则____， ___.
8
返回
知识点2 二次函数 的图象的顶点坐标公式
3.求二次函数 的图象的对称轴和顶点坐标.
解：将 的二次项系数化为1，
得_ _ .
配方，得（___）（___） ，
_ _____ ,
即_ __ _______.
抛物线 的对称轴是直线_ ________，顶点坐标是
_ ____________.
返回
4.抛物线 的对称轴是直线______，顶点坐标为
_ ________.
返回
知识点3 二次函数 的图象与性质
5.［2025邯郸校级月考］若抛物线的开口向下，则 的
值可以是( )
D
A.0 B.1 C.2 D.
返回
6.二次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
返回
7.已知二次函数，当函数值随的增大而增大时， 的
取值范围是( )
B
A. B. C. D.
返回
8.［2025邯郸峰峰矿区期中］如果二次函数 的最小值为
0，那么 的值为( )
B
A.2 B.4 C. D.8
返回
9.若点，是抛物线 上的两个点，则它的对称
轴是( )
D
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
返回
10.［2024内江中考］已知二次函数 的图象向左平移两
个单位长度后得到抛物线，点，在抛物线上，则
___（填“ ”或“ ”）.
返回
知识点4 二次函数 的图象的平移
11.［2024南通中考］将抛物线 向右平移3个单位长度后
得到新抛物线的顶点坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
12.将抛物线平移后得到抛物线 .则需将
原抛物线先向左平移___个单位长度，再向____平移___个单位长度.
2
下
4
返回
（第13题）
13.二次函数 的图象如图所示，则一次函
数 的图象一定不经过( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
（第14题）
14.二次函数 的图象如图所
示，则下列结论中不正确的是( )
D
A.
B.图象与轴的负半轴交于点
C.函数的最大值为
D.
返回
15.在平面直角坐标系中，二次函数为常数
的图象经过点，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有( )
D
A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值
返回
16.［2024乐山中考］已知二次函数 ，当
时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则 的取值
范围是( )
C
A. B. C. D.
返回
17. 将抛物线 向下平移5个单位长度后，
经过点，则 ___.
2
返回
18.如图，已知二次函数的图象经过点 .
（1）求 的值.
解：把点代入，得 ，解得
.
（2）点 在该二次函数图象上.
①当时，求 的值；
[答案] ， .
把代入，得， 当时， .
②若点到轴的距离小于2，直接写出 的取值范围.
[答案] .
返回
19. ［2024北京中考］在平面直角坐标系 中，已
知抛物线 .
（1）当 时，求抛物线的顶点坐标；
解：把代入，得 ，
抛物线的顶点坐标为 .
（2）已知和是抛物线上的两点.若对于 ，
，都有，求 的取值范围.
解：由题意，得抛物线的对称轴是直线
.
当时，如图①，此时 ，
解得.又， ；
当时，如图②，此时 ，
解得.又， .
综上所述，的取值范围为或 .
返回(共12张PPT)
第二十二章 二次函数
专项突破4 与二次函数的增减性相关
的最值问题
方法指导
对于二次函数图象上的两点，，当
时，求函数值的取值范围及最值一般分以下四种情况进行讨
论：
当,时，，, .
当,时，，， .
当,,，且时， ,
， .
当,，,且 时，
，， .
题型1 根据自变量的取值范围求函数值的最值
1.二次函数 的图象如图所示.
（1）若，则随 的增大而______；
当___时，有最小值，为___；当 ____
时， 有最大值，为___.
减小
0
2
5
（2）若，则随 的增大而______;当
___时，有最小值，为___；当___时，
有最大值，为___.
增大
2
2
3
5
（3）若，则当___时，有最小值，为___;当___时，
有最大值，为___.
1
1
3
5
返回
2.已知二次函数 .
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
解：， 该二次函数图象的顶点
坐标为 .
（2）当 时，函数的最大值和最小值分别为多少？
解：该二次函数图象的顶点坐标为， ，
当时， .
当时，，当时，， .
当 时，函数的最大值为16，最小值为0.
返回
题型2 根据函数的最值求待定字母的值或取值范围
3.若二次函数取最大值时，则 的值为( )
B
A. B.1 C.2 D.
返回
4.当时，二次函数的最小值为15，则 的
值为( )
A
A.或8 B.8 C.6 D. 或6
返回
5.［2025邯郸校级期末］已知抛物线 不经过第四象限，
当时，的最大值与最小值的差是12，则 的值是( )
B
A. B.3 C.4 D.12
返回
6.在平面直角坐标系中，二次函数 的图象关于直线
对称.若当时，有最大值6，最小值2，则 的取值范
围是______________.
返回
7.已知二次函数 .
（1）该二次函数图象的对称轴为直线______，与 轴的交点坐标是______；
（2）当满足时，的最小值是，则 的值为_______.
4或
返回(共8张PPT)
第二十二章 二次函数
专项突破6 二次函数图象与图形的交
点问题
题型1 与直线的交点问题
1.如图，已知抛物线和直线 相交于点
和 .
（1）___，___，方程
的解为_________________；
2
3
，
（2）抛物线的解析式为_ __________________；
（3）不等式 的解集是_______________，不等
式 的解集是____________；
或
（4）将直线沿 轴向上平移，使得平移后的直线与抛物线
只有一个交点，求向上平移了多少个单位长度.
解：设平移后直线的解析式为 .
令，整理，得 .
平移后的直线与抛物线只有一个交点，
，解得， 向上平移了4个单
位长度.
返回
2.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点 .
（1）求点，， 的坐标；
解：对于 ，
当时，，解得，， ，
.
当时，， .
（2）将图象在轴下方的部分沿 轴翻折，翻折后的部分与原图象其余
部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出
的取值范围.
解：的取值范围为 .
返回
题型2 与线段的交点问题
3.［2024德州中考］已知抛物线， 为实数.
（1）如果该抛物线经过点 ，求该抛物线的顶点坐标；
解： 该抛物线经过点 ，
，解得 ，
，
该抛物线的顶点坐标为 .
（2）如果当时，的最大值为4，求 的值；
解： ，
该抛物线的对称轴为直线 ，开口向上.
当时， 的最大值为4，
易得当时， ，
，解得或 .
的值为或 .
（3）点，点，如果该抛物线与线段 （不含端点）恰有
一个交点，求 的取值范围.
解： 抛物线与线段 恰有一个交点，
或
解得或 .
返回(共7张PPT)
第二十二章 二次函数
河北特色题型专练二
题型1 二次函数的交点问题
1.对于题目“一段抛物线 与直线
有唯一公共点.若为整数，确定所有 的值.”甲的结果是
，乙的结果是 或4，则( )
D
A.甲的结果正确 B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
返回
2.课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线
在轴下方的图象沿 轴翻折，翻
折后得到的图象与抛物线在轴上方的图象记为
（包含轴上的点），已知直线 与图象
有两个公共点，求 的取值范围.甲同学的结果是
C
A.甲的结果正确 B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
，乙同学的结果是 .下列说法正确的是( )
返回
题型2 台阶问题
3. 如图是某同学正在设计的一
动画示意图，轴上依次有，， 三个点，且
，在上方有五个台阶
（各拐角均为 ），每个台阶的高、宽分别是
1和，台阶到轴的距离.从点 处
向右上方沿抛物线 发出
一个带光的点 .
（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点 会落在哪
个台阶上；
解：当时， ，
解得,.由题意知点为抛物线与 轴的左交点，
点的横坐标为 .
，轴与 所在直线重合，如图所示.
点会落在台阶 上.
（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 形状相同的抛
物线，且最大高度为11，求抛物线 的解析式，并说明其对称轴是否与
台阶 有交点.
［注：（2）中不必写 的取值范围］
解： ,
的顶点坐标为 .
抛物线与 形状相同，且最大高度为11，
设将抛物线向下平移5个单位长度，向右平移 个单位长度后与抛物
线重合，则抛物线的解析式为 ，
由（1）知，点会落在台阶上，对于，当 时，
,解得（舍去）， ,
点落在台阶上的点 处.
将点代入 ，
得，解得， （不合题意，舍去），
抛物线 ，
的对称轴为直线 .
，
其对称轴与台阶 有交点.
返回(共18张PPT)
第二十二章 二次函数
专项突破5 二次函数的图象与字母系
数之间的关系
类型1 根据二次函数图象判断字母系数
方法指导
二次函数的图象与字母系数，，之间的关系：
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴位置
过原点
续表
续表
1.在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如
图所示，则下列结论正确的是( )
B
A. B. C. D.， 异号
返回
（第2题）
2.已知二次函数 的图象如图所示，则点
所在的象限是( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
3.二次函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是
( )
D
（第3题）
A.， B.，
C.， D.，
返回
（第4题）
4.已知二次函数 的图象如图
所示，有下列4个结论：； ；
； .其中正确的结
论有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
（第5题）
5.［2024东营中考］已知抛物线
如图所示，则下列结论正确
的是( )
D
A.
B.
C.
D.（ 为任意实数）
返回
6.［2024泰安中考］如图是二次函数 的部分图
象，该函数图象的对称轴是直线，图象与 轴交点的纵坐标是2，
则下列结论：
；②方程 一定有一个根
在和之间；③方程 一定有两
个不相等的实数根； .
其中正确结论的个数有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
7.［2024遂宁中考］如图，已知抛物线，， 为常
数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点 ，
与轴的交点在， 之间（不含端点），则下列结论正确
的有( )
B
；； ；④若方
程的两根分别为， ，则
.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
类型2 根据已知函数图象判断其他函数图象
（第8题）
8.一次函数 的图象如图所示，则二次函数
的图象大致是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第9题）
9.已知二次函数 的图象如图所示，则
一次函数 的图象大致为( )
C
A. B. C. D.
返回
类型3 函数图象的共存问题
方法指导
若函数解析式中只含有一个参数，则可假设函数解析式中的参数为
正或为负，选出符合条件的图象；若函数解析式中含有两个或两个以上
的参数，则可分别判断每个选项中，两个函数中所有参数的正负性，其
中同一参数的正负性一致的为正确选项.
10.二次函数和一次函数 是常数，且
在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
返回
11.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数
的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
12.在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的大致图象是( )
A
A. B. C. D.
返回
13.一次函数与二次函数 在同一平面直角坐
标系的图象可能是( )
A
A. B. C. D.
返回(共20张PPT)
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
知识点1 抛物线和 轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之
间的关系
1.一元二次方程 的根是_________________，所以抛物
线与 轴的公共点坐标是_______________.
，
，
返回
2.［2025保定月考］已知二次函数
的图象如图所示，对称轴为直线，则关于 的一
元二次方程 的解为( )
B
A.， B.，
C.， D.，
返回
3.已知二次函数 的图象如图所示，利用图
象解答下列各题：
（1）方程 的根是_________________；
，
（2）方程 的根是_______________；
（3）方程 的根是_________________；
（4）方程 的根是____________；
，
，
（5）方程 的根的情况怎样？
[答案] 方程无实数根.
返回
知识点2 抛物线和 轴的公共点个数与对应的一元二次方程根的判
别式之间的关系
4.二次函数的图象与 轴有一个公共点，则对应的一元
二次方程 的根的情况是( )
B
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
返回
5.［2025廊坊校级期末］抛物线与 轴的交点有( )
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
返回
6.若抛物线（是常数）与轴没有交点，则 的取值范围
是______.
返回
知识点3 求一元二次方程的近似解
7. 根据下列表格的对应值，判断方程
（，，，为常数）的一个解 的范围是( )
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
C
A. B.
C. D.
返回
8.［2025邯郸校级期中］如图，以点 为顶点的二次函数
的图象与轴负半轴交于点 ，则一元二次方程
的正数解 的范围是( )
C
A. B. C. D.
返回
知识点4 二次函数的图象与不等式
9.［2025衡水校级月考］二次函数 的部
分图象如图所示，若，则 的取值范围是( )
D
A. B.或
C.或 D.
返回
10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点，对称轴为直线 .
若，则 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.或
返回
（第11题）
11.如图，关于的一次函数 与二次
函数 的图象相交于
，两点，则关于 的不等式
的解集为( )
A
A. B.
C. D.或
返回
（第12题）
12.二次函数（，,, 为常数）
的图象如图所示，则方程 有一正实
数根和一负实数根的条件是( )
A
A. B. C. D.
返回
13.［2025邯郸校级期中］若抛物线与 轴有两个不同
的交点，则 的取值范围为( )
C
A. B.
C.且 D.且
返回
14.［2024湖北中考］已知抛物线，， 为常数，
的顶点坐标为，与轴的交点在 轴上方.下列结论正确
的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
15.已知直线与抛物线 .
（1）求证：直线 与该抛物线总有两个交点.
证明：联立
化简，得 ，
.
故直线 与该抛物线总有两个交点.
（2）设直线与该抛物线的两个交点分别为，， 为 原点，当
时，求 的面积.
解：当时，直线 ，如图，不妨设
点在点上方，过点作轴于点，过点 作
轴于点 .
联立
解得或
， .
, .
易得直线与轴的交点为 .
，
.
返回
16.已知二次函数及一次函数 ，将该二次函
数图象在轴上方的部分沿轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，
得到一个新图象，当直线与新图象有4个交点时, 的取值范
围是______________.
返回(共22张PPT)
第二十二章 二次函数
章末整合练
知识结构
向上
向下
两个
一个
没有
右
左
上
下
核心考点巩固
考点1 二次函数的定义
1.下列函数中，一定是 的二次函数的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 若是关于 的二次函数，则
该函数的最小值为_____.
返回
考点2 二次函数的图象与性质
3.已知二次函数 ，下列说法正确的是( )
C
A.图象的对称轴为直线 B.图象的顶点坐标为
C.函数的最大值是 D.函数的最小值是
返回
4.［2025张家口宣化区期中］抛物线 可以由抛物线
平移得到，则下列平移过程正确的是( )
C
A.先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D.先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
返回
5.抛物线经过，，三点，则 ，
， 的大小关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.［2025石家庄平山月考］已知抛物线 开口向下，且
过， 两点，那么抛物线的对称轴( )
C
A.只能是直线
B.可能是 轴
C.可能在轴右侧且在直线 的左侧
D.可能在轴左侧且在直线 的右侧
返回
（第7题）
7.［2024青岛中考］二次函数 的图
象如图所示，对称轴是直线 ，则过点
和点 的直线一定
不经过( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
考点3 求二次函数的解析式
8.［2025衡水校级月考］如图，抛物线与轴交于点 ，
与轴交于，两点， ，则该抛物线的解析式是_____
___________.
（第8题）
返回
9.［2024扬州中考］如图，已知二次函数
的图象与轴交于 ，
两点.
（1）求， 的值；
解： 二次函数的图象与 轴交于
， 两点，
解得
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点 的坐标.
解：由（1）知二次函数的解析式为 ，
，
.
设点的纵坐标为，，， .
当时， ，方程无实数解，不符合题
意，舍去；
当 时，
解得， .
点的坐标为或 .
返回
考点4 二次函数与方程、不等式的关系
10.已知关于的一元二次方程的根为, ，
则关于的不等式 的解集为( )
A
A.或 B.
C. D.
返回
11.如图，抛物线与直线 的两个交点坐标分别为
，，则关于的方程 的解为__________
_______.
，
返回
考点5 二次函数的应用
12.［2024济宁中考］某商场以每件80元的价格购进一
种商品，在一段时间内，销售量（件）与销售单价
（元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求这段时间内与 之间的函数解析式；
解：设这段时间内与之间的函数解析式为 ，
由图象可知，函数图象经过点， ，
解得
这段时间内与之间的函数解析式为 .
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于
220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利
润是多少？
解： 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，
， ，
即
解得 .
设商场获得的利润为 元，则
.
， 二次函数的图象开口向下，
当时，随的增大而增大， 当时， 有最大
值，即当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是
（元）.
返回
13.［2024江西中考］如图，一小球从斜坡上的 点以一定的方向弹出，
球的飞行路线可以用抛物线 刻画，斜坡可以用直
线刻画，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度 （米）
的变化规律如下表：
0 1 2 4 5 6 7 …
0 6 8 …
（1）①___， ___；
6
②小球的落点是，求点 的坐标.
[答案] 联立
解得或
点的坐标是 .
（2）小球飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系： .
①小球飞行的最大高度为_ ____________米；
②求 的值.
[答案] ，
则，解得或. 对称轴为直线 ，
.
返回(共12张PPT)
第二十二章 二次函数
专项突破3 求二次函数的解析式
类型1 利用待定系数法求二次函数解析式
1.［2025石家庄平山期中］如图所示的抛物线的解析式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.已知二次函数的图象的顶点坐标是，且经过点 ，则此二次
函数的解析式是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.［2025保定校级月考］已知二次函数的图象经过点，
和 ，则这个二次函数的解析式为( )
D
A. B.
C. D.
返回
4.一个二次函数的图象经过点，，最低点的纵坐标为 ，
则这个二次函数的解析式为_________________.
返回
类型2 利用平移求二次函数解析式
方法指导
二次函数图象的平移变化（上加下减常数项，左加右减自变量）：
5.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象先向左平移
1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
( )
A
A. B.
C. D.
返回
6.把抛物线 先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单
位长度，得到抛物线，则， 的值分别为( )
D
A.，32 B.4， C.0，6 D.4，6
返回
7.将二次函数 的图象先向右平移1个单位长度，再
向上平移2个单位长度后，顶点在直线上，则 的值为( )
D
A.2 B.1 C.0 D.
返回
类型3 利用对称求二次函数解析式
方法指导
二次函数图象的对称变化：
8.若一条抛物线与抛物线关于 轴对称，则这条抛物线的解
析式是( )
B
A. B. C. D.
返回
9.已知抛物线与轴交点的横坐标分别为和1，且过点 .求此抛物
线关于 轴对称的抛物线的解析式.
解：点关于轴的对称点为 ，
根据题意可设新抛物线的解析式为 .
新抛物线经过点 ，
，解得 ，即新抛物线的解析式为
．
返回(共23张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数 的图象和性质
知识点1 二次函数 的图象
1.二次函数 的图象大致是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.［2025邯郸峰峰矿区月考］抛物线 的开口方向( )
D
A.向上 B.向左 C.向右 D.向下
返回
3.抛物线 的对称轴是( )
C
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
返回
4.抛物线 的顶点坐标是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.若二次函数的图象经过点 ，则该图象必经过的点的坐
标为( )
A
A. B. C. D.
返回
6.［教材 例1变式］
（1）在同一平面直角坐标系（如图）中，画出函数 ，
，与 的图象.
解：如图所示.
（2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题：
①抛物线 与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于
_____对称；同样地，抛物线 与抛物线__________的形状相同，
也关于_____对称.
轴
轴
②抛物线的开口比抛物线 的开口____（填“大”或“小”），
抛物线的开口比抛物线 的开口____（填“大”或
“小”）.
③在抛物线中，当相同时，抛物线开口大小______； 越大，
抛物线开口越____； 越小，抛物线开口越____.
④应用：抛物线与 中，开口较小的是抛物线_________.
小
小
相同
小
大
返回
知识点2 二次函数 的性质
7.二次函数的图象，在轴右侧，随 的增大而( )
B
A.增大 B.减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
返回
8.已知二次函数，当时，随 的增大而增大，则实
数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
返回
9.［2025唐山路北区月考］若点，都在二次函数 的
图象上，则( )
B
A. B. C. D.
返回
10.已知，二次函数的图象上有三个点 ，
， ，则( )
D
A. B. C. D.
返回
11.抛物线，， 的共同点是( )
C
A.开口向上，对称轴是 轴，顶点是原点
B.开口向下，对称轴是 轴，顶点是原点
C.对称轴是 轴，顶点是原点
D. 的最小值为0
返回
12.［2025沧州校级月考］如图，在同一平面直角坐
标系中，作出函数； ；
的图象，则从里到外的三条抛物线对应的
函数为( )
A
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③②①
返回
13.一次函数与二次函数 在同一平面直角坐标系中大
致的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第14题）
14.如图，以点为圆心的圆的半径为2， 是函数
的图象，是函数 的图象，则阴影部分
的面积是( )
B
A. B. C. D.无法确定
返回
15. 如图，从二次函数 的图象上可以看出，当
时， 的取值范围是__________.
（第15题）
返回
16.已知函数是关于 的二次函数.
（1）求 的值；
解： 函数是关于 的二次函数，
，且 ，
解得， ，
的值为2或 .
（2） 为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点的坐标，
此时当为何值时，随 的增大而增大？
解：当 时，二次函数的图象有最低点，
此时，最低点的坐标为 ，
当时，随 的增大而增大.
（3）为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？此时当 为何值
时，随 的增大而减小？
解：当时，二次函数有最大值，此时 ，二次函数的最
大值为0，当时，随 的增大而减小.
返回
17.如图，抛物线与四条直线 ，
，，围成的正方形 有公共点.
（1）求 的取值范围；
解： 正方形是由直线，，， 围成的，
， ，
把点的坐标代入，得 ，
把点的坐标代入，得 ，
的取值范围为 .
（2）若 为整数，求抛物线的解析式.
解：为整数且，或2， 抛物线的解析式为
或 .
返回(共7张PPT)
第二十二章 二次函数
专项突破7 生活背景中的抛物线问题
（第1题）
1.如图，在水平地面点 处有一网球发射器向空中
发射网球，网球在地面上的落点为 ，网球飞行
路线是一条抛物线，小明在直线上点
（靠点 一侧）的右侧竖直向上摆放若干个无盖、
直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积
B
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
和圆柱形桶的厚度忽略不计）.已知米， 米，网球飞行的
最大高度 米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶
( )
返回
2. 如图是河北赵州桥的示意图，可以近似看作一条抛物线，
桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于，两点，桥拱最高点到 的
距离为，，，为桥拱底部的两点，且，点
到直线的距离为，则的长为____ .
60
（第2题）
返回
3. 如图①为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图②所
示.升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头 能在升降杆上
调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱在距升降杆1米处
达到最高，高度为2.25 米.将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，
此时喷射水柱的落地点与 的距离为___米.
6
返回
4. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编了一道数
学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长
度代表长.嘉嘉在点 处将沙包
（看成点）抛出，其运动路线为抛物线
的一部分，淇淇恰
在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线
的一部分.
（1）写出抛物线的最高点坐标，并求出， 的值；
解： 抛物线 ，
的最高点坐标为 .
点在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线的解析式为 .
令，则， .
（2）若嘉嘉在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过 的范
围内可以接到沙包，求符合条件的 的整数值.
解： 嘉嘉在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过 的范
围内可以接到沙包， 可以接到沙包的位置的纵坐标为1，横坐标的范
围为 .
当抛物线经过时，，解得 ；
当抛物线经过时，，解得 ，
， 符合条件的 的整数值为4和5.
返回(共21张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数的图象
和性质
第3课时 二次函数 的图
象和性质
知识点1 二次函数 的图象和性质
1.［2025石家庄校级月考］二次函数 的图象的对称轴
是( )
B
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
返回
2.［2025廊坊校级月考］抛物线 的顶点坐标是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.关于二次函数 的最值情况，下列说法正确的是
( )
C
A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值6 D.有最小值6
返回
4.二次函数 的大致图象是( )
D
A. B. C. D.
返回
5.若，，是抛物线 上的三
个点，则，， 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.
返回
6.对于二次函数 ，下列说法正确的是( )
D
A.图象开口向下 B.图象的对称轴是直线
C.图象有最高点 D.当时，随 的增大而增大
返回
7. 若二次函数的最小值为 ，则该函数图
象的顶点坐标为_________.
返回
知识点2 抛物线与 的关系
8.［教材例3变式］［2025邯郸校级月考］将二次函数 的图
象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的
解析式是( )
C
A. B.
C. D.
返回
9.将抛物线 先向____________平移__________个单位长度，再
向____________平移__________个单位长度后，得到抛物线
.
左（或下）
2（或5）
下（或左）
5（或2）
返回
10.把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向
上平移4个单位长度可得到二次函数 的图象.
（1）求，， 的值；
解：二次函数的图象的顶点坐标为 ，把点
先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标
为 ，
原二次函数的解析式为,, .
（2）指出二次函数 图象的开口方向、对称轴、顶点
坐标.
解：二次函数，即 的图象开口向上，
对称轴为直线，顶点坐标为 ．
返回
11.若抛物线的顶点在第二象限，则 的
取值范围是( )
D
A. B. C. D.
返回
12.在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，把轴、 轴分别向
上、向右都平移3个单位长度，那么在新坐标系中，抛物线的解析式是
( )
A
A. B.
C. D.
返回
13.已知二次函数为常数在自变量 的值满足
的情况下，与其对应的函数值的最小值为5，则 的值为
( )
B
A.1或 B.或5 C.1或 D.1或3
返回
14.［2025唐山丰润区期末］如图，将抛物线
平移到抛物线
的位置，点 ，
分别在抛物线， 上.
甲：无论取何值，都有 ；
A
A.只有丙错 B.只有乙错
C.只有甲对 D.甲、乙、丙都对
乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为 ；
丙：当时，随着的增大，线段 先变长后变短.
下列判断正确的是( )
返回
15. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图所示，第一
次练习时，球从点处被抛出，其路线是抛物线.点距离地面 ，
当球到的水平距离为时，达到最大高度.那么投掷距离
为___ .
4
返回
16.已知点在抛物线
，均为常数，且上，抛物线交轴于点，连接 .
（1）写出该抛物线的对称轴，并用含 的式子表示
；
解： ，
抛物线的对称轴为直线 .
将代入，得 ，
.
（2）当该抛物线经过点 时，求此时该抛物线的解析式及顶点坐标；
解：将代入，得 ，
解得， ，
抛物线的解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 .
（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点.如图，当 时，若该抛物线
在点，之间的部分与线段 所围成的区域内（含边界）恰有5个整点，
求 的取值范围.
解： ，
抛物线的顶点坐标为 .
将代入，得， 点 的
坐标为 .
抛物线的对称轴为直线，且点，关于直线 对称，
点，， 在区域内，当区域内有5个整点时，点
，在区域内，不在区域内， ，
解得 .
返回(共18张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
知识点1 二次函数的概念
1.下列函数中，属于二次函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.关于的函数 是二次函数的条件是( )
B
A. B. C. D.
返回
3.二次函数 的一次项系数为( )
C
A.3 B.6 C. D.1
返回
4.若关于的函数是二次函数，则 的值是___.
4
返回
5.判断下列函数是否为二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次
项系数、一次项系数和常数项.
函数解析式 是否为二次 函数 二次项系数 一次项系数 常数项
____ ____ ___ ____
____ ____ ___ ____
____ ___ ____ ___
______ __ __ __
是
2
是
0
是
1
0
不是
/
/
/
返回
知识点2 在实际问题中建立二次函数模型
6.［教材习题 变式］进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电
热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是 ，降价后的
价格为元，原价为元，则与 之间的关系式为( )
C
A. B. C. D.
返回
7.［教材练习变式］一个正方形的边长为6，若它的边长增加 ，
面积就增加，则关于 的函数关系式为( )
D
A. B. C. D.
返回
8.已知一个菱形两条对角线的长的和为 ，设其中一条对角线的长
为，菱形的面积为，则与 之间的函数关系式为
________________，自变量 的取值范围是___________.
返回
9.已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的
销售量（千克）与售价 （元/千克）之间的函数关系式为
.设这种产品每天的销售利润为 元.
（1）写出与 之间的函数解析式；
解：和 之间的函数解析式为
.
（2）指出该函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：该函数的二次项系数是，一次项系数是140，常数项是 .
返回
10.下列变量间具有二次函数关系的是( )
B
A.速度一定时，路程与时间
B.正方形的面积与边长
C.总价一定时，数量与单价
D.三角形的高一定时，面积与其底边长
返回
（第11题）
11. 如图，正方形 和圆的周长之
和为，设圆的半径为 ，正方形的边长为
，阴影部分的面积为.当 在一定范围内变化
时，和都随的变化而变化，则与，与 满足的
函数关系分别是( )
B
A.一次函数关系、一次函数关系 B.一次函数关系、二次函数关系
C.二次函数关系、二次函数关系 D.二次函数关系、一次函数关系
返回
12. ［2025唐山校级月考］函数是关于
的二次函数，则 的值为___.
3
返回
13.如图，在一块等腰直角三角形 的铁皮上截取一块矩形铁皮，要
求截得的矩形的边在的边上，顶点，分别在边，
上.已知，设的长为，矩形的面积为 ，
那么关于 的函数解析式为_______________.
（第13题）
返回
14.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道
篱笆的长方形花圃（花圃中间的篱笆垂直于墙），设花圃的边
长为米，面积为 平方米.
（1）求与的函数解析式及自变量 的取值范围；
解： .
由题意得解得 .
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量 的取值范围.
解：，.结合（1）得 .
返回
15.嘉淇在母亲节那天送给妈妈一个装在礼品盒里的礼物，已知礼品盒
是一个长方体，长比宽多，高比宽多 ，现要给礼品盒包一层
包装纸进行装饰（重叠的部分不计）.
（1）若礼品盒的宽为，则需要的包装纸的面积与 之间的
函数关系式为__________________；
（2）嘉淇量得礼品盒的宽为 ，如果包装纸每平方米10元，且包
装手工费为1元，而她只剩2元钱，那么她的钱够用吗？
解：当时， .
包装纸每平方米10元，且包装手工费为1元，
对礼品盒进行包装所需的费用是 （元）.
， 她的钱够用.
返回(共10张PPT)
第二十二章 二次函数
专项突破9 抛物线与几何图形有关的
最值问题
题型1 线段最值问题
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴分别交于点和点 ，
与轴交于点，连接 .
（1）求抛物线的解析式及点 的坐标.
解：把点和点代入 ，
得解得
.
当时， ，
解得，， .
（2）为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作 轴
的平行线交抛物线于点，求线段 长度的最大值.
解：设直线的解析式为 ,
把， 代入上式，
得解得
.设 ，
则， ，
，
当时，线段的长度取得最大值，最大值为 .
返回
题型2 面积最值问题
2.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与
轴分别交于点和点，与轴正半轴交于点 ，对称轴为直线
，且， 为抛物线上一动点.
（1）直接写出抛物线的解析式；
解：抛物线的解析式为 .
（2）如图②，连接，当点在直线上方时，求四边形面积
的最大值，并求出此时点 的坐标.
解：如图，连接．设 ，
易知, .
当时，的值最大，最大值为 ，此
时 .
四边形的面积.， ，
返回
题型3 周长最值问题
3.如图，抛物线与 轴交于点
和点，与轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
解：将点，分别代入 ，
得解得
抛物线的解析式为 .
（2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点 的坐标.
解：连接交对称轴于点，连接 ，
，
抛物线的对称轴为直线 .
，关于对称轴对称，， ，
，
当，，三点共线时，的周长最小，即当点与 重合时，
的周长最小.
设直线的解析式为 .
， ，
解得
， .
返回(共19张PPT)
第二十二章 二次函数
阶段练习（22.1）
建议用时：45分钟
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.下列函数一定是二次函数的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2.下列关于二次函数 的图象和性质的说法中，正确的是
( )
D
A.图象开口向上 B.对称轴是直线
C.顶点坐标是 D.点 在此函数图象上
返回
3.［2024广东中考］若点，，都在二次函数
的图象上，则( )
A
A. B. C. D.
返回
4.将抛物线 向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点
式为( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.已知二次函数，则当 时，函数的最大值为
( )
D
A. B. C.0 D.2
返回
6.［2025石家庄校级期中］一次函数 与二次函数
在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
( )
D
A. B. C. D.
返回
7.已知，， 为三个常数，且二次函数
的图象经过， 两点.对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列
判断正确的是( )
结论Ⅰ： 的值可能为5；
结论Ⅱ：点在二次函数的图象上，若，则满足条件的点
有两个.
C
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对，Ⅱ对 D.Ⅰ对，Ⅱ不对
返回
8.二次函数 的图象如图所示，给出下列说法：
；；；④当时，随 的增
大而增大；⑤当时， .其中正确的说法是( )
A
A.②⑤ B.③⑤ C.①③④ D.②③④
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.已知二次函数 的图象在对称轴的左侧部分是上升的，
那么 的取值范围是_________.
返回
10.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，对称轴及顶点
坐标与抛物线 相同，则该抛物线的解析式是____________
__.
返回
11.函数（为常数）满足以下条件：当 时，
它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于 轴的上方，
则 的值为____.
返回
12.二次函数的图象过点， ，
，，其中，为常数，则 的值为____.
返回
三、解答题（共40分）
13.（10分）已知二次函数 .
（1）用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图
象的对称轴和顶点坐标；
解： ，
这个函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是 .
（2）将这条抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
后，得到的新抛物线的解析式为______________.
返回
14.（14分） 九年级某班成立了数学学
习兴趣小组，该小组对函数 的图象和性质
进行探究，过程如下，请你补充完整.
（1）①列表：下表是，的几组对应值，其中__, __;
… 0 1 2 …
… 3 0 1 0 3 …
②描点：请在如图所示的平面直角坐标系中描出点, ；
解：如图所示.
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整.
解：如图所示.
（2）观察图象，当随的增大而增大时， 的取值范围为___________
_________.
或
（3）除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：
①______________________；
②_________________________________.
函数图象是轴对称图形
函数值都是非负数（答案不唯一）
（4）若点与在函数图象上，且，则与 的大
小关系是_______.
返回
15.（16分）［2024福建中考］如图，已知二次函数
的图象与轴交于，两点，与 轴交于
点，其中， .
（1）求二次函数的解析式；
解：将点， 的坐标分别代入
，
得解得
二次函数的解析式为 .
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交 轴
于点，的面积是的面积的2倍，求点 的坐标.
解：设， 点在第二象限，， .
依题意，得，即， .
易得， .
由，得， （舍去），
点的坐标为 .
返回(共9张PPT)
第二十二章 二次函数
专项突破8 二次函数中的整点问题
类型1 判断整点的数量
1.如图，若是正数，直线与 轴交于点
；直线与轴交于点 ；抛物线
的顶点为，且与 轴的右交
点为 .
（1）若，则的值为___，此时 的对称
轴与 的交点坐标为________；
4
（2）当点在下方时，求点与 距离的最大值；
解：， 抛物线的顶点 的坐标为
.
点在下方， 点与的距离 ，
点与 距离的最大值为1.
（3）设，点，，分别在，和上，且
是，的平均数，求点与点 间的距离；
解：是， 的平均数，
，
，
解得或 .
， .
对于，当时，，即 ，
解得， .
， 右交点的坐标为 ，
点与点间的距离 .
（4）在和 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点
称为“美点”，分别直接写出和 时“美点”的个数.
解：当时“美点”的个数为 ，
当 时“美点”的个数为1 010.
返回
类型2 根据整点的情况求字母的取值范围
2.在平面直角坐标系中，直线 与抛物线
的对称轴交于点，点关于 轴的对称点
恰为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的对称轴及 的值；
解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
点的坐标为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
把代入抛物线解析式可得 .
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点.记直线 与抛物
线围成的封闭区域（不含边界）为 .
①当时，直接写出区域 内的整点个数；
[答案] 当时，区域 内的整点个数为2个.
②若区域内恰有3个整点，结合函数图象，求 的取值范围.
[答案] .若 ，
当直线过，时， .
当直线过，时， .
.
.若，由对称性可得 .
的取值范围是或 .
返回(共18张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 利润问题
知识点1 简单销售问题中的利润问题
1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润（元）与降价 （元）
之间的关系式是 ，则最大利润为( )
D
A.15元 B.400元 C.800元 D.1 250元
返回
2.［教材习题 变式］某种商品每件进价为20元，调查表明：在某
段时间内若以每件元（，且 为整数）出售，可卖出
件，要使利润最大，每件的售价应为( )
B
A.24元 B.25元 C.28元 D.30元
返回
3.端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元
/袋的粽子，销售过程中发现：日销售量
（袋）与售价 （元/袋）满足如图所示的一
次函数关系.
（1）求与 之间的函数关系式；
解：设与之间的函数关系式为，将，
代入，得
解得
与之间的函数关系式为 .
（2）当每袋粽子的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大日销售
利润是多少元？
解：设日销售利润为 元，
由题意得 ，
， 当时， 有最大值，最大值为810.
当每袋粽子的售价定为12.5元时，日销售利润最大，最大日销售利润
是810元.
返回
知识点2 “每…每…”的销售利润问题
4.某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出
200件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件.则
每星期售出商品的利润（元）与每件涨价 （元）之间的函数关系式是
( )
A
A. B.
C. D.
返回
5.［2024烟台中考节选］每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年
的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮
椅计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出
60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况
下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价 元，每
天的销售利润为 元.
（1）求与 的函数关系式；
解：由题意，得 .
（2）每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
解： 每辆轮椅的利润不低于180元，
，解得 .
，
当时， 取得最大值，为
.
答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元.
返回
6.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么
每天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量
减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨
元，销售利润为元，则可列关系式为 .
对所列关系式中出现的代数式，下列说法错误的是( )
A
A. 表示涨价后商品的单价
B. 表示涨价后少售出商品的数量
C. 表示涨价后售出商品的数量
D. 表示涨价后商品的单价
返回
7.“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国.
某村民推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天（且
为整数）的售价为（元/千克）.当时， ；当
时，.销售量（千克）与 的函数关系式为
，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15
元/千克，设第天的销售额为 （元）.
（1）____， ____；
30
（2）写出第天的销售额与 之间的函数关系式；
解：依题意，
得
当时， ，
当时， ，
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元.
解：当时， ，
， 当时，取最大值，为400，即当 时，
销售额均不超过500元.
当时，，解得 .
为整数， 第24天至第30天，销售额超过500元.
（天）.
答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元.
返回
8.［2024贵州中考］某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经
市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价
（元）是一次函数关系，下表是与 的几组对应值.
… 12 14 16 18 20 …
… 56 52 48 44 40 …
（1）求与 的函数解析式；
解：设与的函数解析式为 ，
把，；，代入上式，得 解得
与的函数解析式为 .
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是
多少？
解：设所获日销售利润为 元，
根据题意，得
，
当时， 有最大值450，
糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 元的礼
品，赠送礼品后，为确保该种糖果的最大日销售利润为392元，求 的值.
解：设赠送礼品后，日销售利润为 元，
根据题意，得
，
当时， 有最大值
.
糖果的最大日销售利润为392元，
，
化简得 ，
解得， ，
当时， ，
则每盒糖果的利润为，故舍去， 的值为2.
返回(共10张PPT)
第二十二章 二次函数
培优拔高练 二次函数的综合应用
1.在一斜坡与水平地面的纵向截面图上，建
立如图所示的平面直角坐标系.已知点
在斜坡上，从点 向右上方发射出
的小球沿抛物线 运动，
解决下列问题.
（1）①求， 所满足的数量关系；
解： 点 在抛物线上，
，
.
②当小球恰好落到原点时，求抛物线的解析式；
解：当小球落到原点时，点在抛物线上， .
， ，
抛物线的解析式为 .
（2）如图，在点右侧处有一堵高为的墙 ，若要小球能触碰
到墙面，求 的取值范围.
[答案] 根据题意，知， .
.
.
当抛物线过点 时，
有 ，
解得 ；
当抛物线过点 时，
有 ，
解得 .
若要小球能触碰到墙面，的取值范围是 .
返回
2.［2024河北中考节选］如图，抛物线
过点，顶点为 .抛
物线
（其中为常数，且），顶点为 .
（1）直接写出的值和点 的坐标；
解：， .
（2）嘉嘉说：无论为何值，将的顶点 向左平移2个单位长度后一
定落在 上.
淇淇说：无论为何值， 总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理；
解：嘉嘉：把点 向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为
，
对于，当 时，
， 点在 上，
嘉嘉的说法正确.
淇淇：对于 ，
当时， ，
过定点 ，
淇淇的说法正确.（选一个说法即可）
（3）当时，求直线 的解析式；
解：当时，的解析式为 ，
顶点的坐标为 .
设直线的解析式为 ，
将点， 的坐标代入上式，
得解得
直线的解析式为 .
（4）设与的交点，的横坐标分别为，，且，点
在上，横坐标为，点在 上，横坐标为
.若点是到直线的距离最大的点，最大距离为 ，点
到直线的距离恰好也为，直接用含和的式子表示 .
解： .
返回(共25张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数的图象
和性质
第1课时 二次函数 的图象和性质
知识点1 二次函数 的图象和性质
1.二次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.抛物线 的开口方向( )
C
A.向上 B.向右 C.向下 D.向左
返回
3.［2025保定校级月考］抛物线与 轴的交点坐标是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.函数 的图象的顶点坐标和对称轴分别是( )
C
A.，直线 B.，直线
C.，轴 D.， 轴
返回
5.二次函数 的最值情况是( )
B
A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值5 D.有最大值
返回
6.［2025石家庄平山期中］若二次函数的图象过点 和
，则， 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.
返回
7.在抛物线的对称轴左侧，随的增大而减小，则 的取值
范围是( )
A
A. B. C. D.
返回
8. 已知二次函数 的图象不经过第一、二象
限，请写出一个合适的常数 的值：__________________.
（答案不唯一）
返回
9.抛物线与 的形状相同，开口方向相反，且其顶
点坐标是 ，则该抛物线的函数解析式是____________.
返回
知识点2 抛物线与 的关系
10.将抛物线 向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析
式是( )
A
A. B. C. D.
返回
11.［教材例2变式］抛物线 经过平移得到抛物线
，则这个平移过程是( )
C
A.向左平移5个单位长度 B.向右平移5个单位长度
C.向上平移5个单位长度 D.向下平移5个单位长度
返回
12.［教材 练习变式］在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数
， 的图象.
解：如图所示.
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
[答案] 开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 ；
开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为 .
（2）抛物线可由抛物线 向____平移___个单位
长度得到.
上
3
返回
13.［2025沧州校级月考］若正比例函数，随 的增大
而减小，则二次函数 的图象大致是( )
D
A. B. C. D.
返回
14.抛物线与 的不同之处是( )
C
A.开口方向 B.对称轴 C.顶点坐标 D.形状
返回
15.已知二次函数，当时，函数值 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
返回
16.已知抛物线经过平移后得到抛物线 ，若抛物
线上任意一点的坐标是，则其在抛物线上的对应点 的坐
标一定是( )
A
A. B. C. D.
返回
17.若抛物线与关于轴对称，则 ___.
1
返回
18.如图，抛物线经过正方形的三个顶点，， ，
点在轴上，则 的值为____.
返回
19.如图，抛物线与轴交于， 两点，
与轴交于点，四边形 为平行四边形.
（1）求，， 三点的坐标；
解：在中，令，则 ；令
，则，解得 ，
，， .
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点 ，求平移后抛物线的解析式.
解： 四边形是平行四边形，， ，
，， .设平移后抛物线的解析式为
，
则，解得， 平移后抛物线的解析式为
.
返回
20.已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点
的距离与到轴的距离相等.如图，点的坐标为， 是抛
物线 上一动点.
（1）当的面积为4时，点 的坐标为_______________；
或
（2）求 周长的最小值.
解：如图，过点作轴于点， 与抛
物线交于点，连接 .
抛物线上任意一点到定点的距离与到
轴的距离相等，
.又 为定值，
当点运动到点时， 的周长最小，
此时的周长 .
,， ，
，
， 周长的最小值为5.
返回(共20张PPT)
期末提分练案
期未提分二 二次函数
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.［2025邯郸校级月考］若是二次函数，则 的值是
( )
B
A.1 B. C.1或 D.2
返回
2.抛物线 的顶点在( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
3.二次函数 的图象的对称轴是( )
C
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
返回
4. ［2024眉山中考］定义运算：
，例如 ，则函数
的最小值为( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2024泸州中考］已知二次函数
（是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数 的取值范围为
( )
A
A. B. C. D.
返回
6.［2024天津中考］从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
（单位：）与小球的运动时间（单位： ）之间的关系式是
.有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 ；
②小球运动中的高度可以是 ；
③小球运动时的高度小于运动 时的高度.
其中，正确结论的个数是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
返回
7.［2025石家庄平山期中］二次函数 满足以下三个条
件：；； ，则它的图象可能是
( )
C
A. B. C. D.
返回
8.已知抛物线及直线，针对 的不同取值，三
人的说法如下.
甲：若，则和 交点的个数为0.
乙：若，则和 交点的个数为1.
丙：若，则和 交点的个数为1.
下列判断正确的是( )
C
A.甲、乙错，丙对 B.甲、丙对，乙错
C.甲、乙对，丙错 D.乙、丙对，甲错
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.已知抛物线的顶点在轴上，则 的值是____.
返回
10.已知点，，都在函数 的图象上，
则，，的大小关系是_____________.（用“ ”连接）
返回
11.［2024济宁中考］将抛物线向下平移 个单位长度.
若平移后得到的抛物线与轴有公共点，则 的取值范围是_______.
返回
12. 如图①为一汽车
停车棚，其棚顶的横截面可以看成
是抛物线的一部分，如图②是棚顶
的竖直高度（单位： ）与距离停
能
车棚支柱的水平距离（单位： ）近似满足函数关系
的图象，点 在图象上.若一辆厢式
货车需在停车棚下避雨，货车截面看成长，高 的
矩形，则可判断货车____完全停到停车棚内（填“能”或“不能”）.
返回
三、解答题（共40分）
13.（20分）［2024浙江中考］已知二次函数
（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线 .
（1）求二次函数的解析式；
解：由题意，得对称轴为直线， ，
.
又 图象经过点 ，
二次函数的解析式为 .
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长
度后，恰好落在的图象上，求 的值；
解：由题意，得点平移后的点的坐标为 .
又 点在 的图象上，
.
解得或 （舍去）.
.
（3）当时，二次函数 的最大值与最小值的
差为，求 的取值范围.
解： .
易得当 时，
最大值与最小值的差为 .
，不符合题意，舍去，
当 时，
最大值与最小值的差为 ，符合题意；
当时，最大值与最小值的差为 ，
解得， ，均不符合题意.
综上所述，的取值范围为 .
返回
14.（20分）［2024潍坊中考］ 某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的
能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本 （万元）
与隔热层厚度满足函数表达式： .预计该商场每年的能源
消耗费用（万元）与隔热层厚度 满足函数表达式：
，其中 .设该商场的隔热层建造费用与未来
8年能源消耗费用之和为 （万元）.
（1）若 ，求该商场建造的隔热层厚度；
解：由题意，得 .
整理，得 .
当时， ，
解得， ，
不合题意，舍去，
.
答：该商场建造的隔热层厚度为 .
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且 ，
当时，求隔热层厚度 的取值范围.
解：由（1），得 .
，
.
，随 的增大而增大，
当时， ，
解得 ；
当时， ，
解得 .
的取值范围为 .
返回(共14张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 抛物线形问题
知识点1 实物抛物线形问题
（第1题）
1.［2025张家口校级月考］如图，拱桥的形状是抛物线，
其函数关系式为（点 为拱桥桥顶），当水面
离桥顶的高度为 时，水面的宽度为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，公路隧道的截面为抛物线形，线
段表示水平的路面，以 为坐标原
点，所在直线为轴，以过点 且垂直
于轴的直线为 轴，建立平面直角坐标
系.经测量，抛物线的顶点
D
A. B.
C. D.
到的距离为 ，则抛物线的解析式为( )
返回
3.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽 ，水面下降
___，水面宽 .
返回
知识点2 运动抛物线形问题
4.［2025唐山路北区月考］一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/
秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式 ，
那么球弹起后又回到地面所花的时间是( )
D
A.5秒 B.10秒 C.1秒 D.2秒
返回
5.如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是
抛物线 的一部分，若命中篮
圈中心，则他与篮筐底的距离 是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.［2025邯郸校级期中］足球训练中，小军从球门正前方的 处射门，
球射向球门的路线呈抛物线.当球离球门的水平距离为 时，球达到最
高点，此时球离地面.现以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
解：由题意，得抛物线的顶点坐标为，经过， 可设抛物
线的解析式为 .
把点代入上式，得，解得， 抛物线的解
析式为
.
（2）已知球门高为 ，通过计算判断球能否射进球门
（忽略其他因素）.
解：当时，， 球不能射进球门.
返回
（第7题）
7.如图，排球运动员站在点 处练习发球，将球
从点正上方的 处发出，把球看成点，其
运行的高度（单位：）与运行的水平距离
（单位： ）满足关系式
，已知球网与点 的水
平距离为，高度为 ，球场的边界距
D
A.球运行的最大高度是 B.球不会过球网
C.球会过球网但不会出界 D.球会过球网但会出界
点的水平距离为 .下列判断正确的是 ( )
返回
（第8题）
8.［2025石家庄月考］图①是玻璃水杯的截面
图，其左右轮廓线， 为某抛物线的一部
分，杯口，杯底 ，且
，杯深 .如图②，将盛有部分水
的水杯倾斜 ，水面正好经过点
（即 ）.嘉淇在图①中建立了平面
直角坐标系
B
结论Ⅰ：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为 ；
结论Ⅱ：图②中，点到杯口的距离为 .
A.Ⅰ不对，Ⅱ对 B.Ⅰ对，Ⅱ不对 C.Ⅰ和Ⅱ都对 D.Ⅰ和Ⅱ都不对
（抛物线的顶点在 轴上），对于下列结论，判断正确的是( )
返回
9.［2024广西中考］如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点 处）的高
度是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距
离是，高度是. 若实心球落地点为，则___ .
返回
10.［2024陕西中考］一条河上横跨着
一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索
与缆索均呈抛物线形，桥塔 与桥
塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为 轴，以桥塔
所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔 与
桥塔之间的距离，，缆索 的最低点
到的距离 .（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索 所在抛物线的函数解析式；
解：， .
，缆索的最低点到的距离， ，
易得缆索所在抛物线的顶点的坐标为 ，
可设缆索所在抛物线的函数解析式为 .
将点的坐标代入抛物线的函数解析式，得 ，
， ，
缆索所在抛物线的函数解析式为 .
（2）点在缆索上，，且，，求 的长.
解： 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，缆索 所
在抛物线的函数解析式为， 缆索 所在抛物线
的函数解析式为 .
令，则 ，
解得或 .
， .
的长为 .
返回

展开更多......

收起↑