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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
知识点1 圆的对称性
1.（1）圆是轴对称图形，它有______条对称轴，它的对称轴是_______
_________________.
（2）圆也是中心对称图形，它的对称中心是______.
无数
任何一条直径所在的直线
圆心
返回
知识点2 垂径定理
（第2题）
2.如图，是的直径， 是弦且不是直径，
，则下列结论不一定正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［教材练习变式］如图，在中，弦 的长为
8，圆心到的距离，则 的半径长为( )
B
A.4 B. C.5 D.
返回
4.［教材习题变式］如图，在以点 为圆心的两
个同心圆中，大圆的弦交小圆于， 两点.
（1）求证： ；
证明：过点作于点 .
，， ，
，， .
（2）若，大圆和小圆的半径分别为6和4，则 的长为_ __.
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知识点3 垂径定理的推论
（第5题）
5.如图，是的直径， ，是弦
的中点，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.如图，，，三点在上，为弦 的中点，
，，则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点4 垂径定理及推论的应用
（第7题）
7.［2025石家庄期中］如图，圆形拱门最下端 在地面
上，为的中点，为拱门最高点，线段 经过拱门
所在圆的圆心，若， ，则拱门所
在圆的半径为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第8题）
8. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九
章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知
大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”
用现在的几何语言表达即：如图，为 的直径，
弦，垂足为，寸， 寸，则
直径 的长度是____寸.
26
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9. 已知的直径为，，是 的两条弦，
，，，则与 之间的距离为( )
C
A. B. C.或 D.或
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10.如图，点，，半径为5的 经
过点，，则点 的坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
11.下面是甲、乙两人测量圆形工件直径的方法.
甲：如图①，在工作台上用棱长相同的两个正
方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块
D
A.甲对，乙不对 B.甲不对，乙对 C.两人都不对 D.两人都对
间的距离和小木块的棱长 即可；
乙：如图②，把两个小木块换成两个相同的小圆柱（假设圆柱可固定在
工作台上），量得小圆柱的底面半径和两个圆心之间的距离 即可.
下面的说法正确的是( )
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12. ［2025石家庄长安区期
中］“筒车”是一种以水流作动力，取水灌
田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛
于唐，距今已有一千多年的历史，是我国
古代劳动人民的一项伟大创造.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴
心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为
6米时，水面下盛水筒的最大深度（即水面下方的圆上任一点距离水面
的最大距离）为1米.
（1）求该圆的半径.
解：如图，过点作，垂足为，交于点 ，
由题意可知，米， 米.
，米， 米.
设该圆的半径为 米，
则米， 米.
在中，，即，解得 ，
该圆的半径为5米.
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，水
面上涨的高度为多少米？
解：设水面上涨到如图EF的位置，与相交于点，则 ，
，
（米）.
如图，连接，在中，米， 米，
米，
由（1）知 米，
（米），
即水面上涨的高度为1米.
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13.如图，是 内一定点.
（1）过点作弦，使是 的中点；（尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）
解：如图，弦 即为所求.
（2）若的半径为13， .
①求过点的弦的长度 的取值范围；
[答案] 过点的所有弦中，直径最长，为26；与 垂直的弦最短.连接
，如图所示.
， ，
，
过点的弦的长度的取值范围为 .
②过点 的弦中，长度为整数的弦有___条.
4
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第二十四章 圆
专项突破14 与切线有关的辅助线的作法
类型1 有公共点，连半径，证垂直
方法1 利用勾股定理的逆定理证垂直
1.如图，的直径，是延长线上一点，且， 是
上一点，.求证：是 的切线.
证明：连接 .
的直径 ，
.
， .
在中，， ,
，
，即 .
又是 的半径，
是 的切线.
返回
2.如图，在平面直角坐标系中，有，， 三点.
（1）在图中画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心 的位置；
解：如图，点 即为所求.
（2）圆心 的坐标为______；
（3）点的坐标为，连接，判断直线与 的位置关系，
并说明理由.
解：直线与 相切.理由如下：
如图，连接， ，
由勾股定理得 ，
， ，
， ，即 .
又为 的半径，
直线与 相切.
返回
方法2 通过特殊角的计算证垂直
3.如图，以为直径的经过点， ，且
，是延长线上一点， .试判
断与 的位置关系，并说明理由.
解：与 相切.理由如下：
连接 ,
.
, .
, .
,
即 .
又是 的半径，
与 相切.
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方法3 借助等角代换证垂直
4.如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为点，点，
在上，过点作，交的延长线于点，已知 平分
．
（1）求证：是 的切线；
证明：如图，连接 .
， .
平分 ，
.
，
，
，
，
即 ， .
又是 的半径，
是 的切线.
（2）若，，求的半径和 的长．
解：如图，取的中点，连接，易知.又 ，
， ， 四边形 是矩形.
， .
在中，, ，
.
在 中，
， ，
.
的半径为5，的长为 .
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方法4 利用平行线证垂直
5. 独轮车（图①）俗称“手
推车”，又名鹿车等，西汉时已在一些田间
隘道上出现.北宋时正式命名为独轮车，在
北方，独轮车在运输货物方面几乎与毛驴
起着同样的作用.如图②是从独轮车中抽象出来的几何模型.在
中，，以的边为直径作，交于点 ，且
，垂足为.求证：是 的切线.
证明：连接 ，
， .
， ，
， .
， .
又是 的半径，
是 的切线.
返回
方法5 利用全等三角形证垂直
6.如图，在中， ，以
为直径的交于点，是的中点，
交于点.判断直线与 的位置关系，
并说明理由.
解：直线与 相切.
理由如下：连接是的中点， .
又，是的中位线.， .
是的直径， .
，即 .
又， .
在和 中，
.
，即 .
又是 的半径，
直线与 相切.
返回
类型2 无公共点，作垂直，证半径
方法1 利用角平分线的性质证半径
7.［2024广东中考］如图，在中， .
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点 ；
（保留作图痕迹，不要求写作法）
解：如图①， 即为所求.
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心， 长为半径作
.求证：与 相切.
证明：如图②，过点作于点 是
的平分线，， ，
，是 的半径，
与 相切.
返回
方法2 利用全等三角形证半径
8.如图，在两个同心圆中，，都是大圆的弦，且，
与小圆相切于点， 与小圆相切吗？请说明理由．
解： 与小圆相切.理由如下:
如图，过点作于点，连接 .
由切线的性质可知 .
由垂径定理可知, .
， .
在和 中，
，
， 为小圆的半径，
与小圆相切.
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第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点1 点与圆的位置关系
1.已知的半径的长为2，若 ，则得到的图形可能是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.已知的半径为，为线段的中点，当时，点
与 的位置关系是( )
A
A.点在内 B.点在上 C.点在 外 D.不能确定
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3.已知的半径为4，若点在内，则___4.（填“ ”“ ”或“
”）
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4.如图，在中， ，，， 是高线.
（1）以点为圆心，3为半径作，则点，，与 的位置关系
如何？
解：，，， .
，
.半径 ，
，， ，
点在上，点在内，点在 外.
（2）若以点为圆心作，使在圆内，在圆外，求的半径 的
取值范围？
解：由（1）知 .
又， ，
.
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知识点2 确定圆的条件
5.下列条件中，不能确定一个圆的是( )
C
A.圆心和半径 B.直径和圆心
C.平面上的三个点 D.三角形的三个顶点
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（第6题）
6.［2024邢台信都区调研］如图，点，， 均
在直线上，点在直线 外，则经过其中任意三
个点，最多可画出圆的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
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7. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如
图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块
碎片应该是____.（填序号）
①
（第7题）
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知识点3 三角形的外接圆和外心
（第8题）
8.如图，，是的直径，弦与交于点 ，
下列三角形中，外心不是点 的是( )
B
A. B. C. D.
返回
9.在中， ,，，则 外接圆的
半径为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.不确定
返回
（第10题）
10.如图，在平面直角坐标系中，点 ，
点，点，则 的外接圆的圆心
坐标是( )
A
A. B. C. D.
返回
知识点4 反证法
11.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假
设( )
C
A.三个内角都是锐角 B.三个内角都是钝角
C.三个内角都不是锐角 D.三个内角都不是钝角
返回
12.用反证法证明时，假设的结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位
置关系只能是( )
D
A.点在圆外 B.点在圆上
C.点在圆心上 D.点在圆上或圆外
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13.点是的外心，若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. 或 D. 或
返回
14.已知，，三点可以确定一个圆，则以下 点坐标不
满足要求的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第15题）
15.［2025石家庄期中］如图，已知点是 的外
心，连接，，.若 ，则 的度数
为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第16题）
16.［2024广州中考］如图，在中，弦 的长为
，点在上，， . 所
在的平面内有一点，若，则点与 的位置
关系是( )
C
A.点在上 B.点在 内
C.点在 外 D.无法确定
返回
17.（1）尺规作图，作出 的外接圆（不写作图过程，但保留作图
痕迹）；
解：如图， 即为所求.
（2）若 ，，求 外接圆的半径长.
解：如图，连接， ，
.
， ，
即， ，
即外接圆的半径长为 .
返回
18.如图，一个直角锯齿卡尺（所有角均为直角），
，，都在圆上，且 .卡尺
所有锯齿高度和水平宽度都为1，如
.
（1）圆心在卡尺内部还是外部？说明理由；
解：圆心在卡尺内部，理由如下：连接，易知线段 在卡尺
内部.,, 都在圆上，
且 ，
为圆的直径，
圆心在的斜边上， 圆心在卡尺内部.
（2）过，， 的圆的半径是多少？
解：， ，
.
是过，，的圆的直径，过，， 的圆的半径是
.
（3）若以为圆心，为半径画圆，直接写出，与 的位
置关系.
解：在内，在 上.
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第二十四章 圆
章末整合练
知识结构
核心考点巩固
考点1 圆的有关计算
（第1题）
1.如图，是的直径，是的弦， ，
垂足为.若，，则 的长为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
（第2题）
2.［2025石家庄期中］如图， 的顶点在量角
器的半圆上，角的两边分别经过量角器的
， 刻度，则 ( )
D
A. B. C. D.
返回
3.［2024常州中考］如图，是的直径，是 的弦，连接
，，.若 ，则____ .
70
（第3题）
返回
4.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接 ，
若 ，则____ .
15
（第4题）
返回
5. 把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示
折痕，则 所对圆心角的度数是______.
返回
6.如图，四边形内接于，是 的直
径，为的中点，弦于点，与 交于点
.
（1）求证： ；
证明：为 的中点，
.
弦，是 的直径，
. .
.
（2）若，求 的长.
解：过点作，垂足为 ，
，
即， .
， ，
， .
，是的中位线， ，
．
返回
考点2 点和圆、直线和圆的位置关系
7.已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它
的外接圆的面积为( )
D
A. B. C. D.
返回
8.［2025邢台期中］如图，在平面直角坐标系 中，
已知点，，都在 上，
则原点到 上一点的最短距离为( )
A
A. B. C.2 D.
返回
9.如图，，，是的切线，点，，
是切点，分别交，于， 两点，若
，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
返回
10.［2025唐山月考］如图，，分别切于点，，切
于点，分别交，于点，，若，则
的周长是_______.
（第10题）
返回
11.如图，在中，直径与弦交于点，连接 ，过
点的切线与的延长线交于点.若 ，则____ .
66
（第11题）
返回
12.如图，在中，，以为直径作，交于点 ，
交于点，过点作于点 .
（1）求证：是 的切线；
证明：连接，则 ，
.
， ，
， .
于点， .
又是 的半径，
是 的切线.
（2）若，的半径为5，求 的长.
解：连接 .
是的直径， 的半径为5，
， ， ，
， ，
.
，
.
返回
考点3 正多边形和圆
（第13题）
13.如图，正五边形的外接圆为， 是劣弧
上一点，连接，，，则 的
度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第14题）
14.如图，正六边形和正六边形 均以
点为中心，连接，，，，，
（，，三点共线），若， ，则正六
边形 的边长为( )
C
A. B.5 C. D.19
返回
15.如图，如果，分别是 的内接正三角形和内接正方形的一条
边，是的内接正边形的一条边，那么 ____.
12
（第15题）
返回
16.［2025沧州期中］如图，六边形是 的内接正六边形.
（第16题）
（1）若的半径为1，则六边形 的周长为___；
（2）设正六边形的面积为，的面积为，则 ___.
6
2
返回
考点4 弧长和扇形面积
17.［2024贵州中考］如图，在扇形纸扇中，若
，，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
返回
18.如图，将边长为4的正方形铁丝框（面积记为 ）变形为以点
为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与 的关系为( )
B
A. B. C. D.无法确定
返回
19.某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥
的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为
( )
C
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
返回
20.如图，的圆心与正三角形 的中心重合，已
知的半径和扇形的半径都是 .
（1）若将扇形 围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高
为 .
①求扇形 的弧长；
解： 是正三角形，
.
.
② 的值为______；
（2）上任意一点到正三角形 上任意一点的距离的最小值为
__________.
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第二十四章 圆
专项突破15 不规则图形面积的计算方法
方法1 和差法
方法展示
（1）直接和差法.
（2）构造和差法.
1.［2024重庆中考］如图，在矩形中，分别以点和为圆心，
长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若 ，则图中阴影部分
的面积为( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2.［2024遂宁中考］工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，
排污管道的截面是直径为 的圆，为预估淤泥量，测得淤泥截面
（图中阴影部分）宽为 ，则淤泥截面的面积为( )
A
（第2题）
A. B.
C. D.
返回
3.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地
设计图如图所示，该场地由和扇形组成，，分别与
交于点，，，， ，则阴影部分的
面积为_____（结果保留 ）.
返回
方法2 等面积转换法
方法展示
（1）直接等面积转化法.
当时，
（2）平移转化法.
当是的中点时，
（3）对称转化法.
（4）旋转转化法.
（第4题）
4.如图，在中，半径弦 ，且弦
，则图中阴影部分的面积为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.［2024威海中考改编］如图，已知扇形 的半径
为6， ，是的中点.过点作
交于点，过点作，垂足为，连接 ，
则阴影部分的面积是( )
B
A. B. C. D.无法计算
返回
6.如图，在矩形中，，，，分别为 ，
的中点，分别以，为圆心， 长为半径画弧把矩形分成三个部分，
则图中两个阴影部分的面积和为_______.
（第6题）
返回
7.如图，正方形的边长为2，为正方形的中心，， 分别为
，的中点，以为圆心，2为半径作，再分别以， 为圆心，1
为半径作， ，则图中阴影部分的面积为______.
（第7题）
返回
8.如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交
于点（不与点，重合），交于点，以点为圆心， 长为半
径的圆交直线于点，，若 ，则图中阴影部分的面积为
______.
返回
方法3 化零为整法
方法展示
9. 某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环
境，现计划在以五边形各顶点为圆心， 长为半径的扇形区域
（阴影部分）内种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是( )
C
A. B. C. D.
返回
方法4 容斥原理
方法展示
10.如图，在等腰直角三角形 中，
， ，以点 为圆心，
长为半径画弧，交于点，以点为圆心，
长为半径画弧，交于点 ，则图中阴影部分的面积
是( )
C
A. B. C. D.
返回(共5张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
限时：8分钟
（第1题）
1.如图，是的直径，是弦， ，垂足
为 ，则下列结论中错误的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2.如图，是的弦，半径，垂足为 ，设
，，则 的半径为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
3.如图，点，在上，为的中点，直径交于点 ，
，，则 的长为________.
（第3题）
返回
4.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已
知，半径，求高度 .
解：为半径， ，
，
，
，
,
高度为 .
返回
荣德基
AD=
=5AB=2×16=8(m)
0D
0A2 -AD2
=V102-82
=6(m).
=10一6=4(m)
高度CD为4m.(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 圆的切线的判定与性质
知识点1 切线的判定
1.如图，点在上，下列条件不能说明是 的切线的是( )
D
（第1题）
A. B.
C. ， D.
返回
2.如图，,是上的两点，是过点 的一条直线，如果
,那么当_____时，与 相切.
（第2题）
返回
3.如图，为的直径，如果上的点恰使 ，求证：
直线与 相切.
证明：连接 .
， .
为 的直径，
， .
又 ，
，
即， .
又是 的半径，
直线与 相切.
返回
知识点2 切线的性质
4.［2024哈尔滨中考］如图，是的切线，点为切点，连接 ，
，若 ，则____ .
50
返回
（第5题）
5.［2024山西中考］如图，已知，以 为直
径的交于点，与相切于点，连接 .若
，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.如图，为外一点，为的切线， 为切
点，交于点， ， ，则线
段 的长为( )
D
A.6 B. C.4 D.8
返回
7.如图，是的直径，是弦，直线是过点的 的切线，
于点 .
（1）求证： ；
证明：连接 .
是过点的 的切线，
.
又， ，
.
， ，
.
（2）若 ，，求 的长.
解：为 的直径，
.
在中， ，
.
返回
（第8题）
8.［2024福建中考］如图，已知点，在 上，
，直线与相切，切点为，且
为的中点，则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
（第9题）
9.如图，在平面直角坐标系中，过格点，，
作一圆弧，点 与下列格点的连线中，能够与该
圆弧相切的是( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
（第10题）
10.如图，在矩形中，，以 为直径作
，将矩形绕点旋转，使所得矩形
的边与相切，切点为，边与 相交于
点.若，则 的长为( )
B
A.9 B.10 C. D.12
返回
11.如图，量角器的零刻度线所在直线为 ，将一矩形直尺和量角器部
分重叠，使直尺一边和量角器相切于点，直尺另一边分别交直线 和
量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为 ，
则该直尺的宽度为____ .
（第11题）
返回
12.［2024济宁中考］如图，内接于， 是
上一点，，是 外一点，
，，连接 .
（1）若，求 的长；
解： ，
，即 .
又， ，
，
， .
（2）求证：是 的切线.
证明：连接并延长交于点，连接 .
是的直径，， .
， .
， ，
.
由（1）知，， .
，， ，
即. .
又为 的半径，
是 的切线.
返回
13. 发动机的曲柄连杆将直线
运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖
；;当与相切时， ；
当时， .
其中正确的是______.（填序号）
①③
面图，图②是其示意图.图②中，点在直线上往复运动，推动点 做圆
周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点,是直线 与
的交点.当点运动到时，点到达；当点运动到时，点 到达
.若， ，则下列结论：
返回(共12张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1.如图，四边形内接于，若 ，则 的度数为
( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，四边形内接于，是 的直
径， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.如图，四边形内接于.过点作，交
于点.若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.［2024滨州中考］如图，四边形内接于，若四边形 是
菱形，则____ .
60
（第4题）
返回
5.如图，在的内接四边形中， ，
，点在 上.
（1）____ ；
70
（2）求 的度数.
解：连接 ，
.
四边形是的内接四边形， ，
.
返回
（第6题）
6.如图，四边形是的内接四边形，是
的直径，若 ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
7.［2025廊坊校级月考］如图，是半圆的直径，，， 三点依次
在半圆上.若 ， ，则 与 之间的关系式为________
_______.
（第7题）
返回
8.如图，四边形内接于，交的延长线于点 ，若
平分，，，求 的长.
解：连接 四边形内接于， .
，
.
平分， .
，
， .
，， ，
.
返回
9.如图，在的内接四边形 中，
，若四边形的面积是 ，
的长是，则与 之间的函数关系式是( )
A
A. B.
C. D.
返回(共12张PPT)
第二十四章 圆
专项突破13 截长补短法在圆中的应用
应用1 补短法在圆中的应用
1.从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如
图，，组成的一条折弦.是劣弧的中点，直线 于
点，则 .请证明该结论成立.
（提示：可连接,,延长，相交于点 ）
证明：如图，连接,,延长，相交于点 .
四边形是的内接四边形， .
是劣弧 的中点，
， .
易得 为等腰三角形，
， ，
.
， 是等腰三角形，
.
,
该结论成立.
返回
2.如图，是等边三角形的外接圆的上的一点，判断 ，
， 之间的数量关系，并给出证明过程.
解：.证明：如图，延长到点 ，
使，连接 .
是等边三角形，
， .
易得 . 是等边三角形，
.
，
.
在和 中，
.
，
.
返回
应用2 截长法在圆中的应用
3.如图，等腰三角形中，，为的外接圆， 为
上一点，于点，求证： .
证明：如图，在上截取，连接， .
在和 中，
， .
于点， ，
．
返回
4.如图，内接于，，是 的一条弦，且
，过点作，分别交，于点，，连接 ，
若，的周长为13，求 的长.
解：如图，在上截取，连接， .
又， ，
， .
又， ，
.
， .
又， ，
.
的周长是13，
.
，
．
返回
荣德基
1.从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦如
图，PA,PB组成⊙O的一条折弦.C是劣弧AB的中点，直线CD L PA于
点E,则AE=PE+PB.请证明该结论成立
(提示：可连接AD,BD,延长DB,AP相交于点F)
易得△AFD为等腰三角形，
∠F=∠A,∠PBF=∠F,
PB=
CD⊥PA
△AFD是等腰三角形，
EF=PE十PF=PE十PB
AE=PE+PB.·该结论成立.
在△MAC和△NBC中，
∠AMC=∠BWC
∠MAC=∠WBC,
AC=BC
△MAC≌△WBC(AAS)
MA=NB
MA=MB+MN=MB+MC.
C
D
●
E
A
B
AC=BC
∠CAF=∠CBD
AF=BD
.△ACF≌△BCD(SAS),.CF=CD
CE⊥AD于点E,.EF=DE
.AE=AF十EF=BD十DE。
C
P
A
B
0
D
又CD L AP,EF=PE,
.AE=AF十FE=PB十PE
AC=BC.
.AC=BC
义BC=BD,
AB
.AB=CD
·△ABP的周长是13，
AP+PB=13-6=7
AE=PE十PB,
2AE=AP PB =7.:.AE(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识点1 切线长定理
（第1题）
1.如图，从外一点引的两条切线， ，
切点分别为，，如果 ， ，
那么弦 的长是( )
C
A.4 B. C.8 D.
返回
（第2题）
2.［2025邢台校级期中］如图，，，是
的切线，切点分别是，，.若， ，
则 的长是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
（第3题）
3.如图，,分别切于点， .若
,的半径为3，则线段 的长度为
( )
B
A. B.6 C.8 D.10
返回
（第4题）
4. 如图是一个不倒翁的示意图，不倒翁的圆
形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点， ，不倒翁
的鼻尖正好是圆心，连接,若 ，则
的度数为_____.
返回
知识点2 三角形的内切圆与内心
5.已知是的内切圆，则点是 的( )
B
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点 D.三条高线的交点
返回
（第6题）
6.如图，是一张三角形的纸片， 是它的
内切圆，点是其中的一个切点，已知 ，
小明准备用剪刀沿着与 相切的任意一条直线
剪下一个三角形，则剪下的 的
周长为( )
A
A. B.
C. D.随直线 的变化而变化
返回
7.如图，点是的内心，,,的面积分别为 ,
,,则___.（填“ ”“”或“ ”）
（第7题）
返回
8.如图，在中， ，，与 的三边分别
相切于点，，，若的半径为2，求 的周长.
解：连接,，设，由切线长定理得 .
与的三边分别相切于点,, ，
， .
又 , ,
四边形 为正方形.
的半径为2， .
又， .
在中， ，
，解得 ，
,, ,
的周长为 .
返回
（第9题）
9.［2024泸州中考］如图，，是 的切线，
切点为，，点，在 上，若
，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
（第10题）
10.如图，在等边三角形的边上分别取点，， ，
使，连接，， .
甲、乙、丙三人说法如下：
甲： 一定是等边三角形.
乙：若点是的外心，则它一定也是 的外心.
D
A.只有甲的说法不正确 B.只有丙的说法不正确
C.只有乙的说法不正确 D.甲、乙、丙的说法都正确
丙：若，则的长是 内切圆半径的长的2倍.
则下列判断正确的是( )
返回
11.［2025邯郸丛台区期中］如图，已知是 的内切圆，切点为
，，，若，，，则内切圆的半径 ___.
1
（第11题）
返回
12.如图，在中，，，，点为 的内
心，将平移，使其顶点与点 重合，则图中阴影部分的周长为___.
7
（第12题）
返回
13.如图，为外一点，，是的切线，点 ，
为切点，点在上，连接，， ．
（1）求证： ；
证明：如图，过点作于点 ，
，
.
是 的切线，
，
，
.
， ，
，
.
（2）连接，若，的半径为5，，求 的长．
解：如图，延长交于点 .
，是 的切线，
， .
， .
又 ，
四边形 是矩形，
， .
， ，
，
，， .
，
， .
返回
14.［2024滨州中考］刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我
国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉
为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重
视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的
D
A. B.
C. D.
推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图， 中，
，，，的长分别为，，.则可以用含，， 的
式子表示出的内切圆直径 ，下列表达式错误的是( )
返回(共22张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点1 圆心角的概念
1.［2025廊坊校级月考］下列图形中的角是圆心角的是( )
A
A. B. C. D.
返回
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
（第2题）
2.［教材练习变式］如图，，是 的两
条弦，于点，于点 .
（1）若，则____， _______；
（2）若，则_______， ____；
（3）若，则____， ____；
（4）若，则____，____， _______.
返回
3.如图，在中，，，则 的长为( )
C
（第3题）
A.1 B. C.3 D.4
返回
4.如图，在中，， ，则 的度数是
( )
D
（第4题）
A. B. C. D.
返回
5.如图，在中， ，则下列结论不一定正确的是( )
D
（第5题）
A. B.
C. D.
返回
6.下列说法中，正确的是( )
B
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦相等 D.相等的弦所对的圆心角相等
返回
7.如图，，是的两条弦，.求证： .
证明： ，
，
， .
返回
8.［教材练习变式］如图，在中， 是直径，
， ，是的三等分点，求 的度数.
解： ，
.
，是 的三等分点，
，
，
.
返回
（第9题）
9. 如图，在中， ，连接
，，则与 的关系是( )
B
A. B.
C. D.无法比较
返回
（第10题）
10.如图，已知的半径等于， 是直径，
，是上的两点，且 ，则四边
形 的周长等于( )
B
A. B. C. D.
返回
（第11题）
11.［2025保定期中］如图，的半径 ，
弦，则弦 所对圆心角的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第12题）
12.如图，为的直径，点是的中点.过点
作于点，交于点，若 ，
，则 的半径长是( )
A
A.5 B.6.5 C.7.5 D.8
返回
13.如图，在中，且，垂足为.若 ，
，则 的半径为___.
5
返回
14.如图，在中， ，且，是的三等分点， 分
别交，于点，.求证： .
证明：连接， .
,是 的三等分点，
.
， .
，
.
，
，
.
， ,
， .
同理可得 ，
.
返回
15.如图，在中，， .
（1）求证： ；
证明：， .
又 ，
是等边三角形，
，
.
（2）若是的中点，求证：四边形 是菱形.
[答案] 连接，由（1）知 ，
.
是的中点， ，
.
又， ，
和都是等边三角形， .
四边形 是菱形.
返回
16.如图，是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），是 的中
点，点是直径上的一个动点，若的半径为3，则 的最
小值为______.
返回(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
知识点1 根据公共点的个数说明直线与圆的位置关系
1.如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆
与直线，它们的位置关系是( )
B
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
返回
知识点2 由直线和圆的位置关系判断数量关系
2.已知的直径为10，直线与相交，则圆心到直线 的距离可能
是( )
A
A.4 B.5 C.6 D.8
返回
3.［教材习题变式］在中， , ,
，以点为圆心作 .
解：,, ,
.
如图，过点作，垂足为 .
，
.
（1）若与相切，求的半径 ；
[答案] 当与相切时， ,
.
（2）若与直线相交，求的半径 的取值范围；
[答案] 当与直线相交时，, .
（3）若与直线没有公共点，求的半径 的取值范围.
[答案] 当与直线没有公共点时，, .
返回
知识点3 由数量关系判断直线和圆的位置关系
（第4题）
4.［2025石家庄期中］半径为5的四个圆按如图所
示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线 的距
离为4，则这个圆可以是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.如图，是的平分线上一点，
于，以点为圆心，长为半径作，则
与直线 的位置关系是( )
B
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
返回
6.如图， ，为上一点，且，于点 ，
以点为圆心，半径为1的圆与 的位置关系是( )
C
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上三种都有可能
返回
7.的直径为，若圆心与直线的距离为，则与 的
位置关系是______.（填“相交”“相切”或“相离”）.
相交
返回
8. 已知点在半径为3的上，如果点到直线 的距离是6，那
么与直线 的位置关系是( )
D
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上答案都不对
返回
9.在平面直角坐标系中，点的坐标是， 的半径为3，下列说
法正确的是( )
D
A.与轴、 轴都有两个公共点
B.与轴、 轴都没有公共点
C.与轴有一个公共点，与 轴有两个公共点
D.与轴有两个公共点，与 轴有一个公共点
返回
10.已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心 到
直线的距离，则直线与 的位置关系是( )
C
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
返回
（第11题）
11.［2024邢台期末］题目：“如图，在
中， ，，，以点 为圆心
的的半径为，若与只有一个交点，求
的取值范围.”对于其答案，甲答： .乙答：
.丙答： .则下面判断正确的是
( )
D
A.只有乙的答案对 B.甲、乙的答案对
C.乙、丙的答案对 D.三人的答案合都对
返回
12.如图，已知的半径为3，圆心在抛物线 上运动，当
与轴相切时，圆心 的坐标为_______________．
或
（第12题）
返回
13.如图，已知 ，是射线 上一
点，．以点为圆心， 为半径画
．
（1）当与射线相切时，求 的值；
解：过点作于点 ，
则. ，
，
当与射线相切时， 的值为1.
（2）写出与射线的公共点个数的所有可能的情况及对应的 的
取值范围．
解：当时，与射线 相切，只有一个公共点；
当时，与射线 相离，没有公共点；
当时，与射线 相交，有两个公共点；
当时，与射线 只有一个公共点.
返回
14.如图，半圆的圆心与坐标原点重合，该半圆的半径为1，直线 的解析
式为.若直线与半圆只有一个交点，则 的取值范围是________
____________.
或
返回(共22张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
知识点1 圆的定义
1.下列条件中，能确定唯一一个圆的是( )
C
A.以点 为圆心
B.以 长为半径
C.以点为圆心，以 长为半径
D.经过已知点
返回
2. 战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载，它
的意思是圆上各点到圆心的距离都等于______.
半径
返回
3.［教材练习变式］如图，在四边形 中，
，求证：，，， 四点在同一个圆上.
证明：连接，取的中点，连接，，则 .
又 ，
， .
，
，，， 四点在同一个圆上.
返回
知识点2 与圆有关的概念
4.下列由实线组成的图形中，为半圆的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2025石家庄月考］小明在半径为5的圆中测量弦 的长度，下列测
量结果中一定错误的是( )
D
A.4 B.5 C.10 D.11
返回
（第6题）
6.如图，点，，，点，，以及点，， 分
别在一条直线上，则图中弦的条数为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
7.下列说法正确的有( )
C
A.优弧的长一定大于劣弧的长
B.以圆心为一个端点的线段是半径
C.半径相等的两个半圆是等弧
D.不同的圆中，不可能有相等的弦长
返回
8.如图，在中，是直径，，，三点都在 上，则
（第8题）
（1）______ ；
（2）___，___ ；
（3）弦 所对的弧有__________.
和
返回
（第9题）
9.如图，在中，， 是圆上的两点，已知
，直径，连接，则
等于( )
A
A. B. C. D.
返回
（第10题）
10.如图，点，在半圆上，四边形 、四边形
均为矩形，，，则， 的关系
为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第11题）
11.如图，半圆的直径，将半圆绕点 顺时
针旋转 得到半圆，与交于点，那么
( )
C
A.2.5 B.5
C. D.
返回
12.如图，是的弦，是优弧上的动点，，垂足为
（点在线段上），是的中点.若的半径是3，则 长的最
大值是___.
3
（第12题）
返回
13.已知：如图，在正方形中，,分别是,的中点， 与
交于点 .
（1）线段与 有何关系 说明理由；
解：且 .
理由如下： 四边形是正方形， ,
.
，分别是， 的中点，
， ，
，
，
， .
易得 ，
，
， .
（2）若延长,交于点，则,,, 这四个点是否在同一个圆上
说明理由.
解：，，， 这四个点在同一个圆上.
理由如下：如图，连接 .
，， ，
，
.
又, ，
在中， ，
，
，，，这四个点在以点为圆心， 的长为半径的圆上.
返回
14.如图，为半圆的直径，为圆心， 交
半圆于点，是半圆上的动点（不与点，， 重
合），点从点出发向点运动.过点作 ，
，垂足分别为，，分别取和 的中点
D
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.等于5 D.等于2.5
，，连接.若，则下列关于 长度的说法正确的是
( )
返回
微专项7 连接半径构造等腰三角形
方法指导
同圆或等圆的半径相等，所以分别连接圆心和圆上任意两个不构成
直径的点就会构成等腰三角形.
1.如图，是的直径，是上一点， ，为 延
长线上一点，且，则 的度数是_____.
返回
2.如图，点，分别在的边，上，过，， 三点的圆的
圆心为，过，，三点的圆的圆心为，若 ，则
____ .
18
返回(共23张PPT)
第二十四章 圆
阶段练习（24.2~24.3）
建议用时：45分钟
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.圆内接正十边形的中心角的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.已知的半径为2，点到圆心的距离为1，则点 在( )
A
A.内 B.上 C. 外 D.无法确定
返回
3.若直线与半径为6的相交，则圆心到直线的距离 满足( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.如图，在中，， 是角平分线.以点
为圆心，长为半径作，则与 的位置关
系是( )
B
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
返回
（第5题）
5.如图，在平面直角坐标系中，经过 ，
，三点，是上的一动点.当点 到
弦的距离最大时，点 的坐标是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.如图，是的直径，，分别切 于
点，，若 ，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.［2025邯郸期中］如图，是正五边形 的
内切圆，分别切，于点，，是优弧 上
的一点，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
8.内接于，过点作直线，已知，根据弦
的变化，甲、乙两人分别探究直线与 的位置关系.
甲：如图①，当弦过点时，与 相切；
乙：如图②，当弦不过点时，
也与 相切；
下列判断正确的是( )
C
A.甲对，乙不对 B.甲不对，乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.［2024徐州中考］如图，是的直径，点在 的延长线上，
与相切于点，若 ，则____ .
35
（第9题）
返回
10.当，，三点可以确定一个圆时，， 需要满
足的条件为_____________.
返回
11.如图，点，分别是锐角三角形 的外心、内心，若
，则 的度数为_____.
（第11题）
返回
12.［2025沧州校级月考］如图，是的直径，为 上一点，
和过点的的切线互相垂直，垂足为，切线交 的延长线
于点 .
（1）若 ，则 的度数为_____；
（2）若 ，，则 的长为__.
返回
三、解答题（共40分）
13.（12分）如图，是的外接圆，为直径，是 上一
点，且，交的延长线于点.求证：是 的切线.
证明：连接， .
，
， .
四边形是的内接四边形， .
又 ，
.
为直径，，， .
， ，
，
，
.又是 的半径，
是 的切线.
返回
14.（12分）如图，在中， ，点
在边上，以为直径的与直线相切于点 ，
连接， .
（1）求证： ；
证明： ， .
又为 的半径，
为 的切线.
为的切线，平分， .
， ，
.
，
，
， .
（2）连接，若，则 的半径为____.
返回
15.（16分） 如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一
点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图①，如果 与
相切于点，那么，即 ，根据“圆周角定理的
推论： 的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在 上，也在
以 为直径的圆上，是两圆的公共点.
（1）请根据上面的分析在图②中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直
尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心， 的长为半径的圆
就可以确定切点的位置，切点分别记为，，画出直线和 ，即为
经过圆外一点的 的两条切线；
解：如图，直线， 即为所求.
（2）在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接 ，
，.求证：点是 的内心.
证明：如图，设交于点，连接， .
，是 的切线，
，，，， ，
.
,
.
， ，
，
即为 的平分线.
同理可得为 的平分线,
点是 的内心.
返回(共14张PPT)
第二十四章 圆
培优拔高练 圆的综合问题
1.如图①，在中截掉一个圆心角为 的扇形，优弧与直线
相切于点，且 .
①
（1）求点到直线 的距离.
解：如图①
连接，过点作于点 .
， ，
为等边三角形，
， .
优弧与直线相切于点 ，
， ，
， ，
点到直线 的距离为5.
（2）如图②，优弧上存在一动点，从 出发按顺时针方向转
动，转动速度为每秒 ，转动时间为秒.当点运动至点 处时，停
止转动.过点作直线，直线与优弧交于另一点 .
②
①当直线与优弧相切时， 的值为______；
3或9
②当 时，求阴影部分的面积.
[答案] 如图②
连接，过点作于点，设与交于点 .
， .
由（1）知 .
直线， 直线 .
， 四边形 为矩形，
， ，
， ，
.， ，
， ，
.
返回
2.［2024河北中考节选］已知的半径为3，弦.
中， ，.在平面上，先将和 按图①位置
摆放（点与点重合，点在上，点在 内），随后移动
，使点在弦上移动，点始终在上随之移动.设 .
①
（1）当点与点重合时，求劣弧 的长；
解：如图①
①
连接， .
的半径为3， ，
，
为等边三角形，
，
的长为 ，
即劣弧的长为 .
（2）当时，如图②，求点到的距离，并求此时 的值.
②
解：如图②
②
过点作于点，过点作于点 ，连接
， ，
四边形 是矩形，
， .
， ，
.
，
，
点到 的距离为2.
， ，
，
，
.
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第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
知识点1 弧长公式及其应用
1.［2024安徽中考］若扇形的半径为6， ，则 的
长为( )
C
A. B. C. D.
返回
2.一个扇形的圆心角为 ，它所对的弧长为 ，则这个扇形的半
径为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.［2024绵阳中考］将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的
半径为2，弧长为 ，则扇形的圆心角大小为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 某校在社会实践活动中，明明同学用
一个直径为 的定滑轮带动重物上升.如图，滑轮上一
点绕点逆时针旋转 ，假设绳索（粗细不计）与滑
轮之间没有滑动，则重物上升了( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2024淮安中考］如图，是 的内接三角形，
， 半径为3，则 的长为___.
（第5题）
返回
知识点2 扇形面积公式及其应用
6.半径为1，圆心角为 的扇形面积为( )
B
A. B. C. D.
返回
7.一个扇形的半径为，面积是 ，则这个扇形的圆心角为
( )
D
A. B. C. D.
返回
8.已知一个扇形的面积是 ，弧长是 ，则这个扇形的半径为
( )
A
A.24 B.22 C.12 D.6
返回
9. 第33届夏季奥林匹克运动会开幕式在巴
黎举行，国乒首夺乒乓球混双金牌.如图是某同学自制的一
个乒乓球拍，正面是半径为的，劣弧 的长为
，阴影部分需要粘贴胶皮，则这一面胶皮的面积为
( )
A
A. B. C. D.
返回
10.如图，在中， ，以点 为圆心，
的长为半径的圆交于点.若是 的中点，
，求阴影部分的面积.
解：是的中点， ，
.
， 为等边三角形，
，
.
返回
（第11题）
11.［2024青岛中考］如图，，，，是 上
的点，半径，， ，连
接，则扇形 的面积为( )
A
A. B. C. D.
返回
（第12题）
12.如图，在扇形中， ，半径 ，
是上一点，连接，是上一点，且 ，
连接.若，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
返回
13.［2024河北中考改编］扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在
我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为 时，扇面面积为
.该折扇张开的角度为 时，扇面面积为.若，则与 的关
系是_________.
返回
14.阅读下列材料，完成后面任务.
续表
任务：
（1）补全材料中的横线部分：
①_ ___；
②_ _________.
（2）若曲边三角形的周长为 ，求曲边三角形的面积.
解：设等边三角形的边长为 ，
由题意，得 , ，
.
返回
15. 如图，四边形是边长为
的正方形，曲线 是由多段 的
圆心角所对的弧组成的.其中，的圆心为 ，半径
为；的圆心为，半径为； 的圆心
为，半径为；的圆心为，半径为；， ，
，，的圆心依次按点，，，循环，则 的长
是________（结果保留 ）.
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第二十四章 圆
河北特色题型专练四
题型1 结论辨析类问题
1.综合实践课上，老师提出如下问题：在 中作了两个内接三角形，
分别是和，经测量 ，求.嘉嘉回答： 的度
数是 ；淇淇回答：的度数是 .下列判断正确的是( )
D
A.嘉嘉对 B.淇淇对
C.嘉嘉和淇淇合在一起才对 D.嘉嘉和淇淇合在一起也不对
返回
2.［2025唐山校级月考］如图，在 中，
，，，为斜边 上
任一点，作经过点，且与边相切于点的 .
对于结论Ⅰ和Ⅱ：
A
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
结论Ⅰ：若的圆心落在边上，则的半径为 ；
结论Ⅱ：当与直线有另一交点，与直线交于另一点 时，点
，之间的最小距离为 .
下列判断正确的是( )
返回
3.［2025保定校级期末］如图，已知及外一定点 ，嘉嘉进行
了如下操作后，得出了四个结论：
是 的中点；
②直线，都是 的切线；
③点到点、点 的距离相等；
④连接，，，， ，则
.
对上述结论描述正确的是( )
C
A.只有①正确 B.只有②正确
C.①②③正确 D.①②③④都正确
返回
题型2 操作类问题
4.将一个半径为1的圆形纸片，按如图的方式连续对折三次之后，用剪
刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角
和分别为( )
C
A.， B.， C.， D.，
返回
5. 如图①，将一个正方形纸
片沿虚线对折两次，得到图②，按
照图②所示剪去一个腰长为2的等腰
直角三角形，展开后得到一个如图
（1）图①中的正方形纸片的边长为_________；
（2）将正方形绕点顺时针旋转____度，与重合，此时
的长为_____.
45
③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放
在正八边形内部，与重合，为的中点，连接 .
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第二十四章 圆
阶段练习（24.1）
一、选择题（每小题5分，共40分）
（第1题）
1.［2025石家庄栾城区期中］如图，，为 的
两条弦，连接，，若 ，则 的
度数为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，的弦与半径互相垂直，垂足为 ，
，，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［教材练习变式］如图，是 的直径，
，是的中点，则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［2024广元中考］如图，已知四边形是 的
内接四边形，为延长线上一点， ，
则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
5.四边形内接于，，则， 满足
条件( )
C
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.［2024廊坊期中］如图，四边形内接于 ，
，，，则 的直径长为
( )
C
A. B. C. D.
返回
7.如图，为线段的中点， ，连接， ，
，则下面结论不一定成立的是( )
D
（第7题）
A. B.
C. D.平分
返回
8. 一次综合实践主题为“只用一张矩形纸条和刻度尺，测
量一次性纸杯杯口的直径”.小明同学所在的学习小组设计了如下方法：
如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿与杯口相交于， ，
，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为， ，
，则纸杯杯口的直径是( )
C
A. B. C. D.
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是 ，这样画出的圆的直径
是___ .
7
返回
10.［2024陕西中考］如图，为的直径，， ，
则 的度数是_____.
返回
11.如图，是的弦，半径于点， 为直径，若
，，则线段 的长为_______.
（第11题）
返回
12.如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰， 所对的
劣弧上分别有3个等分点（不包括，，），若等腰三角形 是钝
角三角形，则 至少是____.
17
（第12题）
返回
三、解答题（共40分）
13.（8分）如图，的弦， 的延长线
相交于点，且.求证： .
证明：连接 .
， ，
， ，
， .
返回
14.（8分）如图，圆内接四边形的对角线 ，
交于点，平分， .求证：
为该圆的直径.
证明：平分 ，
， .
， ，
，
，
是半圆， 为该圆的直径.
返回
15.（12分）如图，四边形内接于，， 的延长线交于点
，，的延长线交于点，若 ， ，求 的度数.
解：是 的外角，
.
是 的外角，
.
四边形内接于 ，
.
.
， ， ，
， .
四边形内接于 ，
，
，
.
返回
16.（12分）［2025石家庄期中］如图，有一座圆
弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为 .
（1）求桥拱所在 的半径；
解：设桥拱的半径是，连接 .
易知， .
拱高为， .
，
， ，
桥拱所在的半径是 .
（2）此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于 ，若大雨过后，
水面上升至处，水面宽度为 ，是否需要采取紧急措施？请说
明理由.
解：不需要采取紧急措施.理由如下：
连接，易知 ，
，
.
.
，
不需要采取紧急措施.
返回(共26张PPT)
第二十四章 圆
专项突破12 与圆的基本性质有关的辅
助线的作法
方法1 由垂径定理构造直角三角形
模型展示
（第1题）
1.如图，在中，弦， ，垂足为
，，则 的半径为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，
用锯子去锯这根木材，锯口深 ，锯道
，则这根圆柱形木材的半径为( )
C
A. B. C. D.
返回
方法2 构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角
模型展示
（第3题）
3.已知点，在直线的同一侧，作交 于
点，.连接，，，，若点在
外， ，则 的度数可能是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.如图，，是的两条直径，是劣弧 的中
点，若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.［2024苏州中考］如图，是 的内接三角形，若
，则____ .
62
（第5题）
返回
6.如图，是半圆的直径，为半圆上一点，是 的中点，
，则 的度数为_____.
（第6题）
返回
7.如图，是的内接三角形，若， ，则
____ .
40
（第7题）
返回
8.如图，内接于，点在上，连接交于点 ，若
，，则 的长为___.
4
（第8题）
返回
方法3 利用直径构造直角三角形
模型展示
（第9题）
9.如图，为的直径，点， 为圆上两点，且
，若 ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第10题）
10. 如图，在中，弦 ，
，则过点且垂直于 的弦的长为( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第11题）
11.如图，点，，，都在上， 的半径为2，
且，，则 ( )
A
A. B. C. D.6
返回
12.如图，是的直径，点，在上，连接，， ，若
，则 的度数为_____.
（第12题）
返回
13.如图，已知，以为直径的 分别交
，于点，，连接，且 .
（1）求证： ；
证明： ，
.
， ， .
， .
（2）若，，求 的长.
解：连接 .
为的直径， .
设，由（1）知 ，
则 .
在 中，由勾股定理，
得 .
在 中，由勾股定理，
得 .
，
解得，即 .
返回
方法4 构造圆内接四边形
模型展示
14.如图，点，，，，都在 上，且
，则 所对的圆心角的度数为
( )
C
A. B. C. D.
返回
15.如图，，，三点均在上， ，则 等于( )
A
（第15题）
A. B. C. D.
返回
16.如图，是的一条弦，是的直径，是 上一点，连接
，.已知 ，则 ______.
（第16题）
返回
17.如图，在中，为弦的中点，连接，，是 上任意一
点，若 ，求 的度数.
解：如图，在优弧上任取一点，连接，， .
为弦的中点， .
又 ，
.
四边形是 内接四边形，
.
又 ， ，
.
返回(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
知识点1 圆周角的概念
1.下列图形中， 是圆周角的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.如图，点，，，都在圆上，弦交于点，连接， ，
则 所对的圆周角是______________.
和
（第2题）
返回
知识点2 圆周角定理
（第3题）
3.［2024湖南中考］如图，，为 的两条弦，连
接，，若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.如图，是的直径，点，在 上.若
， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2024陕西中考］如图，是的弦，连接，，是 所
对的圆周角，则与 的和的度数是_____.
（第5题）
返回
知识点3 圆周角定理的推论
6.如图，,,,是上的点，则图中与 相等的角是( )
D
（第6题）
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.如图，是的直径，点在上， ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
8.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜
面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得
， ，则圆形镜面的直径为( )
B
A. B. C. D.
返回
9.如图，已知是的直径，点，在 上，且
，连接，，求 的度数.
解：是 的直径，
.
， ，
.
返回
（第10题）
10.如图，是的直径，是 的弦，半径
，连接，交于点， ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第11题）
11.如图，是半圆的直径，点， 在半圆上，
且，点在上.若 ，
则 等于( )
B
A. B. C. D.
返回
（第12题）
12.［2025石家庄长安区期中］如图，四边形
内接于，是的直径.若 ，
，，则 的长为( )
D
A.3 B.2.5 C.5 D.4
返回
13. ［2025廊坊安次区月考］如图，某博览会上有一圆形
展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是 ，
为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器___台.
4
（第13题）
返回
14.［2024连云港中考］如图，是圆的直径，，，， 的顶
点均在上方的圆弧上，，的一边分别经过点， ，则
____ .
90
返回
15.［2024安徽中考］如图，是 的外接圆，
是直径上一点，的平分线交于点 ，交
于另一点， .
（1）求证： ；
证明： ，
.
与都是所对的圆周角， .
， .
平分， .
是的直径， ，
，
， .
（2）设，垂足为，若，求 的长.
解：由（1）知 ，
.
，，， ，
圆的半径， ，
.
在中，，， ，
.
返回
16. 如图，四边形是矩形，，, 是
平面内的一个动点，连接,，在运动的过程中，始终垂直于 ，
将绕点顺时针旋转 得到，连接，则 的最大值为
_________.
返回(共21张PPT)
期末提分练案
期未提分四 圆
一、选择题（每小题5分，共35分）
1.下列说法中，不正确的是( )
B
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆的对称轴是直径
C.圆有无数条对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
返回
2.同一平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为 ，则圆
的半径为( )
B
A.或 B.或
C. D.
返回
3.如图，四边形内接于，若 ，则 的度数是
( )
C
（第3题）
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［教材习题变式］［2024重庆中考］如图，
是的弦，交于点，是 上一点，
连接，.若 ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
5.我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性.如图，将正五边
形的边固定，向右推动该正五边形，使得为 的中点，且
点，，，在以点为圆心的圆上，过点作的切线 ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图，点和分别是的内心和外心，若 ，则
的度数为( )
D
（第6题）
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.如图，点，在上，且点，， 不在同一条直
线上，是上一个动点（点不与点， 重合），
在点 运动的过程中，有如下三个结论：
①恰好存在一点，使得 ；
②若直线垂直于，则 ；
的大小始终不变.
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
返回
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.一个直角三角形的两直角边长分别是方程 的两个根，
则此直角三角形的外接圆的半径为_____.
返回
9.［2024深圳中考］如图，小明在矩形中裁剪出扇形 ，
，为的中点，，则扇形 的面积为____.
（第9题）
返回
（第10题）
10. ［2024苏州中考］铁艺花窗是园林设
计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，
由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六
边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是 的
内心，若 ，则花窗的周长（图中实线部分的
长度）____.（结果保留 ）
返回
三、解答题（共50分）
11.（13分）如图，为的直径，交于点，为
上一点，延长交于点，是延长线上一点，连接 ，
.
（1）求证：为 的切线；
证明：连接 ，
.
， .
， ，
，
即 ， .
又是 的半径，
为 的切线.
（2）若且，则 的半径为___.
3
返回
12.（16分）如图①是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速
公路转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线匝道进行过渡.如图②是
一种缓和曲线过渡匝道的示意图.若把过渡匝道的缓和曲线看成是一个
平面上的圆弧，汽车沿的切线经过切点驶入匝道，从 的切
线经过切点驶出匝道.已知，的半径为 .
（1）若在点 处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且
高清摄像头可以有效监控 以内的物体，问此摄像头能否有效监控
整个匝道？并说明理由；
解：此摄像头能有效监控整个匝道.理由如下：
延长，交于点，连接 ，
则的长为点到圆弧形过渡匝道的最大距离， .
是的切线， ，
.
在中， ，
由勾股定理，得 .
.
，
此摄像头能有效监控整个匝道.
（2）在图②中，若连接，交于点，且，请判断 与
的位置关系，并说明理由.
解： .理由如下：
连接 .
， .
是的切线， ，
.
.
， ，
， ．
返回
13.（21分）如图，四边形内接于， ，对角线
平分 .
（1）求证： 是等边三角形；
证明： 四边形内接于 .
， .
平分 ，
，
，
，
，
是等边三角形.
（2）若，，求 的周长.
解：如图，过点作，交的延长线于点 ，
.
， ，
， ，
.
， ，
.
是等边三角形，
，
的周长为 .
返回(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
知识点1 圆锥的侧面积
1.［2024无锡中考］已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的
侧面积为( )
B
A. B. C. D.
返回
2.［2025石家庄期中］综合实践课上，珍珍用半径为 ，圆心角为
的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽.如图，在不考虑接缝的
情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.如图，圆锥的母线长为，高是 ，则圆锥的侧
面展开扇形的圆心角是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半
径为2，侧面积为 的圆锥，则该扇形的圆心角 的大
小为( )
D
A. B. C. D.
返回
5.［教材习题 变式］如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底
面圆的半径为，高为 .
（1）求这个圆锥的母线长；
解：如图， 是圆锥的截面，
AC为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径， 为圆锥的母线长，由题意
可知，， ，
母线长为 .
（2）为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多
少？（结果保留 ）
解： 圆锥的底面圆周长为 ，
圆锥的侧面积为 ，
所需油毡的面积至少是 .
返回
知识点2 圆锥的全面积
6.如图，若将半径为 的圆形纸片剪去三分之一，剩下的部分围成一
个圆锥的侧面，则围成圆锥的全面积为__________.（结果保留 ）
返回
7.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图是一个陀螺的立体
结构图.已知底面圆的直径，圆柱体部分的高 ，圆
锥体部分的高，求这个陀螺的表面积.（结果保留 ）
解：， .
又 ，
在 中，
．
这个陀螺的表面积
．
返回
（第8题）
8.［2024广州中考］如图，圆锥的侧面展开图是一个圆
心角为 的扇形，若扇形的半径 是5，则该圆锥的体
积是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第9题）
9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富
的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下
周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处
的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长
为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为
( )
A
A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺
返回
10.［教材习题 变式］如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角
为 的扇形（阴影部分），将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥
的底面半径为1，则该圆锥的母线长是___.
4
（第10题）
返回
11.如图，小珍同学用半径为、圆心角为 的扇形纸片，制作
一个底面半径为 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是____
.
（第11题）
返回
12.如图所示的漏斗，圆锥形内壁的母线长为 ，开口
直径为 ．
（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深为______
；（结果保留根号）
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处和滤纸接缝处）展开，则
展开滤纸的圆心角的度数为______．
返回
13.问题情境：如图①，将一个底面半径
为 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为
，圆心角为 的扇形.工人在制作圆锥
形物品时，通常要先确定扇形的圆心角
度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图①中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长______
（填“相等”或“不相等”），若，，则 _____；
相等
120
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含， 的
式子表示 ；
解：由圆锥的底面周长等于扇形 的弧长，
得， .
（3）拓展延伸：图②是一种纸质圆锥形生日帽， ，
，是的中点，现要从点到点再到点 之间拉一条装饰彩
带，求彩带长度的最小值.
解：，， ，
， 圆锥的侧面展开后得到的扇形
的圆心角度数为 ,如图，
.
，点是 的中点，
， 在 中，
，
彩带长度的最小值为 .
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第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
知识点1 与正多边形有关的计算
1.正多边形的中心角为 ，则正多边形的边数是( )
C
A.4 B.6 C.8 D.12
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（第2题）
2.如图，正五边形内接于，是 上一点
（点不与点重合），则 ( )
B
A. B. C. D.
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（第3题）
3.［2024济宁中考］如图，边长为2的正六边形
内接于 ，则它的内切圆半径为( )
D
A.1 B.2 C. D.
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（第4题）
4.［2024雅安中考］如图，的周长为 ，正六
边形内接于.则 的面积为( )
B
A.4 B. C.6 D.
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5.［2024镇江中考］如图，是的内接正边形的一边，点 在
上， ，则 ____.
10
（第5题）
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6.如图，正三角形外接圆的半径为2，求正三角形 的边长、
边心距、周长和面积.
解：如图，连接，，延长交于点 .
正三角形的外接圆是 ，
， ，
易得 ，
正三角形的边心距为 .
由勾股定理得 ，
正三角形的边长为 ，
正三角形的周长为 .
，
正三角形的面积为 .
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知识点2 与正多边形有关的作图
7.如图，为的直径，作的内接正三角形 .甲、乙两人的作法
分别是：
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A
A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误
C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确
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8.如图，已知和上的一点，作 的内接正八边形
.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，正八边形 即
为所求.
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（第9题）
9.［2024呼和浩特中考］如图，正四边形 和正
五边形内接于，和相交于点 ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
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10.两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点 的坐标是
( )
D
（第10题）
A. B.
C. D.
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（第11题）
11. 早在1 800多年前，魏晋时期的数学家
刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼
近圆面积，如图所示的是 的内接正十二边形，若该圆
的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为( )
A
A.3 B. C. D.6
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12.如图，正方形内接于，为上一点，连接，， .
若，，则 的长为___.
1
（第12题）
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13.如图，正五边形内接于 ，阅读以下作图过程，并回答下
列问题.
作法：（1）作直径；（2）以点为圆心， 的
长为半径作弧，与交于点， ；（3）连接
，， .
（1） 是正三角形吗？请说明理由；
解： 是正三角形.理由如下：
如图，连接， .
由题意可得 ，
是正三角形，
， .
同理可得 ，
.
是正三角形.
（2）从点开始，以长为半径，在 上依次截取点，再依次连接
这些点，得到正边形，则 的值为____.
15
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14.如图，，分别是的内接正三角形、正方形 、正五
边形等正边形的边，上的点，且，连接 ，
.
（1）求图①中 的度数；
解：连接， .
是正三角形，
， .
,
，
.
又 ,
.
.
.
（2）图②中的度数是_____，图③中 的度数是_____；
（3）直接写出的度数与正边形的边数 之间的关系.
解： .
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第二十四章 圆
专项突破16 等分圆问题
类型1 等分圆中的特殊多边形
（第1题）
1.如图，点是的八等分点.若 ，
四边形的周长分别为， ，则下列正确
的是( )
A
A. B.
C. D.， 大小无法比较
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（第2题）
2.如图，将的圆周12等分，圆内接矩形 的面
积为20，则圆内接正六边形面积为( )
B
A.25 B.30 C.35 D.40
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类型2 等分圆中的特殊角
（第3题）
3.将的圆周12等分，点，， 是等分点，如
图， 的度数可能为( )
D
A. B. C. D.
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（第4题）
4.如图，，，， 均为圆周上的十二等分点，若用
直尺测量弦的长时，发现点， 分别与刻度1和4
对齐，则， 两点的距离是( )
C
A. B. C. D.6
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5.如图是一个钟表表盘模型，连接2的刻度与10的刻度的， 两点并延
长，交过8的刻度的切线于点，若表盘的半径为，则 的长为___.
2
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6.［2025石家庄校级月考］司南是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早
在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的前身.如图①.司南中心为
一圆形，圆心为点 ，直径为20，根据八个方位将圆形八等分
（图②中点），过点作的切线与的延长线交于点 ，连
接 .
（1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为_____；
（2）求 的长；
解：为的直径， .
， ， 是等腰直角三角形.
， .
（3）求线段与 的长，并比较大小.
解：为的切线， .
由（2）知 ， ，
，，. ，
.
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