河北省2025秋新版新人教版九年级数学上册 第24章圆 课件(含答案)(24份)

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河北省2025秋新版新人教版九年级数学上册 第24章圆 课件(含答案)(24份)

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(共21张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
知识点1 圆的对称性
1.(1)圆是轴对称图形,它有______条对称轴,它的对称轴是_______
_________________.
(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心是______.
无数
任何一条直径所在的直线
圆心
返回
知识点2 垂径定理
(第2题)
2.如图,是的直径, 是弦且不是直径,
,则下列结论不一定正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
(第3题)
3.[教材练习变式]如图,在中,弦 的长为
8,圆心到的距离,则 的半径长为( )
B
A.4 B. C.5 D.
返回
4.[教材习题变式]如图,在以点 为圆心的两
个同心圆中,大圆的弦交小圆于, 两点.
(1)求证: ;
证明:过点作于点 .
,, ,
,, .
(2)若,大圆和小圆的半径分别为6和4,则 的长为_ __.
返回
知识点3 垂径定理的推论
(第5题)
5.如图,是的直径, ,是弦
的中点,则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
返回
(第6题)
6.如图,,,三点在上,为弦 的中点,
,,则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点4 垂径定理及推论的应用
(第7题)
7.[2025石家庄期中]如图,圆形拱门最下端 在地面
上,为的中点,为拱门最高点,线段 经过拱门
所在圆的圆心,若, ,则拱门所
在圆的半径为( )
B
A. B. C. D.
返回
(第8题)
8. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九
章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知
大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”
用现在的几何语言表达即:如图,为 的直径,
弦,垂足为,寸, 寸,则
直径 的长度是____寸.
26
返回
9. 已知的直径为,,是 的两条弦,
,,,则与 之间的距离为( )
C
A. B. C.或 D.或
返回
10.如图,点,,半径为5的 经
过点,,则点 的坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
11.下面是甲、乙两人测量圆形工件直径的方法.
甲:如图①,在工作台上用棱长相同的两个正
方体小木块顶在圆形工件的两侧,测得两木块
D
A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对 C.两人都不对 D.两人都对
间的距离和小木块的棱长 即可;
乙:如图②,把两个小木块换成两个相同的小圆柱(假设圆柱可固定在
工作台上),量得小圆柱的底面半径和两个圆心之间的距离 即可.
下面的说法正确的是( )
返回
12. [2025石家庄长安区期
中]“筒车”是一种以水流作动力,取水灌
田的工具,据史料记载,它发明于隋而盛
于唐,距今已有一千多年的历史,是我国
古代劳动人民的一项伟大创造.如图,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴
心为圆心的圆,已知圆心在水面上方,且当圆被水面截得的弦 为
6米时,水面下盛水筒的最大深度(即水面下方的圆上任一点距离水面
的最大距离)为1米.
(1)求该圆的半径.
解:如图,过点作,垂足为,交于点 ,
由题意可知,米, 米.
,米, 米.
设该圆的半径为 米,
则米, 米.
在中,,即,解得 ,
该圆的半径为5米.
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时,水
面上涨的高度为多少米?
解:设水面上涨到如图EF的位置,与相交于点,则 ,

(米).
如图,连接,在中,米, 米,
米,
由(1)知 米,
(米),
即水面上涨的高度为1米.
返回
13.如图,是 内一定点.
(1)过点作弦,使是 的中点;(尺规作图,不写作法,保留
作图痕迹)
解:如图,弦 即为所求.
(2)若的半径为13, .
①求过点的弦的长度 的取值范围;
[答案] 过点的所有弦中,直径最长,为26;与 垂直的弦最短.连接
,如图所示.
, ,

过点的弦的长度的取值范围为 .
②过点 的弦中,长度为整数的弦有___条.
4
返回(共21张PPT)
第二十四章 圆
专项突破14 与切线有关的辅助线的作法
类型1 有公共点,连半径,证垂直
方法1 利用勾股定理的逆定理证垂直
1.如图,的直径,是延长线上一点,且, 是
上一点,.求证:是 的切线.
证明:连接 .
的直径 ,
.
, .
在中,, ,

,即 .
又是 的半径,
是 的切线.
返回
2.如图,在平面直角坐标系中,有,, 三点.
(1)在图中画出经过,,三点的圆弧所在圆的圆心 的位置;
解:如图,点 即为所求.
(2)圆心 的坐标为______;
(3)点的坐标为,连接,判断直线与 的位置关系,
并说明理由.
解:直线与 相切.理由如下:
如图,连接, ,
由勾股定理得 ,
, ,
, ,即 .
又为 的半径,
直线与 相切.
返回
方法2 通过特殊角的计算证垂直
3.如图,以为直径的经过点, ,且
,是延长线上一点, .试判
断与 的位置关系,并说明理由.
解:与 相切.理由如下:
连接 ,
.
, .
, .
,
即 .
又是 的半径,
与 相切.
返回
方法3 借助等角代换证垂直
4.如图,以四边形的对角线为直径作圆,圆心为点,点,
在上,过点作,交的延长线于点,已知 平分

(1)求证:是 的切线;
证明:如图,连接 .
, .
平分 ,
.




即 , .
又是 的半径,
是 的切线.
(2)若,,求的半径和 的长.
解:如图,取的中点,连接,易知.又 ,
, , 四边形 是矩形.
, .
在中,, ,
.
在 中,
, ,
.
的半径为5,的长为 .
返回
方法4 利用平行线证垂直
5. 独轮车(图①)俗称“手
推车”,又名鹿车等,西汉时已在一些田间
隘道上出现.北宋时正式命名为独轮车,在
北方,独轮车在运输货物方面几乎与毛驴
起着同样的作用.如图②是从独轮车中抽象出来的几何模型.在
中,,以的边为直径作,交于点 ,且
,垂足为.求证:是 的切线.
证明:连接 ,
, .
, ,
, .
, .
又是 的半径,
是 的切线.
返回
方法5 利用全等三角形证垂直
6.如图,在中, ,以
为直径的交于点,是的中点,
交于点.判断直线与 的位置关系,
并说明理由.
解:直线与 相切.
理由如下:连接是的中点, .
又,是的中位线., .
是的直径, .
,即 .
又, .
在和 中,
.
,即 .
又是 的半径,
直线与 相切.
返回
类型2 无公共点,作垂直,证半径
方法1 利用角平分线的性质证半径
7.[2024广东中考]如图,在中, .
(1)实践与操作:用尺规作图法作的平分线交于点 ;
(保留作图痕迹,不要求写作法)
解:如图①, 即为所求.
(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点为圆心, 长为半径作
.求证:与 相切.
证明:如图②,过点作于点 是
的平分线,, ,
,是 的半径,
与 相切.
返回
方法2 利用全等三角形证半径
8.如图,在两个同心圆中,,都是大圆的弦,且,
与小圆相切于点, 与小圆相切吗?请说明理由.
解: 与小圆相切.理由如下:
如图,过点作于点,连接 .
由切线的性质可知 .
由垂径定理可知, .
, .
在和 中,

, 为小圆的半径,
与小圆相切.
返回(共23张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点1 点与圆的位置关系
1.已知的半径的长为2,若 ,则得到的图形可能是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.已知的半径为,为线段的中点,当时,点
与 的位置关系是( )
A
A.点在内 B.点在上 C.点在 外 D.不能确定
返回
3.已知的半径为4,若点在内,则___4.(填“ ”“ ”或“
”)
返回
4.如图,在中, ,,, 是高线.
(1)以点为圆心,3为半径作,则点,,与 的位置关系
如何?
解:,,, .

.半径 ,
,, ,
点在上,点在内,点在 外.
(2)若以点为圆心作,使在圆内,在圆外,求的半径 的
取值范围?
解:由(1)知 .
又, ,
.
返回
知识点2 确定圆的条件
5.下列条件中,不能确定一个圆的是( )
C
A.圆心和半径 B.直径和圆心
C.平面上的三个点 D.三角形的三个顶点
返回
(第6题)
6.[2024邢台信都区调研]如图,点,, 均
在直线上,点在直线 外,则经过其中任意三
个点,最多可画出圆的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
7. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如
图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块
碎片应该是____.(填序号)

(第7题)
返回
知识点3 三角形的外接圆和外心
(第8题)
8.如图,,是的直径,弦与交于点 ,
下列三角形中,外心不是点 的是( )
B
A. B. C. D.
返回
9.在中, ,,,则 外接圆的
半径为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.不确定
返回
(第10题)
10.如图,在平面直角坐标系中,点 ,
点,点,则 的外接圆的圆心
坐标是( )
A
A. B. C. D.
返回
知识点4 反证法
11.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时,应先假
设( )
C
A.三个内角都是锐角 B.三个内角都是钝角
C.三个内角都不是锐角 D.三个内角都不是钝角
返回
12.用反证法证明时,假设的结论“点在圆内”不成立,那么点与圆的位
置关系只能是( )
D
A.点在圆外 B.点在圆上
C.点在圆心上 D.点在圆上或圆外
返回
13.点是的外心,若 ,则 的度数是( )
C
A. B. C. 或 D. 或
返回
14.已知,,三点可以确定一个圆,则以下 点坐标不
满足要求的是( )
C
A. B. C. D.
返回
(第15题)
15.[2025石家庄期中]如图,已知点是 的外
心,连接,,.若 ,则 的度数
为( )
D
A. B. C. D.
返回
(第16题)
16.[2024广州中考]如图,在中,弦 的长为
,点在上,, . 所
在的平面内有一点,若,则点与 的位置
关系是( )
C
A.点在上 B.点在 内
C.点在 外 D.无法确定
返回
17.(1)尺规作图,作出 的外接圆(不写作图过程,但保留作图
痕迹);
解:如图, 即为所求.
(2)若 ,,求 外接圆的半径长.
解:如图,连接, ,
.
, ,
即, ,
即外接圆的半径长为 .
返回
18.如图,一个直角锯齿卡尺(所有角均为直角),
,,都在圆上,且 .卡尺
所有锯齿高度和水平宽度都为1,如
.
(1)圆心在卡尺内部还是外部?说明理由;
解:圆心在卡尺内部,理由如下:连接,易知线段 在卡尺
内部.,, 都在圆上,
且 ,
为圆的直径,
圆心在的斜边上, 圆心在卡尺内部.
(2)过,, 的圆的半径是多少?
解:, ,
.
是过,,的圆的直径,过,, 的圆的半径是
.
(3)若以为圆心,为半径画圆,直接写出,与 的位
置关系.
解:在内,在 上.
返回(共27张PPT)
第二十四章 圆
章末整合练
知识结构
核心考点巩固
考点1 圆的有关计算
(第1题)
1.如图,是的直径,是的弦, ,
垂足为.若,,则 的长为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
(第2题)
2.[2025石家庄期中]如图, 的顶点在量角
器的半圆上,角的两边分别经过量角器的
, 刻度,则 ( )
D
A. B. C. D.
返回
3.[2024常州中考]如图,是的直径,是 的弦,连接
,,.若 ,则____ .
70
(第3题)
返回
4.如图,四边形是的内接四边形,是的直径,连接 ,
若 ,则____ .
15
(第4题)
返回
5. 把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开,图中的虚线表示
折痕,则 所对圆心角的度数是______.
返回
6.如图,四边形内接于,是 的直
径,为的中点,弦于点,与 交于点
.
(1)求证: ;
证明:为 的中点,
.
弦,是 的直径,
. .
.
(2)若,求 的长.
解:过点作,垂足为 ,

即, .
, ,
, .
,是的中位线, ,

返回
考点2 点和圆、直线和圆的位置关系
7.已知一个三角形的内心与外心重合,若它的内切圆的半径为2,则它
的外接圆的面积为( )
D
A. B. C. D.
返回
8.[2025邢台期中]如图,在平面直角坐标系 中,
已知点,,都在 上,
则原点到 上一点的最短距离为( )
A
A. B. C.2 D.
返回
9.如图,,,是的切线,点,,
是切点,分别交,于, 两点,若
,则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
返回
10.[2025唐山月考]如图,,分别切于点,,切
于点,分别交,于点,,若,则
的周长是_______.
(第10题)
返回
11.如图,在中,直径与弦交于点,连接 ,过
点的切线与的延长线交于点.若 ,则____ .
66
(第11题)
返回
12.如图,在中,,以为直径作,交于点 ,
交于点,过点作于点 .
(1)求证:是 的切线;
证明:连接,则 ,
.
, ,
, .
于点, .
又是 的半径,
是 的切线.
(2)若,的半径为5,求 的长.
解:连接 .
是的直径, 的半径为5,
, , ,
, ,
.

.
返回
考点3 正多边形和圆
(第13题)
13.如图,正五边形的外接圆为, 是劣弧
上一点,连接,,,则 的
度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
(第14题)
14.如图,正六边形和正六边形 均以
点为中心,连接,,,,,
(,,三点共线),若, ,则正六
边形 的边长为( )
C
A. B.5 C. D.19
返回
15.如图,如果,分别是 的内接正三角形和内接正方形的一条
边,是的内接正边形的一条边,那么 ____.
12
(第15题)
返回
16.[2025沧州期中]如图,六边形是 的内接正六边形.
(第16题)
(1)若的半径为1,则六边形 的周长为___;
(2)设正六边形的面积为,的面积为,则 ___.
6
2
返回
考点4 弧长和扇形面积
17.[2024贵州中考]如图,在扇形纸扇中,若
,,则 的长为( )
C
A. B. C. D.
返回
18.如图,将边长为4的正方形铁丝框(面积记为 )变形为以点
为圆心,为半径的扇形(面积记为),则与 的关系为( )
B
A. B. C. D.无法确定
返回
19.某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥
的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为
( )
C
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
返回
20.如图,的圆心与正三角形 的中心重合,已
知的半径和扇形的半径都是 .
(1)若将扇形 围成一个圆锥的侧面,设该圆锥的高
为 .
①求扇形 的弧长;
解: 是正三角形,
.
.
② 的值为______;
(2)上任意一点到正三角形 上任意一点的距离的最小值为
__________.
返回(共22张PPT)
第二十四章 圆
专项突破15 不规则图形面积的计算方法
方法1 和差法
方法展示
(1)直接和差法.
(2)构造和差法.
1.[2024重庆中考]如图,在矩形中,分别以点和为圆心,
长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若 ,则图中阴影部分
的面积为( )
D
(第1题)
A. B. C. D.
返回
2.[2024遂宁中考]工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,
排污管道的截面是直径为 的圆,为预估淤泥量,测得淤泥截面
(图中阴影部分)宽为 ,则淤泥截面的面积为( )
A
(第2题)
A. B.
C. D.
返回
3.某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地
设计图如图所示,该场地由和扇形组成,,分别与
交于点,,,, ,则阴影部分的
面积为_____(结果保留 ).
返回
方法2 等面积转换法
方法展示
(1)直接等面积转化法.
当时,
(2)平移转化法.
当是的中点时,
(3)对称转化法.
(4)旋转转化法.
(第4题)
4.如图,在中,半径弦 ,且弦
,则图中阴影部分的面积为( )
C
A. B. C. D.
返回
(第5题)
5.[2024威海中考改编]如图,已知扇形 的半径
为6, ,是的中点.过点作
交于点,过点作,垂足为,连接 ,
则阴影部分的面积是( )
B
A. B. C. D.无法计算
返回
6.如图,在矩形中,,,,分别为 ,
的中点,分别以,为圆心, 长为半径画弧把矩形分成三个部分,
则图中两个阴影部分的面积和为_______.
(第6题)
返回
7.如图,正方形的边长为2,为正方形的中心,, 分别为
,的中点,以为圆心,2为半径作,再分别以, 为圆心,1
为半径作, ,则图中阴影部分的面积为______.
(第7题)
返回
8.如图,在正方形中,和交于点,过点的直线交
于点(不与点,重合),交于点,以点为圆心, 长为半
径的圆交直线于点,,若 ,则图中阴影部分的面积为
______.
返回
方法3 化零为整法
方法展示
9. 某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环
境,现计划在以五边形各顶点为圆心, 长为半径的扇形区域
(阴影部分)内种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是( )
C
A. B. C. D.
返回
方法4 容斥原理
方法展示
10.如图,在等腰直角三角形 中,
, ,以点 为圆心,
长为半径画弧,交于点,以点为圆心,
长为半径画弧,交于点 ,则图中阴影部分的面积
是( )
C
A. B. C. D.
返回(共5张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
限时:8分钟
(第1题)
1.如图,是的直径,是弦, ,垂足
为 ,则下列结论中错误的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
(第2题)
2.如图,是的弦,半径,垂足为 ,设
,,则 的半径为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
3.如图,点,在上,为的中点,直径交于点 ,
,,则 的长为________.
(第3题)
返回
4.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已
知,半径,求高度 .
解:为半径, ,



,
高度为 .
返回
荣德基
AD=
=5AB=2×16=8(m)
0D
0A2 -AD2
=V102-82
=6(m).
=10一6=4(m)
高度CD为4m.(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 圆的切线的判定与性质
知识点1 切线的判定
1.如图,点在上,下列条件不能说明是 的切线的是( )
D
(第1题)
A. B.
C. , D.
返回
2.如图,,是上的两点,是过点 的一条直线,如果
,那么当_____时,与 相切.
(第2题)
返回
3.如图,为的直径,如果上的点恰使 ,求证:
直线与 相切.
证明:连接 .
, .
为 的直径,
, .
又 ,

即, .
又是 的半径,
直线与 相切.
返回
知识点2 切线的性质
4.[2024哈尔滨中考]如图,是的切线,点为切点,连接 ,
,若 ,则____ .
50
返回
(第5题)
5.[2024山西中考]如图,已知,以 为直
径的交于点,与相切于点,连接 .若
,则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
返回
(第6题)
6.如图,为外一点,为的切线, 为切
点,交于点, , ,则线
段 的长为( )
D
A.6 B. C.4 D.8
返回
7.如图,是的直径,是弦,直线是过点的 的切线,
于点 .
(1)求证: ;
证明:连接 .
是过点的 的切线,
.
又, ,
.
, ,
.
(2)若 ,,求 的长.
解:为 的直径,
.
在中, ,
.
返回
(第8题)
8.[2024福建中考]如图,已知点,在 上,
,直线与相切,切点为,且
为的中点,则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
(第9题)
9.如图,在平面直角坐标系中,过格点,,
作一圆弧,点 与下列格点的连线中,能够与该
圆弧相切的是( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
(第10题)
10.如图,在矩形中,,以 为直径作
,将矩形绕点旋转,使所得矩形
的边与相切,切点为,边与 相交于
点.若,则 的长为( )
B
A.9 B.10 C. D.12
返回
11.如图,量角器的零刻度线所在直线为 ,将一矩形直尺和量角器部
分重叠,使直尺一边和量角器相切于点,直尺另一边分别交直线 和
量角器于点,,量得,点在量角器上的读数为 ,
则该直尺的宽度为____ .
(第11题)
返回
12.[2024济宁中考]如图,内接于, 是
上一点,,是 外一点,
,,连接 .
(1)若,求 的长;
解: ,
,即 .
又, ,

, .
(2)求证:是 的切线.
证明:连接并延长交于点,连接 .
是的直径,, .
, .
, ,
.
由(1)知,, .
,, ,
即. .
又为 的半径,
是 的切线.
返回
13. 发动机的曲柄连杆将直线
运动转化为圆周运动,图①是发动机的实物剖
;;当与相切时, ;
当时, .
其中正确的是______.(填序号)
①③
面图,图②是其示意图.图②中,点在直线上往复运动,推动点 做圆
周运动形成,与表示曲柄连杆的两直杆,点,是直线 与
的交点.当点运动到时,点到达;当点运动到时,点 到达
.若, ,则下列结论:
返回(共12张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1.如图,四边形内接于,若 ,则 的度数为
( )
D
(第1题)
A. B. C. D.
返回
(第2题)
2.如图,四边形内接于,是 的直
径, ,则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
(第3题)
3.如图,四边形内接于.过点作,交
于点.若 ,则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.[2024滨州中考]如图,四边形内接于,若四边形 是
菱形,则____ .
60
(第4题)
返回
5.如图,在的内接四边形中, ,
,点在 上.
(1)____ ;
70
(2)求 的度数.
解:连接 ,
.
四边形是的内接四边形, ,
.
返回
(第6题)
6.如图,四边形是的内接四边形,是
的直径,若 ,则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
7.[2025廊坊校级月考]如图,是半圆的直径,,, 三点依次
在半圆上.若 , ,则 与 之间的关系式为________
_______.
(第7题)
返回
8.如图,四边形内接于,交的延长线于点 ,若
平分,,,求 的长.
解:连接 四边形内接于, .

.
平分, .

, .
,, ,
.
返回
9.如图,在的内接四边形 中,
,若四边形的面积是 ,
的长是,则与 之间的函数关系式是( )
A
A. B.
C. D.
返回(共12张PPT)
第二十四章 圆
专项突破13 截长补短法在圆中的应用
应用1 补短法在圆中的应用
1.从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦.如
图,,组成的一条折弦.是劣弧的中点,直线 于
点,则 .请证明该结论成立.
(提示:可连接,,延长,相交于点 )
证明:如图,连接,,延长,相交于点 .
四边形是的内接四边形, .
是劣弧 的中点,
, .
易得 为等腰三角形,
, ,
.
, 是等腰三角形,
.
,
该结论成立.
返回
2.如图,是等边三角形的外接圆的上的一点,判断 ,
, 之间的数量关系,并给出证明过程.
解:.证明:如图,延长到点 ,
使,连接 .
是等边三角形,
, .
易得 . 是等边三角形,
.

.
在和 中,
.

.
返回
应用2 截长法在圆中的应用
3.如图,等腰三角形中,,为的外接圆, 为
上一点,于点,求证: .
证明:如图,在上截取,连接, .
在和 中,
, .
于点, ,

返回
4.如图,内接于,,是 的一条弦,且
,过点作,分别交,于点,,连接 ,
若,的周长为13,求 的长.
解:如图,在上截取,连接, .
又, ,
, .
又, ,
.
, .
又, ,
.
的周长是13,
.


返回
荣德基
1.从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦如
图,PA,PB组成⊙O的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD L PA于
点E,则AE=PE+PB.请证明该结论成立
(提示:可连接AD,BD,延长DB,AP相交于点F)
易得△AFD为等腰三角形,
∠F=∠A,∠PBF=∠F,
PB=
CD⊥PA
△AFD是等腰三角形,
EF=PE十PF=PE十PB
AE=PE+PB.·该结论成立.
在△MAC和△NBC中,
∠AMC=∠BWC
∠MAC=∠WBC,
AC=BC
△MAC≌△WBC(AAS)
MA=NB
MA=MB+MN=MB+MC.
C
D

E
A
B
AC=BC
∠CAF=∠CBD
AF=BD
.△ACF≌△BCD(SAS),.CF=CD
CE⊥AD于点E,.EF=DE
.AE=AF十EF=BD十DE。
C
P
A
B
0
D
又CD L AP,EF=PE,
.AE=AF十FE=PB十PE
AC=BC.
.AC=BC
义BC=BD,
AB
.AB=CD
·△ABP的周长是13,
AP+PB=13-6=7
AE=PE十PB,
2AE=AP PB =7.:.AE(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识点1 切线长定理
(第1题)
1.如图,从外一点引的两条切线, ,
切点分别为,,如果 , ,
那么弦 的长是( )
C
A.4 B. C.8 D.
返回
(第2题)
2.[2025邢台校级期中]如图,,,是
的切线,切点分别是,,.若, ,
则 的长是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
(第3题)
3.如图,,分别切于点, .若
,的半径为3,则线段 的长度为
( )
B
A. B.6 C.8 D.10
返回
(第4题)
4. 如图是一个不倒翁的示意图,不倒翁的圆
形脸恰好与帽子边沿,分别相切于点, ,不倒翁
的鼻尖正好是圆心,连接,若 ,则
的度数为_____.
返回
知识点2 三角形的内切圆与内心
5.已知是的内切圆,则点是 的( )
B
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点 D.三条高线的交点
返回
(第6题)
6.如图,是一张三角形的纸片, 是它的
内切圆,点是其中的一个切点,已知 ,
小明准备用剪刀沿着与 相切的任意一条直线
剪下一个三角形,则剪下的 的
周长为( )
A
A. B.
C. D.随直线 的变化而变化
返回
7.如图,点是的内心,,,的面积分别为 ,
,,则___.(填“ ”“”或“ ”)
(第7题)
返回
8.如图,在中, ,,与 的三边分别
相切于点,,,若的半径为2,求 的周长.
解:连接,,设,由切线长定理得 .
与的三边分别相切于点,, ,
, .
又 , ,
四边形 为正方形.
的半径为2, .
又, .
在中, ,
,解得 ,
,, ,
的周长为 .
返回
(第9题)
9.[2024泸州中考]如图,,是 的切线,
切点为,,点,在 上,若
,则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
(第10题)
10.如图,在等边三角形的边上分别取点,, ,
使,连接,, .
甲、乙、丙三人说法如下:
甲: 一定是等边三角形.
乙:若点是的外心,则它一定也是 的外心.
D
A.只有甲的说法不正确 B.只有丙的说法不正确
C.只有乙的说法不正确 D.甲、乙、丙的说法都正确
丙:若,则的长是 内切圆半径的长的2倍.
则下列判断正确的是( )
返回
11.[2025邯郸丛台区期中]如图,已知是 的内切圆,切点为
,,,若,,,则内切圆的半径 ___.
1
(第11题)
返回
12.如图,在中,,,,点为 的内
心,将平移,使其顶点与点 重合,则图中阴影部分的周长为___.
7
(第12题)
返回
13.如图,为外一点,,是的切线,点 ,
为切点,点在上,连接,, .
(1)求证: ;
证明:如图,过点作于点 ,

.
是 的切线,


.
, ,

.
(2)连接,若,的半径为5,,求 的长.
解:如图,延长交于点 .
,是 的切线,
, .
, .
又 ,
四边形 是矩形,
, .
, ,

,, .

, .
返回
14.[2024滨州中考]刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我
国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉
为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重
视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的
D
A. B.
C. D.
推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图, 中,
,,,的长分别为,,.则可以用含,, 的
式子表示出的内切圆直径 ,下列表达式错误的是( )
返回(共22张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点1 圆心角的概念
1.[2025廊坊校级月考]下列图形中的角是圆心角的是( )
A
A. B. C. D.
返回
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
(第2题)
2.[教材练习变式]如图,,是 的两
条弦,于点,于点 .
(1)若,则____, _______;
(2)若,则_______, ____;
(3)若,则____, ____;
(4)若,则____,____, _______.
返回
3.如图,在中,,,则 的长为( )
C
(第3题)
A.1 B. C.3 D.4
返回
4.如图,在中,, ,则 的度数是
( )
D
(第4题)
A. B. C. D.
返回
5.如图,在中, ,则下列结论不一定正确的是( )
D
(第5题)
A. B.
C. D.
返回
6.下列说法中,正确的是( )
B
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦相等 D.相等的弦所对的圆心角相等
返回
7.如图,,是的两条弦,.求证: .
证明: ,

, .
返回
8.[教材练习变式]如图,在中, 是直径,
, ,是的三等分点,求 的度数.
解: ,
.
,是 的三等分点,


.
返回
(第9题)
9. 如图,在中, ,连接
,,则与 的关系是( )
B
A. B.
C. D.无法比较
返回
(第10题)
10.如图,已知的半径等于, 是直径,
,是上的两点,且 ,则四边
形 的周长等于( )
B
A. B. C. D.
返回
(第11题)
11.[2025保定期中]如图,的半径 ,
弦,则弦 所对圆心角的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
(第12题)
12.如图,为的直径,点是的中点.过点
作于点,交于点,若 ,
,则 的半径长是( )
A
A.5 B.6.5 C.7.5 D.8
返回
13.如图,在中,且,垂足为.若 ,
,则 的半径为___.
5
返回
14.如图,在中, ,且,是的三等分点, 分
别交,于点,.求证: .
证明:连接, .
,是 的三等分点,
.
, .

.


.
, ,
, .
同理可得 ,
.
返回
15.如图,在中,, .
(1)求证: ;
证明:, .
又 ,
是等边三角形,

.
(2)若是的中点,求证:四边形 是菱形.
[答案] 连接,由(1)知 ,
.
是的中点, ,
.
又, ,
和都是等边三角形, .
四边形 是菱形.
返回
16.如图,是半圆上一个三等分点(靠近点这一侧),是 的中
点,点是直径上的一个动点,若的半径为3,则 的最
小值为______.
返回(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
知识点1 根据公共点的个数说明直线与圆的位置关系
1.如图是日出美景,图中太阳与海天交界处可看成圆
与直线,它们的位置关系是( )
B
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
返回
知识点2 由直线和圆的位置关系判断数量关系
2.已知的直径为10,直线与相交,则圆心到直线 的距离可能
是( )
A
A.4 B.5 C.6 D.8
返回
3.[教材习题变式]在中, , ,
,以点为圆心作 .
解:,, ,
.
如图,过点作,垂足为 .

.
(1)若与相切,求的半径 ;
[答案] 当与相切时, ,
.
(2)若与直线相交,求的半径 的取值范围;
[答案] 当与直线相交时,, .
(3)若与直线没有公共点,求的半径 的取值范围.
[答案] 当与直线没有公共点时,, .
返回
知识点3 由数量关系判断直线和圆的位置关系
(第4题)
4.[2025石家庄期中]半径为5的四个圆按如图所
示位置摆放,若其中有一个圆的圆心到直线 的距
离为4,则这个圆可以是( )
C
A. B. C. D.
返回
(第5题)
5.如图,是的平分线上一点,
于,以点为圆心,长为半径作,则
与直线 的位置关系是( )
B
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
返回
6.如图, ,为上一点,且,于点 ,
以点为圆心,半径为1的圆与 的位置关系是( )
C
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上三种都有可能
返回
7.的直径为,若圆心与直线的距离为,则与 的
位置关系是______.(填“相交”“相切”或“相离”).
相交
返回
8. 已知点在半径为3的上,如果点到直线 的距离是6,那
么与直线 的位置关系是( )
D
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上答案都不对
返回
9.在平面直角坐标系中,点的坐标是, 的半径为3,下列说
法正确的是( )
D
A.与轴、 轴都有两个公共点
B.与轴、 轴都没有公共点
C.与轴有一个公共点,与 轴有两个公共点
D.与轴有两个公共点,与 轴有一个公共点
返回
10.已知的半径是一元二次方程的一个根,圆心 到
直线的距离,则直线与 的位置关系是( )
C
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
返回
(第11题)
11.[2024邢台期末]题目:“如图,在
中, ,,,以点 为圆心
的的半径为,若与只有一个交点,求
的取值范围.”对于其答案,甲答: .乙答:
.丙答: .则下面判断正确的是
( )
D
A.只有乙的答案对 B.甲、乙的答案对
C.乙、丙的答案对 D.三人的答案合都对
返回
12.如图,已知的半径为3,圆心在抛物线 上运动,当
与轴相切时,圆心 的坐标为_______________.

(第12题)
返回
13.如图,已知 ,是射线 上一
点,.以点为圆心, 为半径画

(1)当与射线相切时,求 的值;
解:过点作于点 ,
则. ,

当与射线相切时, 的值为1.
(2)写出与射线的公共点个数的所有可能的情况及对应的 的
取值范围.
解:当时,与射线 相切,只有一个公共点;
当时,与射线 相离,没有公共点;
当时,与射线 相交,有两个公共点;
当时,与射线 只有一个公共点.
返回
14.如图,半圆的圆心与坐标原点重合,该半圆的半径为1,直线 的解析
式为.若直线与半圆只有一个交点,则 的取值范围是________
____________.

返回(共22张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
知识点1 圆的定义
1.下列条件中,能确定唯一一个圆的是( )
C
A.以点 为圆心
B.以 长为半径
C.以点为圆心,以 长为半径
D.经过已知点
返回
2. 战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载,它
的意思是圆上各点到圆心的距离都等于______.
半径
返回
3.[教材练习变式]如图,在四边形 中,
,求证:,,, 四点在同一个圆上.
证明:连接,取的中点,连接,,则 .
又 ,
, .

,,, 四点在同一个圆上.
返回
知识点2 与圆有关的概念
4.下列由实线组成的图形中,为半圆的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.[2025石家庄月考]小明在半径为5的圆中测量弦 的长度,下列测
量结果中一定错误的是( )
D
A.4 B.5 C.10 D.11
返回
(第6题)
6.如图,点,,,点,,以及点,, 分
别在一条直线上,则图中弦的条数为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
7.下列说法正确的有( )
C
A.优弧的长一定大于劣弧的长
B.以圆心为一个端点的线段是半径
C.半径相等的两个半圆是等弧
D.不同的圆中,不可能有相等的弦长
返回
8.如图,在中,是直径,,,三点都在 上,则
(第8题)
(1)______ ;
(2)___,___ ;
(3)弦 所对的弧有__________.

返回
(第9题)
9.如图,在中,, 是圆上的两点,已知
,直径,连接,则
等于( )
A
A. B. C. D.
返回
(第10题)
10.如图,点,在半圆上,四边形 、四边形
均为矩形,,,则, 的关系
为( )
B
A. B. C. D.
返回
(第11题)
11.如图,半圆的直径,将半圆绕点 顺时
针旋转 得到半圆,与交于点,那么
( )
C
A.2.5 B.5
C. D.
返回
12.如图,是的弦,是优弧上的动点,,垂足为
(点在线段上),是的中点.若的半径是3,则 长的最
大值是___.
3
(第12题)
返回
13.已知:如图,在正方形中,,分别是,的中点, 与
交于点 .
(1)线段与 有何关系 说明理由;
解:且 .
理由如下: 四边形是正方形, ,
.
,分别是, 的中点,
, ,


, .
易得 ,

, .
(2)若延长,交于点,则,,, 这四个点是否在同一个圆上
说明理由.
解:,,, 这四个点在同一个圆上.
理由如下:如图,连接 .
,, ,

.
又, ,
在中, ,

,,,这四个点在以点为圆心, 的长为半径的圆上.
返回
14.如图,为半圆的直径,为圆心, 交
半圆于点,是半圆上的动点(不与点,, 重
合),点从点出发向点运动.过点作 ,
,垂足分别为,,分别取和 的中点
D
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.等于5 D.等于2.5
,,连接.若,则下列关于 长度的说法正确的是
( )
返回
微专项7 连接半径构造等腰三角形
方法指导
同圆或等圆的半径相等,所以分别连接圆心和圆上任意两个不构成
直径的点就会构成等腰三角形.
1.如图,是的直径,是上一点, ,为 延
长线上一点,且,则 的度数是_____.
返回
2.如图,点,分别在的边,上,过,, 三点的圆的
圆心为,过,,三点的圆的圆心为,若 ,则
____ .
18
返回(共23张PPT)
第二十四章 圆
阶段练习(24.2~24.3)
建议用时:45分钟
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.圆内接正十边形的中心角的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.已知的半径为2,点到圆心的距离为1,则点 在( )
A
A.内 B.上 C. 外 D.无法确定
返回
3.若直线与半径为6的相交,则圆心到直线的距离 满足( )
A
A. B. C. D.
返回
(第4题)
4.如图,在中,, 是角平分线.以点
为圆心,长为半径作,则与 的位置关
系是( )
B
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
返回
(第5题)
5.如图,在平面直角坐标系中,经过 ,
,三点,是上的一动点.当点 到
弦的距离最大时,点 的坐标是( )
A
A. B. C. D.
返回
(第6题)
6.如图,是的直径,,分别切 于
点,,若 ,则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
(第7题)
7.[2025邯郸期中]如图,是正五边形 的
内切圆,分别切,于点,,是优弧 上
的一点,则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
8.内接于,过点作直线,已知,根据弦
的变化,甲、乙两人分别探究直线与 的位置关系.
甲:如图①,当弦过点时,与 相切;
乙:如图②,当弦不过点时,
也与 相切;
下列判断正确的是( )
C
A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
返回
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.[2024徐州中考]如图,是的直径,点在 的延长线上,
与相切于点,若 ,则____ .
35
(第9题)
返回
10.当,,三点可以确定一个圆时,, 需要满
足的条件为_____________.
返回
11.如图,点,分别是锐角三角形 的外心、内心,若
,则 的度数为_____.
(第11题)
返回
12.[2025沧州校级月考]如图,是的直径,为 上一点,
和过点的的切线互相垂直,垂足为,切线交 的延长线
于点 .
(1)若 ,则 的度数为_____;
(2)若 ,,则 的长为__.
返回
三、解答题(共40分)
13.(12分)如图,是的外接圆,为直径,是 上一
点,且,交的延长线于点.求证:是 的切线.
证明:连接, .

, .
四边形是的内接四边形, .
又 ,
.
为直径,,, .
, ,


.又是 的半径,
是 的切线.
返回
14.(12分)如图,在中, ,点
在边上,以为直径的与直线相切于点 ,
连接, .
(1)求证: ;
证明: , .
又为 的半径,
为 的切线.
为的切线,平分, .
, ,
.


, .
(2)连接,若,则 的半径为____.
返回
15.(16分) 如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一
点作已知圆的切线呢?请同学们阅读下面的分析:如图①,如果 与
相切于点,那么,即 ,根据“圆周角定理的
推论: 的圆周角所对的弦是直径”可以得出:点既在 上,也在
以 为直径的圆上,是两圆的公共点.
(1)请根据上面的分析在图②中完成尺规作图:用圆规和无刻度的直
尺先找出线段的中点,然后画以点为圆心, 的长为半径的圆
就可以确定切点的位置,切点分别记为,,画出直线和 ,即为
经过圆外一点的 的两条切线;
解:如图,直线, 即为所求.
(2)在(1)的条件下,若的直径与交于点,连接 ,
,.求证:点是 的内心.
证明:如图,设交于点,连接, .
,是 的切线,
,,,, ,
.
,
.
, ,

即为 的平分线.
同理可得为 的平分线,
点是 的内心.
返回(共14张PPT)
第二十四章 圆
培优拔高练 圆的综合问题
1.如图①,在中截掉一个圆心角为 的扇形,优弧与直线
相切于点,且 .

(1)求点到直线 的距离.
解:如图①
连接,过点作于点 .
, ,
为等边三角形,
, .
优弧与直线相切于点 ,
, ,
, ,
点到直线 的距离为5.
(2)如图②,优弧上存在一动点,从 出发按顺时针方向转
动,转动速度为每秒 ,转动时间为秒.当点运动至点 处时,停
止转动.过点作直线,直线与优弧交于另一点 .

①当直线与优弧相切时, 的值为______;
3或9
②当 时,求阴影部分的面积.
[答案] 如图②
连接,过点作于点,设与交于点 .
, .
由(1)知 .
直线, 直线 .
, 四边形 为矩形,
, ,
, ,
., ,
, ,
.
返回
2.[2024河北中考节选]已知的半径为3,弦.
中, ,.在平面上,先将和 按图①位置
摆放(点与点重合,点在上,点在 内),随后移动
,使点在弦上移动,点始终在上随之移动.设 .

(1)当点与点重合时,求劣弧 的长;
解:如图①

连接, .
的半径为3, ,

为等边三角形,

的长为 ,
即劣弧的长为 .
(2)当时,如图②,求点到的距离,并求此时 的值.

解:如图②

过点作于点,过点作于点 ,连接
, ,
四边形 是矩形,
, .
, ,
.


点到 的距离为2.
, ,


.
返回(共18张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
知识点1 弧长公式及其应用
1.[2024安徽中考]若扇形的半径为6, ,则 的
长为( )
C
A. B. C. D.
返回
2.一个扇形的圆心角为 ,它所对的弧长为 ,则这个扇形的半
径为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.[2024绵阳中考]将一把折扇展开,可抽象成一个扇形,若该扇形的
半径为2,弧长为 ,则扇形的圆心角大小为( )
D
A. B. C. D.
返回
(第4题)
4. 某校在社会实践活动中,明明同学用
一个直径为 的定滑轮带动重物上升.如图,滑轮上一
点绕点逆时针旋转 ,假设绳索(粗细不计)与滑
轮之间没有滑动,则重物上升了( )
B
A. B. C. D.
返回
5.[2024淮安中考]如图,是 的内接三角形,
, 半径为3,则 的长为___.
(第5题)
返回
知识点2 扇形面积公式及其应用
6.半径为1,圆心角为 的扇形面积为( )
B
A. B. C. D.
返回
7.一个扇形的半径为,面积是 ,则这个扇形的圆心角为
( )
D
A. B. C. D.
返回
8.已知一个扇形的面积是 ,弧长是 ,则这个扇形的半径为
( )
A
A.24 B.22 C.12 D.6
返回
9. 第33届夏季奥林匹克运动会开幕式在巴
黎举行,国乒首夺乒乓球混双金牌.如图是某同学自制的一
个乒乓球拍,正面是半径为的,劣弧 的长为
,阴影部分需要粘贴胶皮,则这一面胶皮的面积为
( )
A
A. B. C. D.
返回
10.如图,在中, ,以点 为圆心,
的长为半径的圆交于点.若是 的中点,
,求阴影部分的面积.
解:是的中点, ,
.
, 为等边三角形,

.
返回
(第11题)
11.[2024青岛中考]如图,,,,是 上
的点,半径,, ,连
接,则扇形 的面积为( )
A
A. B. C. D.
返回
(第12题)
12.如图,在扇形中, ,半径 ,
是上一点,连接,是上一点,且 ,
连接.若,则 的长为( )
B
A. B. C. D.
返回
13.[2024河北中考改编]扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在
我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为 时,扇面面积为
.该折扇张开的角度为 时,扇面面积为.若,则与 的关
系是_________.
返回
14.阅读下列材料,完成后面任务.
续表
任务:
(1)补全材料中的横线部分:
①_ ___;
②_ _________.
(2)若曲边三角形的周长为 ,求曲边三角形的面积.
解:设等边三角形的边长为 ,
由题意,得 , ,
.
返回
15. 如图,四边形是边长为
的正方形,曲线 是由多段 的
圆心角所对的弧组成的.其中,的圆心为 ,半径
为;的圆心为,半径为; 的圆心
为,半径为;的圆心为,半径为;, ,
,,的圆心依次按点,,,循环,则 的长
是________(结果保留 ).
返回(共6张PPT)
第二十四章 圆
河北特色题型专练四
题型1 结论辨析类问题
1.综合实践课上,老师提出如下问题:在 中作了两个内接三角形,
分别是和,经测量 ,求.嘉嘉回答: 的度
数是 ;淇淇回答:的度数是 .下列判断正确的是( )
D
A.嘉嘉对 B.淇淇对
C.嘉嘉和淇淇合在一起才对 D.嘉嘉和淇淇合在一起也不对
返回
2.[2025唐山校级月考]如图,在 中,
,,,为斜边 上
任一点,作经过点,且与边相切于点的 .
对于结论Ⅰ和Ⅱ:
A
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
结论Ⅰ:若的圆心落在边上,则的半径为 ;
结论Ⅱ:当与直线有另一交点,与直线交于另一点 时,点
,之间的最小距离为 .
下列判断正确的是( )
返回
3.[2025保定校级期末]如图,已知及外一定点 ,嘉嘉进行
了如下操作后,得出了四个结论:
是 的中点;
②直线,都是 的切线;
③点到点、点 的距离相等;
④连接,,,, ,则
.
对上述结论描述正确的是( )
C
A.只有①正确 B.只有②正确
C.①②③正确 D.①②③④都正确
返回
题型2 操作类问题
4.将一个半径为1的圆形纸片,按如图的方式连续对折三次之后,用剪
刀沿虚线①剪开,则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角
和分别为( )
C
A., B., C., D.,
返回
5. 如图①,将一个正方形纸
片沿虚线对折两次,得到图②,按
照图②所示剪去一个腰长为2的等腰
直角三角形,展开后得到一个如图
(1)图①中的正方形纸片的边长为_________;
(2)将正方形绕点顺时针旋转____度,与重合,此时
的长为_____.
45
③所示的正八边形,将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形,放
在正八边形内部,与重合,为的中点,连接 .
返回(共20张PPT)
第二十四章 圆
阶段练习(24.1)
一、选择题(每小题5分,共40分)
(第1题)
1.[2025石家庄栾城区期中]如图,,为 的
两条弦,连接,,若 ,则 的
度数为( )
D
A. B. C. D.
返回
(第2题)
2.如图,的弦与半径互相垂直,垂足为 ,
,,则 的长为( )
C
A. B. C. D.
返回
(第3题)
3.[教材练习变式]如图,是 的直径,
,是的中点,则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
(第4题)
4.[2024广元中考]如图,已知四边形是 的
内接四边形,为延长线上一点, ,
则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
5.四边形内接于,,则, 满足
条件( )
C
A. B. C. D.
返回
(第6题)
6.[2024廊坊期中]如图,四边形内接于 ,
,,,则 的直径长为
( )
C
A. B. C. D.
返回
7.如图,为线段的中点, ,连接, ,
,则下面结论不一定成立的是( )
D
(第7题)
A. B.
C. D.平分
返回
8. 一次综合实践主题为“只用一张矩形纸条和刻度尺,测
量一次性纸杯杯口的直径”.小明同学所在的学习小组设计了如下方法:
如图,将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿与杯口相交于, ,
,四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为, ,
,则纸杯杯口的直径是( )
C
A. B. C. D.
返回
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.把圆规的两脚分开,使两脚间的距离是 ,这样画出的圆的直径
是___ .
7
返回
10.[2024陕西中考]如图,为的直径,, ,
则 的度数是_____.
返回
11.如图,是的弦,半径于点, 为直径,若
,,则线段 的长为_______.
(第11题)
返回
12.如图,等腰三角形的顶点是圆的等分点,且腰, 所对的
劣弧上分别有3个等分点(不包括,,),若等腰三角形 是钝
角三角形,则 至少是____.
17
(第12题)
返回
三、解答题(共40分)
13.(8分)如图,的弦, 的延长线
相交于点,且.求证: .
证明:连接 .
, ,
, ,
, .
返回
14.(8分)如图,圆内接四边形的对角线 ,
交于点,平分, .求证:
为该圆的直径.
证明:平分 ,
, .
, ,


是半圆, 为该圆的直径.
返回
15.(12分)如图,四边形内接于,, 的延长线交于点
,,的延长线交于点,若 , ,求 的度数.
解:是 的外角,
.
是 的外角,
.
四边形内接于 ,
.
.
, , ,
, .
四边形内接于 ,


.
返回
16.(12分)[2025石家庄期中]如图,有一座圆
弧形拱桥,桥下水面宽为,拱高为 .
(1)求桥拱所在 的半径;
解:设桥拱的半径是,连接 .
易知, .
拱高为, .

, ,
桥拱所在的半径是 .
(2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于 ,若大雨过后,
水面上升至处,水面宽度为 ,是否需要采取紧急措施?请说
明理由.
解:不需要采取紧急措施.理由如下:
连接,易知 ,

.
.

不需要采取紧急措施.
返回(共26张PPT)
第二十四章 圆
专项突破12 与圆的基本性质有关的辅
助线的作法
方法1 由垂径定理构造直角三角形
模型展示
(第1题)
1.如图,在中,弦, ,垂足为
,,则 的半径为( )
B
A. B. C. D.
返回
(第2题)
2.如图,有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知大小,
用锯子去锯这根木材,锯口深 ,锯道
,则这根圆柱形木材的半径为( )
C
A. B. C. D.
返回
方法2 构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角
模型展示
(第3题)
3.已知点,在直线的同一侧,作交 于
点,.连接,,,,若点在
外, ,则 的度数可能是( )
A
A. B. C. D.
返回
(第4题)
4.如图,,是的两条直径,是劣弧 的中
点,若 ,则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.[2024苏州中考]如图,是 的内接三角形,若
,则____ .
62
(第5题)
返回
6.如图,是半圆的直径,为半圆上一点,是 的中点,
,则 的度数为_____.
(第6题)
返回
7.如图,是的内接三角形,若, ,则
____ .
40
(第7题)
返回
8.如图,内接于,点在上,连接交于点 ,若
,,则 的长为___.
4
(第8题)
返回
方法3 利用直径构造直角三角形
模型展示
(第9题)
9.如图,为的直径,点, 为圆上两点,且
,若 ,则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
(第10题)
10. 如图,在中,弦 ,
,则过点且垂直于 的弦的长为( )
B
A. B.
C. D.
返回
(第11题)
11.如图,点,,,都在上, 的半径为2,
且,,则 ( )
A
A. B. C. D.6
返回
12.如图,是的直径,点,在上,连接,, ,若
,则 的度数为_____.
(第12题)
返回
13.如图,已知,以为直径的 分别交
,于点,,连接,且 .
(1)求证: ;
证明: ,
.
, , .
, .
(2)若,,求 的长.
解:连接 .
为的直径, .
设,由(1)知 ,
则 .
在 中,由勾股定理,
得 .
在 中,由勾股定理,
得 .

解得,即 .
返回
方法4 构造圆内接四边形
模型展示
14.如图,点,,,,都在 上,且
,则 所对的圆心角的度数为
( )
C
A. B. C. D.
返回
15.如图,,,三点均在上, ,则 等于( )
A
(第15题)
A. B. C. D.
返回
16.如图,是的一条弦,是的直径,是 上一点,连接
,.已知 ,则 ______.
(第16题)
返回
17.如图,在中,为弦的中点,连接,,是 上任意一
点,若 ,求 的度数.
解:如图,在优弧上任取一点,连接,, .
为弦的中点, .
又 ,
.
四边形是 内接四边形,
.
又 , ,
.
返回(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
知识点1 圆周角的概念
1.下列图形中, 是圆周角的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.如图,点,,,都在圆上,弦交于点,连接, ,
则 所对的圆周角是______________.

(第2题)
返回
知识点2 圆周角定理
(第3题)
3.[2024湖南中考]如图,,为 的两条弦,连
接,,若 ,则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
(第4题)
4.如图,是的直径,点,在 上.若
, ,则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
5.[2024陕西中考]如图,是的弦,连接,,是 所
对的圆周角,则与 的和的度数是_____.
(第5题)
返回
知识点3 圆周角定理的推论
6.如图,,,,是上的点,则图中与 相等的角是( )
D
(第6题)
A. B. C. D.
返回
(第7题)
7.如图,是的直径,点在上, ,
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
8.一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜
面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得
, ,则圆形镜面的直径为( )
B
A. B. C. D.
返回
9.如图,已知是的直径,点,在 上,且
,连接,,求 的度数.
解:是 的直径,
.
, ,
.
返回
(第10题)
10.如图,是的直径,是 的弦,半径
,连接,交于点, ,则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
(第11题)
11.如图,是半圆的直径,点, 在半圆上,
且,点在上.若 ,
则 等于( )
B
A. B. C. D.
返回
(第12题)
12.[2025石家庄长安区期中]如图,四边形
内接于,是的直径.若 ,
,,则 的长为( )
D
A.3 B.2.5 C.5 D.4
返回
13. [2025廊坊安次区月考]如图,某博览会上有一圆形
展示区,在其圆形边缘的点处安装了一台监视器,它的监控角度是 ,
为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器___台.
4
(第13题)
返回
14.[2024连云港中考]如图,是圆的直径,,,, 的顶
点均在上方的圆弧上,,的一边分别经过点, ,则
____ .
90
返回
15.[2024安徽中考]如图,是 的外接圆,
是直径上一点,的平分线交于点 ,交
于另一点, .
(1)求证: ;
证明: ,
.
与都是所对的圆周角, .
, .
平分, .
是的直径, ,

, .
(2)设,垂足为,若,求 的长.
解:由(1)知 ,
.
,,, ,
圆的半径, ,
.
在中,,, ,
.
返回
16. 如图,四边形是矩形,,, 是
平面内的一个动点,连接,,在运动的过程中,始终垂直于 ,
将绕点顺时针旋转 得到,连接,则 的最大值为
_________.
返回(共21张PPT)
期末提分练案
期未提分四 圆
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.下列说法中,不正确的是( )
B
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆的对称轴是直径
C.圆有无数条对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
返回
2.同一平面内,一个点到圆的最大距离为,最小距离为 ,则圆
的半径为( )
B
A.或 B.或
C. D.
返回
3.如图,四边形内接于,若 ,则 的度数是
( )
C
(第3题)
A. B. C. D.
返回
(第4题)
4.[教材习题变式][2024重庆中考]如图,
是的弦,交于点,是 上一点,
连接,.若 ,则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
5.我们知道,除三角形外,其他多边形都不具有稳定性.如图,将正五边
形的边固定,向右推动该正五边形,使得为 的中点,且
点,,,在以点为圆心的圆上,过点作的切线 ,则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图,点和分别是的内心和外心,若 ,则
的度数为( )
D
(第6题)
A. B. C. D.
返回
(第7题)
7.如图,点,在上,且点,, 不在同一条直
线上,是上一个动点(点不与点, 重合),
在点 运动的过程中,有如下三个结论:
①恰好存在一点,使得 ;
②若直线垂直于,则 ;
的大小始终不变.
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
返回
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.一个直角三角形的两直角边长分别是方程 的两个根,
则此直角三角形的外接圆的半径为_____.
返回
9.[2024深圳中考]如图,小明在矩形中裁剪出扇形 ,
,为的中点,,则扇形 的面积为____.
(第9题)
返回
(第10题)
10. [2024苏州中考]铁艺花窗是园林设
计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图,
由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成一个正六
边形,中心为点,所在圆的圆心恰好是 的
内心,若 ,则花窗的周长(图中实线部分的
长度)____.(结果保留 )
返回
三、解答题(共50分)
11.(13分)如图,为的直径,交于点,为
上一点,延长交于点,是延长线上一点,连接 ,
.
(1)求证:为 的切线;
证明:连接 ,
.
, .
, ,

即 , .
又是 的半径,
为 的切线.
(2)若且,则 的半径为___.
3
返回
12.(16分)如图①是两条高速公路互通立交俯瞰图,车辆从一条高速
公路转到另一条高速公路,需要经过缓和曲线匝道进行过渡.如图②是
一种缓和曲线过渡匝道的示意图.若把过渡匝道的缓和曲线看成是一个
平面上的圆弧,汽车沿的切线经过切点驶入匝道,从 的切
线经过切点驶出匝道.已知,的半径为 .
(1)若在点 处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控,且
高清摄像头可以有效监控 以内的物体,问此摄像头能否有效监控
整个匝道?并说明理由;
解:此摄像头能有效监控整个匝道.理由如下:
延长,交于点,连接 ,
则的长为点到圆弧形过渡匝道的最大距离, .
是的切线, ,
.
在中, ,
由勾股定理,得 .
.

此摄像头能有效监控整个匝道.
(2)在图②中,若连接,交于点,且,请判断 与
的位置关系,并说明理由.
解: .理由如下:
连接 .
, .
是的切线, ,
.
.
, ,
, .
返回
13.(21分)如图,四边形内接于, ,对角线
平分 .
(1)求证: 是等边三角形;
证明: 四边形内接于 .
, .
平分 ,




是等边三角形.
(2)若,,求 的周长.
解:如图,过点作,交的延长线于点 ,
.
, ,
, ,
.
, ,
.
是等边三角形,

的周长为 .
返回(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
知识点1 圆锥的侧面积
1.[2024无锡中考]已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的
侧面积为( )
B
A. B. C. D.
返回
2.[2025石家庄期中]综合实践课上,珍珍用半径为 ,圆心角为
的扇形纸板,制作了一个圆锥形的生日帽.如图,在不考虑接缝的
情况下,这个圆锥形生日帽的底面半径是( )
C
A. B. C. D.
返回
(第3题)
3.如图,圆锥的母线长为,高是 ,则圆锥的侧
面展开扇形的圆心角是( )
B
A. B. C. D.
返回
(第4题)
4.如图,用一个圆心角为 的扇形纸片围成一个底面半
径为2,侧面积为 的圆锥,则该扇形的圆心角 的大
小为( )
D
A. B. C. D.
返回
5.[教材习题 变式]如图,粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底
面圆的半径为,高为 .
(1)求这个圆锥的母线长;
解:如图, 是圆锥的截面,
AC为圆锥的高,为圆锥底面圆的半径, 为圆锥的母线长,由题意
可知,, ,
母线长为 .
(2)为了防雨,需要在它的顶部铺上油毡,所需油毡的面积至少是多
少?(结果保留 )
解: 圆锥的底面圆周长为 ,
圆锥的侧面积为 ,
所需油毡的面积至少是 .
返回
知识点2 圆锥的全面积
6.如图,若将半径为 的圆形纸片剪去三分之一,剩下的部分围成一
个圆锥的侧面,则围成圆锥的全面积为__________.(结果保留 )
返回
7.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动,如图是一个陀螺的立体
结构图.已知底面圆的直径,圆柱体部分的高 ,圆
锥体部分的高,求这个陀螺的表面积.(结果保留 )
解:, .
又 ,
在 中,

这个陀螺的表面积

返回
(第8题)
8.[2024广州中考]如图,圆锥的侧面展开图是一个圆
心角为 的扇形,若扇形的半径 是5,则该圆锥的体
积是( )
D
A. B. C. D.
返回
(第9题)
9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富
的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下
周八尺,高五尺,问积及为米几何?”译文:屋内墙角处
的米堆为一个圆锥的四分之一(如图),米堆底部的弧长
为8尺,米堆的高为5尺,那么这个米堆遮挡的墙面面积为
( )
A
A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺
返回
10.[教材习题 变式]如图,从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角
为 的扇形(阴影部分),将剪下的扇形围成一个圆锥,若围成圆锥
的底面半径为1,则该圆锥的母线长是___.
4
(第10题)
返回
11.如图,小珍同学用半径为、圆心角为 的扇形纸片,制作
一个底面半径为 的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是____
.
(第11题)
返回
12.如图所示的漏斗,圆锥形内壁的母线长为 ,开口
直径为 .
(1)因直管部分堵塞,漏斗内灌满了水,则水深为______
;(结果保留根号)
(2)若将贴在内壁的滤纸(忽略漏斗管口处和滤纸接缝处)展开,则
展开滤纸的圆心角的度数为______.
返回
13.问题情境:如图①,将一个底面半径
为 的圆锥侧面展开,可得到一个半径为
,圆心角为 的扇形.工人在制作圆锥
形物品时,通常要先确定扇形的圆心角
度数,再度量裁剪材料.
(1)探索尝试:图①中,圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长______
(填“相等”或“不相等”),若,,则 _____;
相等
120
(2)解决问题:为操作简便,工人希望能简洁求的值,请用含, 的
式子表示 ;
解:由圆锥的底面周长等于扇形 的弧长,
得, .
(3)拓展延伸:图②是一种纸质圆锥形生日帽, ,
,是的中点,现要从点到点再到点 之间拉一条装饰彩
带,求彩带长度的最小值.
解:,, ,
, 圆锥的侧面展开后得到的扇形
的圆心角度数为 ,如图,
.
,点是 的中点,
, 在 中,

彩带长度的最小值为 .
返回(共23张PPT)
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
知识点1 与正多边形有关的计算
1.正多边形的中心角为 ,则正多边形的边数是( )
C
A.4 B.6 C.8 D.12
返回
(第2题)
2.如图,正五边形内接于,是 上一点
(点不与点重合),则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
(第3题)
3.[2024济宁中考]如图,边长为2的正六边形
内接于 ,则它的内切圆半径为( )
D
A.1 B.2 C. D.
返回
(第4题)
4.[2024雅安中考]如图,的周长为 ,正六
边形内接于.则 的面积为( )
B
A.4 B. C.6 D.
返回
5.[2024镇江中考]如图,是的内接正边形的一边,点 在
上, ,则 ____.
10
(第5题)
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6.如图,正三角形外接圆的半径为2,求正三角形 的边长、
边心距、周长和面积.
解:如图,连接,,延长交于点 .
正三角形的外接圆是 ,
, ,
易得 ,
正三角形的边心距为 .
由勾股定理得 ,
正三角形的边长为 ,
正三角形的周长为 .

正三角形的面积为 .
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知识点2 与正多边形有关的作图
7.如图,为的直径,作的内接正三角形 .甲、乙两人的作法
分别是:
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( )
A
A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
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8.如图,已知和上的一点,作 的内接正八边形
.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,正八边形 即
为所求.
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(第9题)
9.[2024呼和浩特中考]如图,正四边形 和正
五边形内接于,和相交于点 ,则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
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10.两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置,则点 的坐标是
( )
D
(第10题)
A. B.
C. D.
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(第11题)
11. 早在1 800多年前,魏晋时期的数学家
刘徽首创“割圆术”,用圆内接正多边形的面积去无限逼
近圆面积,如图所示的是 的内接正十二边形,若该圆
的半径为1,则这个圆的内接正十二边形的面积为( )
A
A.3 B. C. D.6
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12.如图,正方形内接于,为上一点,连接,, .
若,,则 的长为___.
1
(第12题)
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13.如图,正五边形内接于 ,阅读以下作图过程,并回答下
列问题.
作法:(1)作直径;(2)以点为圆心, 的
长为半径作弧,与交于点, ;(3)连接
,, .
(1) 是正三角形吗?请说明理由;
解: 是正三角形.理由如下:
如图,连接, .
由题意可得 ,
是正三角形,
, .
同理可得 ,
.
是正三角形.
(2)从点开始,以长为半径,在 上依次截取点,再依次连接
这些点,得到正边形,则 的值为____.
15
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14.如图,,分别是的内接正三角形、正方形 、正五
边形等正边形的边,上的点,且,连接 ,
.
(1)求图①中 的度数;
解:连接, .
是正三角形,
, .
,

.
又 ,
.
.
.
(2)图②中的度数是_____,图③中 的度数是_____;
(3)直接写出的度数与正边形的边数 之间的关系.
解: .
返回(共8张PPT)
第二十四章 圆
专项突破16 等分圆问题
类型1 等分圆中的特殊多边形
(第1题)
1.如图,点是的八等分点.若 ,
四边形的周长分别为, ,则下列正确
的是( )
A
A. B.
C. D., 大小无法比较
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(第2题)
2.如图,将的圆周12等分,圆内接矩形 的面
积为20,则圆内接正六边形面积为( )
B
A.25 B.30 C.35 D.40
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类型2 等分圆中的特殊角
(第3题)
3.将的圆周12等分,点,, 是等分点,如
图, 的度数可能为( )
D
A. B. C. D.
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(第4题)
4.如图,,,, 均为圆周上的十二等分点,若用
直尺测量弦的长时,发现点, 分别与刻度1和4
对齐,则, 两点的距离是( )
C
A. B. C. D.6
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5.如图是一个钟表表盘模型,连接2的刻度与10的刻度的, 两点并延
长,交过8的刻度的切线于点,若表盘的半径为,则 的长为___.
2
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6.[2025石家庄校级月考]司南是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早
在战国时期就已被发明,是现在所用指南针的前身.如图①.司南中心为
一圆形,圆心为点 ,直径为20,根据八个方位将圆形八等分
(图②中点),过点作的切线与的延长线交于点 ,连
接 .
(1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为_____;
(2)求 的长;
解:为的直径, .
, , 是等腰直角三角形.
, .
(3)求线段与 的长,并比较大小.
解:为的切线, .
由(2)知 , ,
,,. ,
.
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