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第二十五章 概率初步
专项突破17 概率与其他知识的综合应用
应用1 概率与学科内综合
类型1 与数式相结合
1. 从2，， 这三个数中，随机抽取两个数作为分子与
分母，则所得式子为分式的概率是( )
B
A. B. C. D.
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2.［2024雅安中考］将，， ，0，， 这6个数分别写在6张
同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是__.
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类型2 与方程、不等式相结合
3.小强同学从，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数作为 的值，满
足不等式 的概率是( )
C
A. B. C. D.
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4.若是从，0，1，2这四个数中任取的一个数，则关于 的方程
为一元二次方程的概率是( )
A
A. B. C. D.1
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类型3 与坐标系、函数相结合
5.在一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，小球的标号分别为
2， ，5，若随机摸出一个小球，记下标号，不放回，再随机摸出一
个小球，记下标号，把两次记下的标号分别作为点 的横坐标、纵坐标，
则点 在第四象限的概率是( )
C
A. B. C. D.
返回
6.如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自
由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作， （若指针指向分割线，
则需重转），把，作为点的横、纵坐标.则点在函数
的图象上的概率为__.
（第6题）
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类型4 与几何相结合
（第7题）
7.［2024东营中考］如图，四边形 是平行四边形，
从，， ，这三个条
件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为
( )
A
A. B. C. D.
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8.有三张不透明的卡片，正面分别绘制如图所示的图案.
（1）图案是中心对称图形的有___张；
2
（2）已知这三张卡片的反面完全相同，把这三张卡片反面向上放置在
桌面上，从中任意抽取两张，求抽到的两张卡片的图案均为中心对称图
形的概率.
解：将这三张卡片依次记为，， .
画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片的图案均
为中心对称图形的结果有2种，
（抽到的两张卡片的图案均为中心对称图形） .
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类型5 与统计相结合
9.［2024广州中考改编］善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素
之一.为了解同学们的提问水平，对， 两组同学进行问卷调查，并根
据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）
A组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1） 组同学得分的中位数是______；
85分
（2）现从， 两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访
谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率.
解：由题意可知， 两组得分超过
90分的同学各有2名，将 组的2名
同学记为，， 组的2名同学记
为， ，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一
组的结果有4种，
这2名同学恰好来自同一组的概率为 .
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应用2 概率与其他学科综合
类型1 与语文相结合
10.据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各用上、中、
下三匹马比赛，在同等级的马中，齐威王的马比田忌的马跑得快，但每
人较高等级的马都比对方较低等级的马跑得快.双方约定：比赛三局，
每局各出一匹，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜.如果齐威王首局出
上马，田忌首局出下马，则田忌获胜的概率是( )
B
A. B. C. D.
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类型2 与物理相结合
11.如图，电路图上有4个开关，，， ，电源和1个小灯泡，同时闭
合开关，或同时闭合开关， 都可使小灯泡发光，若随
机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为_ _.
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类型3 与化学相结合
12.通常情况下紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色.老
师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损而无法分辨的无色溶液的
酸碱性，已知这四种溶液分别是A.盐酸（呈酸性）， .白醋（呈酸性），
B.氢氧化钠溶液（呈碱性）， .氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种.学生
小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶
液恰好都变蓝的概率为__.
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类型4 与历史相结合
13.“学史明智”，历史是最好的教科书.在如图所示的四张无差别卡片上
分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所
抽取的事件都发生于中华人民共和国成立以后的概率为__.
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类型5 与英语相结合
14.元音字母指的是26个字母当中的，，，， 这5个元音字母，这
些元音字母融汇了所有的元音，并不是所有的元音字母都只发一个音，
它有可能会发多个音.英语单词“ ”表示“你真棒”的意思，如果从组
成该单词的所有字母中同时随机抽取两个字母，则取到元音字母的概率
是__.
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类型6 与生物相结合
15.生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的.如人的卷舌性
状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因 是显性的，不能
卷舌的基因是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有，， 三
种，其中基因为和的人能卷舌，基因为 的人不能卷舌，父母分
别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女.若父母的基因都
是 ，则他们的子女可以卷舌的概率为__.
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第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第2课时 用画树状图法求概率
知识点1 用画树状图法求两步事件的概率
1.［2024菏泽中考］某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项
活动，甲、乙两名同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动
的概率是( )
C
A. B. C. D.
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2. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射.为了
普及航天科学的相关知识，某校计划开展航天讲座，校团委将从“中国
载人航天工程”“探月工程”“北斗卫星导航系统”“高分辨率对地观测系统”
中选择两个主题，则选择“探月工程”和“北斗卫星导航系统”的概率为
( )
B
A. B. C. D.
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3.从， ，1，4这四个数中，任取两个不同的数，取到的两个数都
为正数的概率是( )
A
A. B. C. D.
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4.小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑
色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红
色围巾的概率是( )
C
A. B. C. D.
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5.［教材习题 变式］一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假
定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是__.
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6.某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示，嘉淇进入展厅后开始自由参
观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，
且这三种可能性均相同.
（1）嘉淇走到十字道口 向北走的概率为_ _；
（2）补全图②的树状图，并求嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率.
解：补全树状图如图所示.
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中嘉淇经过两个十字道口后
向西参观的结果有3种， 嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率为
.
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知识点2 用画树状图法求两步以上事件的概率
7.张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的
机会都相同（不考虑黄灯），张老师希望上班经过每个路口都是绿灯，
但实际上这样的机会是( )
C
A. B. C. D.
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8.甲、乙、丙三名同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取
一本（不放回），三名同学抽到的课本都是自己课本的概率是( )
B
A. B. C. D.
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9.［教材 例3变式］甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数
字1，2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4，5；丙
口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋中各随
机取出1个小球，则取出的3个小球上全是奇数的概率为__.
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10.［2024福建中考］哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两
个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得
了世界领先的成果.在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是
偶数的概率是( )
B
A. B. C. D.
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11.［教材习题 变式］假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率
相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的
概率是__.
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12. 某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活
动，先将“燃料燃烧”“电池充电”“镜花水月”“ 冰雪消融”的图案制
成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（其中，为化学变化，，
为物理现象）.活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识.抽取规
则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽
取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张.若他们抽取的两张卡
片上都是化学变化，则由小云分享；若他们抽取的两张卡片上都是物理
现象，则由小南分享；其他情况重抽.
（1）小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是_ _；
（2）这个规则对小云和小南公平吗 请用画树状图法说明理由.
解：公平.理由：画树状图如下:
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两张卡片上都是化学变化
的结果有4种，两张卡片上都是物理现象的结果有4种，
（小云分享），（小南分享） .
（小云分享） （小南分享），
这个规则对小云和小南公平.
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微专项8 概率中的“放回”与“不放回”问题
方法指导
（1）可“重复”计算：当题目中出现“放回”或“选择（参加）同一个”这
样的字眼时，属于“放回”抽取问题，例如：过红绿灯路口，选择直行、
左转弯、右转弯，参加活动等;（2）不可“重复”计算：当题目中出现
“不放回”或“随机抽取两个”这样的字眼时，属于“不放回”抽取问题.
类型1 放回问题
1.［2024北京中考］不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，
除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，
再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为( )
D
A. B. C. D.
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2.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种
可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转
的概率是__.
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类型2 不放回问题
3. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子
中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同.从中随
机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个棋子，则两
次摸到相同颜色的棋子的概率是__.
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4.某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、
丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的
概率是__.
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第二十五章 概率初步
章末整合练
知识结构
1
0
0
1
核心考点巩固
考点1 事件类型的判定
1.［2024保定竞秀区期末］事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；
事件②：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数.则下列表述正确
的是( )
C
A.事件①是必然事件，事件②是随机事件
B.事件①是随机事件，事件②是必然事件
C.事件①和②都是随机事件
D.事件①和②都是必然事件
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考点2 用公式直接求概率
2.［2024湖北中考］小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这
5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界
数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成
就进行分享，选到数学家赵爽的概率是__.
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3.［2024苏州中考］如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率
是__.
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考点3 用列表法或画树状图法求概率
4. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小
强计划利用暑期从，， 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志
愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( )
B
A. B. C. D.
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5. 第十五届中国航展于2024年11月12日至17日在珠海举
行.这场备受瞩目的航空盛会展示了中国航空航天事业的最新成就.某校
开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选
取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为( )
A
A. B. C. D.
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6.有4条线段，长度分别为，，， ，从中任取3条，
能构成直角三角形的概率是( )
C
A. B. C. D.
返回
7. ［2024盐城中考］在“重走建军路，致敬新四军”红
色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展
研学活动：
A.新四军纪念馆（主馆区）；
B.新四军重建军部旧址（泰山庙）；
C.新四军重建军部纪念塔（大铜马）.
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.
（1）小明选择基地A的概率为_ _；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率.
解：列表如下：
小丽 小明 A B C
A
B
C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择相同基地的结
果有3种，
小明和小丽选择相同基地的概率为 .（用画树状图法也可）
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8. “这么近，那么美，周末到河北.”为了更好地吸引游客和
提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况
（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为_____，扇形统计图中 的值为____；
240
35
（2）请补全条形图；
解：“缸炉烧饼”对应的人数为 ，
补全条形图如所示.
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述四种
美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“驴肉火烧”和
“金毛狮子鱼”的概率.
解：将“驴肉火烧”“唐山麻糖”“金毛
狮子鱼”“缸炉烧饼”分别记为 ，
，， ，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中选到“驴肉火烧”和“金毛
狮子鱼”的结果有2种，
选到“驴肉火烧”和“金毛狮子鱼”的概率是 .（用列表法也可）
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考点4 用频率估计概率
9.某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中
靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统
计图，请根据图中信息回答问题：
（1）该名运动员正中靶心的频率在____附近摆动，
他正中靶心的概率估计值为____（精确到 ）.
0.9
0.9
（2）如果一次练习时他一共打了150枪.
①试估计他正中靶心的枪数；
解： （枪）.
答：估计他正中靶心的枪数为135枪.
②如果他想要在这次练习中正中靶心180枪，请计算出他还需要大约打
多少枪？
解： （枪），
（枪）.
答：他还需要大约打50枪.
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第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第1课时 用列表法求概率
知识点1 直接列举求概率
1.［教材 例1变式］先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次
正面向上、第二次反面向上的概率是( )
A
A. B. C. D.
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2.小阳、小华和小雅三人随意排成一排进行拍照，小雅恰好排在中间的
概率是( )
B
A. B. C. D.
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3.现有写有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位
数，摆出的三位数是5的倍数的概率是__.
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知识点2 用列表法求概率
4. 河北梆子是国家级非物质文化遗产，是中国梆子声腔的一
个重要支脉.现有三张卡片，正面分别印有河北梆子经典剧目人物钟馗、
秦香莲、陈三两，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，
从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡
片正面相同的概率为( )
D
A. B. C. D.
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5.［2024济南中考］3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学节策
划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红
和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的
概率是( )
C
A. B. C. D.
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6. ［2024达州中考］“四大名著”《红楼梦》《水浒传》
《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分.某校七年级
准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机
抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国
演义》和《西游记》的概率是__.
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7.嘉嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花.如图，杏花园有两个
入口、三个出口，则嘉嘉从入口进入，从出口 离开的概率为__.
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8.［2024常州中考］在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.
将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀.
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是_ _；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜
“布”，“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从
余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率.
解：分别用，， 表示“石头”“剪子”“布”，列表如下：
甲 乙 A B C
A —
B —
C —
由表格可知，一共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有 ，
，，共3种， 甲取胜的概率为 .
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（第9题）
9. ［2024内江中考］如图所示的电
路中，当随机闭合开关，， 中的两个时，灯泡
能发光的概率为( )
A
A. B. C. D.
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10.［2024潍坊中考］小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三
支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后，她随
机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配
的概率是__.
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（第11题）
11.［2025保定莲池区月考］用图中两个可
自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个
转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），
其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘
被分成相等的三个扇形.如果同时转动两个
转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是_ _.
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12.［2024河北中考］甲、乙、丙三张卡片正面分别写有 ，
， ，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当 ，
时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
解：当，时，， ，
， 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为 .
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗
匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的
所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
第一次 和 第二次
_________
_________ _________ ____
____ _________
解：由表格可知，所有等可能的结果有9种，其中和为单项式的结果有4
种，
和为单项式的概率为 .
[解析] 补全表格如下：
第一次 和 第二次
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13. 图①是一款游戏的棋盘，每一个格代表一步，随机
投掷一枚如图②所示的质地均匀的正四面体的骰子（每个面上分别写有
1，2，3，4），记录朝下一面上的数字，并使棋子前进相应的步数，可
连续投掷骰子，棋子可连续前进，直至达到或超过“游戏结束”.
（1）投掷一次该骰子，求朝下一面上的数字是偶数的概率；
解：朝下一面上的数字是偶数的概率为 .
（2）用列表法求连续投掷该骰子两次可以达到或超过“游戏结束”的概率.
解：列表如下：
第2次 第1次 1 2 3 4
1
2
3
4
由表知，共有16种等可能的结果，其中连续投掷该骰子两次可以达到或
超过“游戏结束”的结果有，， ，共3种，
连续投掷该骰子两次可以达到或超过“游戏结束”的概率为 .
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第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
知识点1 频率与概率的关系
1.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为 ,该事
件的概率为 .下列说法正确的是( )
D
A.试验次数越多， 越大
B.与 都可能发生变化
C.试验次数越多，越接近于
D.当试验次数很大时，在 附近摆动，并趋于稳定
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2.某人在做抛掷硬币试验时，抛掷多次，若正面朝上的频率是 ，则下
列说法正确的是( )
D
A. 一定等于0.5
B. 一定不等于0.5
C.多抛一次， 更接近0.5
D.随着抛掷次数逐渐增加， 稳定在0.5附近
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知识点2 用频率估计概率
3.通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可
估计钉尖朝上的概率为( )
C
A. B. C. D.
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4.［2025保定期中］某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1 000
射中九环以上的次数 18 68 86 168 332 830
射中九环以上的频率 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率
是( )
A
A.0.83 B.0.85 C.0.86 D.0.90
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5.行道树是指种在道路两旁及分车
带，给车辆和行人遮阴并构成街景
的树种.国槐是我市常见的行道树品
种.如图是一批国槐树苗移植成活频
率的统计图，由此可估计这种树苗
移植成活的概率是( )
B
A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.80
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6.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均
相同.经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子
中红球约有____个.
15
返回
7.下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况.
抽取的排球数 500 1 000 1 500 2 000 3 000
合格品数 471 946 1 425 2 853
合格品频率 0.946 0.950 0.949 0.951
（1）表中______， _______；
（2）从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是_____；
（精确到 ）
0.942
1 898
0.95
（3）如果要生产23 750个合格的排球，那么该厂估计要生产多少个排球？
解： （个）.
答：该厂估计要生产25 000个排球.
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8.［2024保定期末］甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中，
统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结
果的试验可能是( )
A
A.从一个装有2个白球和1个红球的不透明
袋子中任取一个球，取到红球的概率
B.在 内任意写出一个整数，能被2整
除的概率
C.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
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9.如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个边长为
的正方形内，现将米粒随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大
量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在0.35附近，由此可
估计这个“福”字的面积是_____ .
140
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10.某地区林业和草原局要考察一种树
苗移植的成活率，对该地区这种树苗
移植的成活情况进行调查统计，绘制
了如图所示的统计图，根据图中的信
息解决下列问题：
（1）这种树苗成活的频率稳定于____，成活的概率估计值为____.
0.9
0.9
（2）该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计这种树苗成活____万棵；
②若该地区计划成活18万棵这种树苗，则还需移植这种树苗约____万棵.
4.5
15
返回
11.【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为
求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿）
①在此封闭图形内画出一个半径为 的圆；
②随机向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
100 200 500 1 000 …
小石子落在圆内（含圆上） 的次数 32 63 153 305 …
小石子落在圆外的阴影部分 （含外沿）的次数 68 137 347 695 …
小石子落在圆内（含圆上） 的频率 0.320 0.315 0.306 …
【数学发现】
（1）若以小石子所落的有效区域为总数（即 ），则表格中的数
据 ______；随着投掷次数增加，小石子落在圆内（含圆上）的频率
稳定在____附近；（第二空结果精确到 ）
0.305
0.3
【结论应用】
（2）请你利用（1）中所得的频率，估计整个封闭图形的面积是多少平
方米？（结果保留 ）
解： 圆的面积 ，
整个封闭图形的面积约为 .
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第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.2 概率
限时：8分钟
1.抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币落地时都是正面朝上，如
果第5次抛这枚硬币，那么正面朝上的概率为( )
D
A. B. C. D.
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2.如图，转盘中阴影扇形的面积为 ，转盘所在圆的半径为2，任意转动
这个转盘一次（落在分界线上重新转动），当转盘停止转动时，指针落
在阴影扇形的概率是__.
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3.关于概率有下列几种说法，其中正确的说法是____.（填序号）
①“明天下雨的概率是”表示明天全国有 的地方下雨；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上；
③若某种活动的中奖率是 ，则参加这种活动10次可能有3次中奖；
④“某彩票中奖的概率是 ”表示买100张该种彩票一定中奖.
③
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4.如图①~⑤，5个不透明的袋子中各装有10个球，每个球除颜色外其他
都相同.
（1）将球搅匀，分别从每个袋子中摸一个球，摸到白球的概率一样大
吗？为什么？
解：不一样大.理由： 题图①袋子中装有10个球，其中白球有5个，
摸到白球的概率是 .
题图②袋子中装有10个球，其中白球有2个，
摸到白球的概率是 .
题图③袋子中装有10个球，其中白球有9个，
摸到白球的概率是 .
题图④袋子中装有10个球，其中白球有10个，
摸到白球的概率是1.
题图⑤袋子中装有10个球，其中白球有0个，
摸到白球的概率是0.
综上，摸到白球的概率不一样大.
（2）将袋子的序号按摸到白球的概率从小到大的顺序排列.
解：根据（1）可得： .
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第二十五章 概率初步
培优拔高练 利用概率判断游戏规则的
公平性
1.嘉嘉和淇淇玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”“老虎”“公
鸡”“小虫”中的任意一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老
虎”“老虎”胜“公鸡”“公鸡”胜“小虫”“小虫”胜“木棒”，其他情况则为平局.
例如，嘉嘉说“老虎”，淇淇说“公鸡”，则嘉嘉胜；又如，两人同时说“小
虫”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局.
（1）每一次嘉嘉说出“老虎”的概率是__；
（2）如果用，，， 分别表示嘉嘉说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小
虫”；用，，， 分别表示淇淇说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”，
那么某一次说出时嘉嘉胜淇淇的概率是多少？用列表法或画树状图法加
以说明；
解：列表如下：
淇淇 嘉嘉
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中嘉嘉胜淇淇的结果有4种，
某一次说出时嘉嘉胜淇淇的概率为 .（用画树状图法也可）
（3）你认为这个游戏规则公平吗？为什么？
解：公平.理由：由表格可知某一次说出时淇淇胜嘉嘉的概率为 ，
， 两人获胜的概率相等，
这个游戏规则公平.
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2.为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促
进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日
发布了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工
作的通知》（以下简称《通知》）.为贯彻《通知》精神，学校组织该主
题漫画比赛.现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛.游戏规
则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分
别标有数字2，3，4；另有一个不透明的容器，装有分别标有数字1，3，
5的三个完全相同的小球（如图）.先转动一次转盘，停止后记下指针指向
的数字（若指针指在分界线上则重转），再从容器中随机取出一个小球，
记下小球上的数字.若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两
数字之和小于6，则小英参赛.请问此游戏公平吗？并说明理由.
解：公平.理由：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中两数字之和大于6的结果有4种，
两数字之和小于6的结果有4种，
（两数字之和大于6），（两数字之和小于6）， 此游戏公平.
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第二十五章 概率初步
河北特色题型专练五
1. ［2025廊坊期中］2024年12月4日，我国“春节”申遗成
功，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.为“记录
永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了四部河北省非遗传承短
视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为A.河北梆子，B.
吴桥杂技，C.衡水内画，D.杨氏太极拳.为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇
从四个短视频中随机选择两个试看.
（1）淇淇选中“蔚县剪纸”短视频观看是________事件；（填“不可能”
“随机”或“必然”）
不可能
（2）补全下列表格，并求出淇淇选择A.河北梆子和C.衡水内画两个短
视频观看的概率.
A B C D
A
B
C
D
解：补全表格如下：
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，所
以淇淇选择A.河北梆子和C.衡水内画两个短视频观看的概率为 .
返回
①
2.某迷宫游戏地图如图①所示.嘉淇从点 开始出
发，只要遇到一扇门就必须从里走出到外圈，然
后随机向左转或向右转后继续行进（如走出 门
后，若左拐行进会从 门走出；若右拐行进会从
门走出），且这两种可能性均相同，规定：走
进死胡同就算失败.
（1）若嘉淇从门、门、 门走出的可能性均
相同，则她选择 门的概率为__；
（2）补全图②的树状图，并计算嘉淇成功走出该迷宫的概率.
②
解：补全树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中成功走出该迷宫的情况有
4种， 嘉淇成功走出该迷宫的概率为 .
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期末提分练案
期末提分五 概率初步
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.下列事件是随机事件的是( )
D
A.太阳从东方升起 B.（ 为任意实数）
C.天上掉下馅饼来 D.某次数学考试小明考90分以上
返回
2.［2024广东中考］长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文
化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文
化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是( )
A
A. B. C. D.
返回
3.［2025张家口桥西区期中］小星同学通过大量重复的定点投篮练习，
用频率估计他投篮投中的概率为 ，下列说法正确的是( )
A
A.小星定点投篮1次，不一定能投中
B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4次
D.小星定点投篮4次，一定投中1次
返回
（第4题）
4.数学课上，李老师与学生们做“用频率估
计概率”的试验：不透明的袋子中装有5个
白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色
外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，
某种颜色的球出现的频率如图所示，则该
球的颜色最有可能的是( )
B
A.黑色 B.黄色 C.红色 D.白色
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（第5题）
5.周末，甲、乙、丙、丁四人小聚，餐桌摆放如
图所示.若甲先坐定①号位，乙、丙、丁在剩下
的三个位置中随机就座，则乙恰能坐甲的对面
的概率是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.将三张除了正面所标数字不同外
（分别写有数字3，4，5）其余均相
同的卡片倒扣在桌面上，嘉淇根据
抽取结果画出了如图所示正确的树
D
A.①②③ B.①③ C.①② D.②③
状图，对于抽取卡片的规则，有下列说法：①随机抽出一张卡片后放回，
再随机抽出一张卡片；②随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张
卡片；③同时随机抽出两张卡片.其中与树状图相对应的卡片抽取规则
可以是( )
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二、填空题（每小题6分，共24分）
7.一个不透明的袋子中装有白、红、黑三种不同颜色的球，其中白球有
3个，红球有8个，黑球有 个，这些球除颜色外完全相同.若从袋子中任
意取一个球，摸到黑球的可能性最大，则 可以为_________________.
9（答案不唯一）
返回
8.在一个不透明的布袋中，蓝色、黑色、白色的玻璃球共有20个，这些
玻璃球除颜色外其他完全相同.将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个
球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色球、
白色球的频率分别稳定在和 ，则布袋中蓝色球的个数最有可能
是____个.
11
返回
9. 如图①是第24届国际数学家大会会标，该会标是以我
国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.现假设可在如图②的弦图
区域内随机取点，若在正方形中，， ,则这个点落
在阴影部分的概率为___.
返回
10.有四张完全相同且不透明的卡片，现将卡片正面分别标上数, ,
1,2，将四张卡片背面朝上洗匀，任抽一张卡片，卡片上的数记为 ，放
回后洗匀，再抽一张，卡片上的数记为，则函数 的图象不
经过第二象限的概率是__.
返回
三、解答题（共40分）
11.（20分）一个不透明的口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，
这三种球除颜色外没有任何区别，搅匀后取出1个球.
（1）若取出红球的概率为 ，则白球有多少个？
解：设口袋中有白球 个，
由题意，得 ，
解得 白球有8个.
（2）在（1）的条件下，取出黑球的概率是多少？
解：取出黑球的概率为 .
（3）在（1）的条件下，再在原来的口袋中放进多少个相同的红球，能
使取出红球的概率达到 ？
解：设再在原来的口袋中放进 个相同的红球.由题意，得
，解得 ，
再在原来的口袋中放进4个相同的红球，能使取出红球的概率达到 .
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12.（20分） 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、
滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为，，， ，体育老师把这四个项
目分别写在四张背面完全相同的卡片（形状、大小也完全相同）上，将
这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运
会中的得分标准，恰好抽到 （滑板）的概率是__；
（2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一
下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片
（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师
抽到的两张卡片恰好是（冲浪）和 （运动攀岩）的概率.
解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是
（冲浪）和（运动攀岩）的结果有2种， 体育老师抽到的两张卡片
恰好是（冲浪）和（运动攀岩）的概率为 .
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第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.2 概率
知识点1 概率的意义
1.［2025保定校级期末］天气预报称，明天全市的降水概率为 ，下
列说法中正确的是( )
C
A.明天全市将有的地方会下雨 B.明天全市将有 的时间会下雨
C.明天全市下雨的可能性较大 D.明天全市一定会下雨
返回
2.彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资
金，促进社会公益事业发展.已知某种彩票的中奖概率为 ，则下列说
法正确的是( )
B
A.买1张这种彩票，不可能中奖
B.买200张这种彩票，可能有2张中奖
C.买100张这种彩票，一定有1张中奖
D.若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖
返回
3.“367人中至少有2人同月同日生”这一事件发生的概率为 ，则( )
B
A. B. C. D.
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知识点2 简单事件的概率的计算
4.2024年河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目包含
米跑；②立定跳远； 分钟跳绳；④引体向上或掷实心球（男生）/仰
卧起坐或掷实心球（女生），共四项，由各市教育行政部门抽签决定，
唐山市教育行政部门从四个项目中随机抽取一项，抽到项目③的概率为
( )
C
A. B. C. D.
返回
5. ［2024深圳中考］二十四节气，它基本概括了一年中
四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二
十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），
夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、
白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、
大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率
为( )
D
A. B. C. D.
返回
6.一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个
球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 的
是( )
B
A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出绿球 D.摸出黑球
返回
7.从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据
的众数的概率为( )
B
A. B. C. D.
返回
8.［2024浙江中考］有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，
8.从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__.
返回
知识点3 与几何图形有关的概率的计算
9.［教材 例2变式］［2024济南中考］如图是一个可以自由转动的转
盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色
区域的概率为__.
（第9题）
返回
10.小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的 的正方形飞镖盘，
则飞镖落在阴影区域（飞镖投在飞镖盘上，且投在各点的概率相等）的
概率为__.
（第10题）
返回
11.从，，3，，，， 中随机抽取一个数，
此数是无理数的概率是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第12题）
12.如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中
的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形
的概率是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第13题）
13.［2024徐州中考］如图，将一枚飞镖任意投掷到正
方形镖盘 内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相
等，则飞镖落在阴影区域的概率为( )
C
A. B. C. D.
返回
14.［2024上海中考］一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色
外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是 ，则袋子中至少
有___个绿球.
3
返回
15.从，，2，3，5这五个数中，任选一个数作为 的值，则直线
不经过第二象限的概率是__.
返回
16.一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，
15个黄球．
（1）若从中随意摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是__；
（2）若要使从中随意摸出一个球是红球的概率为 ，口袋中需再加入
____个红球；
25
（3）若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色只是红色和黄色），
你认为怎样放才能使摸到红球和黄球的概率相等？请分别求出放入口袋
中红球、黄球的个数．
[答案] 要使摸到红球和黄球的概率相等，即摸到红球的概率为 ，设口
袋中放入红球个，由题意，得，解得，
（个）.故口袋中放入红球15个，黄球5个.
返回
17.［教材例3变式］小蒙设计一个抽奖游戏：如图①，宝箱由
个方格组成，方格中随机放置着10个奖品，每个方格最多能放一个奖品.
①
（1）如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是_ __；
②
（2）为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏.小雨参
加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字2，
如图②所示.小蒙解释，这说明与这个方格相邻的8个
方格（即区域 ）中有两个放置了奖品，进行第二次
抽奖，小雨将有两种选择，打开区域 中的小方格，
或者打开区域 外的小方格.为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？
请说明理由.
[答案] 打开区域中的小方格.理由：（打开区域 中的小方格，获得
奖品） ，
P（打开区域外的小方格，获得奖品）. ，
打开区域 中的小方格获得奖品的概率更大.
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第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
知识点1 事件的类型
1.［2024武汉中考］小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人
同时出相同的手势，这个事件是( )
A
A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件
返回
2.下列事件中是必然事件的是( )
C
A.任意买一张电影票，座位号是奇数
B.购买100张彩票，中奖
C.任意画一个四边形，其内角和是
D.打开电视机，正在直播足球比赛
返回
3.［2025沧州校级期末］下列事件是不可能事件的是( )
B
A.任意写一个偶数，一定是2的倍数
B.一滴香油滴在自来水里，香油会沉入水底
C.打开电视，正在播放天气预报
D.掷一枚质地均匀的普通骰子，点数为2的面朝上
返回
4.若“抛掷一枚质地均匀、六面点数分别是1，2，3，4，5，6的骰子，
向上一面的点数是”是随机事件，则 的值可以是( )
B
A.0 B.2 C.3.5 D.7
返回
5. 燕赵健儿闪耀巴黎奥运，收获4金1银1铜，多个项目实
现历史性突破，若将这6枚奖牌混匀后放在一个暗箱中.请判断以下事件
是随机事件、不可能事件还是必然事件.
（1）从暗箱中任意摸到一枚奖牌，是一枚金牌；
解：是随机事件.
（2）从暗箱中一次任意摸到5枚奖牌，全是金牌；
解：是不可能事件.
（3）从暗箱中一次任意摸到3枚奖牌，一定有一枚是金牌.
解：是必然事件.
返回
知识点2 事件发生可能性的大小
（第6题）
6.有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面
朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到
的花色可能性最大的是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.将一个转盘分为均等的8份，涂上如图所示的三种颜色，
转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是( )
C
A.红 B.绿 C.黄 D.不确定
返回
8.一个仅装有球的不透明盒子里，有红球和白球（仅有颜色不同）共20
个，小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是( )
D
A. B. C. D.
返回
9.下列词语所反映的事件中，可能性最小的是( )
D
A.瓜熟蒂落 B.守株待兔 C.旭日东升 D.缘木求鱼
返回
10.在一个不透明的抽奖盒里装有除颜色外无其他差别的3个红球、1个
黄球和1个蓝球，从中随机抽出3个球，下列事件属于必然事件的是
( )
C
A.至少摸出一个蓝球 B.至少摸出两个黄球
C.至少摸出一个红球 D.至少摸出两个蓝球
返回
11. 如图，电路图上有A,B, 个开关
和1个小灯泡，同时闭合开关A,C或同时闭合开关B,C
都可以使小灯泡发光.下列操作中，使“小灯泡发光”是
随机事件的是( )
C
A.不闭合开关 B.只闭合1个开关
C.只闭合2个开关 D.闭合3个开关
返回
12.一个不透明的袋子里有4张卡片，卡片上分别画着等腰三角形、菱形、
圆、平行四边形，袋中卡片除图案外都相同，小明从中摸一张卡片，摸
到轴对称图形的可能性记为，摸到中心对称图形的可能性记为 ，
则( )
B
A. B. C. D.都有可能
返回
13.一个不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入 个
白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若
要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则 的最小值为___.
2
返回
14.某小组有5名男生和3名女生，从这8名学生中随机派 名学生进行社
会调查，分别求下列条件中 的值：
（1）“派去的 名学生中至少有1名女生”是必然事件；
解：派去的学生人数必须比男生总人数至少多1名，才满足“派去的 名
学生中至少有1名女生”是必然事件， ，7，8.
（2）“派去的 名学生中至少有4名男生”是必然事件.
解：派去的学生人数必须比女生总人数至少多4名，才满足“派去的 名
学生中至少有4名男生”是必然事件，
，8.
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15. 小明每天早上要在7：50之前赶到距家 的学
校上学.一天早上，小明以的速度出发去上学， 后，小
明的爸爸发现小明忘了带数学书，于是，爸爸立即以 的速
度去追赶小明，结果在途中追上了小明，试探究这个事件是什么事件.
解：设小明的爸爸追上小明所用的时间为 ，由题意，得
，解得 ，
，
在小明到校之前，小明的爸爸不能追上小明，
“小明的爸爸在途中追上小明”是不可能事件.
返回

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