资源简介

贵州省遵义市汇川区2025-2026学年上学期(第一次)质量监测九年级数学试卷
1．（2025九上·汇川月考）下列选项中，属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·汇川月考）若方程的两个根是和，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．（2025九上·汇川月考）若关于的函数是二次函数，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．或2 D．
4．（2025九上·汇川月考）方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　)
A．m＝1，n＝5 B．m＝﹣1，n＝5
C．m＝2，n＝5 D．m＝﹣2，n＝3
5．（2025九上·汇川月考） 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
6．（2025九上·汇川月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·汇川月考）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·汇川月考）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·汇川月考）嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项．因而得到方程的两个根是和；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·汇川月考）如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（　　）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
11．（2025九上·汇川月考）下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x 0 1 2 3
y 0 3 4 3 m
下列关于这个二次函数的结论中，不正确的是（　　）
A．图象开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．
12．（2025九上·汇川月考）关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（　　）．
A．5 B．4 C．3 D．2
13．（2025九上·汇川月考）关于x的一元二次方程的解为　 　．
14．（2025九上·汇川月考）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
15．（2025九上·汇川月考）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为　 　．
16．（2025九上·汇川月考）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为　 　．
17．（2025九上·汇川月考）解方程：
（1）；
（2）
18．（2025九上·汇川月考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
19．（2025九上·汇川月考）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象．
（1）___________，___________，___________；
（2）写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标．
20．（2025九上·汇川月考）数学活动：某校学生对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第行有个点……容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：）
（1）求三角形点阵中前10行的点数和；
（2）若三角形点阵中前行的点数之和为136，求的值．
21．（2025九上·汇川月考）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．
（1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽；
（2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
22．（2025九上·汇川月考）在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题
（1）列表：
… 0 1 2 …
… 2 2 …
写出表中的值：___________，___________；
（2）描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：___________．
23．（2025九上·汇川月考）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
24．（2025九上·汇川月考）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为．
①该收纳盒的高是多少？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
25．（2025九上·汇川月考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．，是一次函数，故本选项错误；
B．，是反比例函数，故本选项错误；
C．，是二次函数，故本选项正确；
D．，是一元二次方程，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程中，二次项系数，一次项系数．
根据根与系数的关系，两根之和为：．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）求解即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：关于的函数是二次函数，
且，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）可得：且，再分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，
（x+1）2＝5，
∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5，
故答案为：A．
【分析】先利用配方法将方程配方成（x+1）2＝5，可得m＝1，n＝5，从而得解.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等，
∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0，
解得：a=2．
故答案为： C.
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ=0，可列出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队需与其他个队比赛一场，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为，
根据题意，总场数为场，
故方程为．
故答案为：B．
【分析】 设比赛组织者应邀请个队参赛，利用“ 赛程计划安排7天，每天安排4场比赛 ”总场数为场，列出方程即可．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可得，，
∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上，
又∵的图象的对称轴为轴，
只有选项B的图象符合，
故答案为：B．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）分析求解即可.
8．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由可得：，，．
∴该一元二次方程为：．
故答案为：A．
【分析】根据求根公式并结合题意即可求解．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据得，
由得，当时，一元二次方程的一次项系数为6，
由得，当时，一元二次方程的常数项为6，
∴该一元二次方程为，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（）分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：
或
解得或8
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴．
∴方程的正数解是线段的长．
故答案为：C．
【分析】求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，根据勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知当和时，函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确；
∵时，最大，
∴抛物线开口向下；当时，y随x的增大而增大；故A正确，C错误；
∵，
∴当与时，y值相等，
∵时，，
∴时，，故D正确；
故答案为：C．
【分析】根据表格中的数据先求出抛物线的对称轴为直线，可得顶点坐标为，再求出抛物线开口向下，最后利用二次函数的性质逐项分析判断即可.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口方向由系数a决定．若，开口向上；若，开口向下．因a的正负未知，故①错误．
②顶点式为，对称轴为．此处，对称轴为，故②正确．
③当时，函数有最小值2；当时，有最大值2．因未明确a的正负，无法确定是否有最小值，故③错误．
④由题意可得顶点坐标为，无论a为何值，抛物线必过顶点，故④正确．
⑤当时，时y随x增大而减小；当时，时y随x增大而增大．因a的正负未知，无法确定增减性，故⑤错误．
综上，正确的说法为②和④，共2个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
13．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意，得：，，
∴，
∴
；
故答案为：0．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出，，再将其代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数可知，对称轴为直线，，
∴当时，二次函数有最小值，
由，根据距离对称轴越远，函数值越大，
∴当时，，
∴当时，函数的取值范围为，
故答案为：．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再将x=-1、x=2和对称轴分别代入解析式求出y的值，再结合二次函数的性质求出y的取值范围即可.
16．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵，
∴，那么最大值与最小值的差为： ．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ．
情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，
∴此时，最大值与最小值的差为： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，
∵ ，解得 ．
情况三：当，即 时，
当时，．
当时，函数值 ；
当时，函数值 ．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述， 或
故答案为：或.
【分析】分类讨论：①当，即 时，②当 时，③当，即 时，再分别求出一次函数与二次函数的最大值与最小值的差并列出方程求解即可.
17．【答案】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）
或
，
（2）
或
，
18．【答案】（1）解：∵方程
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
即
解得：；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式：，然后代入数据，最后再进行化简即可求证。
（2）根据韦达定理，求出和的值，然后再 进行变形，然后代入即可求解。
19．【答案】（1），，
（2）解：二次函数，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，即，
，，．
故答案为：，，.
【分析】（1）利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减可得，再求解即可；
（2）利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）分析求解即可.
（1）解：由题意得：
把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，即，
，，．
（2）二次函数，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
20．【答案】（1）解：．
答：三角形点阵中前10行的点数和为55．
（2）解：三角形点阵中前行的点数之和为：，
∵前a行的点数之和为136，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：的值为16．
【知识点】探索数与式的规律；一元二次方程的应用-几何问题；有理数的巧算；探索规律-图形的个数规律
【解析】【分析】（1）根据图形中点的规律列出算式，再求解即可；
（2）根据（1）的规律可列出方程，再求解即可.
（1）．
答：三角形点阵中前10行的点数和为55．
（2）三角形点阵中前行的点数之和为：，
∵前a行的点数之和为136，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：的值为16．
21．【答案】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：电动车车棚的长为，宽为．
（2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下：
设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
，
原方程无解，
不能围成占地面积为的电动车车棚．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设车棚宽为，则车棚长为，利用“ 车棚占地面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设车棚宽为，则车棚长为，利用“ 车棚占地面积为 ”列出方程求解即可.
（1）解：设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：电动车车棚的长为，宽为．
（2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下：
设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
，
原方程无解，
不能围成占地面积为的电动车车棚．
22．【答案】（1），3
（2）解：列表、描点、连线画出函数图象，如图所示：
（3）当时，函数的最小值为（不唯一）
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴当时，；
当时，，
故答案为：，3．
（3）解：根据函数图象可知，存在最小值，即当时，函数的最小值为．
故答案为：当时，函数的最小值为（不唯一）．
【分析】（1）利用函数的解析式将对应的x的值直接代入解析式求解即可；
（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：∵，
∴当时，；
当时，，
故答案为：，3．
（2）解：列表、描点、连线画出函数图象，如图所示：
（3）解：根据函数图象可知，存在最小值，即当时，函数的最小值为．
故答案为：当时，函数的最小值为（不唯一）．
23．【答案】（1）解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为.
（2）解：设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为，利用“ 2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件 ”列出方程，再求解即可；
（2）设售价应降低元，利用“ 使每天销售获利1200元 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低20元．
24．【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为；
（2）解：①∵长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，
∴设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵收纳盒的高为厘米，，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，先用x表示出底面的长与宽，根据面积的计算公式列式即可求解；
（2） ① 设收纳盒的高为a厘米，结合图示用a表示出收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列出方程求解，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
25．【答案】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；

（2）解：当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）解：设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入二次函数表达式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式可得，设，则，，根据两点间距离可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，则，设直线的解析式为，将P，Q坐标代入解析式可得，再将代入解析式可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
1 / 1贵州省遵义市汇川区2025-2026学年上学期(第一次)质量监测九年级数学试卷
1．（2025九上·汇川月考）下列选项中，属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．，是一次函数，故本选项错误；
B．，是反比例函数，故本选项错误；
C．，是二次函数，故本选项正确；
D．，是一元二次方程，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）逐项分析判断即可.
2．（2025九上·汇川月考）若方程的两个根是和，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程中，二次项系数，一次项系数．
根据根与系数的关系，两根之和为：．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）求解即可.
3．（2025九上·汇川月考）若关于的函数是二次函数，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．或2 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：关于的函数是二次函数，
且，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）可得：且，再分析求解即可.
4．（2025九上·汇川月考）方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　)
A．m＝1，n＝5 B．m＝﹣1，n＝5
C．m＝2，n＝5 D．m＝﹣2，n＝3
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，
（x+1）2＝5，
∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5，
故答案为：A．
【分析】先利用配方法将方程配方成（x+1）2＝5，可得m＝1，n＝5，从而得解.
5．（2025九上·汇川月考） 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等，
∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0，
解得：a=2．
故答案为： C.
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ=0，可列出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．
6．（2025九上·汇川月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队需与其他个队比赛一场，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为，
根据题意，总场数为场，
故方程为．
故答案为：B．
【分析】 设比赛组织者应邀请个队参赛，利用“ 赛程计划安排7天，每天安排4场比赛 ”总场数为场，列出方程即可．
7．（2025九上·汇川月考）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可得，，
∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上，
又∵的图象的对称轴为轴，
只有选项B的图象符合，
故答案为：B．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）分析求解即可.
8．（2025九上·汇川月考）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由可得：，，．
∴该一元二次方程为：．
故答案为：A．
【分析】根据求根公式并结合题意即可求解．
9．（2025九上·汇川月考）嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项．因而得到方程的两个根是和；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据得，
由得，当时，一元二次方程的一次项系数为6，
由得，当时，一元二次方程的常数项为6，
∴该一元二次方程为，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（）分析求解即可.
10．（2025九上·汇川月考）如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（　　）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：
或
解得或8
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴．
∴方程的正数解是线段的长．
故答案为：C．
【分析】求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，根据勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2025九上·汇川月考）下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x 0 1 2 3
y 0 3 4 3 m
下列关于这个二次函数的结论中，不正确的是（　　）
A．图象开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知当和时，函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确；
∵时，最大，
∴抛物线开口向下；当时，y随x的增大而增大；故A正确，C错误；
∵，
∴当与时，y值相等，
∵时，，
∴时，，故D正确；
故答案为：C．
【分析】根据表格中的数据先求出抛物线的对称轴为直线，可得顶点坐标为，再求出抛物线开口向下，最后利用二次函数的性质逐项分析判断即可.
12．（2025九上·汇川月考）关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（　　）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口方向由系数a决定．若，开口向上；若，开口向下．因a的正负未知，故①错误．
②顶点式为，对称轴为．此处，对称轴为，故②正确．
③当时，函数有最小值2；当时，有最大值2．因未明确a的正负，无法确定是否有最小值，故③错误．
④由题意可得顶点坐标为，无论a为何值，抛物线必过顶点，故④正确．
⑤当时，时y随x增大而减小；当时，时y随x增大而增大．因a的正负未知，无法确定增减性，故⑤错误．
综上，正确的说法为②和④，共2个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
13．（2025九上·汇川月考）关于x的一元二次方程的解为　 　．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
14．（2025九上·汇川月考）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意，得：，，
∴，
∴
；
故答案为：0．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出，，再将其代入计算即可.
15．（2025九上·汇川月考）已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数可知，对称轴为直线，，
∴当时，二次函数有最小值，
由，根据距离对称轴越远，函数值越大，
∴当时，，
∴当时，函数的取值范围为，
故答案为：．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再将x=-1、x=2和对称轴分别代入解析式求出y的值，再结合二次函数的性质求出y的取值范围即可.
16．（2025九上·汇川月考）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵，
∴，那么最大值与最小值的差为： ．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ．
情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，
∴此时，最大值与最小值的差为： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，
∵ ，解得 ．
情况三：当，即 时，
当时，．
当时，函数值 ；
当时，函数值 ．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述， 或
故答案为：或.
【分析】分类讨论：①当，即 时，②当 时，③当，即 时，再分别求出一次函数与二次函数的最大值与最小值的差并列出方程求解即可.
17．（2025九上·汇川月考）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）
或
，
（2）
或
，
18．（2025九上·汇川月考）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
即
解得：；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式：，然后代入数据，最后再进行化简即可求证。
（2）根据韦达定理，求出和的值，然后再 进行变形，然后代入即可求解。
19．（2025九上·汇川月考）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象．
（1）___________，___________，___________；
（2）写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案】（1），，
（2）解：二次函数，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，即，
，，．
故答案为：，，.
【分析】（1）利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减可得，再求解即可；
（2）利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）分析求解即可.
（1）解：由题意得：
把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，即，
，，．
（2）二次函数，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
20．（2025九上·汇川月考）数学活动：某校学生对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点．第行有个点……容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：）
（1）求三角形点阵中前10行的点数和；
（2）若三角形点阵中前行的点数之和为136，求的值．
【答案】（1）解：．
答：三角形点阵中前10行的点数和为55．
（2）解：三角形点阵中前行的点数之和为：，
∵前a行的点数之和为136，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：的值为16．
【知识点】探索数与式的规律；一元二次方程的应用-几何问题；有理数的巧算；探索规律-图形的个数规律
【解析】【分析】（1）根据图形中点的规律列出算式，再求解即可；
（2）根据（1）的规律可列出方程，再求解即可.
（1）．
答：三角形点阵中前10行的点数和为55．
（2）三角形点阵中前行的点数之和为：，
∵前a行的点数之和为136，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：的值为16．
21．（2025九上·汇川月考）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．
（1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽；
（2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：电动车车棚的长为，宽为．
（2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下：
设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
，
原方程无解，
不能围成占地面积为的电动车车棚．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设车棚宽为，则车棚长为，利用“ 车棚占地面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设车棚宽为，则车棚长为，利用“ 车棚占地面积为 ”列出方程求解即可.
（1）解：设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：电动车车棚的长为，宽为．
（2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下：
设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
，
原方程无解，
不能围成占地面积为的电动车车棚．
22．（2025九上·汇川月考）在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题
（1）列表：
… 0 1 2 …
… 2 2 …
写出表中的值：___________，___________；
（2）描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：___________．
【答案】（1），3
（2）解：列表、描点、连线画出函数图象，如图所示：
（3）当时，函数的最小值为（不唯一）
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴当时，；
当时，，
故答案为：，3．
（3）解：根据函数图象可知，存在最小值，即当时，函数的最小值为．
故答案为：当时，函数的最小值为（不唯一）．
【分析】（1）利用函数的解析式将对应的x的值直接代入解析式求解即可；
（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）结合函数图象直接分析求解即可.
（1）解：∵，
∴当时，；
当时，，
故答案为：，3．
（2）解：列表、描点、连线画出函数图象，如图所示：
（3）解：根据函数图象可知，存在最小值，即当时，函数的最小值为．
故答案为：当时，函数的最小值为（不唯一）．
23．（2025九上·汇川月考）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为.
（2）解：设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为，利用“ 2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件 ”列出方程，再求解即可；
（2）设售价应降低元，利用“ 使每天销售获利1200元 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低20元．
24．（2025九上·汇川月考）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为．
①该收纳盒的高是多少？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为；
（2）解：①∵长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，
∴设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵收纳盒的高为厘米，，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，先用x表示出底面的长与宽，根据面积的计算公式列式即可求解；
（2） ① 设收纳盒的高为a厘米，结合图示用a表示出收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列出方程求解，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
25．（2025九上·汇川月考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；

（2）解：当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）解：设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入二次函数表达式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式可得，设，则，，根据两点间距离可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，则，设直线的解析式为，将P，Q坐标代入解析式可得，再将代入解析式可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
1 / 1

展开更多......

收起↑