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广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八上·潮阳期末）下列四个手机图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·潮阳期末）等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　）
A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm
3．（2025八上·潮阳期末）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·潮阳期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2025八上·潮阳期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·潮阳期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．3 C． D．0
7．（2025八上·潮阳期末）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩为原来的大3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
8．（2025八上·潮阳期末）已知，则（　　）
A．16 B．25 C．32 D．64
9．（2025八上·潮阳期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
10．（2025八上·潮阳期末）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（　　）
①；②；③；④平分；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八上·潮阳期末）因式分解：　 　．
12．（2025八上·潮阳期末）代数式有意义时，x应满足的条件为　 　．
13．（2025八上·潮阳期末）如图，已知是等边三角形，点D、E在的延长线上，G是上一点，且，F是上一点，且，则　 　度．
14．（2025八上·潮阳期末）若且，则代数式的值等于　 　．
15．（2025八上·潮阳期末）如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，则的最小值是　 　
三、解答题：（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八上·潮阳期末）先化简，再求值：，其中．
17．（2025八上·潮阳期末）如图，已知，，，求的度数．
18．（2025八上·潮阳期末）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
（1）直接写出的面积 ；
（2）已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出；
（3）点与点关于x轴对称，求的值．
四、解答题：（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八上·潮阳期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽；
（2）把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽．
20．（2025八上·潮阳期末）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作，
（1）求证：
（2）如图连接交于E．求证：
（3）若，，求的面积．
21．（2025八上·潮阳期末）为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍．
（1）求A，B文具的单价；
（2）为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？
五、解答题：（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22．（2025八上·潮阳期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号）
①； ②； ③； ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
23．（2025八上·潮阳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是　 　；
（2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+4=10cm，
②4cm是腰长时，能组成三角形，周长=4+4+3=11cm，
所以，它的周长是10cm或11cm．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①3cm是腰长时，②4cm是腰长时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式计算即可。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指把一个数表示成a×10n的形式（1≤|a|＜10，n 为整数。）。根据科学记数法的定义计算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项错误，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据单项式除以单项式、幂的乘方、同底数幂的积、积的乘方计算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：．
故选：A．
【分析】根据分式值为0的条件，分式有意义的条件即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵和都扩大为原来的3倍，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据和都扩大为原来的3倍再代入化简求解即可.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∴，
∴，
故选：D
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故选：C．
【分析】起吊物体前，设，根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质可得，物体被吊起后，根据角之间的关系可得，由题意可得，再根据三角形外角性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，
故结论①正确；
根据已知条件不能推出，
故结论②错误；
如图，延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，故结论③正确；
，即平分，故结论④正确；
综上所述，正确的结论有，共个，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式因式分解求解即可.
12．【答案】x≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x 1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，求出分母x 1≠0，最后计算求解即可.
13．【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
同理可得：.
故答案为：15.
【分析】根据等边三角形的性质求出，再根据求出，最后计算求解即可.
14．【答案】-3
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：原式=
∵且，
∴值为
故答案为：-3.
【分析】根据多项式乘以多项式计算原式得到，进而把，代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，，交于点，
，，
是等边三角形，
平分，
，，
，
，
当，，三点共线时，最小，
是等边三角形，是的中点，
，
连接并延长交于，
等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，
，，
，，
，
，
，
最小值为．
故答案为：.
【分析】根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再求出当，，三点共线时，最小，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
16．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再将x=3代入计算求解即可.
17．【答案】解：，，
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出，，再根据三角形的内角和定理计算求解即可.
18．【答案】（1）6
（2）解：如图；
（3）解：∵点与点关于x轴对称，
，，
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（1）解：由图可知，，
故答案为：6；
【分析】（1）根据网格得出的底和高，结合三角形面积即可求出答案.
（2）根据y轴对称的点的坐标特征作出A1，B1，C1，再依次连接即可求出答案.
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出a和b的值，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：由图可知，，
故答案为：6；
（2）解：如图；
（3）解：∵点与点关于x轴对称，
，，
．
19．【答案】（1）解：长方形的长为：，
长方形的宽为：；
（2）解：另一个长方形的宽：
．
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，运用整式的加减法运算求解即可；
（2）根据题意列出关系式，再运用整式的除法运算法则计算求解即可.
（1）解：长方形的长为：，
长方形的宽为：；
（2）解：另一个长方形的宽：
．
20．【答案】（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据全等三角形性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
21．【答案】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元；
（2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买了A文具30件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）设购买A文具m件，则购买B文具件，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元；
（2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买了A文具30件．
22．【答案】（1）①③
（2）解：
；
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴①是和谐分式；
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质，
∴②不是和谐分式；
∵，
∴③是和谐分式；
∵，
∴④不是和谐分式；
【分析】（1）依据和谐分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）依据和谐分式的定义化简即可求出答案.
（3）依据和谐分式的定义，结合分式的混合运算即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，过作轴于，则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于，
，
，
平分，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，，，
，
即．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：，，，
，，
，，
，
，，
如图，过点作轴于，
则，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出，，再利用AAS求出，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据等腰直角三角形的判定方法求出是等腰直角三角形，再求出，最后证明求解即可；
（3）根据角平分线的性质求出DM=DG，再根据HL证明，最后利用全等三角形的性质求解即可.
（1）解：，，，
，，
，，
，
，，
如图，过点作轴于，
则，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图，过作轴于，则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于，
，
，
平分，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，，，
，
即．
1 / 1广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八上·潮阳期末）下列四个手机图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
B、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴.
2．（2025八上·潮阳期末）等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　）
A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+4=10cm，
②4cm是腰长时，能组成三角形，周长=4+4+3=11cm，
所以，它的周长是10cm或11cm．
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①3cm是腰长时，②4cm是腰长时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式计算即可。
3．（2025八上·潮阳期末）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指把一个数表示成a×10n的形式（1≤|a|＜10，n 为整数。）。根据科学记数法的定义计算求解即可.
4．（2025八上·潮阳期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。
5．（2025八上·潮阳期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不符合题意；
B．，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项错误，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据单项式除以单项式、幂的乘方、同底数幂的积、积的乘方计算求解即可.
6．（2025八上·潮阳期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A． B．3 C． D．0
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：．
故选：A．
【分析】根据分式值为0的条件，分式有意义的条件即可求出答案.
7．（2025八上·潮阳期末）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．扩为原来的大3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵和都扩大为原来的3倍，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据和都扩大为原来的3倍再代入化简求解即可.
8．（2025八上·潮阳期末）已知，则（　　）
A．16 B．25 C．32 D．64
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∴，
∴，
故选：D
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
9．（2025八上·潮阳期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故选：C．
【分析】起吊物体前，设，根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质可得，物体被吊起后，根据角之间的关系可得，由题意可得，再根据三角形外角性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2025八上·潮阳期末）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（　　）
①；②；③；④平分；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，
故结论①正确；
根据已知条件不能推出，
故结论②错误；
如图，延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，故结论③正确；
，即平分，故结论④正确；
综上所述，正确的结论有，共个，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可.
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八上·潮阳期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式因式分解求解即可.
12．（2025八上·潮阳期末）代数式有意义时，x应满足的条件为　 　．
【答案】x≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x 1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，求出分母x 1≠0，最后计算求解即可.
13．（2025八上·潮阳期末）如图，已知是等边三角形，点D、E在的延长线上，G是上一点，且，F是上一点，且，则　 　度．
【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
同理可得：.
故答案为：15.
【分析】根据等边三角形的性质求出，再根据求出，最后计算求解即可.
14．（2025八上·潮阳期末）若且，则代数式的值等于　 　．
【答案】-3
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：原式=
∵且，
∴值为
故答案为：-3.
【分析】根据多项式乘以多项式计算原式得到，进而把，代入计算即可.
15．（2025八上·潮阳期末）如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，则的最小值是　 　
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：在上截取，连接，，，交于点，
，，
是等边三角形，
平分，
，，
，
，
当，，三点共线时，最小，
是等边三角形，是的中点，
，
连接并延长交于，
等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，
，，
，，
，
，
，
最小值为．
故答案为：.
【分析】根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，再求出当，，三点共线时，最小，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
三、解答题：（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八上·潮阳期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再将x=3代入计算求解即可.
17．（2025八上·潮阳期末）如图，已知，，，求的度数．
【答案】解：，，
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出，，再根据三角形的内角和定理计算求解即可.
18．（2025八上·潮阳期末）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．
（1）直接写出的面积 ；
（2）已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出；
（3）点与点关于x轴对称，求的值．
【答案】（1）6
（2）解：如图；
（3）解：∵点与点关于x轴对称，
，，
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（1）解：由图可知，，
故答案为：6；
【分析】（1）根据网格得出的底和高，结合三角形面积即可求出答案.
（2）根据y轴对称的点的坐标特征作出A1，B1，C1，再依次连接即可求出答案.
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出a和b的值，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：由图可知，，
故答案为：6；
（2）解：如图；
（3）解：∵点与点关于x轴对称，
，，
．
四、解答题：（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八上·潮阳期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽；
（2）把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽．
【答案】（1）解：长方形的长为：，
长方形的宽为：；
（2）解：另一个长方形的宽：
．
【知识点】整式的加减运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，运用整式的加减法运算求解即可；
（2）根据题意列出关系式，再运用整式的除法运算法则计算求解即可.
（1）解：长方形的长为：，
长方形的宽为：；
（2）解：另一个长方形的宽：
．
20．（2025八上·潮阳期末）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作，
（1）求证：
（2）如图连接交于E．求证：
（3）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据全等三角形性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
21．（2025八上·潮阳期末）为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍．
（1）求A，B文具的单价；
（2）为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？
【答案】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元；
（2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买了A文具30件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）设购买A文具m件，则购买B文具件，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元；
（2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买了A文具30件．
五、解答题：（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22．（2025八上·潮阳期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号）
①； ②； ③； ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
【答案】（1）①③
（2）解：
；
（3）解：的结果是“和谐分式”．
∴该分式是和谐分式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴①是和谐分式；
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质，
∴②不是和谐分式；
∵，
∴③是和谐分式；
∵，
∴④不是和谐分式；
【分析】（1）依据和谐分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）依据和谐分式的定义化简即可求出答案.
（3）依据和谐分式的定义，结合分式的混合运算即可求出答案.
23．（2025八上·潮阳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是　 　；
（2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由．
【答案】（1）
（2）证明：如图，过作轴于，则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于，
，
，
平分，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，，，
，
即．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：，，，
，，
，，
，
，，
如图，过点作轴于，
则，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出，，再利用AAS求出，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据等腰直角三角形的判定方法求出是等腰直角三角形，再求出，最后证明求解即可；
（3）根据角平分线的性质求出DM=DG，再根据HL证明，最后利用全等三角形的性质求解即可.
（1）解：，，，
，，
，，
，
，，
如图，过点作轴于，
则，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图，过作轴于，则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于，
，
，
平分，，，
，
，
，
同理可得：，
，
，，，
，
即．
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