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广东省广州市 华南师范大学附属中学2024~2025学年上学期八年级数学期末考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（2025八上·广州期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·广州期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·广州期末）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （　　）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．（2025八上·广州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·广州期末）如图，是的边上的高．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·广州期末）已知：，化简的结果是（　　）
A．64 B．72 C．56 D．16
7．（2025八上·广州期末）如图，在中，，AD平分，DE垂直平分AC，若的面积等于2，则的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2025八上·广州期末）如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题有2个小题，每小题4分，共8分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9．（2025八上·广州期末）如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，下列结论不正确的是（　　）
A．
B．
C．连接，则所在的直线垂直平分
D．四边形的面积与的面积相等
10．（2025八上·广州期末）如图，和均为等边三角形，的延长线交于点，连接，有以下结论：其中正确结论的序号是（　　）
A． B． C．平分 D．
三、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（2025八上·广州期末）因式分解： =　 　．
12．（2025八上·广州期末）如图，在中，，，点为的中点，则　 　．
13．（2025八上·广州期末）如图，，点在线段上，若，，则的长为　 　．
14．（2025八上·广州期末）若，则的结果是　 　．
15．（2025八上·广州期末）若关于的方程的解为，则的值是　 　．
16．（2025八上·广州期末）如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为　 　．
四、解答题（本大题有9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17．（2025八上·广州期末）计算：
18．（2025八上·广州期末）已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：．
19．（2025八上·广州期末）先化简，再求值：，其中是不大于3的正整数．
20．（2025八上·广州期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）若与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
（3）在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
21．（2025八上·广州期末）如图，在中，．
（1）尺规作图：在边上求作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数．
22．（2025八上·广州期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米．
（1）求“致远号”的行驶速度；
（2）如果将“领航号”的赛道长增加；“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗 通过计算说明．
23．（2025八上·广州期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，．
（1）若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由：
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
24．（2025八上·广州期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示．
户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示．
解答下列问题：
（1）设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由；
（2）若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由．
25．（2025八上·广州期末）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点．
（1）如图1，连接，当是四边形的对称轴时，求线段的长；
（2）如图2，点是的中点，点为线段上的一个动点，连接、，当最小时，的长为　 　；
（3）如图3，若，点是的中点，将沿翻折至，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：. 该图形不是中心对称图形，不合题意；
. 该图形不是中心对称图形，不合题意；
. 该图形不是中心对称图形，不合题意；
. 该图形是中心对称图形，符合题意；
故答案为：．
【分析】一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形是中心对称图形. 根据中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：若，可得：；
故等式只有当时才成立，故A不符合题意；
若，可得或；
故等式只有当或时才成立，故B不符合题意；
当时，分式无意义，故C不符合题意；
∵分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，
∴，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形边数是n，根据题意及多边形内角和公式得：
解得：
故这个多边形是四边形．
故选：B.
【分析】本题着重考查了多边形的内角和与外角和.多边形内角和公式是解决本题的关键，外角和为是一个重要的性质.在解决本题时，准确运用这些知识，通过列方程求解，能够有效解决问题.本题充分体现了多边形内角和与外角和在几何问题中的应用，是对基础知识的考查.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式；多项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，符合题意；
B. ，原运算错误，不符合题意；
C. ，原运算错误，不符合题意；
D. ，原运算错误，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，多项式乘以多项式和多项式除以单项式计算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是的边上的高．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后利用三角形的外角计算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
故选：B．
【分析】根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：由题意：中，，AD平分，DE垂直平分AC，
可得：在与中，，，AD=AD，
∴≌
在与中，AD=CD，AE=CE，DE=DE，
∴≌，
∵的面积等于2，
∴的面积等于1，
∴的面积为3，
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法求出≌，≌，再求出的面积等于1，最后计算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：延长，交于点，如图所示：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，设其为；
∵
，
∴，
即，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线求出，再根据全等三角形的判定方法求出，再利用三角形的面积公式计算求解即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：在和中，
，
，故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，故B正确，不符合题意；
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
直线是的垂直平分线，
即所在的直线垂直平分，故C正确，不符合题意；
④当时，则，
在和中，
，
，
，
，
由于缺乏条件，故不能判定，故D错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质等，结合图形，对每个选项逐一判断求解即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故A正确；
过A作于M，于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，都为直角三角形，
∴，
∴，
∴，，，
∴平分，故C正确；
当E与C点重合时，F与B重合，
此时，，
∴与不相等，故B错误；
∵，
∵，，
∴和都为直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，都为直角三角形，
∴，
∴，
即，故D正确．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质等对每个选项逐一判断求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】首先进行提取公因式x，然后再利用平方差公式进行因式分解.原式=x( )=x(y+2)(y-2).
【分析】因为多项式的各项都含有共同的因式x，所以提公因式x，然后用平方差公式分解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出，，再求出，最后利用三角形的内角和定理计算求解即可.
13．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差计算．根据，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出HG的长.
14．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：8.
【分析】根据幂的乘方及同底数的乘法计算法则对原式化简得：进而把代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴的值是；
故答案为：.
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入原方程可得关于字母a的分式方程，然后去分母将新分式方程转化为整式方程，解整式方程求出a的值，再检验即可.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，
∵绕点顺时针方向旋转得到，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，
∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，
∴∠EDC=∠FDG，
∵△DEF是等边三角形，
∴CD=GD，
∴△ECD≌△FGD，
∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，
∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，
如图，当旋转到BF∥DG时，BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，
∵∠FGD=90°，
∴四边形FGDH是矩形，
∴∠GDH=90°，GD=FH=2，
∵∠GDC=60°，
∴∠BDH=30°，
∵BD=BC-CD=5-2=3，
∴BH=，
∴BF=FH+BH=2+=，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质求出△DEF是等边三角形，再根据全等三角形的判定方法求出△ECD≌△FGD，最后根据矩形的判定与性质计算求解即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂；分式的乘方
【解析】【分析】利用负整数指数幂和分式的乘方以及分式的乘除法计算求解即可.
18．【答案】证明：∵，，
∴．
在和中
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据题意先求出，再利用HL证明三角形全等即可.
19．【答案】解：原式
∵，
∴且且，
∵是不大于3的正整数．
∴，
∴原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，结合分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）
（3）解：如图所示：
点即为所求，．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；中心对称及中心对称图形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，
故答案为：；
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据中心对称性质即可求出答案.
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点.
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
点即为所求，．
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出，再根据角平分线求出，最后根据三角形内角和定理计算求解即可.
（1）解：如图所示：
（2）解：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴
22．【答案】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒；
（2）解：不能同时到达．
设调整后“领航号”的行驶路程为（米），
“领航号”到达终点所用的时间为（秒），
“致远号”到达终点所用的时间为（秒），
两车不能同时到达．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，再比较时间可以得出结果.
（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒；
（2）解：不能同时到达．
设调整后“领航号”的行驶路程为（米），
“领航号”到达终点所用的时间为（秒），
“致远号”到达终点所用的时间为（秒），
两车不能同时到达．
23．【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵．
∴，
即，
∴是等边三角形.
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定方法求出垂直平分，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的性质计算求解即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵．
∴，即，
∴是等边三角形，
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
24．【答案】（1）解：，理由如下：
由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米，
∴（平方米），
户型一的入户花园的面积为平方米，
户型二的入户花园的面积为平方米，
∴平方米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：户型二的单价较低，理由如下：户型一的单价为：万元平方米，
户型二的单价为：万元平方米，
∵
，
∵，
∴，，，
∴，
即，
∴户型二的单价较低．
【知识点】整式的加减运算；分式的加减法；整式的大小比较
【解析】【分析】（1）根据题意先求出（平方米），再求出平方米，最后计算求解即可；
（2）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法计算求解即可.
（1）解：，理由如下：
由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米，
∴平方米，
户型一的入户花园的面积为平方米，
户型二的入户花园的面积为平方米，
∴平方米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：户型二的单价较低，理由如下：
户型一的单价为：万元平方米，
户型二的单价为：万元平方米，
∵
，
∵，
∴，，，
∴，
即，
∴户型二的单价较低．
25．【答案】（1）解：由题意得：，若是四边形的对称轴，则，
∴.
（2）1.5
（3）解：连接，由题意得：，
∴，
∴；
由翻折可知：，
∴，；
∴；
设，则；
时，
则，
∵，
∴，
解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
时，
，
∵，
∴，
解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或.
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：∵平分，
∴点关于的对称点在上，
如图所示：
∴，
当时，此时有最小值，故最小；
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】
（1）先求出，再求出，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据角平分线求出点关于的对称点在上，再求出，最后求出即可作答；
（3）根据折叠的性质求出，再分类讨论，结合图形计算求解即可.
（1）解：由题意得：，
若是四边形的对称轴，则，
∴
（2）解：∵平分，
∴点关于的对称点在上，如图所示：
∴，
当时，此时有最小值，故最小；
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：连接，由题意得：，
∴，
∴；
由翻折可知：，
∴，；
∴；
设，则；
时，
则，
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
时，
，
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或
1 / 1广东省广州市 华南师范大学附属中学2024~2025学年上学期八年级数学期末考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（2025八上·广州期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：. 该图形不是中心对称图形，不合题意；
. 该图形不是中心对称图形，不合题意；
. 该图形不是中心对称图形，不合题意；
. 该图形是中心对称图形，符合题意；
故答案为：．
【分析】一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形是中心对称图形. 根据中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．（2025八上·广州期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：若，可得：；
故等式只有当时才成立，故A不符合题意；
若，可得或；
故等式只有当或时才成立，故B不符合题意；
当时，分式无意义，故C不符合题意；
∵分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，
∴，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质对每个选项逐一判断求解即可.
3．（2025八上·广州期末）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （　　）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形边数是n，根据题意及多边形内角和公式得：
解得：
故这个多边形是四边形．
故选：B.
【分析】本题着重考查了多边形的内角和与外角和.多边形内角和公式是解决本题的关键，外角和为是一个重要的性质.在解决本题时，准确运用这些知识，通过列方程求解，能够有效解决问题.本题充分体现了多边形内角和与外角和在几何问题中的应用，是对基础知识的考查.
4．（2025八上·广州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式；多项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，符合题意；
B. ，原运算错误，不符合题意；
C. ，原运算错误，不符合题意；
D. ，原运算错误，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，多项式乘以多项式和多项式除以单项式计算求解即可.
5．（2025八上·广州期末）如图，是的边上的高．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是的边上的高．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后利用三角形的外角计算求解即可.
6．（2025八上·广州期末）已知：，化简的结果是（　　）
A．64 B．72 C．56 D．16
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
故选：B．
【分析】根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
7．（2025八上·广州期末）如图，在中，，AD平分，DE垂直平分AC，若的面积等于2，则的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：由题意：中，，AD平分，DE垂直平分AC，
可得：在与中，，，AD=AD，
∴≌
在与中，AD=CD，AE=CE，DE=DE，
∴≌，
∵的面积等于2，
∴的面积等于1，
∴的面积为3，
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法求出≌，≌，再求出的面积等于1，最后计算求解即可.
8．（2025八上·广州期末）如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：延长，交于点，如图所示：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，设其为；
∵
，
∴，
即，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线求出，再根据全等三角形的判定方法求出，再利用三角形的面积公式计算求解即可.
二、多项选择题（本题有2个小题，每小题4分，共8分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9．（2025八上·广州期末）如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，下列结论不正确的是（　　）
A．
B．
C．连接，则所在的直线垂直平分
D．四边形的面积与的面积相等
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：在和中，
，
，故A正确，不符合题意；
，
，
，
，
，故B正确，不符合题意；
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
直线是的垂直平分线，
即所在的直线垂直平分，故C正确，不符合题意；
④当时，则，
在和中，
，
，
，
，
由于缺乏条件，故不能判定，故D错误，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质等，结合图形，对每个选项逐一判断求解即可.
10．（2025八上·广州期末）如图，和均为等边三角形，的延长线交于点，连接，有以下结论：其中正确结论的序号是（　　）
A． B． C．平分 D．
【答案】A,C,D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故A正确；
过A作于M，于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，都为直角三角形，
∴，
∴，
∴，，，
∴平分，故C正确；
当E与C点重合时，F与B重合，
此时，，
∴与不相等，故B错误；
∵，
∵，，
∴和都为直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，都为直角三角形，
∴，
∴，
即，故D正确．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质等对每个选项逐一判断求解即可.
三、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（2025八上·广州期末）因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】首先进行提取公因式x，然后再利用平方差公式进行因式分解.原式=x( )=x(y+2)(y-2).
【分析】因为多项式的各项都含有共同的因式x，所以提公因式x，然后用平方差公式分解即可。
12．（2025八上·广州期末）如图，在中，，，点为的中点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出，，再求出，最后利用三角形的内角和定理计算求解即可.
13．（2025八上·广州期末）如图，，点在线段上，若，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差计算．根据，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出HG的长.
14．（2025八上·广州期末）若，则的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：8.
【分析】根据幂的乘方及同底数的乘法计算法则对原式化简得：进而把代入计算即可.
15．（2025八上·广州期末）若关于的方程的解为，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴的值是；
故答案为：.
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入原方程可得关于字母a的分式方程，然后去分母将新分式方程转化为整式方程，解整式方程求出a的值，再检验即可.
16．（2025八上·广州期末）如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，
∵绕点顺时针方向旋转得到，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，
∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，
∴∠EDC=∠FDG，
∵△DEF是等边三角形，
∴CD=GD，
∴△ECD≌△FGD，
∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，
∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，
如图，当旋转到BF∥DG时，BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，
∵∠FGD=90°，
∴四边形FGDH是矩形，
∴∠GDH=90°，GD=FH=2，
∵∠GDC=60°，
∴∠BDH=30°，
∵BD=BC-CD=5-2=3，
∴BH=，
∴BF=FH+BH=2+=，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质求出△DEF是等边三角形，再根据全等三角形的判定方法求出△ECD≌△FGD，最后根据矩形的判定与性质计算求解即可.
四、解答题（本大题有9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17．（2025八上·广州期末）计算：
【答案】解：
．
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂；分式的乘方
【解析】【分析】利用负整数指数幂和分式的乘方以及分式的乘除法计算求解即可.
18．（2025八上·广州期末）已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴．
在和中
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据题意先求出，再利用HL证明三角形全等即可.
19．（2025八上·广州期末）先化简，再求值：，其中是不大于3的正整数．
【答案】解：原式
∵，
∴且且，
∵是不大于3的正整数．
∴，
∴原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，结合分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
20．（2025八上·广州期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）若与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
（3）在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）
（3）解：如图所示：
点即为所求，．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；中心对称及中心对称图形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，
故答案为：；
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据中心对称性质即可求出答案.
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点.
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
点即为所求，．
21．（2025八上·广州期末）如图，在中，．
（1）尺规作图：在边上求作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出，再根据角平分线求出，最后根据三角形内角和定理计算求解即可.
（1）解：如图所示：
（2）解：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴
22．（2025八上·广州期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米．
（1）求“致远号”的行驶速度；
（2）如果将“领航号”的赛道长增加；“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗 通过计算说明．
【答案】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒；
（2）解：不能同时到达．
设调整后“领航号”的行驶路程为（米），
“领航号”到达终点所用的时间为（秒），
“致远号”到达终点所用的时间为（秒），
两车不能同时到达．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，再比较时间可以得出结果.
（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒；
（2）解：不能同时到达．
设调整后“领航号”的行驶路程为（米），
“领航号”到达终点所用的时间为（秒），
“致远号”到达终点所用的时间为（秒），
两车不能同时到达．
23．（2025八上·广州期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，．
（1）若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由：
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵．
∴，
即，
∴是等边三角形.
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定方法求出垂直平分，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的性质计算求解即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵．
∴，即，
∴是等边三角形，
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
24．（2025八上·广州期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示．
户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示．
解答下列问题：
（1）设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由；
（2）若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米，
∴（平方米），
户型一的入户花园的面积为平方米，
户型二的入户花园的面积为平方米，
∴平方米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：户型二的单价较低，理由如下：户型一的单价为：万元平方米，
户型二的单价为：万元平方米，
∵
，
∵，
∴，，，
∴，
即，
∴户型二的单价较低．
【知识点】整式的加减运算；分式的加减法；整式的大小比较
【解析】【分析】（1）根据题意先求出（平方米），再求出平方米，最后计算求解即可；
（2）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法计算求解即可.
（1）解：，理由如下：
由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米，
∴平方米，
户型一的入户花园的面积为平方米，
户型二的入户花园的面积为平方米，
∴平方米，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：户型二的单价较低，理由如下：
户型一的单价为：万元平方米，
户型二的单价为：万元平方米，
∵
，
∵，
∴，，，
∴，
即，
∴户型二的单价较低．
25．（2025八上·广州期末）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点．
（1）如图1，连接，当是四边形的对称轴时，求线段的长；
（2）如图2，点是的中点，点为线段上的一个动点，连接、，当最小时，的长为　 　；
（3）如图3，若，点是的中点，将沿翻折至，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
【答案】（1）解：由题意得：，若是四边形的对称轴，则，
∴.
（2）1.5
（3）解：连接，由题意得：，
∴，
∴；
由翻折可知：，
∴，；
∴；
设，则；
时，
则，
∵，
∴，
解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
时，
，
∵，
∴，
解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或.
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：∵平分，
∴点关于的对称点在上，
如图所示：
∴，
当时，此时有最小值，故最小；
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】
（1）先求出，再求出，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据角平分线求出点关于的对称点在上，再求出，最后求出即可作答；
（3）根据折叠的性质求出，再分类讨论，结合图形计算求解即可.
（1）解：由题意得：，
若是四边形的对称轴，则，
∴
（2）解：∵平分，
∴点关于的对称点在上，如图所示：
∴，
当时，此时有最小值，故最小；
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：连接，由题意得：，
∴，
∴；
由翻折可知：，
∴，；
∴；
设，则；
时，
则，
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
时，
，
∵，
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或
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