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浙江省杭州市拱墅区安吉路实验中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷
1．（2025八上·拱墅月考） 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·拱墅月考） 已知三角形的两边长分别是 3 和 5，则第三边长a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·拱墅月考） 下列选项是不等式的是（　　）
A． B． C． D．1
4．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系中，点 关于 x 轴对称的点的坐标是（　　）
A．(-2，-3) B．(2，-3) C．(2，3) D．(-2，3)
5．（2025八上·拱墅月考） 如图，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·拱墅月考） 下列命题为真命题的是（　　）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．每个定理都有逆定理
C．等腰三角形的顶角一定是锐角
D．等腰三角形的底角必为锐角
7．（2025八上·拱墅月考）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（　　）
A．62 B．52 C．42 D．32
8．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系内，在第四象限，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·拱墅月考） 已知方程组的解满足，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·拱墅月考） 如图，在中，，将沿AD折叠至，，连接B'C，B'C平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八上·拱墅月考） 在中，，，则　 　度。
12．（2025八上·拱墅月考）点到轴的距离是　 　．
13．（2025八上·拱墅月考） 关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是　 　.
14．（2025八上·拱墅月考） 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是　 　.
15．（2025八上·拱墅月考） 已知x为正整数，且分式的值为正整数，则x可取的值是　 　.
16．（2025八上·拱墅月考） 如图，在Rt中，，CD是的角平分线，于点E，连接BE，，，，则的面积　 　.
17．（2025八上·拱墅月考） 解下列不等式(组)：
（1） .
（2）.
18．（2025八上·拱墅月考） 已知点 ，解答下列各题
（1） 点 在 轴上，直接写出点 的坐标为 ；
（2） 点 的坐标为 ，直线 轴，直接写出点 的坐标为　 　；
（3） 若点 在第一象限，且它到 轴的距离与 轴的距离相等，求 的值.
19．（2025八上·拱墅月考） 点E， C， F， B在一条直线上，，，，求证：.
20．（2025八上·拱墅月考） 先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.
21．（2025八上·拱墅月考） 如图所示，P、Q 是 的边 BC 边上的两点，且 BP=AP=AQ=CQ ，
（1） 若 ，求 的度数 .
（2） 求证： 是等腰三角形.
22．（2025八上·拱墅月考）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元：4台A型空调和5台B型空调，共需费用35000元.
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元：
（2）若学校计划采购A、B型号空调共40台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？
23．（2025八上·拱墅月考）【概念学习】在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：
若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点. 如下图中的P(-2，3)，Q(3，2)两点即为同距点.
（1）【理解概念】
如图，判断点B，C，D是否是点A的同距点；
（2）【深入探索】
若点是点A的同距点，求m的值；
（3）【拓展延伸】
已知点N(-2，-1)，若点F(a，b)为点N的同距点，且点F在第二象限，求出此时a，b之间的关系式.
24．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(0，4)，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E.
（1） 若C点坐标为(3，0)，求点E的坐标；
（2） 如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，求证：DO平分；
（3） 若点C在x轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形；
B：不是轴对称图形；
C：是轴对称图形；
D：不是轴对称图形，
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形值轴对称图形”逐项判断解答即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，
∴第三边a应该满足：5-3故答案为：C .
【分析】根据三角形三边关系列不等式解答即可.
3．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：A：是等式，不符合题意；
B：是不等式，符合题意；
C：是代数式，不符合题意；
D：是代数式，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据不等式的定义“用不等号连接表示不等关系的式子”逐项判断解答即可.
4．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P(-2，3)关于x轴对称的点的坐标是(-2，-3)，
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：因为
所以
所以
故答案为：A .
【分析】根据 得到 然后根据三角形的内角和定理解答即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A.三个角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题；
B.每个定理不一定有逆定理，是假命题；
C.等腰三角形的顶角不一定是锐角，是假命题；
D.等腰三角形的底角必为锐角，是真命题；
故答案为：D .
【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： △ABC中， BC=20，直线DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为32，
∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，
∴△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，
故选： B.
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键。由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周长.
8．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P(2x+6，x-5)在第四象限，
解得：-3故答案为：A .
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，据此解答即可.
9．【答案】C
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：
①+②得3x+3y=2+2m，
，
解得，
故答案为：C .
【分析】本题可将两式相加，得到3(x+y)关于m的式子，再根据x+y的取值，得出m的取值.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连结BB'，过点B'作 于点E， 于点F，
平分
由折叠性质可知
是等边三角形，
故答案为：D .
【分析】连结BB'，过点B'作 于点E， 于点F，根据角平分线的性质得到然后根据折叠的性质得到△BAB'是等边三角形，即可证明，进而证明，即可得到，然后根据三角形的外角解答即可.
11．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：中，
故答案为：70.
【分析】根据三角形内角和定理可直接解答.
12．【答案】3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（-3，4），
∴点P到y轴的距离为3，
故答案为：3.
【分析】利用点坐标的定义求解即可。
13．【答案】5
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：设“■”表示的数为a，
由题意得a-2x≥3，
解得
由数轴得到不等式的解集为x≤1(解集在界点1的左边，且界点1为实心点)，
故
解得a=5.
则“■”表示的数为5，
故答案为：5.
【分析】先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解.
14．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若 为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为
②若 为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：
∴这个等腰三角形的顶角的度数为： 或
故答案为： 或
【分析】由等腰三角形中有一个角等于 可分别从①若 为顶角与②若 为底角去分析求解，即可求得答案.
15．【答案】3或7
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
∵ 分式的值为正整数，
∴x-2的值为-5，1，或5，
解得x=-3（舍去），x=3，x=7，
故答案为：3或7 .
【分析】把分式化为，然后根据分式的值为正整数得到x-2的值为-5，1，或5，然后求出正整数x的值即可.
16．【答案】2.4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；等积变换
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点F，过点A作. 于点H，如图所示：
在中， B，BC=10，
由三角形的面积公式得：
∵CD是 的角平分线，
在 和 中，
，
故答案为：2.4.
【分析】延长AE交BC于点F， 过A作 于点H，先根据三角形的面积公式求出AH=4.8，证明 C和 全等得AE=FE，AC=FC=8，进而得BF=2，则 然后根据AE=FE得 由此即可得出答案.
17．【答案】（1）解：5x-2>3(x-2)
5x-2>3x-6
5x-3x>-6+2
2x> - 4
x > - 2
（2）解：
解不等式①得：x > - 2，
解不等式②得：x≤2，
所以不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可；
（2）分别解来年各个不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到解集的公共部分解答即可.
18．【答案】（1）解：由条件可知a+5=0，
∴a=-5，
∴2a+4=-6，
∴点P的坐标为(-6，0)；
（2）
（3）解：由条件可知点P的纵坐标和横坐标相等，
∴2a+4=a+5，
∴a=1，
【知识点】点的坐标与象限的关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】 (2)解：由条件可知2a+4=1，
∴a=，
∴a+5=；
∴；
故答案为：；
【分析】(1)根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答；
(2)根据直线PQ∥y轴，得出点P和点Q的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答；
(3)根据点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，得出点P的纵坐标和横坐标相等，即2a+4=a+5，解出a=1， 再把a=1代入 即可作答.
19．【答案】证明：在 和 中，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据ASA证明△ABC≌△DEF，即可得到BC=EF，再根据线段的和差解答即可.
20．【答案】解：解：原式
∵要使原式有意义，
∴
，
又 且x为非负整数，
∴x只能取1.
当x=1时，原式=1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把除法化为乘法，然后把分子、分母分解因式约分化简，再根据分式有意义的条件得到非负整数x的值，代入化简后的结果解答即可.
21．【答案】（1）解：∵ BP=AP ，
∴∠B=∠PAB=30°，
∴∠APQ=∠B+∠PAB=30°+30°=60°，
又∵AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°；
（2）证明：∵BP=AP，
∴∠B=∠BAP，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∵∠APQ是△ABP的外角，
∴∠APQ=∠B+∠BAP=2∠B，
∵∠AQP是△AQC的外角，
∴∠AQP=∠C+∠CAQ，
∵AQ=CQ，
∴∠C=∠CAQ，
∴∠AQP=2∠C，
∵∠APQ=∠AQP，
∴2∠B=2∠C，即∠B=∠C，
∴ AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠B=∠PAB，利用外角的性质得到∠APQ=60°，即可得到△APQ是等边三角形，进而求出∠PAQ的度数即可；
（2）根据等边对等角得到∠B=∠BAP，∠APQ=∠AQP，∠C=∠CAQ，进而得到∠B=∠C，再根据等角对等边证明即可.
22．【答案】（1）设B型空调每台需y元，A型空调每台需x元，
，
解得 ，
答：B型空调每台需3000元，A型空调每台需5000元；
（2）解：设采购A型空调m台，
解得
∵m为整数，
∴m=14或15或16.
∴该校共有三种采购方案：
方案一：采购A型空调16台，B型空调24台；
方案二：采购A型空调15台，B型空调25台；
方案三：采购A型空调14台，B型空调26台.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元，根据题意列出方程组解答即可求解；
(2)设采购A型空调m台，则采购B型空调(40-m)台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案.
23．【答案】（1）解：根据题意，得A(-3，1)， B(0，4)， C(5，-1)， D(2，2)，
点A到两坐标轴的距离之和为|-3|+|1|=3+1=4，
对于点B(0，4)，其到两坐标轴的距离之和为0+|4|=4，
∴点B是点A的同距点，
对于点C(5，-1)，其到两坐标轴的距离之和为|5|+|-1|=5+1=6≠4，
∴点C不是点A的同距点，
对于点D(2，2)，其到两坐标轴的距离之和为|2|+|2| =2+2=4，
∴点D是点A的同距点，
∴点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点；
（2）解：∵点E(m-1，-1)是点A的同距点，∵|m-1|+|-1|=|-3|+1，即|m-1|=3，当m-1>0，即m>1时，有m-1=3，解得m=4，
当m-1<0，即m<1时，有m-1=-3，解得m=-2，
∴m的值为4或-2；
（3）解：点N(-2，-1)到两坐标轴距离之和为|-2|+|-1|=2+1=3，
∵点F(a，b)在第二象限，
∴a<0， b>0，
∴点F到两坐标轴距离之和为|a|+|b|=-a+b，点F是点N的同距点，
∵-a+b=3，即b-a=3.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】(1)根据点在坐标系中的位置写出点的坐标即可；根据同距点的定义判断点B， C， D是否是点A的同距点即可；
(2)根据同距点的定义列出关于m的方程求解即可；
(3)根据同距点的定义求解即可.
24．【答案】（1）解：
在 和 中，
∴点C坐标为(3，0)，
∴E(0，3)；
（2）证明：如图2，过O作 于M，'于N，
由 (1) 知，
又AE=BC，
又
∴DO平分
（3）30°
【知识点】点的坐标；三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】（3）解：如图，延长DC至F， 使得CF =OC，
∴∠F =∠COF，
∴∠DCO=∠F+∠COF =2∠F，
∵OC+CD=AD，
∴CF+CD=AD，
即DF=AD，
由 (2) 知，
∠ADO =∠ODC，
∵OD=OD，
∴△ADO≌△FDO(SAS)，
∴∠F =∠OAE，
∵∠OAE=∠OBC，
∴∠F =∠OBC，
在△BOF中，
∠F+∠BOF+∠OBC =180°，
∴∠OBC+(90°+∠OBC)+∠OBC =180°，
∴∠OBC=30°.
【分析】(1)可证明△AOE≌△BOC， 从而得出OE=OC，进而求得；
(2)过O作OM⊥DA于M， ON⊥DC于N， 根据△AOE △BOC， 得， 从而得出OM = ON， 进而得证；
(3)延长DC至F， 是CF=OC， 从而得出△ADO≌△FDO， 进而得出∠OBC =∠F =∠COF， 在△BOF中，根据三角形内角和求得结果.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区安吉路实验中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷
1．（2025八上·拱墅月考） 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形；
B：不是轴对称图形；
C：是轴对称图形；
D：不是轴对称图形，
故答案为：C .
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形值轴对称图形”逐项判断解答即可.
2．（2025八上·拱墅月考） 已知三角形的两边长分别是 3 和 5，则第三边长a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，
∴第三边a应该满足：5-3故答案为：C .
【分析】根据三角形三边关系列不等式解答即可.
3．（2025八上·拱墅月考） 下列选项是不等式的是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：A：是等式，不符合题意；
B：是不等式，符合题意；
C：是代数式，不符合题意；
D：是代数式，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据不等式的定义“用不等号连接表示不等关系的式子”逐项判断解答即可.
4．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系中，点 关于 x 轴对称的点的坐标是（　　）
A．(-2，-3) B．(2，-3) C．(2，3) D．(-2，3)
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P(-2，3)关于x轴对称的点的坐标是(-2，-3)，
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可.
5．（2025八上·拱墅月考） 如图，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：因为
所以
所以
故答案为：A .
【分析】根据 得到 然后根据三角形的内角和定理解答即可.
6．（2025八上·拱墅月考） 下列命题为真命题的是（　　）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．每个定理都有逆定理
C．等腰三角形的顶角一定是锐角
D．等腰三角形的底角必为锐角
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A.三个角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题；
B.每个定理不一定有逆定理，是假命题；
C.等腰三角形的顶角不一定是锐角，是假命题；
D.等腰三角形的底角必为锐角，是真命题；
故答案为：D .
【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可。
7．（2025八上·拱墅月考）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（　　）
A．62 B．52 C．42 D．32
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： △ABC中， BC=20，直线DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为32，
∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，
∴△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，
故选： B.
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键。由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周长.
8．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系内，在第四象限，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P(2x+6，x-5)在第四象限，
解得：-3故答案为：A .
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，据此解答即可.
9．（2025八上·拱墅月考） 已知方程组的解满足，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：
①+②得3x+3y=2+2m，
，
解得，
故答案为：C .
【分析】本题可将两式相加，得到3(x+y)关于m的式子，再根据x+y的取值，得出m的取值.
10．（2025八上·拱墅月考） 如图，在中，，将沿AD折叠至，，连接B'C，B'C平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连结BB'，过点B'作 于点E， 于点F，
平分
由折叠性质可知
是等边三角形，
故答案为：D .
【分析】连结BB'，过点B'作 于点E， 于点F，根据角平分线的性质得到然后根据折叠的性质得到△BAB'是等边三角形，即可证明，进而证明，即可得到，然后根据三角形的外角解答即可.
11．（2025八上·拱墅月考） 在中，，，则　 　度。
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：中，
故答案为：70.
【分析】根据三角形内角和定理可直接解答.
12．（2025八上·拱墅月考）点到轴的距离是　 　．
【答案】3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（-3，4），
∴点P到y轴的距离为3，
故答案为：3.
【分析】利用点坐标的定义求解即可。
13．（2025八上·拱墅月考） 关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数是　 　.
【答案】5
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：设“■”表示的数为a，
由题意得a-2x≥3，
解得
由数轴得到不等式的解集为x≤1(解集在界点1的左边，且界点1为实心点)，
故
解得a=5.
则“■”表示的数为5，
故答案为：5.
【分析】先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解.
14．（2025八上·拱墅月考） 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是　 　.
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若 为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为
②若 为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：
∴这个等腰三角形的顶角的度数为： 或
故答案为： 或
【分析】由等腰三角形中有一个角等于 可分别从①若 为顶角与②若 为底角去分析求解，即可求得答案.
15．（2025八上·拱墅月考） 已知x为正整数，且分式的值为正整数，则x可取的值是　 　.
【答案】3或7
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
∵ 分式的值为正整数，
∴x-2的值为-5，1，或5，
解得x=-3（舍去），x=3，x=7，
故答案为：3或7 .
【分析】把分式化为，然后根据分式的值为正整数得到x-2的值为-5，1，或5，然后求出正整数x的值即可.
16．（2025八上·拱墅月考） 如图，在Rt中，，CD是的角平分线，于点E，连接BE，，，，则的面积　 　.
【答案】2.4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；等积变换
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点F，过点A作. 于点H，如图所示：
在中， B，BC=10，
由三角形的面积公式得：
∵CD是 的角平分线，
在 和 中，
，
故答案为：2.4.
【分析】延长AE交BC于点F， 过A作 于点H，先根据三角形的面积公式求出AH=4.8，证明 C和 全等得AE=FE，AC=FC=8，进而得BF=2，则 然后根据AE=FE得 由此即可得出答案.
17．（2025八上·拱墅月考） 解下列不等式(组)：
（1） .
（2）.
【答案】（1）解：5x-2>3(x-2)
5x-2>3x-6
5x-3x>-6+2
2x> - 4
x > - 2
（2）解：
解不等式①得：x > - 2，
解不等式②得：x≤2，
所以不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可；
（2）分别解来年各个不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到解集的公共部分解答即可.
18．（2025八上·拱墅月考） 已知点 ，解答下列各题
（1） 点 在 轴上，直接写出点 的坐标为 ；
（2） 点 的坐标为 ，直线 轴，直接写出点 的坐标为　 　；
（3） 若点 在第一象限，且它到 轴的距离与 轴的距离相等，求 的值.
【答案】（1）解：由条件可知a+5=0，
∴a=-5，
∴2a+4=-6，
∴点P的坐标为(-6，0)；
（2）
（3）解：由条件可知点P的纵坐标和横坐标相等，
∴2a+4=a+5，
∴a=1，
【知识点】点的坐标与象限的关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】 (2)解：由条件可知2a+4=1，
∴a=，
∴a+5=；
∴；
故答案为：；
【分析】(1)根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答；
(2)根据直线PQ∥y轴，得出点P和点Q的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答；
(3)根据点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，得出点P的纵坐标和横坐标相等，即2a+4=a+5，解出a=1， 再把a=1代入 即可作答.
19．（2025八上·拱墅月考） 点E， C， F， B在一条直线上，，，，求证：.
【答案】证明：在 和 中，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据ASA证明△ABC≌△DEF，即可得到BC=EF，再根据线段的和差解答即可.
20．（2025八上·拱墅月考） 先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.
【答案】解：解：原式
∵要使原式有意义，
∴
，
又 且x为非负整数，
∴x只能取1.
当x=1时，原式=1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把除法化为乘法，然后把分子、分母分解因式约分化简，再根据分式有意义的条件得到非负整数x的值，代入化简后的结果解答即可.
21．（2025八上·拱墅月考） 如图所示，P、Q 是 的边 BC 边上的两点，且 BP=AP=AQ=CQ ，
（1） 若 ，求 的度数 .
（2） 求证： 是等腰三角形.
【答案】（1）解：∵ BP=AP ，
∴∠B=∠PAB=30°，
∴∠APQ=∠B+∠PAB=30°+30°=60°，
又∵AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°；
（2）证明：∵BP=AP，
∴∠B=∠BAP，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∵∠APQ是△ABP的外角，
∴∠APQ=∠B+∠BAP=2∠B，
∵∠AQP是△AQC的外角，
∴∠AQP=∠C+∠CAQ，
∵AQ=CQ，
∴∠C=∠CAQ，
∴∠AQP=2∠C，
∵∠APQ=∠AQP，
∴2∠B=2∠C，即∠B=∠C，
∴ AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠B=∠PAB，利用外角的性质得到∠APQ=60°，即可得到△APQ是等边三角形，进而求出∠PAQ的度数即可；
（2）根据等边对等角得到∠B=∠BAP，∠APQ=∠AQP，∠C=∠CAQ，进而得到∠B=∠C，再根据等角对等边证明即可.
22．（2025八上·拱墅月考）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元：4台A型空调和5台B型空调，共需费用35000元.
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元：
（2）若学校计划采购A、B型号空调共40台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？
【答案】（1）设B型空调每台需y元，A型空调每台需x元，
，
解得 ，
答：B型空调每台需3000元，A型空调每台需5000元；
（2）解：设采购A型空调m台，
解得
∵m为整数，
∴m=14或15或16.
∴该校共有三种采购方案：
方案一：采购A型空调16台，B型空调24台；
方案二：采购A型空调15台，B型空调25台；
方案三：采购A型空调14台，B型空调26台.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元，根据题意列出方程组解答即可求解；
(2)设采购A型空调m台，则采购B型空调(40-m)台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案.
23．（2025八上·拱墅月考）【概念学习】在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：
若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点. 如下图中的P(-2，3)，Q(3，2)两点即为同距点.
（1）【理解概念】
如图，判断点B，C，D是否是点A的同距点；
（2）【深入探索】
若点是点A的同距点，求m的值；
（3）【拓展延伸】
已知点N(-2，-1)，若点F(a，b)为点N的同距点，且点F在第二象限，求出此时a，b之间的关系式.
【答案】（1）解：根据题意，得A(-3，1)， B(0，4)， C(5，-1)， D(2，2)，
点A到两坐标轴的距离之和为|-3|+|1|=3+1=4，
对于点B(0，4)，其到两坐标轴的距离之和为0+|4|=4，
∴点B是点A的同距点，
对于点C(5，-1)，其到两坐标轴的距离之和为|5|+|-1|=5+1=6≠4，
∴点C不是点A的同距点，
对于点D(2，2)，其到两坐标轴的距离之和为|2|+|2| =2+2=4，
∴点D是点A的同距点，
∴点B、D是点A的同距点，点C不是点A的同距点；
（2）解：∵点E(m-1，-1)是点A的同距点，∵|m-1|+|-1|=|-3|+1，即|m-1|=3，当m-1>0，即m>1时，有m-1=3，解得m=4，
当m-1<0，即m<1时，有m-1=-3，解得m=-2，
∴m的值为4或-2；
（3）解：点N(-2，-1)到两坐标轴距离之和为|-2|+|-1|=2+1=3，
∵点F(a，b)在第二象限，
∴a<0， b>0，
∴点F到两坐标轴距离之和为|a|+|b|=-a+b，点F是点N的同距点，
∵-a+b=3，即b-a=3.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】(1)根据点在坐标系中的位置写出点的坐标即可；根据同距点的定义判断点B， C， D是否是点A的同距点即可；
(2)根据同距点的定义列出关于m的方程求解即可；
(3)根据同距点的定义求解即可.
24．（2025八上·拱墅月考） 在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(0，4)，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E.
（1） 若C点坐标为(3，0)，求点E的坐标；
（2） 如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，求证：DO平分；
（3） 若点C在x轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数.
【答案】（1）解：
在 和 中，
∴点C坐标为(3，0)，
∴E(0，3)；
（2）证明：如图2，过O作 于M，'于N，
由 (1) 知，
又AE=BC，
又
∴DO平分
（3）30°
【知识点】点的坐标；三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】（3）解：如图，延长DC至F， 使得CF =OC，
∴∠F =∠COF，
∴∠DCO=∠F+∠COF =2∠F，
∵OC+CD=AD，
∴CF+CD=AD，
即DF=AD，
由 (2) 知，
∠ADO =∠ODC，
∵OD=OD，
∴△ADO≌△FDO(SAS)，
∴∠F =∠OAE，
∵∠OAE=∠OBC，
∴∠F =∠OBC，
在△BOF中，
∠F+∠BOF+∠OBC =180°，
∴∠OBC+(90°+∠OBC)+∠OBC =180°，
∴∠OBC=30°.
【分析】(1)可证明△AOE≌△BOC， 从而得出OE=OC，进而求得；
(2)过O作OM⊥DA于M， ON⊥DC于N， 根据△AOE △BOC， 得， 从而得出OM = ON， 进而得证；
(3)延长DC至F， 是CF=OC， 从而得出△ADO≌△FDO， 进而得出∠OBC =∠F =∠COF， 在△BOF中，根据三角形内角和求得结果.
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