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人教版八（上）数学第十八单元质量检测培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（　　）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
2．牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.已知m g牛奶中含a g蛋白质，比n g鸡蛋中含的蛋白质少b g，则m g鸡蛋中蛋白质的含量是(　　)
A． g B． g C． g D． g
【答案】B
【知识点】分式的乘法
【解析】【解答】解：由题意知，n g鸡蛋中含蛋白质(a+b) g，
∴1 g鸡蛋中含蛋白质 g，
∴m g鸡蛋中蛋白质含量是 g.
故答案为：B.
【分析】先表示出ng鸡蛋中的蛋白质含量，再表示出1g鸡蛋中的蛋白质含量，即可推出m g鸡蛋中蛋白质含量.
3．（2024八上·平南期末）若关于的方程无解，则的值为（　　）
A．或－5 B．0或5 C．或5 D．0或－5
【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：两边同时乘x（x 5）得：2x（a＋x）＝3（x 5）＋2x（x 5），
整理得：（2a＋7）x＝ 15，
当2a＋7＝0时，a＝，此时方程无解，
当2a＋7≠0时，x=，
此时x（x 5）＝0时，方程无解，
即：x＝5或x＝0，
当x＝5时，5=，即a＝ 5；
当x＝0时，0=，此时不成立；
综上，a＝或 5，
故答案为：A．
【分析】先将分式方程转换为整式方程，再分类讨论：①当2a＋7＝0时，a＝，此时方程无解，②当2a＋7≠0时，x=，再结合方程无解，可得x＝5或x＝0，再求解即可.
4．（2024八上·柳州期末）下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的基本性质；等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故①正确；
②由于任意等腰三角形的两个底角的外角都相等，故“有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形”说法不正确，故②错误；
③∵，，
∴，故③正确；
④如果把分式中的、都扩大2倍得
，故分式的值不变，原结论错误，
故正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质“对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线”可判断①；由于等腰三角形两底角相等，则两个底角的外角都相等，据此可判断②；根据完全平方公式的恒等变形得(x-y)2=(x+y)2-4xy，从而整体代入计算可判断③；用2x、2y替换原分式中的x、y，根据分式性质化简后与原分式比较即可判断④.
5．（2024八上·永年期末）下面是马小虎的答卷， 他的得分应是（ ）
姓名 马小虎 得分 ？
判断题（每小题20分，共100分）
(1)）代数式是分式.（√)
(2) 当x=-1时，分式无意义.（×）
(3)不是最简分式.（×)
（4）若分式的值为0，则x的值为±2.（√)
（5）分式中x、y的值均扩大为原来的2倍，分式的值保持不变，（×）
A．40 分 B．60 分 C．80 分 D．100 分
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：（1）代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确；
（2）当x＝ 1时，分式无意义，错误；
（3）是最简分式，正确；
（4）当x＝2时，分式的值为0，错误；
（5）分式，分式的值是原来的2倍，正确；
∴他的得分是60分．
故答案为：B．
【分析】利用分式的定义即可判断（1），根据分式无意义的条件即可判断（2），根据最简分式的定义即可判断（3），根据分式的值为0的条件即可判断（4），先列出算式，再根据分式的基本性质进行计算，即可判断（5）．
6．（2024八上·青山期末）已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可知：，，，再把它们相加可得，从而可得 的值.
7．（2024八上·汉阳期末）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合题意；
当x=-2时，分式无解，即无解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；
将a=-2、b=-4代入分式得：，
当x=m时，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.
8．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
9．（2024八上·蔡甸期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】解：当x=-4时，分式无意义，当x=2时，此分式的值为0，
故-8+a=0，2-b=0，
解得：a=8，b=2，
将a=8，b=2代入，得：
；
故答案为：B.
【分析】先根据分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得到-8+a=0，2-b=0，求得a=8，b=2，直接代入原式计算即可求解.
10．（2024八上·重庆市期末）设为正整数，则存在正整数和，使得，则、的值分别为（　　）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以a2-b，得：
，
两边同时加上a2-b，得：
，
即，
∵x、a、b都是正整数，
∴a-1=a2-b，a-1=x+1，
∴a=x+2，b=a2-a+1=(x+2)2-(x+2)+1=x2+3x+3.
故答案为：A。
【分析】去分母得，两边同时加上，整理后因式分解得到，根据等式恒成立的条件列出方程，可求出a，b的值。
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
12．（2021八上·内江期中）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
【分析】将原式利用去分母、去括号、合并、提取公因式可得出xyz=x+y+z，再将原式通分可得，最后代入计算即可.
13．（2019八上·昌平月考）已知 ，则式子 的值等于　 　
【答案】1
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的加减法；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：1
【分析】先把原式化简得到最简结果，再把已知等式变形为 ，代入计算即可求出值．
14．（2024八上·广州竞赛）已知，其中A、B为常数，则的值为　 　.
【答案】8
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴A=-1，B=-6，
∴4A-2B=8.
故答案为：8.
【分析】首先把等式的右边通分，然后加减、化简然后根据分式的分母相等、分式的值相等即可得到分子相等关于A、B的方程组，解方程组即可求解.
15．（2024八上·广平月考）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为　 　．
【答案】或10
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【分析】结合流程图中的计算方法分类讨论：①当时，，②当时，，再分别求出x的值即可.
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分.
得分
16．（2025八上·石家庄月考）计算：
（1）．
（2）
【答案】（1）解：原式
．
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（1）解：
原式
．
；
（2）（2）
原式
．
17．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
18．（人教版八年级数学上册 第十五章分式 单元检测b卷）先化简，再求值： ，其中a的值在0，1，﹣1，2，5中选出一个合适的值．
【答案】解： ÷ +（1+ ﹣ ） ，
= + ，
=2a+ ，
=2a+ ，
根据分式有意义的条件，a+1≠0，a﹣1≠0，a（a﹣2）≠0，
解得a≠1，a≠﹣1，a≠0，a≠2，
∴当a=5时，原式=2a+ =2×5+ =10﹣15=﹣5．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分数的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，对分式进行约分和通分。得出最后结果时，根据分式有意义的条件，分母不为0确定a的合适取值，将a代入式子即可。
19．（2022八上·石阡期中）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
（2）分式是否为“和谐分式”，请说明理由；
（3）当整数取多少时，的值为整数？
【答案】（1）①③
（2）解：是“和谐分式”，理由如下，
∵，
∴是和谐分式；
（3）解：
当，，0，1时，的值为整数．
由于当，0，1时，原分式没有意义，
所以当时，该分式的值为整数．
【知识点】分式的值；分式基本性质的应用-系数化整；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】
（1）
解：∵①，是“和谐分式”；
②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”，
故答案为①③；
【分析】
（1）根据“和谐分式”的定义再逆用同分母分式的加法运算逐个判断即可；
（2）对分子进行配方从而化分子为分母的完全平方式与一个常数和的形式即可；
（3）先利用分式的混合运算化结果为“和谐分式”，再根据题意取合适的整数值使结果也为整数即可.
（1）解：∵①，是“和谐分式”；
②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”，
故答案为①③；
（2）解：是“和谐分式”，理由如下，
∵，
∴是和谐分式；
（3）解：
当，，0，1时，的值为整数．
由于当，0，1时，原分式没有意义，
所以当时，该分式的值为整数．
20．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元：
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意可得：，
解得，，
经检验是所列方程的根，且符合题意，
此时．
答：篮球的单价为90元，足球的单价为60元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为个，
由题意得，，
解得：，
又∵篮球多于40个，
∴，
∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球41个，采购足球19个；
方案二：采购篮球42个，采购足球18个；
方案三：采购篮球43个，采购足球17个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，由题意：购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，列出分式方程，解方程即可。在列分式方程解应用题时，正确列分式方程是关键。
（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60-m）个，根据总费用低于4900元，列出一元一次不等式，解不等式，求出m的范围，再根据题意： 并要求篮球多于40个，进一步确定m的范围从而求出整数解即可。
21．（2025八上·临海期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
（1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
（3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
【答案】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可判断求解；
（3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可得关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可求解．
（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
22．（2024八上·天河期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．
已知，请利用以上方法解决下列问题：
（1）分别把多项式和分解因式；
（2）已知，分别为等腰的腰和底边，试比较分式与的大小．
【答案】（1）解：
，
；
（2）解：，分别为等腰的腰和底边，
，即，
．
【知识点】因式分解-分组分解法；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【分析】本题考查分组分解法因式分解多项式，等腰三角形的性质.
（1）观察A式子，先利用加法交换律进行变形可得：，再利用平方差公式进行因式分解可得：，再提取公因式可分解出多项式A；观察B式子，先利用加法结合律可得：，再利用完全平方公式进行因式分解可得：，再利用平方差公式可分解出多项式B.
（2）根据等腰三角形边长的特性可得：，进而可得：，用a和b表示出的形式可得：，利用分式的性质进行约分可得：，再根据，可判断与1的大小.
23．（2024八上·五华期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
【阅读材料】在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整数1与一个分式的和的形式；
又如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【理解知识】（1）把分式拆分成一个整数与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______；
【掌握知识】（2）请你把分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式；
【运用知识】（3）若分式的值为正整数，求整数的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）
，
当是整数时，或，
解得或0或3或，
当时，原式；
当时，原式（不符合题意，舍去）
当时，原式；
当时，原式（不符合题意，舍去），
综上，整数的值为3或9．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：
【分析】（1）根据题意将分式进行变形化简即可求出答案.
（2）根据题意将分式进行变形化简即可求出答案.
（3）根据题意将分式进行化简，再根据的值为正整数得出m的值 ，代入原式即可求出答案.
1 / 1人教版八（上）数学第十八单元质量检测培优卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2019八上·重庆期中）若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（　　）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.已知m g牛奶中含a g蛋白质，比n g鸡蛋中含的蛋白质少b g，则m g鸡蛋中蛋白质的含量是(　　)
A． g B． g C． g D． g
3．（2024八上·平南期末）若关于的方程无解，则的值为（　　）
A．或－5 B．0或5 C．或5 D．0或－5
4．（2024八上·柳州期末）下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024八上·永年期末）下面是马小虎的答卷， 他的得分应是（ ）
姓名 马小虎 得分 ？
判断题（每小题20分，共100分）
(1)）代数式是分式.（√)
(2) 当x=-1时，分式无意义.（×）
(3)不是最简分式.（×)
（4）若分式的值为0，则x的值为±2.（√)
（5）分式中x、y的值均扩大为原来的2倍，分式的值保持不变，（×）
A．40 分 B．60 分 C．80 分 D．100 分
6．（2024八上·青山期末）已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·汉阳期末）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
8．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
9．（2024八上·蔡甸期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·重庆市期末）设为正整数，则存在正整数和，使得，则、的值分别为（　　）.
A．， B．，
C．， D．，
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
12．（2021八上·内江期中）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 =4.求 的值为　 　.
13．（2019八上·昌平月考）已知 ，则式子 的值等于　 　
14．（2024八上·广州竞赛）已知，其中A、B为常数，则的值为　 　.
15．（2024八上·广平月考）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为　 　．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分.
得分
16．（2025八上·石家庄月考）计算：
（1）．
（2）
17．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
18．（人教版八年级数学上册 第十五章分式 单元检测b卷）先化简，再求值： ，其中a的值在0，1，﹣1，2，5中选出一个合适的值．
19．（2022八上·石阡期中）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
（2）分式是否为“和谐分式”，请说明理由；
（3）当整数取多少时，的值为整数？
20．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元：
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？
21．（2025八上·临海期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
（1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
（3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
22．（2024八上·天河期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．
已知，请利用以上方法解决下列问题：
（1）分别把多项式和分解因式；
（2）已知，分别为等腰的腰和底边，试比较分式与的大小．
23．（2024八上·五华期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
【阅读材料】在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整数1与一个分式的和的形式；
又如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【理解知识】（1）把分式拆分成一个整数与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______；
【掌握知识】（2）请你把分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式；
【运用知识】（3）若分式的值为正整数，求整数的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
2．【答案】B
【知识点】分式的乘法
【解析】【解答】解：由题意知，n g鸡蛋中含蛋白质(a+b) g，
∴1 g鸡蛋中含蛋白质 g，
∴m g鸡蛋中蛋白质含量是 g.
故答案为：B.
【分析】先表示出ng鸡蛋中的蛋白质含量，再表示出1g鸡蛋中的蛋白质含量，即可推出m g鸡蛋中蛋白质含量.
3．【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：两边同时乘x（x 5）得：2x（a＋x）＝3（x 5）＋2x（x 5），
整理得：（2a＋7）x＝ 15，
当2a＋7＝0时，a＝，此时方程无解，
当2a＋7≠0时，x=，
此时x（x 5）＝0时，方程无解，
即：x＝5或x＝0，
当x＝5时，5=，即a＝ 5；
当x＝0时，0=，此时不成立；
综上，a＝或 5，
故答案为：A．
【分析】先将分式方程转换为整式方程，再分类讨论：①当2a＋7＝0时，a＝，此时方程无解，②当2a＋7≠0时，x=，再结合方程无解，可得x＝5或x＝0，再求解即可.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的基本性质；等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故①正确；
②由于任意等腰三角形的两个底角的外角都相等，故“有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形”说法不正确，故②错误；
③∵，，
∴，故③正确；
④如果把分式中的、都扩大2倍得
，故分式的值不变，原结论错误，
故正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质“对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线”可判断①；由于等腰三角形两底角相等，则两个底角的外角都相等，据此可判断②；根据完全平方公式的恒等变形得(x-y)2=(x+y)2-4xy，从而整体代入计算可判断③；用2x、2y替换原分式中的x、y，根据分式性质化简后与原分式比较即可判断④.
5．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的基本性质；最简分式的概念
【解析】【解答】解：（1）代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确；
（2）当x＝ 1时，分式无意义，错误；
（3）是最简分式，正确；
（4）当x＝2时，分式的值为0，错误；
（5）分式，分式的值是原来的2倍，正确；
∴他的得分是60分．
故答案为：B．
【分析】利用分式的定义即可判断（1），根据分式无意义的条件即可判断（2），根据最简分式的定义即可判断（3），根据分式的值为0的条件即可判断（4），先列出算式，再根据分式的基本性质进行计算，即可判断（5）．
6．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可知：，，，再把它们相加可得，从而可得 的值.
7．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合题意；
当x=-2时，分式无解，即无解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；
将a=-2、b=-4代入分式得：，
当x=m时，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
9．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】解：当x=-4时，分式无意义，当x=2时，此分式的值为0，
故-8+a=0，2-b=0，
解得：a=8，b=2，
将a=8，b=2代入，得：
；
故答案为：B.
【分析】先根据分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得到-8+a=0，2-b=0，求得a=8，b=2，直接代入原式计算即可求解.
10．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以a2-b，得：
，
两边同时加上a2-b，得：
，
即，
∵x、a、b都是正整数，
∴a-1=a2-b，a-1=x+1，
∴a=x+2，b=a2-a+1=(x+2)2-(x+2)+1=x2+3x+3.
故答案为：A。
【分析】去分母得，两边同时加上，整理后因式分解得到，根据等式恒成立的条件列出方程，可求出a，b的值。
11．【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
12．【答案】1
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ =4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0.
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴ ，
即 的值为1.
故答案为：1.
【分析】将原式利用去分母、去括号、合并、提取公因式可得出xyz=x+y+z，再将原式通分可得，最后代入计算即可.
13．【答案】1
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的加减法；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：1
【分析】先把原式化简得到最简结果，再把已知等式变形为 ，代入计算即可求出值．
14．【答案】8
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴A=-1，B=-6，
∴4A-2B=8.
故答案为：8.
【分析】首先把等式的右边通分，然后加减、化简然后根据分式的分母相等、分式的值相等即可得到分子相等关于A、B的方程组，解方程组即可求解.
15．【答案】或10
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【分析】结合流程图中的计算方法分类讨论：①当时，，②当时，，再分别求出x的值即可.
16．【答案】（1）解：原式
．
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（1）解：
原式
．
；
（2）（2）
原式
．
17．【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
18．【答案】解： ÷ +（1+ ﹣ ） ，
= + ，
=2a+ ，
=2a+ ，
根据分式有意义的条件，a+1≠0，a﹣1≠0，a（a﹣2）≠0，
解得a≠1，a≠﹣1，a≠0，a≠2，
∴当a=5时，原式=2a+ =2×5+ =10﹣15=﹣5．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分数的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，对分式进行约分和通分。得出最后结果时，根据分式有意义的条件，分母不为0确定a的合适取值，将a代入式子即可。
19．【答案】（1）①③
（2）解：是“和谐分式”，理由如下，
∵，
∴是和谐分式；
（3）解：
当，，0，1时，的值为整数．
由于当，0，1时，原分式没有意义，
所以当时，该分式的值为整数．
【知识点】分式的值；分式基本性质的应用-系数化整；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】
（1）
解：∵①，是“和谐分式”；
②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”，
故答案为①③；
【分析】
（1）根据“和谐分式”的定义再逆用同分母分式的加法运算逐个判断即可；
（2）对分子进行配方从而化分子为分母的完全平方式与一个常数和的形式即可；
（3）先利用分式的混合运算化结果为“和谐分式”，再根据题意取合适的整数值使结果也为整数即可.
（1）解：∵①，是“和谐分式”；
②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”，
故答案为①③；
（2）解：是“和谐分式”，理由如下，
∵，
∴是和谐分式；
（3）解：
当，，0，1时，的值为整数．
由于当，0，1时，原分式没有意义，
所以当时，该分式的值为整数．
20．【答案】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意可得：，
解得，，
经检验是所列方程的根，且符合题意，
此时．
答：篮球的单价为90元，足球的单价为60元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为个，
由题意得，，
解得：，
又∵篮球多于40个，
∴，
∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球41个，采购足球19个；
方案二：采购篮球42个，采购足球18个；
方案三：采购篮球43个，采购足球17个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，由题意：购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，列出分式方程，解方程即可。在列分式方程解应用题时，正确列分式方程是关键。
（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60-m）个，根据总费用低于4900元，列出一元一次不等式，解不等式，求出m的范围，再根据题意： 并要求篮球多于40个，进一步确定m的范围从而求出整数解即可。
21．【答案】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可判断求解；
（3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可得关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可求解．
（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
22．【答案】（1）解：
，
；
（2）解：，分别为等腰的腰和底边，
，即，
．
【知识点】因式分解-分组分解法；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【分析】本题考查分组分解法因式分解多项式，等腰三角形的性质.
（1）观察A式子，先利用加法交换律进行变形可得：，再利用平方差公式进行因式分解可得：，再提取公因式可分解出多项式A；观察B式子，先利用加法结合律可得：，再利用完全平方公式进行因式分解可得：，再利用平方差公式可分解出多项式B.
（2）根据等腰三角形边长的特性可得：，进而可得：，用a和b表示出的形式可得：，利用分式的性质进行约分可得：，再根据，可判断与1的大小.
23．【答案】（1）；
（2）
（3）
，
当是整数时，或，
解得或0或3或，
当时，原式；
当时，原式（不符合题意，舍去）
当时，原式；
当时，原式（不符合题意，舍去），
综上，整数的值为3或9．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：
【分析】（1）根据题意将分式进行变形化简即可求出答案.
（2）根据题意将分式进行变形化简即可求出答案.
（3）根据题意将分式进行化简，再根据的值为正整数得出m的值 ，代入原式即可求出答案.
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