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济南一中2024级高二期中学情检测
数学试题
说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
6. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知菱形的边长为2，，现将沿折起，当时，二面角平面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦距为2 B. 椭圆的标准方程为
C. D. 的最大值为
10. 已知直线，圆，为圆上任意一点，则（ ）
A 直线过定点
B. 若圆关于直线l对称，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为3
11. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ）
A. 平面
B. ，，，四点共面
C. 点到平面的距离为
D. 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为______
13. 已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是__________.
14. “若点P为椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点，设.
（1）若，且，求.
（2）若与互相垂直，求
16. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点、、.
（1）求边所在直线的方程.
（2）若边上高所在的直线方程为，且的面积为，求点的坐标.
17. 已知圆过点，，圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.
18. 已知动圆与圆外切，与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）求的取值范围．
19. 如图，四边形与均为菱形，，，.
（1）求证：平面；
（2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
（3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
济南一中2024级高二期中学情检测
数学试题
说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ABD
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）或
（2）或
【16题答案】
【答案】（1）
（2）或
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）或.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）

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