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第五章 应用一元一次方程
5.6 追赶小明
①小彬坐车以40公里/小时的速度从家出发到学校需要3小时，那么小彬家到学校有_____公里。
②如果小彬想用2小时的时间从家出发到学校，那么小彬需要的速度为____公里/小时。
③如果小彬以80公里每小时的速度从家出发到学校，那么需要用______小时。
路程=速度×时间
60
1.5
120
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
01
新知导入
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸
立即以180m/min的速度去追小明。
追及问题
爸爸追上小明了吗？
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
02
新课探究
分析
家
学校
80m/min
小明走的路程=爸爸走的路程
等量关系：
5min
180m/min
怎么求爸爸追上小明的时间？
小明走的总时间－爸爸追的时间=5 min
解得 x = 4
（1）设爸爸追上小明用了x min
80×5+80x = 180x
因此，爸爸追上小明用了4min。
解：
小明：
爸爸：
80×5
80x
180x
根据题意得：
家
学校
追及点
补充：
速度差×时间＝相距路程
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
180×4
1000 m
？
解：
180×4=720（m）
1000－720=280（m）
所以，追上小明时，距离学校还有280 m。
(1)对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离；
甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
甲出发地
乙出发地
追及地
乙的行程
甲的行程
归纳
03
知识讲解
(2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．
注意：同向而行需找准始发时间和地点．
乙先走的路程
乙后走的路程
甲的行程
甲、乙出发地
追及地
变式1：
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立去追小明，在校门口爸爸刚好追上小明。
问：爸爸用了多少时间？爸爸的速度是多少？在什么情况下爸爸追不上小明呢？
速度和×时间＝相距路程
变式2：
小明每天下午放学要在17:30返回离学校1000m的家．一天，小明以80m/min的速度出发，由于下雨忘带雨伞．于是，爸爸立即以180m/min的速度去迎接小明，并且在途中相遇．
问：爸爸和小明相遇用了多长时间？
练习：
为参加学校篮球周活动，小彬和小明每天早晨坚持跑步锻炼，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米。
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小彬？
甲、乙两人从相距180千米的A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时，经过多少时间两人相遇？
相遇问题
分析
等量关系：
180千米
A
B
甲
乙
15千米/时
45千米/时
甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离
同时出发
甲行的时间=乙行的时间
经过多少时间两人相遇？
解：设经过 x 小时后甲、乙两人相遇。
由题意：15x+45x=180
解得x=3
答：经过3小时后两人相遇。
议一议
育红学校七年级学生步行到郊外旅行。七（一）班的学生组成前队，步行速度为4km/h，七（二）班的学生组成后队，速度为6km/h。前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h。
根据上面的事实提出问题并尝试去解答。
问题1：后队追上前队用了多长时间？
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？
问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？
问题4：当后队追上前队时，他们已经进行了多少路程？
问题5：联络员在前队出发多长时间后第一次追上前队？
举例：
问题1：后队追上前队用了多长时间？
解：设后队追上前队用了x小时，由题意列方程得：
6x=4x+4
解方程得：x=2
答：后队追上前队时用了2小时。
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？
解：由问题1得后队追上前队用了2小时，因此联络员共进行了：
12×2=24
答：后队追上前队时联络员行了24千米。
问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？
解：设联络员第一次追上前队时用了x小时，由题意：
12x=4x+4
解得 x=0.5
答：联络员第一次追上前队时用了0.5小时。
今天你们学到了什么知识？怎样学到的？
还有什么疑问？
1.借助线段图理解题意。
2.追及问题的相等关系：
甲的行程=乙先走的行程+乙后走的行程。
3.相遇问题的相等关系：
甲的行程+乙的行程=两地的距离。
延伸拓展
甲乙两人骑自行车从相距120km的A、B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h，问两人出发后，经过多长时间后相距20km？
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5.6应用一元一次方程——追赶小明
【教学目标】
数学抽象与模型观念：抽象行程问题中速度、路程、时间的本质关系，构建方程数学模型，能运用模型解决相遇、追及等实际问题，体会数学与生活的关联性，形成用数学视角分析现实情境的意识。
直观想象与逻辑推理：借助线段图将文字描述的行程关系转化为图形语言，通过图形直观梳理数量逻辑，实现文字、符号、图形语言的灵活转换，提升分析复杂问题、推导等量关系的推理能力。
运算求解与应用意识：掌握列方程、解方程的基本方法，能规范完成从建立模型到验证结果的完整流程，在解决实际行程问题中强化运算准确性和实用性，培养用数学知识解决实际问题的能力。
创新意识与合作交流：在开放性行程问题探究中，主动探索多元解决方案，发展创新思维；通过小组合作、成果分享，学会倾听他人思路、表达自身观点，提升沟通协作与自我反思能力。
【教材分析】
教材首先由一个实际事例“能追上小明吗”创设问题情境，激发学生探究解决问题的方法和结果，接着通过画“线段图”建立一元一次方程的方法来解决问题，旨在培养学生把生活中的实际问题转化为数学模型的能力。教材还安排了“议一议”，内容是让学生根据事实提出问题，并尝试解答，让学生在自主探索、互相启迪、合作交流中提高分析问题和解决问题的能力，进一步梳理所学知识，培养学生的数学能力。
本节课的重点是：认识追赶问题中的数量关系。
本节课的难点是：借助“线段图”分析复杂问题中的等量关系，从而建立方程。
【教学设计】
（一）引入新课
多媒体展示：
①小彬以60米/分的速度从家出发到学校需要20分钟，那么小彬家到学校有_____米。
②如果小彬想用12分钟的时间从家出发到学校，那么小彬需要的速度为____米/分。
③如果小彬以80米/分的速度从家出发到学校，那么需要用______分钟。
师：上面三个题都是关于路程、速度、时间的问题，它们之间有何关系？
生：路程=速度x时间，知道这三个量中的两个就可以求出另一个(分别找三名学生答复上面的问题）
师：下面我们根据路程、速度、时间之间的关系来讨论几个较为复杂的问题：追赶小明（板书）。
（二）讲授新课
1.提出问题
在我们的生活中，一些同学有一种很不好的习惯——丢三落四，常常害得父母操心，小明今天就犯了这样的错误：
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明。
问题：
(1)爸爸追上小明用了多长时间
(2)追上小明时距离学校还有多远
(多媒体出示例题时，问题(1)(2)事先没有直接给出，而是先问学生看到题之后想到什么。大部分学生会问小明爸爸有没有追上小明，教师马上追问：“你估计能追上小明吗？”绝大部分学生又说：“能”。此时才给出问题(1)(2)。)
说明：从学生熟悉的生活经历出发，选择学生身边感兴趣的事件给学生提出有关的数学问题，唤起学生的思维和问题意识。
2.分析问题
多媒体展示：制作动画演示爸爸追小明的过程。
（用直观、动态的演示使学生的注意力集中在“爸爸追小明”这个事件中，教师及时提出：在这一过程中，你们发现了哪些等量关系？）
说明这一问题，首先让学生自己来思考，探索解决问题的方法，通过电脑的演示，去发现，体会追赶问题的过程。
学生活动：学生已经有了自己的想法后，四人一组进行讨论交流，然后每组选一位代表发言，最后总结出：
1.当爸爸追上小明时，两人所行的距离相等；
2.小明所行的总距离可以看做是两段距离之和；
3.小明所用的时间比爸爸所用的时间多5分钟；
4.小明先走“5分钟”加上爸爸追上他所用的时间等于爸爸全部所用的时间。
（课堂气氛活泼，学生积极答复以下问题，教师及时给予肯定和鼓励学生通过小组交流，既促进学生的合作探究，又提高了学生的语言表达能力。）
师：能不能用简单的“线段图”表示他们所走的距离呢？
（学生通过思考，在练习本上动手画。）
师：出示正确答案：
说明：列方程解决实际问题是一个数学化的过程，这个过程常常需要文字语言、图形语言和符号语言互相转换。教学中适当加以渗透，以培养学生对三种语言进行转换的能力。
3.解决问题
师：路程、速度和时间三者之间有何关系呢？应如何求解出爸爸追上小明所需要的时间及追上时离学校还有多远呢？
学生活动：思考路程、速度和时间三者之间的关系，再列出方程求解。根据线段图建立方程：80×5+80x=180x(解得：x=4)。要求局部学生上讲台解答。教师巡视检查教学效果。
（对学生的解题过程，要先让学生评判，让学生发现问题，教师不要直接给予评判。）
4.问题拓展
师：刚刚的结果说明，爸爸是在途中追上小明的，如果刚好在学校门口追上小明，要用多长时间？这时爸爸的速度又是多少？在什么情况下又追不上小明呢？
晚上放学的时候下雨了，爸爸给小明送伞，他们相遇用了多少时间？
说明：这一提问，使问题本身变得更加开放，再度激活学生的思维，进一步培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力。
（三）课堂练习
多媒体展示：
为参加学校篮球周活动，小彬和小明每天早晨坚持跑步锻炼，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米。
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小彬？
师：要求先画“线段图”，再解答。
学生活动：多数在练习本上解答，两位学生到黑板前板书。
（稳固新学的知识技能和方法，加深对相关知识和方法的理解。教师在巡视时发现有不同的解法及时进行介绍。）
（四）议一议
多媒体展示：
育红学校七年级学生步行到郊外旅行。七（一）班的学生组成前队，步行速度为4km/h，七（二）班的学生组成后队，速度为6km/h。前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h。
问题1：后队追上前队用了多长时间？
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？
问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？
问题4：当后队追上前队时，他们已经进行了多少路程？
问题5：联络员在前队出发多长时间后第一次追上前队？
根据上面的事实提出问题并尝试去解答。学生与同伴讨论、交流自己的问题和解决问题的过程。
说明：这是一个开放性的问题，旨在拓展学生思维，寻求个性开展、让学生利用方程解决问题，在学生相互交流中提高分析和解决问题的能力。
今天你们学到了什么知识？是怎样学到的？还有什么疑问？
延伸拓展
1.甲乙两人骑自行车从相距120km的A、B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h，问两人出发后，经过多长时间后相距20km？
2.一列火车匀速行驶，从车头进入隧道到车尾离开隧道需要15s的时间，隧道长420m，隧道的顶上由一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是5s，求这列火车的长度。
80×5
80x
180x
家
学校
追及点
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5.6 应用一元一次方程——追赶小明导学单
①小彬以60米/分的速度从家出发到学校需要20分钟，那么小彬家到学校有_____米。
②如果小彬想用12分钟的时间从家出发到学校，那么小彬需要的速度为____米/分。
③如果小彬以80米/分的速度从家出发到学校，那么需要用______分钟。
追赶小明：
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速
度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明。
团战：你们发现了哪些等量关系？
用简单的“线段图”表示他们所走的距离：
思考路程、速度、时间三者的关系，列方程求解。
爸爸追上小明用了多长时间？
追上小明时，距离学校还有多远？
变式1：
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即去追小明，在校门口爸爸刚好追上小明。
问：爸爸用了多少时间？爸爸的速度是多少？在什么情况下爸爸追不上小明呢？
变式2：
小明每天下午放学要在17:30返回离学校1000m的家．一天，小明以80m/min的速度出发，由于下雨忘带雨伞．于是，爸爸立即以180m/min的速度去迎接小明，并且在途中相遇．
问：爸爸和小明相遇用了多长时间？
单练：
为参加学校篮球周活动，小彬和小明每天早晨坚持跑步锻炼，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米。
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小彬？
团战：
育红学校七年级学生步行到郊外旅行。七（一）班的学生组成前队，步行速度为4km/h，七（二）班的学生组成后队，速度为6km/h。前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h。
根据上面的事实提出问题并尝试去解答。
延伸拓展
1.甲乙两人骑自行车从相距120km的A、B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，甲的速度是10 km/h，乙的速度是30 km/h，问两人出发后，经过多长时间后相距20km？
2.一列火车匀速行驶，从车头进入隧道到车尾离开隧道需要15s的时间，隧道长420m，隧道的顶上由一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是5s，求这列火车的长度。
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