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锦江中学2025年下学期九年级期中考试数学问卷
考试时间：120分钟 试卷分值：120分 命题人：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象分布在第一、三象限内 B．图象经过点
C．当时，随的增大而增大
D．若点都在该函数的图象上，且，则
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象位置可能是（　　）
A．B． C． D．
4．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．若，则下列比例式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知，那么下列比例式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知与△ABC是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若△ABC的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴上，与反比例函数的图象交于点，且，过点作轴的垂线交轴于点．若，则的值为（ ）
A．10 B．16 C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ．
12．如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若△ABC的面积为3，则的值是 ．
13．已知方程，求它的二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
14．已知是关于的一元二次方程，则 ．
15．已知，那么 ．
16．已知线段，C为线段的黄金分割点，则 ．
17．已知，若，，则△ABC与的面积比为 ．
18．如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是 ．
第12题图 第18题图
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（8分）解一元二次方程：
(1)； (2)．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
21．（8分）已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是，求另一个根及k值．
22．（8分）若，是方程的两个根，求下列各式的值：
(1) (2)
23．（8分）某商店经销成本为每千克50元的水产品．根据市场分析，若按每千克60元销售，一个月能销售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少．针对这种水产品的销售情况，该商店如果想在月进货成本不超过15000元的情况下，使月销售利润达到8000元，那么销售单价应定为多少元？
24．（8分）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知，，，，求、的长．
25．（8分）已知如图，D，E分别是△ABC的边，上的点，，，，．求的长度．
26．（10分）如图，在中，，点P由点B出发沿的方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接．
设运动的时间为t（s），其中．解答下列问题：

(1) ， ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？
(3)点P、Q在运动过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．《锦江中学2025年下学期九年级数学期中考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A A C B C C D
1．B
【分析】本题考查反比例函数的概念，掌握定义形式是解题的关键．
根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．
【详解】解：∵ 反比例函数的形式为 （），
选项 A：，是一次函数，不符合题意；
选项 B：，符合 形式，且 ，符合题意；
选项 C：，是二次函数，不符合题意；
选项 D：，是一次函数，不符合题意．
故选：B
2．C
【分析】根据反比例函数的性质，解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：由可得比例系数是，图象分布在第二、第四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大，
故A、B、D都是错误的，
C是正确的，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：当时，的图象过一、二、三象限，反比例函数的图象过一、三象限，A正确；
由函数过点，可排除B、C；
当时，的图象过一、二、四象限，反比例函数的图象过二、四象限，排除D．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
【详解】解：，
移项得，，
等式两边同时加上4得，，
∴．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，增长率问题一般用增长后的量增长前的量（1增长率），如果设平均每次降价的百分率为，可以用表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为，
即方程为．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，注意二次项系数不为零和判别式的非负性．
根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，且有实数根需满足判别式大于等于零．
【详解】解：∵方程 有实数根，且为一元二次方程，
∴ 且判别式 ，
即，
∴ ，
∴ ，
∴ 且，
故选C
7．B
【分析】本题考查了比例性质，将各选项进行变形，然后与等式比较即可，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，与矛盾，不符合题意；
、∵，
∴，与一致，符合题意；
、∵，
∴，与矛盾，不符合题意；
、∵，
∴，与矛盾，不符合题意；
故选：．
8．C
【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，得到四边形BDEF是平行四边形是解题的关键．
由，则四边形是平行四边形，得到，则，可判断A，可判断C，根据得到，即可判断B和D．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，，
，
即，，
故A不符合题意；
若，，与已知条件不符，
故不成立，C符合题意；
B、，
，，
故B、D选项不符合题意；
故选：C．
9．C
【分析】本题考查的知识点是位似图形的性质，解题关键是熟练掌握位似图形的性质．
根据题意得出，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比，求解即可得出答案．
【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，
，
位似比为，
，
又的周长为，
．
故选：．
10．D
【分析】根据条件可证明 从而得到两个三角形的面积比，接着求解出的面积，最后得到的值，即可得出最终结果．
【详解】解：OD=2AD，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
双曲线在第二象限，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的面积．
11．
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将点代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：将点代入反比例函数，得，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案．
【详解】解：连接，
轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵点A在第二象限，
∴，
故答案为：．
13．0
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义确定二次项系数，一次项系数，常数项即可求解．
【详解】解：方程 的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为1，它们的和为 ；
故答案为：0．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先求出使得未知数最高次数为的的值，再排除二次项系数为的情况．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，可知：，
解得：，
所以．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查比例问题，代数式的值，掌握比例性质，利用整体代入约分是解题关键．根据已知比例，将所求分式转化为已知分式与常数的差，进而代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．据此列式计算即可．
【详解】解：为线段的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：，
与的面积比，
，，
与的面积比为，
故答案为：．
18．6
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形 是平行四边形，得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵ 是 的中点，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：6．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：由，
得，
配方得，，
直接开平方得，，
或，
，．
（2）解：由，
得，
，
或，
解得，．
20．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为；
(2)点坐标为或；
(3)或
【分析】（1）将代入，求出反比例函数表达式，再将代入反比例函数表达式求出的值，得到点坐标，将、坐标代入中求解，即可解题；
（2）设点坐标为，联立与直线，求出其交点，再结合的面积为21，建立方程求解，即可解题；
（3）根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量取值范围．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
，
反比例函数表达式为，
则当时，，
，
将，代入中，
有，
解得，
一次函数表达式为；
（2）解：设点坐标为，
当时，，
即与直线的交点为，
的面积为21，
，
解得或，
点坐标为或；
（3）解：，，
则结合图象可知，不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求函数的解析式，以及根据函数图象求不等式解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)另一个根为，k的值为1
【分析】本题考查二次方程根的判别式，二次方程根和系数的关系．
（1）根据一元二次方程，即可判断该方程有两个不相等的实数根；
（2）设的另一个根为x，根据根与系数的关系列方程计算即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
∵，
∴，即，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设的另一个根为x，
则，，
解得：，，
∴方程的另一个根为，k的值为1．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的运用，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，再根据进行计算，即可解题．
（2）根据，，结合进行计算，即可解题．
【详解】（1）解，，，且，是方程的两个根
．，
．
（2）解：由（1）得，，
．
23．销售单价应为90元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，得出水产品不超过，设定价为元，再结合题意进行列式，故得，，再进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，水产品不超过，
设定价为元，
则，
解得，．
当时，进货，不符合题意，舍去，
当时，进货，符合题意．
答：在月进货成本不超过15000元的情况下，月销售利润达到8000元，销售单价应为90元．
24．，
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例）是解题关键．
由得到即可求解，则由求出，再由，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
，，，
∴，
解得：，
则．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
．
26．(1)，
(2)的值为或
(3)能；的值为或或
【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则；
（2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：，
由题意得：，，
，
故答案为：，；
（2）分两种情况：
①如图1，

当时，，
则，
即，
解得：；
②如图2，

当时，，
则，
即，
解得：；
综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，

当时，
，
解得：；
②如图4，

当时，过点作于，
则，，
，
，
，
，
解得：；
③如图5，

当时，过点作于，
则，，
，
，
，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似．本题的综合性较强，属于压轴题．

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