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上杭县2025——2026学年第一学农村片区校半期考
九年级数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（2，1），则此抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（　　）
A．顺时针，110° B．逆时针，110°
C．顺时针，60° D．逆时针，60°
4.已知关于x的一元二次方程x2+5x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为（　　）
A．9 B．3 C．﹣3 D．±3
5．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
6．平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
7．如图，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x （★）＝50，则★表示的代数式为（　　）
A．16﹣2x B．16﹣2x﹣1
C．16﹣2x+1 D．10﹣2x
如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为
直线x＝1，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为（　　）
A．﹣2＜x＜2 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2或x＞4 D．x＜﹣2或x＞2
9．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，
∠AOB＝∠B＝30°，OA＝4，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对
应点B′的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
10．以x为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）
A．b B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．如果点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，那么a+b＝　 　 ．
12.将抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为　 　 ．
13．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2026+2a﹣b的值为　 　 ．
14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，当点D在线段BC的延长线上时，∠B＝50°，则∠CAE的度数为 　 　 ．
15．有四组一元二次方程：①x2+7x+8＝0和8x2+7x+1＝0；②x2﹣x﹣6＝0和﹣6x2﹣x+1＝0；③2x2﹣5＝0和﹣5x2+2＝0；④4x2﹣9x+3＝0和3x2﹣9x+4＝0．
这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：　 　 ．
16．如图，已知二次函数y＝a（x+1）2+4（a≠0）的一部分图象L如图，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：
①关于x的方程a（x+1）2+4＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；
②当x＝2时，y＜0； ③点C的坐标为（0，3）；
④△PCO周长的最小值是．
正确的有 　 　 ．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）解方程：（1）4（x﹣1）2＝25； （2）x2+6x﹣2＝0．
18.（8分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 　 　 ．
19．（8分）已知抛物线的顶点A（1，4），且过（0，3），与x轴交于B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ABC的面积．
20.（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时．
（1）作出△ADE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求CD的长．
22．（10分）某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表：
售价x（元/件） 100 110 120 130 …
月销量y（件） 200 180 160 140 …
（1）月销量是y＝　 　 ．（请用含x的式子表示）；
（2）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
（3）该公司决定每销售一件运动服，就捐赠a（a＞0）元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元．若当月销售的最大利润是8000元，求a的值．
23．（10分）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 …
竖直高度y/m 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 …
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是 　 　 m，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+4.25，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离
d 　 　 5（填“＞”，“＝”或“＜”）．
24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点，将△ABC绕点C逆时针方向旋转α（45°＜α＜90°），得到△DEC，点A的对应点为D，连接AD、EB并延长交于点N．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠BDN的度数；
（3）若BE＝kDN，且，求k的值．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线上一个动点（点P不与点B，C重合），连接PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，设平行四边形CPBD的面积为S，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线函数解析式；
（2）当点P在第四象限，且S＝6时，求点P坐标．
（3）①求S与m之间的函数关系式．
②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况．
上杭县2025——2026学年第一学农村片区校半期考
九年级数学试题参考答案
选择题
1、D 2、C 3、A 4、D 5、B 6、A 7、C 8、C 9、B 10、A
二、填空题：
11、 1 12、 y=2（x﹣3）2 +2 13、 2025
14、 800 15、如x2+x =0 16、 ①②③
三、解答题
17.解：（1）(4分)4（x﹣1）2＝25，
（x﹣1）2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1，x2；
（2）(4分)x2+6x﹣2＝0，
x2+6x＝2，
x2+6x+9＝2+9，
（x+3）2＝11，
x+3＝±，
x1＝﹣3，x2＝﹣3．
18.解：（1）(3分)如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）(3分)如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）(2分)对称中心的坐标为（2，1）．
19.解：（1）(4分)设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得a（0﹣1）2+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）(4分)当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B、C的坐标为（﹣1，0），C（3，0），
∴△ABC的面积（3+1）×4＝8．
20.解：（1）(4分)根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k；
（2）(4分)不存在．
∵x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2，
而x1+x2和x1x2互为相反数，
∴﹣（2k﹣1）+k2＝0，解得k1＝k2＝1，
∵k，
∴不存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数．
21.解：（1）(4分)作图如下：
（2）(4分)由旋转的性质可得：AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∵AB＝2，BC＝3.6，
∴CD＝BC﹣BD＝3.6﹣2＝1.6．
22.解：（1）(2分)设月销量y与x的关系式为y＝kx+b，把（100，200），（110，180）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+400，
故答案为：﹣2x+400；
（2）(4分)由题意得：W＝（x﹣60）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元；
（3）(4分)∵该运动服售价不得超过120元，当月销售的最大利润是8000元，
依题意得：W＝（x﹣60﹣a）（﹣2x+400）＝﹣2x2+（520+2a）x﹣24000﹣400a，
∴对称轴为直线，
当时，此时x＝120时，W的最大值8000，
∴（120﹣60﹣a）（﹣2×120+400）＝8000，
解得a＝10，
当时，此时时W的最大值8000，
∴此时x＞120，不合题意，舍去，
综上所述，a＝10．
23.解：①(2分)如图，即为所求；
②(3分)根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是3.8m；
设y与x满足的函数解析式为y＝m（x﹣3）2+3.8，
把点（0，2）代入得：2＝m（0﹣3）2+3.8，
解得：m＝﹣0.2，
∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.2（x﹣3）2+3.8；
③(3分)成功，理由如下：
当y＝3时，3＝﹣0.2（x﹣3）2+3.8，
解得：x＝5或1（舍去），
即韩旭距篮筐中心的水平距离5m时，篮球运行的高度为3m，
∴韩旭第一次投篮练习是成功；
【小问2详解】(2分)
解：把点（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+4.25得：
2＝a（0﹣3）2+4.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴此时y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.25（x﹣3）2+4.25，
当y＝3时，3＝﹣0.25（5﹣3）2+4.25，
解得：或（舍去），
∵，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离d＞5．
故答案为：＞．
24.（1）(4分)证明：由旋转可得AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）(4分)解：∵AC＝BC，AC＝DC，
∴AC＝BC＝DC，
∵∠ACD＝α，
∴，∠BCD＝90°﹣α，
∴，
∴；
（3）(4分)解：∵△ACD≌△BCE，
∴，
∵，
∴∠DBN＝45°，
∴∠BND＝90°，
即∠ANB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴AB＝2MN，
∵，
∴AB＝4BN，
由旋转得AB＝DE，
∴DE＝4BN，
∵∠BDN＝∠DBN＝45°，
∴DN＝BN，
∵BE＝kDN，
∴BE＝kBN，
∴EN＝（k+1）BN，
设BN＝DN＝a，则EN＝（k+1）a，DE＝4a，
在Rt△END中，DN2+EN2＝ED2，
∴a2+[（k+1）a]2＝（4a）2，
整理得（k+1）2＝15，
解得或（不合，舍去），
∴k的值为．
25.解：（1）(3分)抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）(5分)作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+a，把C（0，﹣3），B（3，0）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为 y＝x﹣3，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3），
当0＜m＜3时，如图1，PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3，
，
∵S＝6，
∴﹣3m2+9m＝6，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点P的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；
（3）①(3分)由（2）得当0＜m＜3时，S＝﹣3m2+9m；
当 m＜0或m＞3时，如图2，
PQ＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，
∴，
综上所述：S；
②(3分)当0＜m＜3时，，
S关于m的函数图象如图3所示，
∴当时，点P的个数有两个；
当时，点P的个数有三个；
当时，点P的个数有四个．

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