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2025~2026学年上期期中考试26届
高三（数学）试题
说明：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分．
2．考试时间：120分钟．
3．将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上．
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 若复数与都是纯虚数，则是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如右表所示，则下列说法错误的是（ ）
5 6 9 12
8 7 2.4
A. B. 当时，
C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点
4. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）、两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
6. 已知分别是等差数列前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于空间向量，下列选项正确的是（ ）
A. 空间向量及其模都可以比大小
B. 若，且，则
C. 若空间向量，且，则实数
D. 已知空间向量和，则在上的投影向量是
10. 若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. 数列为递增数列 D. 中存在三项构成等差数列
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称
B. 若，则
C. 若方程在内恰有两个根和，则
D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________．
13. 在的展开式中按的升幂排列的第3项是___________．
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若 是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值与最大值之差为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 已知某市组建了一支300人的志愿者队伍，并由其中200人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有200人的周平均服务时长超过2小时，其中有150人来自“志愿模范队”，如下表所示．
是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计
周平均服务时长超过2小时 150 200
周平均服务时长不超过2小时
总计 200 300
（1）请完成2×2列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值的独立性检验，能否认为“是“志愿模范队”成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？
（2）由于该市志愿者工作成效优异，现向全省推广该市经验，在全省每个市县都成立志愿者队伍，请以该市志愿者队伍的样本频率作为概率的值，在全省的志愿者队伍中任选3人，记周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的人数为，求的分布列和数学期望．
附录：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10828
16. 在中，内角的对边分别为．已知．
（1）求；
（2）若，点在边上，，求面积的最大值．
17. 如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点．
（1）当时，证明：平面；
（2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
18. 已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点.
（1）求的周长；
（2）若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围；
（3）记点在直线上投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
19. 已知函数（）极值点构成数列为（）．
（1）求证：当时，；
（2）求函数的单调区间，并证明为等差数列；
（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
2025~2026学年上期期中考试26届
高三（数学）试题
说明：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分．
2．考试时间：120分钟．
3．将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上．
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BCD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABD
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）列联表见解析，认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关
（2）分布列见解析，数学期望为
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）是定圆
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）单调区间见解析，证明见解析；
（3）

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