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上杭县2025∽2026学年第一学期农村片区校半期联考
八年级数学试题答案
1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.A 10.A
11.（1，﹣2） 12. 15 13. 40 14. 6 15. 9 16. 4
17.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°.………………2分
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).………………6分
∴BC=AD.………………8分
18.解：∵平分，，
∴，………………2分
∵，
∴，………………4分
∵是的高，
∴，………………6分
∴．………………8分
19.（1） ………………2分
（2）解：△ABC与是成轴对称，………………4分
作直线,则直线即为△ABC与的对称轴．
………………8分
20.（1）解：如图，即为所求；………………4分
（2），，
，………………6分
平分，平分，
，，………………7分
．………………8分
21.（1）证明：∵，
∴， ………………1分
又∵，∴，………………2分
∴；………………3分
（2）解：如图2，作，垂足为F．………………4分
∵，∴；
在和中，
，∴；
∴………………6分
∵且，，∴，
∴，∴，即到BD的距离是．………………8分
22.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∵D为BC的中点，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，………………2分
又∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，………………4分
∴∠CAF＝∠CBE；………………5分
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，………………6分
在△CAF和△CBE中，
，∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，………………8分
∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形．………………10分
23.解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，………………2分
∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC==67.5°，………………3分
∴∠BCD=90°-67.5°=22.5°；………………4分
（2）证明：作AF⊥CD交CD于点F，………………5分
∵AD=AC，∴CF=FD=CD，∠FAD=∠CAB=22.5°，
∵∠ADC=67.5°，∴∠BDE=67.5°，∴∠DBE=90°-67.5°=22.5°，
∴∠CBE=45°+22.5°=67.5°，………………7分
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB，………………9分
∴BE=DF，　　　　∴CD=2BE．………………10分
24.（1）证明：∵△ACD和△BCD是“友好三角形”，
∴AD＝BD，………………1分
∵AC∥BE，
∴∠A＝∠EBD，………………2分
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED（ASA），
∴CD＝ED，………………3分
∴BD是△BCE的中线，
∴△BCD和△BED是“友好三角形”；………………4分
（2）解：由（1）可知，△ACD≌△BED，
∴S△ACD＝S△BED＝1，………………5分
分两种情况：
①当△PBC与△ABC是“友好三角形”时，点P在AB的延长线上，AB＝PB，如图2，
∴PB＝AB＝2BD，
∴S△PBE＝2S△BED＝2；………………7分
②当△APC与△ABC是“友好三角形”时，点P在BA的延长线上，AB＝AP，如图3，
∴PB＝2AB＝4BD，
∴S△PBE＝4S△BED＝4；………………9分
综上所述，此时△PBE的面积为2或4；………………10分
（3） 或 ………………12分
25.（1）解：∵，，
∴，………………1分
∴，………………2分
∵，
∴；………………3分
(2)解：连接，………………4分
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB………………5分
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠AED=450
∴∠ABC-∠ABE=∠AED-∠AEB
∴∠HBE=∠HEB………………6分
∴BH=EH………………7分
(3)∵∠BAC=∠DAE=90
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE
∵∠ABD= （180-∠BAD）
∠ACE= （180-∠CAE）
∴，………………8分
∵，
∴，
∵，，
∴，………………10分
取中点O，连接，则，………………11分
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，则，………………12分
∵，
∴，
∴，………………13分
∴．………………14分上杭县2025∽2026学年第一学期农村片区校半期联考
八年级数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
友情提醒：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效.
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下面图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 1，3，4 C. 1，3，3 D. 2，3，7
3. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　）
A. 7 B.12 C. 2 D. 14
4. 如图，已知，加一个条件不能判定和全等的是（ ）
B.
C. D.
5. 若三角形三个内角度数比为2：3：5，则这个三角形一定是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．如果，那么 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
7. 下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
10.如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①图中有三对全等三角形； ②AD=2DE=2DF； ③AC=2BD； ④AF=3BE．
正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于x轴对称的点为P′，则点P′的坐标为 　．
12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 __ __．
13．如图，∠A＝x°，∠B＝x°，∠ACD＝x°+40°，则x＝　 　．
（13题图） （14题图） （15题图） （16题图）
14. 如图，△ABD和△ACD关于AD所在的直线对称，点D在BC上，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积为___ ___．
15．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交与点、，作直线，交于点，连接．若△ACD的周长为12，△ABC的周长为21，，则AB的长为 ．
16．如图，等边三角形ABC的边长为4，面积为16，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的最小值 　 　．
三、解答题（共86分，共9题，共86分）
17. (8分)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证 BC=AD.
18.(8分) 如图所示，在中，平分是的高，，求的度数．
19. (8分)在如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标是．
（1）写出点B，C的坐标；
（2）已知点，，画出，并判断△ABC与是否成轴对称，若成轴对称，请画出对称轴．
20. (8分)如图，在中，的平分线交于点D．
（1）尺规作图：作的平分线交于点O．
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求的度数．
21.(8分) 图1是小朋友荡秋千的场景．静止时场景平面图中，秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若．
（1）求证：；
（2）求到的距离．
图1
22.(10分) 如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．
23．(10分)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD=2BE．
24．(12分)【定义】我们把三角形被一边上中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
【理解】如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．
【应用】如图2，△ACD和△BCD是“友好三角形”，AC∥BE，AB与CE相交于点D．
（1）求证：△BCD和△BED是“友好三角形”；
（2）若△ACD的面积为1，点P是直线AB上的一动点，连接CP，PE，当图中出现一个三角形和△ABC是“友好三角形”时，求出此时△PBE的面积．
【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题：
（3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 　．
25. (14分)如图1，和△ADE是两个等腰直角三角形，，，与分别交于点，和交于点G，连接，．
（1）若，求的度数；
(2)求证：BH=EH
（3）如图2，延长，交于点M，，求证：．
图1 图2

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