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浙江省金华市婺城区浙江师范大学婺州外国语学校2025-2026学年上学期八年级10月月考数学试卷
一、选择题(共10小题)
1．（2025八上·婺城月考）下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是 (　　)
A．斐波那契螺旋线
B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图
D．阿基米德曲线
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．是轴对称图形，故B正确；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合”逐一判断即可．
2．（2025八上·婺城月考）下列不属于定义的是 (　　)
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．对顶角相等
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
【答案】B
【知识点】定义的概念
【解析】【解答】解：解：A、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离，是定义，不符合题意；
B、对顶角相等，是对顶角的性质，而非定义，符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，是定义，不符合题意；
D、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，是定义，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】定义的概念“一般的，能够清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义”逐项判断即可．
3．（2025八上·婺城月考）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时减去2，不等号方向不变，故，本选项的不等式一定成立；
B、不等式两边同乘2，不等号方向不变，故，本选项的不等式一定成立；
C、不等式两边同乘，不等号方向改变，故，本选项的不等式一定成立；
D、若，，满足，但，故本选项的不等式不成立．
故答案为：D
【分析】根据不等式的基本性质，然后再对各个选项逐一进行解析即可。
4．（2025八上·婺城月考）在△ABC中，∠A，∠B， ∠C的对边分别记为a， b，c， 不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A．b2=(a+c)(a-c) B．
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：，
，
故A能判定为直角三角形，不符合题意；
∵，，则，，
，
，则，
故B能判定为直角三角形，不符合题意；
，，
∴最大的角：，
故C不能判定为直角三角形，符合题意；
∵，设，，，
∴，，
，
故D能，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题．
5．（2025八上·婺城月考）如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠C=70°， D为BC边中点， 则∠CAD等于(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，为边的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：B .
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握等腰三角形三线合一是解此题的关键．
6．（2025八上·婺城月考）有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，徐老师为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(　　)
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：A、选项为三边中线的交点(重心)
重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
B、选项为三条角平分线的交点(内心)
内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
C、选项为三边上高的交点(垂心)
垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
D、选项为三条垂直平分线的交点(外心)
外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项．
7．（2025八上·婺城月考）不等式组 的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组可得，2x-1＞-3，x＞-1
-3x≥-6，x≤2
∴不等式组的解集为-1＜x≤2
故答案为：A.
【分析】根据题意，解出不等式组的解集，在数轴上进行表示即可得到答案。
8．（2025八上·婺城月考）如图， 已知∠B=20°， ∠C=25°， 若PM和QN分别垂直平分AB和AC， 则∠PAQ的度数为(　　)
A．25° B．20° C．45° D．90°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：D .
【分析】利用三角形内角和定理得到，结合垂直平分线的性质得到，，再根据来计算求解即可．
9．（2025八上·婺城月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，小丽进行如图步骤尺规作图，步骤(1)分别以点B，C为圆心，大于 BC长为半径作圆弧， 相交于E， F， 连接EF交BC， AB于点D， G； 步骤(2) 连接AD、根据操作，对下列结论判断正确的是(　　)
①AD平分∠BAC；②AD是△ABC的中线； ③S△ABC=S△ABD；④S△BDC=2S△ADG·
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴是的中线，故②正确；
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴不是的平分线，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点G为的中点，
∴，故④正确；
故答案为：D .
【分析】由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即可判定①③；由于，即可判断②；证明，得到点G为的中点，即可判断④ ．
10．（2025八上·婺城月考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点 E，若 AC=10， 则EF的长为(　　)
A．12 B．14 C．21 D．25
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】延长到点G，使，连接，，根据题意易证，得到，，，进而得到垂直平分，为直角三角形，然后由垂直平分线的性质可知，最后利用勾股定理求得即可得到答案．
二、填空题(共6小题)
11．（2025八上·婺城月考） “如果a， b互为倒数， 那么 ab=1”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”).
【答案】真
【知识点】有理数的倒数；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果a，b互为倒数，那么”的逆命题是
“如果，那么a，b互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真.
【分析】先写出命题的逆命题，再判断即可.
12．（2025八上·婺城月考）已知三角形的两边a=1，b=7，若第三边c的长为整数，则c的值为　 　.
【答案】7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，
即，
∵第三边的长为整数，
∴．
故答案为：7．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数即可解答．
13．（2025八上·婺城月考）如图， AB∥CD， △ACE为等边三角形， ∠DCE=40°，则∠EAB 的度数为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
【分析】根据等边三角形的性质求得的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补即可求答案．
14．（2025八上·婺城月考）如图， 在四边形ABCD中， ∠A=90°， AB=4cm， AD=2cm， BC=CD， E'是AB上一点. 若沿CE折叠， 恰好B， D两点重合， 则DE=　 　cm .
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿折叠后， B，D两点恰好重合，
利用折叠性质可设
则
在中，由勾股定理可得
即
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】由折叠性质可得，表示出，在直角三角形中，用勾股定理求解即可．
15．（2025八上·婺城月考）若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
又不等式组有且只有2个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母，利用不等式组有且只有三个整数解，逆推出的取值范围即可．根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键．
16．（2025八上·婺城月考）如图， 在边长为2的等边△ABC中， AD是BC边上的中线， E为AD⊥一动点， 连接BE， 在BE的下方作等边△BEF.连接DF，则△BDF的周长的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵都是等边三角形，
∴，，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，， 则，
∴当在同一直线上时， 的最小值等于线段长，且时， 的周长最小，
由轴对称的性质，可得
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴的周长最小值为，
故答案为：.
【分析】连接，可以得出，再根据等边三角形的性质就可以得到从而得出作点关于的对称点， 连接， 即可得到依据当在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数，然后计算最小周长即可.
三、解答题(共8小题)
17．（2025八上·婺城月考） 解下列不等式(组)：
（1） 9x-1>7x+3
（2）
【答案】（1）解：
∴原不等式的解集为；
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求其公共解集即可．
18．（2025八上·婺城月考） 如图方格纸中每个小正方形的边长都为1，请画出符合要求的图形，所画图形顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合.
（1）在图1中画出一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等；
（2）在图2中画出一个面积为4的直角三角形.
【答案】（1）解：如图所示即为所求（答案不唯一）：
理由如下：
，，，
∴；
（2）解：如图所示即为所求（答案不唯一）：
理由如下：
．
【知识点】尺规作图-作三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可：
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
19．（2025八上·婺城月考） 数学课上， 老师提出了一个问题： 如图， 已知∠C=∠F=90°，BC=EF ，请补充一个条件，使得△ABC≌△DEF .三位同学展示了自己补充的条件：
甲补充条件AC=DF ，全等的判定依据是SAS：
乙补充条件∠B=∠E，全等的判定依据是 ① ；
丙补充条件 ② ，全等的判定依据是HL.
（1）请补全乙、丙同学展示的答案；
（2）请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程.
【答案】（1）解：乙：∵，，，
∴；
丙：∵，，，
∴．
故答案为：；．
（2）解：
证明：甲：∵，，，
∴；
乙：∵，，，
∴；
丙：∵，，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据已知，，乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件；
（2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得即可．
20．（2025八上·婺城月考） 定义关于@的一种运算： a@b=a+2b， 如2@3=2+6=8.
（1） 若3@x<7， 且x为正整数， 求x的值.
（2） 若关于x的不等式3(x+1)≤8-x的解和x@a≤5的解相同， 求a的值.
【答案】（1）解：由得：，
解得，
∵x为正整数，
∴；
（2）解：解不等式得：，
由得：，
解得：，
∵关于x的不等式的解和的解相同，
∴，
解得．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案；
（2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可．
21．（2025八上·婺城月考）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
　 A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：依题意得： ，
解得： ，
答：a的值为80，b的值为120；
（2）解：设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，
依题意得： ，
解得：10≤x＜12.5，
∵x为整数，
∴x可以为10，11，12.
当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80＋15×120＝2600（元）；
当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80＋14×120＝2560（元）；
当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80＋13×120＝2520（元）.
∵2600＞2560＞2520，
∴该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）由10辆A型车的利润+12辆B型车的利润=2240及20辆A型车的利润+15辆B型车的利润=3400，列出方程组，求解即可；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，由B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍列出不等式组 ，求出x的范围，根据x为整数可得x的取值，然后求出利润，进行比较即可.
22．（2025八上·婺城月考） 如图1， ∠ACB=90°， AC=BC， BE⊥CE， AD⊥CE于D，
（1） 求证： △BCE≌△CAD；
（2） 猜想： AD， DE， BE 的数量关系为 　 　(不需证明)；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）
（2）DE= AD-BE
（3）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD=CE，BE=CD，
DE=CD-CE=BE-AD．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
故答案为：DE= AD-BE
【分析】（1）利用同角的余角相等得到，再根据AAS定理进行证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，再利用线段之间的转化，进而可得出结论；
（3）先证明△BCE≌△CAD，利用线段的和差得出结论．
23．（2025八上·婺城月考） 如图1， AC⊥BD于点E， 连结AB， CD， AB=10， BE=8， 点P在线段AB上运动时(不与A，B重合)，点Q在线段AC上，满足 连结PQ，当P为AB中点时，Q恰好与点 E 重合.
（1） 求AC的长.
（2） 如图2， 若∠C=∠B， 点P 运动到AB 中点时， 延长PE交CD 于点 F， 求证： PF⊥CD.
（3）如图3，连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的AP的长.
【答案】（1）解：∵于点
∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：当是等腰三角形，且时，
∵，
∴，
∴
当是等腰三角形，且时，
∵ ，且，
∴
∴
，
∴，
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合．
∴不存在的情况，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用勾股定理求得，再由P为中点时，Q恰好与点E重合，得，即可求得结果；
（2）当P为中点时，Q恰好与点E重合，延长交于点F，则，可得到，进而，即可证明，即，即可得出结论．
（3）分三种情况，一是，则得；二是，由，且，，得，则得，三是由垂直平分，可得，若点Q与点C重合，则，但点P不与B重合，则点Q不与点C重合，所以不存在的情况．即可得出结果．
24．（2025八上·婺城月考） 如图， 在锐角三角形ABC中， 点D， E分别在边AB， AC上， 连接DE， 将△ADE沿DE翻折后，点A落在BC边上的点P，当△BDP和△CEP均为等腰三角形时，我们把线段DE称为△ABC的完美翻折线，P为完美点.
（1）如图1，等边△ABC的边长为4，边BC的中点P是完美点，则完美翻折线DE的长为　 　.
（2）如图2，已知DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点.当∠B，∠C都为等腰三角形顶角时，求此时∠A的度数.
（3） 已知在△ABC中， AB=6， AC=5，
①在(2)的条件下，求BC的长.
②如图3，DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点，当∠B，∠EPC为顶角时， 的值为 (直接写出答案)
【答案】（1）2
（2）解：连接，设，，
∵为的完美翻折线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵和是等腰三角形，且，都为顶角
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）解：①过B作于点M，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，又
∴．
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵P为的完美点，
∴，和是等腰三角形，
∵
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：2；
（3）解：②连接，过P作于点H，于点N，
∵为的完美翻折线，
∴，和是等腰三角形，
设，，
∴，，
∴，，
∵，为顶角，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，为的平分线，
∴，
又，，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据翻折得到，利用等边三角形的性质得到，即可得到和是等边三角形，再证明是等边三角形即可求解；
（2）连接，设，，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质得到，，根据即可求解；
（3）①过B作于点M，根据含角的直角三角形的性质可得，，则，利用勾股定理即可求解；
②连接，过P作于点H，于点N，设，，根据可得，则为的平分线，，最后根据等面积法即可求解．
1 / 1浙江省金华市婺城区浙江师范大学婺州外国语学校2025-2026学年上学期八年级10月月考数学试卷
一、选择题(共10小题)
1．（2025八上·婺城月考）下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是 (　　)
A．斐波那契螺旋线
B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图
D．阿基米德曲线
2．（2025八上·婺城月考）下列不属于定义的是 (　　)
A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
B．对顶角相等
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
3．（2025八上·婺城月考）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·婺城月考）在△ABC中，∠A，∠B， ∠C的对边分别记为a， b，c， 不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A．b2=(a+c)(a-c) B．
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．
5．（2025八上·婺城月考）如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠C=70°， D为BC边中点， 则∠CAD等于(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（2025八上·婺城月考）有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，徐老师为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(　　)
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
7．（2025八上·婺城月考）不等式组 的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·婺城月考）如图， 已知∠B=20°， ∠C=25°， 若PM和QN分别垂直平分AB和AC， 则∠PAQ的度数为(　　)
A．25° B．20° C．45° D．90°
9．（2025八上·婺城月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，小丽进行如图步骤尺规作图，步骤(1)分别以点B，C为圆心，大于 BC长为半径作圆弧， 相交于E， F， 连接EF交BC， AB于点D， G； 步骤(2) 连接AD、根据操作，对下列结论判断正确的是(　　)
①AD平分∠BAC；②AD是△ABC的中线； ③S△ABC=S△ABD；④S△BDC=2S△ADG·
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
10．（2025八上·婺城月考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点 E，若 AC=10， 则EF的长为(　　)
A．12 B．14 C．21 D．25
二、填空题(共6小题)
11．（2025八上·婺城月考） “如果a， b互为倒数， 那么 ab=1”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”).
12．（2025八上·婺城月考）已知三角形的两边a=1，b=7，若第三边c的长为整数，则c的值为　 　.
13．（2025八上·婺城月考）如图， AB∥CD， △ACE为等边三角形， ∠DCE=40°，则∠EAB 的度数为　 　.
14．（2025八上·婺城月考）如图， 在四边形ABCD中， ∠A=90°， AB=4cm， AD=2cm， BC=CD， E'是AB上一点. 若沿CE折叠， 恰好B， D两点重合， 则DE=　 　cm .
15．（2025八上·婺城月考）若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，则a的取值范围是　 　.
16．（2025八上·婺城月考）如图， 在边长为2的等边△ABC中， AD是BC边上的中线， E为AD⊥一动点， 连接BE， 在BE的下方作等边△BEF.连接DF，则△BDF的周长的最小值为　 　.
三、解答题(共8小题)
17．（2025八上·婺城月考） 解下列不等式(组)：
（1） 9x-1>7x+3
（2）
18．（2025八上·婺城月考） 如图方格纸中每个小正方形的边长都为1，请画出符合要求的图形，所画图形顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合.
（1）在图1中画出一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等；
（2）在图2中画出一个面积为4的直角三角形.
19．（2025八上·婺城月考） 数学课上， 老师提出了一个问题： 如图， 已知∠C=∠F=90°，BC=EF ，请补充一个条件，使得△ABC≌△DEF .三位同学展示了自己补充的条件：
甲补充条件AC=DF ，全等的判定依据是SAS：
乙补充条件∠B=∠E，全等的判定依据是 ① ；
丙补充条件 ② ，全等的判定依据是HL.
（1）请补全乙、丙同学展示的答案；
（2）请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程.
20．（2025八上·婺城月考） 定义关于@的一种运算： a@b=a+2b， 如2@3=2+6=8.
（1） 若3@x<7， 且x为正整数， 求x的值.
（2） 若关于x的不等式3(x+1)≤8-x的解和x@a≤5的解相同， 求a的值.
21．（2025八上·婺城月考）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：
　 A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240
第二周 20 15 3400
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
22．（2025八上·婺城月考） 如图1， ∠ACB=90°， AC=BC， BE⊥CE， AD⊥CE于D，
（1） 求证： △BCE≌△CAD；
（2） 猜想： AD， DE， BE 的数量关系为 　 　(不需证明)；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
23．（2025八上·婺城月考） 如图1， AC⊥BD于点E， 连结AB， CD， AB=10， BE=8， 点P在线段AB上运动时(不与A，B重合)，点Q在线段AC上，满足 连结PQ，当P为AB中点时，Q恰好与点 E 重合.
（1） 求AC的长.
（2） 如图2， 若∠C=∠B， 点P 运动到AB 中点时， 延长PE交CD 于点 F， 求证： PF⊥CD.
（3）如图3，连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的AP的长.
24．（2025八上·婺城月考） 如图， 在锐角三角形ABC中， 点D， E分别在边AB， AC上， 连接DE， 将△ADE沿DE翻折后，点A落在BC边上的点P，当△BDP和△CEP均为等腰三角形时，我们把线段DE称为△ABC的完美翻折线，P为完美点.
（1）如图1，等边△ABC的边长为4，边BC的中点P是完美点，则完美翻折线DE的长为　 　.
（2）如图2，已知DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点.当∠B，∠C都为等腰三角形顶角时，求此时∠A的度数.
（3） 已知在△ABC中， AB=6， AC=5，
①在(2)的条件下，求BC的长.
②如图3，DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点，当∠B，∠EPC为顶角时， 的值为 (直接写出答案)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．是轴对称图形，故B正确；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合”逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】定义的概念
【解析】【解答】解：解：A、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离，是定义，不符合题意；
B、对顶角相等，是对顶角的性质，而非定义，符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，是定义，不符合题意；
D、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，是定义，不符合题意．
故答案为：B .
【分析】定义的概念“一般的，能够清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义”逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时减去2，不等号方向不变，故，本选项的不等式一定成立；
B、不等式两边同乘2，不等号方向不变，故，本选项的不等式一定成立；
C、不等式两边同乘，不等号方向改变，故，本选项的不等式一定成立；
D、若，，满足，但，故本选项的不等式不成立．
故答案为：D
【分析】根据不等式的基本性质，然后再对各个选项逐一进行解析即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：，
，
故A能判定为直角三角形，不符合题意；
∵，，则，，
，
，则，
故B能判定为直角三角形，不符合题意；
，，
∴最大的角：，
故C不能判定为直角三角形，符合题意；
∵，设，，，
∴，，
，
故D能，不符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题．
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，为边的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：B .
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握等腰三角形三线合一是解此题的关键．
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：A、选项为三边中线的交点(重心)
重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
B、选项为三条角平分线的交点(内心)
内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
C、选项为三边上高的交点(垂心)
垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
D、选项为三条垂直平分线的交点(外心)
外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项．
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组可得，2x-1＞-3，x＞-1
-3x≥-6，x≤2
∴不等式组的解集为-1＜x≤2
故答案为：A.
【分析】根据题意，解出不等式组的解集，在数轴上进行表示即可得到答案。
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：D .
【分析】利用三角形内角和定理得到，结合垂直平分线的性质得到，，再根据来计算求解即可．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴是的中线，故②正确；
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴不是的平分线，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点G为的中点，
∴，故④正确；
故答案为：D .
【分析】由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即可判定①③；由于，即可判断②；证明，得到点G为的中点，即可判断④ ．
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】延长到点G，使，连接，，根据题意易证，得到，，，进而得到垂直平分，为直角三角形，然后由垂直平分线的性质可知，最后利用勾股定理求得即可得到答案．
11．【答案】真
【知识点】有理数的倒数；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果a，b互为倒数，那么”的逆命题是
“如果，那么a，b互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真.
【分析】先写出命题的逆命题，再判断即可.
12．【答案】7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，
即，
∵第三边的长为整数，
∴．
故答案为：7．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数即可解答．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
【分析】根据等边三角形的性质求得的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补即可求答案．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵沿折叠后， B，D两点恰好重合，
利用折叠性质可设
则
在中，由勾股定理可得
即
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】由折叠性质可得，表示出，在直角三角形中，用勾股定理求解即可．
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
又不等式组有且只有2个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母，利用不等式组有且只有三个整数解，逆推出的取值范围即可．根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵都是等边三角形，
∴，，
，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，， 则，
∴当在同一直线上时， 的最小值等于线段长，且时， 的周长最小，
由轴对称的性质，可得
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴的周长最小值为，
故答案为：.
【分析】连接，可以得出，再根据等边三角形的性质就可以得到从而得出作点关于的对称点， 连接， 即可得到依据当在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数，然后计算最小周长即可.
17．【答案】（1）解：
∴原不等式的解集为；
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求其公共解集即可．
18．【答案】（1）解：如图所示即为所求（答案不唯一）：
理由如下：
，，，
∴；
（2）解：如图所示即为所求（答案不唯一）：
理由如下：
．
【知识点】尺规作图-作三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可：
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
19．【答案】（1）解：乙：∵，，，
∴；
丙：∵，，，
∴．
故答案为：；．
（2）解：
证明：甲：∵，，，
∴；
乙：∵，，，
∴；
丙：∵，，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据已知，，乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件；
（2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得即可．
20．【答案】（1）解：由得：，
解得，
∵x为正整数，
∴；
（2）解：解不等式得：，
由得：，
解得：，
∵关于x的不等式的解和的解相同，
∴，
解得．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案；
（2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可．
21．【答案】（1）解：依题意得： ，
解得： ，
答：a的值为80，b的值为120；
（2）解：设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，
依题意得： ，
解得：10≤x＜12.5，
∵x为整数，
∴x可以为10，11，12.
当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80＋15×120＝2600（元）；
当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80＋14×120＝2560（元）；
当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80＋13×120＝2520（元）.
∵2600＞2560＞2520，
∴该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）由10辆A型车的利润+12辆B型车的利润=2240及20辆A型车的利润+15辆B型车的利润=3400，列出方程组，求解即可；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，由B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍列出不等式组 ，求出x的范围，根据x为整数可得x的取值，然后求出利润，进行比较即可.
22．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）
（2）DE= AD-BE
（3）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD=CE，BE=CD，
DE=CD-CE=BE-AD．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
故答案为：DE= AD-BE
【分析】（1）利用同角的余角相等得到，再根据AAS定理进行证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，再利用线段之间的转化，进而可得出结论；
（3）先证明△BCE≌△CAD，利用线段的和差得出结论．
23．【答案】（1）解：∵于点
∴，
∵，，
∴，
∵当P为中点时，Q恰好与点E重合，且，
∴，
∴，
∴的长是12．
（2）证明：由已知得，当P为中点时，Q恰好与点E重合，
∵，P为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：当是等腰三角形，且时，
∵，
∴，
∴
当是等腰三角形，且时，
∵ ，且，
∴
∴
，
∴，
∵垂直平分，
∴若点Q与点C重合，则，
∵点P不与B重合，且，
∴点Q不与点C重合．
∴不存在的情况，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用勾股定理求得，再由P为中点时，Q恰好与点E重合，得，即可求得结果；
（2）当P为中点时，Q恰好与点E重合，延长交于点F，则，可得到，进而，即可证明，即，即可得出结论．
（3）分三种情况，一是，则得；二是，由，且，，得，则得，三是由垂直平分，可得，若点Q与点C重合，则，但点P不与B重合，则点Q不与点C重合，所以不存在的情况．即可得出结果．
24．【答案】（1）2
（2）解：连接，设，，
∵为的完美翻折线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵和是等腰三角形，且，都为顶角
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）解：①过B作于点M，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，又
∴．
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵P为的完美点，
∴，和是等腰三角形，
∵
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：2；
（3）解：②连接，过P作于点H，于点N，
∵为的完美翻折线，
∴，和是等腰三角形，
设，，
∴，，
∴，，
∵，为顶角，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，为的平分线，
∴，
又，，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据翻折得到，利用等边三角形的性质得到，即可得到和是等边三角形，再证明是等边三角形即可求解；
（2）连接，设，，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质得到，，根据即可求解；
（3）①过B作于点M，根据含角的直角三角形的性质可得，，则，利用勾股定理即可求解；
②连接，过P作于点H，于点N，设，，根据可得，则为的平分线，，最后根据等面积法即可求解．
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