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浙江省浙北六校2025-2026学年九年级上学期期中学情调研数学试卷
1．（2025九上·浙江期中）下列函数中，不属于二次函数的是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025九上·浙江期中）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色外其它都相同的小球，已知口袋中只装有2个白球，且从中摸出一个球恰好是白球的概率为 ，那么口袋中小球的总数为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2025九上·浙江期中） ⊙O的半径为4， 圆心O的坐标为(0，0)， 点P的坐标为(3，4)， 则点P与⊙O的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．不能确定
4．（2025九上·浙江期中）若关于x的二次函数 有最大值，则m的值可能为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2025九上·浙江期中） 如图， △ABC中， AC=BC， ∠ACB=90°， 将BC绕点C逆时针旋转30°得到DC，连接DB， DA， 则∠ADB的度数为(　　)
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．（2025九上·浙江期中）下列说法正确的是(　　)
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．相等的圆周角所对的弧相等
D．外心是三角形三条边的中线的交点
7．（2025九上·浙江期中） 已知(-2，y1)， (0，y2)， (3，y3)是二次函数. 的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
8．（2025九上·浙江期中）如图，二次函数 的图象关于直线x=1对称，则下列四个结论：①abc<0：②4a+2b+c>0；③ak2+ bk-a-b≥0.其中正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2025九上·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在y轴上，与x轴交于点A，B，直线MN与⊙P交于点M(-3，m)， N(-1，-1)， 点C在⊙P上， 且∠MCN=45°， 则AB的长为(　　)
A． B． C． D．3
10．（2025九上·浙江期中）已知抛物线 经过点(1，n)，(m，n)，-3A． B．- 2≤b<1 C． D．- 211．（2025九上·浙江期中）二次函数 的顶点坐标为　 　.
12．（2025九上·浙江期中）某兴趣小组进行抛硬币实验，20次中有8次是正面朝上，若再抛一次，正面朝上的概率为　 　.
13．（2025九上·浙江期中） 如图， ⊙O的是△ABC的外接圆， AD为直径， 连结BD， ∠BAD=27°， 则∠C的度数为　 　.
14．（2025九上·浙江期中）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD折叠正好经过GB 中点E，已知AB=4，则 CD 的长为　 　.
15．（2025九上·浙江期中）已知二次函数y=-x2+2x+3(x1≤x≤x2）的最大值为m，最小值为n，且x1＜1＜x2，若m-n=10，则x2-x1的最大值为　 　.
16．（2025九上·浙江期中） 如图， AB为⊙O 直径， 弦CD⊥AB 于点E， CD=AE=8， 点 F为弧AD 上一动点， 连入结BF， 点G为BF中点， 连结DG， 则DG的最小值为　 　.
17．（2025九上·浙江期中）已知二次函数 的图象经过点A(-2，4)，对称轴为直线
（1）求该二次函数的表达式：
（2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标.
18．（2025九上·浙江期中）国庆前期，某校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程.
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.
19．（2025九上·浙江期中）小明在做作业本①第28页第6题：“如图，点P在⊙O外，过点P作PA，PB分别交⊙O于A， C和B， D， 且AC=BD， 则PO平分∠APB 吗 为什么 ”时， 用的是如下的方法，他同桌小方却说他的方法有问题。
证明：连结OC，OD，
因为AC=BD，所以∠AOC=∠BOD，
又因为OA=OB，OC=OD， 所以△AOC≌△BOD（SAS）
所以∠OAP=∠OBP
在△OAP和△OBP中
所以△OAP≌△OBP
所以∠APO=∠BPO
所以PO平分∠APB .
（1）请指出小明的方法错在哪里？
（2）请你完成这道题的证明过程.
20．（2025九上·浙江期中）如图，抛物线 与直线y= kx+b.相交于点A(-2，0)和点B(1，3).
（1）结合图象，求不等式 的解；
（2） 将直线y= kx+b向右平移m(m>0))个单位后与抛物线只有一个交点，求m的值.
21．（2025九上·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，7)，点B 的坐标为(9，7)，点C的坐标为(3， 9).
（1）请写出△ABC的外心坐标，并画出△ABC的外接圆.
（2）仅用无刻度直尺作出△ABC的角平分线CD.
22．（2025九上·浙江期中）某超市以30元/千宽的价格购进一批草莓，如果以35元/千克的价格销售，每天可售出300千克，根据以往销售经验可知，售价每涨1元，每天少卖20千克，记每天的销量为y(千克)，售价为x(元/千克).
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）设该超市每天销售草莓获得的利润为ω元，求当售价为多少时，每天获得的利润最大，最大为多少
23．（2025九上·浙江期中） 已知抛物线y= ax-+ bx+c(a≠0).
（1）若抛物线经过(3，c)，求抛物线的对称轴；
（2）若2a+b=0， c=2， 当-1≤x≤2时， y有最大值6， 求a的值；
（3） 若抛物线顶点坐标为(-1，0)，当x=1时， y=m； x=2时， y=n， 且m>1， 求n的范围.
24．（2025九上·浙江期中） 如图， 等腰△ABC中， AB=AC， ∠BAC≠90°， BC=3， 以AC为直径的⊙O交BC于点D，交BA所在直线于点E (不与A重合)，连结DE
（1） 求证： BD=CD；
（2） 当∠BAC=120°时， 求AE的长；
（3）令AB=x， AE=y， 请直接写出y关于x的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：是二次函数，不符合题意；
是二次函数，不符合题意；
是二次函数，不符合题意；
不是二次函数，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”逐项判断.
2．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得到
解得x=8，
经检验知x=8是方程的解，
所以口袋中小球共有8个.
故答案为：B .
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 ，然后求出x即可.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：连接OP，作 轴于点Q，则
∵P(3，4)，
∴Q(3，0)，
∵⊙O的半径为4，且5>4，
∴点P到圆心O的距离大于⊙O的半径，
∴点P在⊙O外，
故答案为：A .
【分析】连接OP，作 轴于点Q，则 由P(3，4)， 得OQ=3，PQ=4，则OP= 因为⊙O的半径为4，所以点P到圆心O的距离大于⊙O的半径，可知点P在⊙O外，于是得到问题的答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数. 有最大值，
∴m-2<0，
解得m<2，
∴符合条件的数值为1，
故答案为：D .
【分析】根据抛物线的开口向下，有最大值，即a<0解答即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将BC绕点C逆时针旋转30°得到DC，
∴DC= BC， ∠BCD=30°，
，
∵AC=BC， ∠ACB=90°，
∴DC=AC，∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°，
，
∴∠ADB=∠CDB-∠CDA=45°，
故答案为：C .
【分析】由旋转得DC = BC， ∠BCD=30°， 则∠CDB=∠CBD=75°， 因为AC=BC， ∠ACB=90°， 所以DC= AC， ∠ACD=120°， 则∠CDA=∠CAD=30°， 求得∠ADB=∠CDB-∠CDA=45°，于是得到问题的答案.
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、垂直于弦的直径平分这条弦，说法正确，符合题意；
B、平分弦 (不是直径)的直径垂直于这条弦，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法不正确，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据垂径定理、垂径定理的推论、圆周角定理、三角形的外心的定义判断即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数. 的对称轴为直线x=，开口向下
又∵1-(-2)>3-1>1-0，
∴离对称轴越远的点的函数值越小，即 ，
故答案为：C .
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据开口向下，离对称轴越远的点的函数值越小解答即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵开口向上，
∴a>0，
又∵对称轴位于y轴的右侧，
∴a，b异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①错误；
由对称轴可知x=2和x=0时函数值相等，且y<0，
即4a+2b+c<0，故②错误；
∵对称轴为x=1，
∴y=a+b+c最小，
当x=k时，y=ak2+bk+c≥a+b+c，
即 ak2+ bk-a-b≥0 ，故③正确；
故答案为：B .
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点的位置判断a，b，c的取值范围即可判断①；利用对称性得到x=2和x=0时函数值相等且y<0判断②；根据当x=1时函数值最小，判断③解答即可.
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；勾股定理；垂径定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：连接PM，PN，PA，过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，如图所示，
∵∠MCN=45°，
∴∠MPN=90°=∠MEP=∠NFP，
∴∠EMP+∠MPE=∠NPF+∠MPE=90°，
∴∠EMP=∠NPF，
∴△MPE≌△PNF，
∴MP=PF=3，PE=NF=1，
∴PM=，
又∵OF=1，
∴OP=2，
∴，
∴，
故答案为：B .
【分析】连接PM，PN，PA，过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，即可得到△MPE≌△PNF，进而求得MP=PF=3，PE=NF=1，根据勾股定理求出PM长，再根据垂径定理和勾股定理解答即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 经过点(I，n)，(m，n)，
∴抛物线的对称轴为直线x=，则m=-b-1，
∵-3∴-3<-b-1<1，解得-2∵且 时
∴点A离对称轴距离大于点B离对称轴的距离，
∴，
即
∵且 ，
∴，
解得，
∴ ，
故答案为：C .
【分析】根据抛物线的对称轴求出m=-b-1，然后根据-311．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由顶点式可知 y=x2+1的顶点为（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】利用顶点式即可直接找到顶点坐标.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同，
其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关，故再抛一次，正面朝上的概率为
故答案为：
【分析】根据抛硬币正面朝上，反面朝上出现的可能性进行判断.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AD为⊙O的直径，
由圆周角定理得：
故答案为：
【分析】根据圆周角定理得到 根据直角三角形的性质求出. 再根据圆周角定理解答即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AB交CD于F， 连接OC， 如图：
∵AB=4，
∴OA =OB=OC = 2，
∵E为OB中点，
∴BE=OE=1，
∴AE= AB-BE =4-1 = 3，
∵翻折，
∵CD⊥AB，
故答案为：
【分析】设AB交CD于F， 连接OC， 由AB=4， 可得OA=OB=OC=2， 即得BE=OE=1， AE =3，由翻折，求出 OF 再根据勾股定理得DF =CF 从而根据线段的和差解答即可
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
∴ 当x=1时，y有最大值为4，即m=4，
∵m-n=10，
∴n=-6，
令y=-6，则，
解得x=1±，
∴ x2-x1的最大值为x2-x1=，
故答案为： .
【分析】先配方得到顶点式，即可得到x=1时，y有最大值为4，然后求出n=-6，令n=-6，即可得到，求出x的值，即可求出x2-x1的最大值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆-动点问题；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OG，设圆的半径为r，
∵ 弦CD⊥AB 于点E，
∴CE=DE=4，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，即r2=42+(8-r)2，
解得r=5，
∴OE=3，
又∵ 点G为BF中点，
∴∠OGB=90°，
∴点G在以OB为直径的 ⊙I上移动，即当I，D，G三点共线时，DG最小，
这时OI=2.5，IE=0.5，
∴ID=，
∴DG的最小值为，
故答案为： .
【分析】连接OC，OG，设圆的半径为r，根据垂径定理和勾股定理求出r=5，即可得到OE=3，然后根据点G为BF中点，可得∠OGB=90°，即可得到点G在以OB为直径的 ⊙I上移动，当I，D，G三点共线时，DG最小，然后根据勾股定理求出ID长解答即可.
17．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点A(-2，4)，对称轴为直线
解得
∴二次函数的关系式为
（2）解：令y=0，则
解得：
∴这个函数图象与x轴的交点坐标为(2，0)，(-1，0).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得答案；
(2)令y=0，解得x的值，可得出函数图象与x轴的交点横坐标.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有 9 种等可能的结果，其中两次摸到的数字之和大于4 的结果数有 3 种，两次摸到的数字之和小于 4 有 3种，
∴小明获胜的概率为 小红获胜的概率为
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】(1)解：小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3三张纸牌的可能性相同，
∴摸到“1”的概率是
故答案为：；
【分析】(1)根据概率公式计算即可；
(2)列表求出所有可能的情况，再用概率公式求出两人获胜的概率，比较即可得到答案.
19．【答案】解：(1)小明的错误在于：由AC=BD，得出∠AOC= ∠BOD，是错误的，因为AC和BD是弦，不是弧，所以不能直接得出∠AOC=∠BOD；(2)过点O作OM⊥AC于点M， ON⊥BD于点N，连接OA，OB，
因为AC= BD，所以AM=CN， BM=DN，又因为OA=OB，所以Rt△OAM≌Rt△OBN，所以OM=ON。
因为OM⊥AC， ON⊥BD， 所以PO平分∠APB。
（1）解：小明的错误在于：不能判定△OAP≌△OBP.
（2）证明：过点O作OM⊥AC于点M， ON⊥BD于点N，连接OA，OB，
因为AC= BD，
所以AM=CN， BM=DN，
又因为OA=OB，
所以Rt△OAM≌Rt△OBN，
所以OM=ON。
因为OM⊥AC， ON⊥BD，
所以PO平分∠APB。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据解答过程逐一判断即可；
（2）点O作OM⊥AC于点M， ON⊥BD于点N，连接OA，OB，根据垂径定理和HL证明Rt△OAM≌Rt△OBN，即可得到OM=ON，然后根据角平分线的判定证明即可.
20．【答案】（1）解：抛物线 与直线y = kx+b相交于点A(-2，0)和点B(1，3)， 如图，
结合函数图象可知，不等式 的解集为-2（2）解：∵直线y = kx+b相交于点A(-2，0)和点B(1，3)，
解得
∴直线为y=x+2，
将直线y = kx+b向右平移m(m>0)个单位后得到y=(x-m)+2，
令 整理得 2=0，
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴△=0， 即1-4(m-2)=0，
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)结合函数图象即可求解；
(2)利用待定系数法求得直线的解析式，利用平移的性质求得平移后的函数解析式，与抛物线的解析式联立，得到关于x的方程，根据题意△=0，即可求得m的值.
21．【答案】（1）解：如图，作AC和AB的垂直平分线，交于点O，则点O的坐标为(5，5)；
以O为圆心，OA长为半径作圆O；
（2）解：作AB的垂直平分线，交圆O于点T，连接CT交AB于点D 则CD即为所作.
【知识点】点的坐标；垂径定理；尺规作图-作三角形的外接圆；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）作AC和AB的垂直平分线，交于点O，点O即为圆心；以O为圆心，OA长为半径作圆O；
（2）作AB的垂直平分线，交圆O于点T，连接CT交AB于点D 点D即为所作.
22．【答案】（1）解：由题意，∵售价为x元/千克，且售价每涨1元，每天少卖20千克，
∴y=300-20(x-35)， 即y=-20x+1000.
∵x≥30， 且-20x+1000≥0，
∴30≤x≤50.
∴y与x之间的函数关系式为y =-20x+1000(30≤x≤50).
（2）解：由题意得，该超市每天销售草莓获得的利润为w=(x-30)(-20x+1000)
∵-20<0， 且30≤x≤50，
∴当x =40时，每天获得的利润最大，最大值为2000.
答：当售价为40元/千克时，每天获得的利润最大，最大为2000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，由售价为x元/千克，且售价每涨1元，每天少卖20千克， 列函数关系式；
(2)根据总利润=单利润×销售量列函数关系式，配方为顶点式求出最值即可.
23．【答案】（1）解：将点(3，c)代入抛物线方程可得：9a+3b+c=c，
解得b=-3a，
∴抛物线的对称轴公式
将b=-3a代入可得：
因此，抛物线的对称轴为
（2）解：由2a+b=0可得b=-2a，
根据抛物线的对称轴公式
当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴x=1处取得最小值，在x=-1或x=2处取得最大值
将x =-1代入抛物线方程可得： y=a-b+c，
将b=-2a， c=2代入可得： y=a-(-2a)+2=3a+2，
将x = 2代入抛物线方程可得： y=4a+2b+c，
将b=-2a， c=2代入可得： y=4a+2×(-2a)+2=2，
因为3a+2>2， 所以当x =-1时， y取得最大值6，
即3a+2=6， 解得
当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴x =1处取得最大值，在x = 1或x =2处取得最小值，
将x=1代入抛物线方程可得： y=a+b+c，将b=-2a， c=2代入可得： y=a+(-2a)+2=-a+2，
因为-a+2>2，
所以当x =1时， y取得最大值6即-a+2=6，可得-a=4，解得a=-4。
因此，a的值为 或-4；
（3）解：已知抛物线顶点坐标为((-1，0)，则抛物线的表达式为
当x=1时，y=m，
将x=1代入抛物线方程可得： a。
因为m>1，
所以4a>1，解得
当x=2时，y=n，
将x=2代入抛物线方程可得： 。
因为 所以 即
因此，n的范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点(3，c)代入抛物线解析式求出b=-3a，然后利用对称轴公式计算解答即可；
（2）根据题意求出对称轴为直线x=1，然后分为a>0和a<0两种情况，根据增减性得到最大值，列方程解答即可；
（3）设抛物线的解析式为 求出x=1和x=2时的函数值，根据m>1求出n的取值范围即可.
24．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AC是 ⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：连接EC，则∠BEC=90°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30°，
∴，∠BCE=60°，
∴∠ECA=30°，
∴AC=2AE，
在Rt△AEC中，AE2+EC2=AC2，即AE2+()2=(2AE)2，
解得，（负值舍去）
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（3）解：∵AB=AC=x，AE=y，
∴BE=x+y，
在Rt△BEC中，EC2=BC2-BE2，
在Rt△AEC中，EC2=AC2-AE2，
∴BC2-BE2=AC2-AE2，即32-(x+y)2=x2-y2，
∴.
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的三线合一证明即可；
（2）连接EC，则∠BEC=90°，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠B=∠ACB=∠ACE=30°，然后根据30的直角三角形的性质和勾股定理解题即可；
（3）根据勾股定理得到BC2-BE2=AC2-AE2，然后代入数值整理即可.
1 / 1浙江省浙北六校2025-2026学年九年级上学期期中学情调研数学试卷
1．（2025九上·浙江期中）下列函数中，不属于二次函数的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：是二次函数，不符合题意；
是二次函数，不符合题意；
是二次函数，不符合题意；
不是二次函数，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”逐项判断.
2．（2025九上·浙江期中）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色外其它都相同的小球，已知口袋中只装有2个白球，且从中摸出一个球恰好是白球的概率为 ，那么口袋中小球的总数为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得到
解得x=8，
经检验知x=8是方程的解，
所以口袋中小球共有8个.
故答案为：B .
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 ，然后求出x即可.
3．（2025九上·浙江期中） ⊙O的半径为4， 圆心O的坐标为(0，0)， 点P的坐标为(3，4)， 则点P与⊙O的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：连接OP，作 轴于点Q，则
∵P(3，4)，
∴Q(3，0)，
∵⊙O的半径为4，且5>4，
∴点P到圆心O的距离大于⊙O的半径，
∴点P在⊙O外，
故答案为：A .
【分析】连接OP，作 轴于点Q，则 由P(3，4)， 得OQ=3，PQ=4，则OP= 因为⊙O的半径为4，所以点P到圆心O的距离大于⊙O的半径，可知点P在⊙O外，于是得到问题的答案.
4．（2025九上·浙江期中）若关于x的二次函数 有最大值，则m的值可能为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数. 有最大值，
∴m-2<0，
解得m<2，
∴符合条件的数值为1，
故答案为：D .
【分析】根据抛物线的开口向下，有最大值，即a<0解答即可.
5．（2025九上·浙江期中） 如图， △ABC中， AC=BC， ∠ACB=90°， 将BC绕点C逆时针旋转30°得到DC，连接DB， DA， 则∠ADB的度数为(　　)
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将BC绕点C逆时针旋转30°得到DC，
∴DC= BC， ∠BCD=30°，
，
∵AC=BC， ∠ACB=90°，
∴DC=AC，∠ACD=∠ACB+∠BCD=120°，
，
∴∠ADB=∠CDB-∠CDA=45°，
故答案为：C .
【分析】由旋转得DC = BC， ∠BCD=30°， 则∠CDB=∠CBD=75°， 因为AC=BC， ∠ACB=90°， 所以DC= AC， ∠ACD=120°， 则∠CDA=∠CAD=30°， 求得∠ADB=∠CDB-∠CDA=45°，于是得到问题的答案.
6．（2025九上·浙江期中）下列说法正确的是(　　)
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．相等的圆周角所对的弧相等
D．外心是三角形三条边的中线的交点
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、垂直于弦的直径平分这条弦，说法正确，符合题意；
B、平分弦 (不是直径)的直径垂直于这条弦，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法不正确，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据垂径定理、垂径定理的推论、圆周角定理、三角形的外心的定义判断即可.
7．（2025九上·浙江期中） 已知(-2，y1)， (0，y2)， (3，y3)是二次函数. 的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数. 的对称轴为直线x=，开口向下
又∵1-(-2)>3-1>1-0，
∴离对称轴越远的点的函数值越小，即 ，
故答案为：C .
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据开口向下，离对称轴越远的点的函数值越小解答即可.
8．（2025九上·浙江期中）如图，二次函数 的图象关于直线x=1对称，则下列四个结论：①abc<0：②4a+2b+c>0；③ak2+ bk-a-b≥0.其中正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵开口向上，
∴a>0，
又∵对称轴位于y轴的右侧，
∴a，b异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①错误；
由对称轴可知x=2和x=0时函数值相等，且y<0，
即4a+2b+c<0，故②错误；
∵对称轴为x=1，
∴y=a+b+c最小，
当x=k时，y=ak2+bk+c≥a+b+c，
即 ak2+ bk-a-b≥0 ，故③正确；
故答案为：B .
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点的位置判断a，b，c的取值范围即可判断①；利用对称性得到x=2和x=0时函数值相等且y<0判断②；根据当x=1时函数值最小，判断③解答即可.
9．（2025九上·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在y轴上，与x轴交于点A，B，直线MN与⊙P交于点M(-3，m)， N(-1，-1)， 点C在⊙P上， 且∠MCN=45°， 则AB的长为(　　)
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】点的坐标；勾股定理；垂径定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：连接PM，PN，PA，过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，如图所示，
∵∠MCN=45°，
∴∠MPN=90°=∠MEP=∠NFP，
∴∠EMP+∠MPE=∠NPF+∠MPE=90°，
∴∠EMP=∠NPF，
∴△MPE≌△PNF，
∴MP=PF=3，PE=NF=1，
∴PM=，
又∵OF=1，
∴OP=2，
∴，
∴，
故答案为：B .
【分析】连接PM，PN，PA，过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，即可得到△MPE≌△PNF，进而求得MP=PF=3，PE=NF=1，根据勾股定理求出PM长，再根据垂径定理和勾股定理解答即可.
10．（2025九上·浙江期中）已知抛物线 经过点(1，n)，(m，n)，-3A． B．- 2≤b<1 C． D．- 2【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 经过点(I，n)，(m，n)，
∴抛物线的对称轴为直线x=，则m=-b-1，
∵-3∴-3<-b-1<1，解得-2∵且 时
∴点A离对称轴距离大于点B离对称轴的距离，
∴，
即
∵且 ，
∴，
解得，
∴ ，
故答案为：C .
【分析】根据抛物线的对称轴求出m=-b-1，然后根据-311．（2025九上·浙江期中）二次函数 的顶点坐标为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由顶点式可知 y=x2+1的顶点为（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】利用顶点式即可直接找到顶点坐标.
12．（2025九上·浙江期中）某兴趣小组进行抛硬币实验，20次中有8次是正面朝上，若再抛一次，正面朝上的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同，
其概率是这个事件本身属性，与抛掷次数无关，故再抛一次，正面朝上的概率为
故答案为：
【分析】根据抛硬币正面朝上，反面朝上出现的可能性进行判断.
13．（2025九上·浙江期中） 如图， ⊙O的是△ABC的外接圆， AD为直径， 连结BD， ∠BAD=27°， 则∠C的度数为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AD为⊙O的直径，
由圆周角定理得：
故答案为：
【分析】根据圆周角定理得到 根据直角三角形的性质求出. 再根据圆周角定理解答即可.
14．（2025九上·浙江期中）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD折叠正好经过GB 中点E，已知AB=4，则 CD 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AB交CD于F， 连接OC， 如图：
∵AB=4，
∴OA =OB=OC = 2，
∵E为OB中点，
∴BE=OE=1，
∴AE= AB-BE =4-1 = 3，
∵翻折，
∵CD⊥AB，
故答案为：
【分析】设AB交CD于F， 连接OC， 由AB=4， 可得OA=OB=OC=2， 即得BE=OE=1， AE =3，由翻折，求出 OF 再根据勾股定理得DF =CF 从而根据线段的和差解答即可
15．（2025九上·浙江期中）已知二次函数y=-x2+2x+3(x1≤x≤x2）的最大值为m，最小值为n，且x1＜1＜x2，若m-n=10，则x2-x1的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
∴ 当x=1时，y有最大值为4，即m=4，
∵m-n=10，
∴n=-6，
令y=-6，则，
解得x=1±，
∴ x2-x1的最大值为x2-x1=，
故答案为： .
【分析】先配方得到顶点式，即可得到x=1时，y有最大值为4，然后求出n=-6，令n=-6，即可得到，求出x的值，即可求出x2-x1的最大值.
16．（2025九上·浙江期中） 如图， AB为⊙O 直径， 弦CD⊥AB 于点E， CD=AE=8， 点 F为弧AD 上一动点， 连入结BF， 点G为BF中点， 连结DG， 则DG的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆-动点问题；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OG，设圆的半径为r，
∵ 弦CD⊥AB 于点E，
∴CE=DE=4，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，即r2=42+(8-r)2，
解得r=5，
∴OE=3，
又∵ 点G为BF中点，
∴∠OGB=90°，
∴点G在以OB为直径的 ⊙I上移动，即当I，D，G三点共线时，DG最小，
这时OI=2.5，IE=0.5，
∴ID=，
∴DG的最小值为，
故答案为： .
【分析】连接OC，OG，设圆的半径为r，根据垂径定理和勾股定理求出r=5，即可得到OE=3，然后根据点G为BF中点，可得∠OGB=90°，即可得到点G在以OB为直径的 ⊙I上移动，当I，D，G三点共线时，DG最小，然后根据勾股定理求出ID长解答即可.
17．（2025九上·浙江期中）已知二次函数 的图象经过点A(-2，4)，对称轴为直线
（1）求该二次函数的表达式：
（2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点A(-2，4)，对称轴为直线
解得
∴二次函数的关系式为
（2）解：令y=0，则
解得：
∴这个函数图象与x轴的交点坐标为(2，0)，(-1，0).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得答案；
(2)令y=0，解得x的值，可得出函数图象与x轴的交点横坐标.
18．（2025九上·浙江期中）国庆前期，某校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程.
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有 9 种等可能的结果，其中两次摸到的数字之和大于4 的结果数有 3 种，两次摸到的数字之和小于 4 有 3种，
∴小明获胜的概率为 小红获胜的概率为
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】(1)解：小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3三张纸牌的可能性相同，
∴摸到“1”的概率是
故答案为：；
【分析】(1)根据概率公式计算即可；
(2)列表求出所有可能的情况，再用概率公式求出两人获胜的概率，比较即可得到答案.
19．（2025九上·浙江期中）小明在做作业本①第28页第6题：“如图，点P在⊙O外，过点P作PA，PB分别交⊙O于A， C和B， D， 且AC=BD， 则PO平分∠APB 吗 为什么 ”时， 用的是如下的方法，他同桌小方却说他的方法有问题。
证明：连结OC，OD，
因为AC=BD，所以∠AOC=∠BOD，
又因为OA=OB，OC=OD， 所以△AOC≌△BOD（SAS）
所以∠OAP=∠OBP
在△OAP和△OBP中
所以△OAP≌△OBP
所以∠APO=∠BPO
所以PO平分∠APB .
（1）请指出小明的方法错在哪里？
（2）请你完成这道题的证明过程.
【答案】解：(1)小明的错误在于：由AC=BD，得出∠AOC= ∠BOD，是错误的，因为AC和BD是弦，不是弧，所以不能直接得出∠AOC=∠BOD；(2)过点O作OM⊥AC于点M， ON⊥BD于点N，连接OA，OB，
因为AC= BD，所以AM=CN， BM=DN，又因为OA=OB，所以Rt△OAM≌Rt△OBN，所以OM=ON。
因为OM⊥AC， ON⊥BD， 所以PO平分∠APB。
（1）解：小明的错误在于：不能判定△OAP≌△OBP.
（2）证明：过点O作OM⊥AC于点M， ON⊥BD于点N，连接OA，OB，
因为AC= BD，
所以AM=CN， BM=DN，
又因为OA=OB，
所以Rt△OAM≌Rt△OBN，
所以OM=ON。
因为OM⊥AC， ON⊥BD，
所以PO平分∠APB。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据解答过程逐一判断即可；
（2）点O作OM⊥AC于点M， ON⊥BD于点N，连接OA，OB，根据垂径定理和HL证明Rt△OAM≌Rt△OBN，即可得到OM=ON，然后根据角平分线的判定证明即可.
20．（2025九上·浙江期中）如图，抛物线 与直线y= kx+b.相交于点A(-2，0)和点B(1，3).
（1）结合图象，求不等式 的解；
（2） 将直线y= kx+b向右平移m(m>0))个单位后与抛物线只有一个交点，求m的值.
【答案】（1）解：抛物线 与直线y = kx+b相交于点A(-2，0)和点B(1，3)， 如图，
结合函数图象可知，不等式 的解集为-2（2）解：∵直线y = kx+b相交于点A(-2，0)和点B(1，3)，
解得
∴直线为y=x+2，
将直线y = kx+b向右平移m(m>0)个单位后得到y=(x-m)+2，
令 整理得 2=0，
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴△=0， 即1-4(m-2)=0，
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)结合函数图象即可求解；
(2)利用待定系数法求得直线的解析式，利用平移的性质求得平移后的函数解析式，与抛物线的解析式联立，得到关于x的方程，根据题意△=0，即可求得m的值.
21．（2025九上·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，7)，点B 的坐标为(9，7)，点C的坐标为(3， 9).
（1）请写出△ABC的外心坐标，并画出△ABC的外接圆.
（2）仅用无刻度直尺作出△ABC的角平分线CD.
【答案】（1）解：如图，作AC和AB的垂直平分线，交于点O，则点O的坐标为(5，5)；
以O为圆心，OA长为半径作圆O；
（2）解：作AB的垂直平分线，交圆O于点T，连接CT交AB于点D 则CD即为所作.
【知识点】点的坐标；垂径定理；尺规作图-作三角形的外接圆；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）作AC和AB的垂直平分线，交于点O，点O即为圆心；以O为圆心，OA长为半径作圆O；
（2）作AB的垂直平分线，交圆O于点T，连接CT交AB于点D 点D即为所作.
22．（2025九上·浙江期中）某超市以30元/千宽的价格购进一批草莓，如果以35元/千克的价格销售，每天可售出300千克，根据以往销售经验可知，售价每涨1元，每天少卖20千克，记每天的销量为y(千克)，售价为x(元/千克).
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）设该超市每天销售草莓获得的利润为ω元，求当售价为多少时，每天获得的利润最大，最大为多少
【答案】（1）解：由题意，∵售价为x元/千克，且售价每涨1元，每天少卖20千克，
∴y=300-20(x-35)， 即y=-20x+1000.
∵x≥30， 且-20x+1000≥0，
∴30≤x≤50.
∴y与x之间的函数关系式为y =-20x+1000(30≤x≤50).
（2）解：由题意得，该超市每天销售草莓获得的利润为w=(x-30)(-20x+1000)
∵-20<0， 且30≤x≤50，
∴当x =40时，每天获得的利润最大，最大值为2000.
答：当售价为40元/千克时，每天获得的利润最大，最大为2000元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，由售价为x元/千克，且售价每涨1元，每天少卖20千克， 列函数关系式；
(2)根据总利润=单利润×销售量列函数关系式，配方为顶点式求出最值即可.
23．（2025九上·浙江期中） 已知抛物线y= ax-+ bx+c(a≠0).
（1）若抛物线经过(3，c)，求抛物线的对称轴；
（2）若2a+b=0， c=2， 当-1≤x≤2时， y有最大值6， 求a的值；
（3） 若抛物线顶点坐标为(-1，0)，当x=1时， y=m； x=2时， y=n， 且m>1， 求n的范围.
【答案】（1）解：将点(3，c)代入抛物线方程可得：9a+3b+c=c，
解得b=-3a，
∴抛物线的对称轴公式
将b=-3a代入可得：
因此，抛物线的对称轴为
（2）解：由2a+b=0可得b=-2a，
根据抛物线的对称轴公式
当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴x=1处取得最小值，在x=-1或x=2处取得最大值
将x =-1代入抛物线方程可得： y=a-b+c，
将b=-2a， c=2代入可得： y=a-(-2a)+2=3a+2，
将x = 2代入抛物线方程可得： y=4a+2b+c，
将b=-2a， c=2代入可得： y=4a+2×(-2a)+2=2，
因为3a+2>2， 所以当x =-1时， y取得最大值6，
即3a+2=6， 解得
当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴x =1处取得最大值，在x = 1或x =2处取得最小值，
将x=1代入抛物线方程可得： y=a+b+c，将b=-2a， c=2代入可得： y=a+(-2a)+2=-a+2，
因为-a+2>2，
所以当x =1时， y取得最大值6即-a+2=6，可得-a=4，解得a=-4。
因此，a的值为 或-4；
（3）解：已知抛物线顶点坐标为((-1，0)，则抛物线的表达式为
当x=1时，y=m，
将x=1代入抛物线方程可得： a。
因为m>1，
所以4a>1，解得
当x=2时，y=n，
将x=2代入抛物线方程可得： 。
因为 所以 即
因此，n的范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点(3，c)代入抛物线解析式求出b=-3a，然后利用对称轴公式计算解答即可；
（2）根据题意求出对称轴为直线x=1，然后分为a>0和a<0两种情况，根据增减性得到最大值，列方程解答即可；
（3）设抛物线的解析式为 求出x=1和x=2时的函数值，根据m>1求出n的取值范围即可.
24．（2025九上·浙江期中） 如图， 等腰△ABC中， AB=AC， ∠BAC≠90°， BC=3， 以AC为直径的⊙O交BC于点D，交BA所在直线于点E (不与A重合)，连结DE
（1） 求证： BD=CD；
（2） 当∠BAC=120°时， 求AE的长；
（3）令AB=x， AE=y， 请直接写出y关于x的函数表达式.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AC是 ⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：连接EC，则∠BEC=90°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30°，
∴，∠BCE=60°，
∴∠ECA=30°，
∴AC=2AE，
在Rt△AEC中，AE2+EC2=AC2，即AE2+()2=(2AE)2，
解得，（负值舍去）
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（3）解：∵AB=AC=x，AE=y，
∴BE=x+y，
在Rt△BEC中，EC2=BC2-BE2，
在Rt△AEC中，EC2=AC2-AE2，
∴BC2-BE2=AC2-AE2，即32-(x+y)2=x2-y2，
∴.
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的三线合一证明即可；
（2）连接EC，则∠BEC=90°，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠B=∠ACB=∠ACE=30°，然后根据30的直角三角形的性质和勾股定理解题即可；
（3）根据勾股定理得到BC2-BE2=AC2-AE2，然后代入数值整理即可.
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